Variables aléatoires : loi, espérance, écart-type

Jusqu'ici, une expérience aléatoire produisait des issues (pile ou face, la face d'un dé, une boule tirée), et l'on calculait la probabilité d'un événement — un ensemble d'issues. Mais ce qui intéresse souvent, c'est un nombre attaché au résultat : le gain d'une partie, le nombre de piles obtenus, la durée d'attente. Ce nombre varie d'une répétition à l'autre, au hasard : c'est une variable aléatoire.

Définition. Une variable aléatoire $X$ est une fonction qui, à chaque issue de l'univers $\Omega$, associe un nombre réel. On la note par une lettre majuscule ; ses valeurs possibles $x_1, x_2, \dots, x_n$ par des minuscules. En première, $X$ prend un nombre fini de valeurs.

Un premier exemple. On lance deux pièces équilibrées et on note $X$ le nombre de « pile ». L'univers a quatre issues équiprobables : PP, PF, FP, FF. La variable $X$ vaut $2$ pour PP, $1$ pour PF et pour FP, $0$ pour FF. Elle « résume » l'issue en un nombre — et deux issues différentes (PF, FP) peuvent donner la même valeur.

Les écritures $\{X = a\}$ et $\{X \leqslant a\}$. L'ensemble des issues pour lesquelles $X$ prend la valeur $a$ est un événement, noté $\{X = a\}$ ; sa probabilité s'écrit $P(X = a)$. De même $\{X \leqslant a\}$ regroupe les issues où $X$ ne dépasse pas $a$. Dans l'exemple : $\{X = 1\} = \{\text{PF}, \text{FP}\}$, donc $P(X = 1) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ ; et $P(X \leqslant 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4}$ (les événements $\{X = 0\}$ et $\{X = 1\}$ sont incompatibles, leurs probabilités s'ajoutent).

La loi de probabilité. Donner la loi de $X$, c'est donner toutes ses valeurs possibles et la probabilité de chacune — d'ordinaire dans un tableau :

Les événements $\{X = x_i\}$ recouvrent tout l'univers sans se chevaucher : la somme des probabilités d'une loi vaut $1$. C'est le premier contrôle de tout tableau, et le moyen de retrouver une probabilité effacée.

L'espérance : une moyenne pondérée. Si l'on joue un grand nombre de fois, quelle valeur de $X$ obtient-on « en moyenne » ? Pas la moyenne simple des valeurs $\dfrac{0 + 1 + 2}{3} = 1$ — elle ignorerait que $1$ sort deux fois plus souvent que $0$. La bonne moyenne pondère chaque valeur par sa probabilité :

Pour les deux pièces : $E(X) = 0 \times \dfrac{1}{4} + 1 \times \dfrac{1}{2} + 2 \times \dfrac{1}{4} = 1$. Ici la moyenne simple donnait le même nombre, par symétrie de la loi ; dès que la loi n'est plus symétrique, les deux diffèrent, et seule l'espérance est juste.

L'espérance $E(X)$ est la valeur moyenne de $X$ sur un grand nombre de répétitions de l'expérience. Ce n'est pas une valeur que $X$ prend forcément : une variable qui vaut $0$ ou $10$ à parts égales a pour espérance $5$, valeur qu'elle ne prend jamais.

Pour un jeu d'argent où $X$ est le gain algébrique (somme reçue moins mise), $E(X)$ est le gain moyen par partie sur le long terme : positif, le jeu est favorable au joueur ; négatif, il lui est défavorable ; nul, le jeu est équitable.

Mesurer la dispersion. Deux variables peuvent avoir la même espérance et se comporter très différemment : un jeu qui rend toujours $1$ euro et un jeu qui rend $0$ ou $2$ euros à pile ou face ont tous deux une espérance de $1$ euro, mais le second est risqué. Il faut un nombre qui mesure à quel point les valeurs s'écartent de l'espérance. C'est le même problème qu'en statistique de seconde, où l'on résumait une série par sa moyenne et son écart-type ; ici, les fréquences observées sont remplacées par les probabilités.

La variance. On calcule, pour chaque valeur, le carré de son écart à l'espérance, et l'on en fait la moyenne pondérée :

Le carré rend tous les écarts positifs (sinon ils se compenseraient : la somme des écarts pondérés à l'espérance est toujours nulle) et pénalise davantage les grands écarts. La variance est donc positive ou nulle, et nulle seulement si $X$ ne prend qu'une valeur.

L'écart-type. La variance est en « unité de $X$ au carré » — des euros carrés pour un gain, ce qui ne parle pas. On revient à l'unité de $X$ par une racine carrée :

L'écart-type est la mesure de dispersion lisible : un gain d'espérance $1$ euro et d'écart-type $3$ euros varie typiquement de quelques euros autour de $1$. Variance et écart-type sont deux nombres différents, l'un étant le carré de l'autre ; quand une question demande « la variance », on ne prend pas la racine, et quand elle demande « l'écart-type », on la prend.

Une seconde formule pour la variance. En développant les carrés $(x_i - E(X))^2 = x_i^2 - 2x_i\,E(X) + E(X)^2$ et en sommant avec les poids $P(X = x_i)$ (dont la somme vaut $1$), on obtient

« Moyenne des carrés moins carré de la moyenne. » Cette forme évite les écarts décimaux et sert de contrôle de la première : deux calculs différents, un seul résultat.

Le jeu équitable. Pour un jeu de mise $m$ dont les sommes reçues ont pour espérance $E(G)$, le gain algébrique est $X = G - m$ et $E(X) = E(G) - m$ (retrancher la même quantité à toutes les valeurs retranche cette quantité à la moyenne). Le jeu est équitable lorsque $E(X) = 0$, c'est-à-dire lorsque la mise est égale à l'espérance de la somme reçue : $m = E(G)$. Une question du type « quelle mise rend le jeu équitable ? » est donc une équation du premier degré, résolue par le calcul de $E(G)$.

Prolongement — transformation affine. L'égalité $E(G - m) = E(G) - m$ est un cas particulier d'un résultat plus général : pour des réels $a$ et $b$, $E(aX + b) = a\,E(X) + b$ et $V(aX + b) = a^2\,V(X)$ — décaler toutes les valeurs ne change pas la dispersion, les multiplier par $a$ multiplie l'écart-type par $|a|$. Ce résultat figure parmi les approfondissements possibles du programme ; il n'est pas exigible, mais il éclaire le calcul du gain algébrique.

Ce qui est en dehors. La loi de $X$ dans une répétition d'épreuves identiques et indépendantes (nombre de succès en $n$ tirages) est la loi binomiale, objet de la terminale. En première, on établit la loi à partir de l'univers, issue par issue, ou on la lit dans un tableau donné.

Énoncé. Un jeu utilise une roue partagée en $10$ secteurs identiques. Le joueur mise $2$ euros, puis lance la roue : $5$ secteurs ne rapportent rien, $3$ secteurs rapportent $2$ euros, $2$ secteurs rapportent $6$ euros. On note $X$ le gain algébrique du joueur (somme reçue moins mise).

1. Établir la loi de $X$. 2) Calculer $E(X)$ et dire si le jeu est favorable au joueur. 3) Quelle mise rendrait le jeu équitable ? 4) Calculer $V(X)$ puis $\sigma(X)$ au centime près.

1) La loi. Les secteurs sont identiques : chacun a une probabilité $\dfrac{1}{10}$. Le gain algébrique vaut « somme reçue $- 2$ », soit $-2$, $0$ ou $4$ euros, avec les probabilités $\dfrac{5}{10}$, $\dfrac{3}{10}$, $\dfrac{2}{10}$ :

Contrôle : $0{,}5 + 0{,}3 + 0{,}2 = 1$.

2) L'espérance.

$E(X) = -0{,}20$ euro : sur un grand nombre de parties, le joueur perd en moyenne $20$ centimes par partie. Le jeu lui est défavorable. La moyenne simple des trois valeurs, $\dfrac{-2 + 0 + 4}{3} \approx 0{,}67$, aurait conclu l'inverse : elle ne tient pas compte du fait que la perte est l'issue la plus fréquente.

3) La mise équitable. Notons $m$ la mise et $G$ la somme reçue ($0$, $2$ ou $6$ euros). $E(G) = 0 \times 0{,}5 + 2 \times 0{,}3 + 6 \times 0{,}2 = 0{,}6 + 1{,}2 = 1{,}8$. Le jeu est équitable si $E(X) = E(G) - m = 0$, soit $m = 1{,}80$ euro. Vérification : avec la mise actuelle de $2$ euros, $E(X) = 1{,}8 - 2 = -0{,}2$, ce que l'on a trouvé.

4) Variance et écart-type. Les écarts à l'espérance sont $-2 - (-0{,}2) = -1{,}8$, $0 - (-0{,}2) = 0{,}2$ et $4 - (-0{,}2) = 4{,}2$.

Contrôle par la seconde formule : $E(X^2) = 4 \times 0{,}5 + 0 \times 0{,}3 + 16 \times 0{,}2 = 2 + 3{,}2 = 5{,}2$, et $E(X)^2 = 0{,}04$ ; donc $V(X) = 5{,}2 - 0{,}04 = 5{,}16$. Les deux calculs coïncident. La variance vaut exactement $5{,}16$ (en euros carrés). L'écart-type :

Le gain d'une partie s'écarte typiquement de deux euros et quelques de sa moyenne — pour un jeu dont la perte moyenne n'est que de $20$ centimes, la dispersion est grande : c'est ce qui le rend attirant, et trompeur.

Le moment décisif : à la question 2, tout se joue sur le mot « pondérée ». Le tableau de la loi ne sert pas seulement à lister les valeurs ; ses probabilités sont les poids de la moyenne. Et à la question 4, la variance exacte $5{,}16$ est calculée avant tout arrondi ; seule la racine carrée, irrationnelle, est arrondie — en dernier.

Figure (SVG programmatique à produire) : deux panneaux — la loi de l'exemple guidé sous forme de diagramme en bâtons, avec l'espérance et l'écart-type ; puis la moyenne des gains au fil des parties, qui se stabilise autour de l'espérance.

• Panneau 1 — la loi et ses résumés. Axe horizontal gradué en euros de $-3$ à $5$, axe vertical gradué en probabilités de $0$ à $0{,}6$. Trois bâtons verticaux aux abscisses $-2$, $0$ et $4$, de hauteurs $0{,}5$, $0{,}3$ et $0{,}2$, chacun coté par sa probabilité. Sous l'axe, l'axe est dessiné comme une règle en équilibre sur un pivot placé en $x = -0{,}2$, avec la mention « $E(X) = -0{,}2$ : le point d'équilibre des masses $0{,}5$, $0{,}3$, $0{,}2$ » — les bâtons sont représentés une seconde fois comme des masses posées sur la règle. Une accolade horizontale de $E(X) - \sigma \approx -2{,}47$ à $E(X) + \sigma \approx 2{,}07$ porte la mention « $\sigma(X) \approx 2{,}27$ ». En marge, une petite vignette montre une seconde loi, équiprobable, aux mêmes valeurs $-2$, $0$, $4$ mais de probabilités $\dfrac{1}{3}$ chacune : son pivot est en $\dfrac{2}{3}$, avec la mention « moyenne simple des valeurs : $\approx 0{,}67$ — ce n'est pas $E(X)$ ».
• Panneau 2 — sur un grand nombre de parties. Axe horizontal : nombre de parties jouées, de $1$ à $500$ ; axe vertical : gain moyen par partie, en euros, de $-1{,}5$ à $1{,}5$. Une ligne brisée part de valeurs très irrégulières (les premières parties : $-2$, puis $1$, puis $-0{,}67$…) et, à mesure que le nombre de parties croît, ses oscillations se resserrent autour d'une droite horizontale en tirets à l'ordonnée $-0{,}2$, cotée « $E(X)$ ». La courbe est une simulation reproductible (graine fixée), et la légende le dit : « une simulation parmi d'autres ; toutes se resserrent vers $-0{,}2$ ».

Ce qu'il faut lire. Le panneau 1 donne à l'espérance son sens physique : c'est le centre de gravité de la loi, là où la règle tient en équilibre quand chaque valeur pèse sa probabilité — et le pivot se déplace vers les valeurs lourdes, ce que la moyenne simple de la vignette ignore. L'écart-type mesure la largeur de la zone où les masses se répartissent. Le panneau 2 donne à l'espérance son sens fréquentiel : partie après partie, la moyenne des gains réels rejoint $E(X)$ — pas à la première partie, pas à la dixième, mais sur la durée. C'est ce qui fait qu'un casino gagne à coup sûr et qu'un joueur, à l'occasion, gagne aussi.

La figure en détail : en haut, trois barres verticales placées aux valeurs moins deux, zéro et quatre, de hauteurs un demi, trois dixièmes et deux dixièmes ; l'axe horizontal est redessiné comme une règle posée sur un pivot situé un peu à gauche de zéro, en moins zéro virgule deux, position d'équilibre des trois masses ; une accolade sous la règle s'étend d'environ moins deux virgule cinq à environ deux virgule un et porte la valeur de l'écart-type, environ deux virgule vingt-sept. En bas, une ligne brisée représente le gain moyen après chaque partie jouée : très irrégulière au début, elle oscille de moins en moins et se rapproche d'une ligne horizontale en pointillés tracée à moins zéro virgule deux.

Domaine de validité. Ces formules valent pour une variable aléatoire prenant un nombre fini de valeurs, ce qui est tout le programme de première. Les probabilités $P(X = x_i)$ sont celles de la loi, donc issues d'un modèle (équiprobabilité, tableau donné) — pas des fréquences observées, même si le calcul est formellement le même qu'en statistique. La formule $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ est une identité algébrique, vraie dans tous les cas ; elle se démontre en développant les carrés $(x_i - E(X))^2$ et en sommant — le programme la range parmi les approfondissements possibles — et elle sert surtout de contrôle.

Écritures et unités. $X$ (majuscule) est la variable ; $x_i$ (minuscule) l'une de ses valeurs ; $\{X = x_i\}$ un événement ; $P(X = x_i)$ un nombre de $[0\ ;\ 1]$. $E(X)$ et $\sigma(X)$ ont l'unité de $X$ ; $V(X)$ a cette unité au carré. Une espérance négative pour un gain signifie une perte moyenne.

Contrôles gratuits. La somme des probabilités fait $1$. L'espérance est comprise entre la plus petite et la plus grande valeur de $X$. La variance est positive ou nulle ; les deux formules doivent donner le même nombre. L'écart-type est de l'ordre de grandeur des écarts entre les valeurs et l'espérance.

1. Calculer l'espérance comme la moyenne simple des valeurs. $\dfrac{-2 + 0 + 4}{3} \approx 0{,}67$ n'est pas $E(X) = -0{,}2$. Chaque valeur pèse sa probabilité ; une valeur rare compte peu, une valeur fréquente compte beaucoup. Les deux nombres ne coïncident que si toutes les probabilités sont égales.
2. Confondre variance et écart-type. $V(X) = 5{,}16$ (euros carrés) et $\sigma(X) \approx 2{,}27$ euros sont deux réponses à deux questions. La racine carrée sépare l'une de l'autre : on la prend pour l'écart-type, pas pour la variance. Un écart-type supérieur à toutes les valeurs de $X$ est presque toujours une variance oubliée sous la racine.
3. Oublier que la somme des probabilités vaut $1$. Un tableau dont les probabilités font $0{,}9$ ou $1{,}1$ n'est pas une loi. Ce contrôle prend trois secondes et il rattrape la plupart des erreurs de dénombrement — et c'est lui qui donne la probabilité manquante quand une case est effacée.
4. Confondre somme reçue et gain algébrique. Dans un jeu, $X$ est la somme reçue moins la mise : un secteur qui « ne rapporte rien » donne $X = -2$ quand la mise est de $2$ euros, pas $X = 0$. Un jeu calculé sur les sommes reçues paraît toujours favorable.
5. Exclure le seuil dans $P(X \geqslant k)$. L'inégalité est large : la valeur $k$ elle-même compte. $P(X \geqslant 0) = P(X = 0) + P(X = 4) = 0{,}5$ dans l'exemple, pas $0{,}2$. Le contraire de $\{X \geqslant k\}$ est $\{X < k\}$, strict.
6. Attendre de l'espérance ce qu'elle ne dit pas. $E(X) = -0{,}2$ ne signifie pas « je perds $20$ centimes à la prochaine partie » (on ne perd jamais exactement cette somme) ; cela signifie « sur mille parties, je perds environ $200$ euros ». L'espérance parle du long terme, pas d'une partie.
7. Arrondir trop tôt. Une espérance ou une variance calculées sur des probabilités décimales exactes sont exactes : on les garde telles quelles. Seule la racine carrée de l'écart-type est arrondie, et en dernier — arrondir $E(X)$ avant de calculer $V(X)$ fausse tous les écarts.
8. Croire que $E(X)$ est une valeur que $X$ prend. Une variable valant $0$ ou $10$ à parts égales a pour espérance $5$, valeur impossible. L'espérance est un centre de gravité, pas une issue.

Le modèle. L'exercice associé à cette leçon décrit un jeu réel — roue à secteurs, urne, paquet de cartes, sac de jetons — avec une mise et trois sommes reçues selon l'issue tirée. Il demande, au choix du tirage : l'espérance du gain algébrique (et le corrigé conclut sur le caractère favorable ou non du jeu) ; la mise qui rendrait le jeu équitable ; la variance ; ou l'écart-type — dans ces deux derniers cas, la formule de la variance est rappelée dans l'énoncé, et la question « variance ou écart-type ? » est tirée au sort, pour que la confusion entre les deux soit visible. Un second modèle, plus court, fait lire une loi donnée dans un tableau : espérance, probabilité effacée, probabilité cumulée $P(X \geqslant k)$.

Énoncé type. Un jeu utilise une urne contenant $20$ boules indiscernables au toucher. Le joueur mise $3$ euros, puis tire au hasard : $12$ boules rapportent $0$ euro, $5$ boules rapportent $4$ euros, $3$ boules rapportent $10$ euros. On note $X$ le gain algébrique du joueur, c'est-à-dire la somme reçue diminuée de la mise. Calculer l'espérance $E(X)$, en euros.

Corrigé complet.

1. Établir la loi de $X$. Les boules sont indiscernables : chacune a une probabilité $\dfrac{1}{20}$. Le gain algébrique vaut « somme reçue $- 3$ » : $-3$ euros pour $12$ boules, $1$ euro pour $5$ boules, $7$ euros pour $3$ boules.

Contrôle : $0{,}6 + 0{,}25 + 0{,}15 = 1$.

2. Calculer l'espérance.

3. Conclure. $E(X) = -0{,}50$ euro : sur un grand nombre de parties, le joueur perd en moyenne $50$ centimes par partie. Le jeu lui est défavorable. Pour qu'il devienne équitable, la mise devrait être égale à l'espérance de la somme reçue, $0 \times 0{,}6 + 4 \times 0{,}25 + 10 \times 0{,}15 = 2{,}50$ euros.

Auto-contrôle : vérifie que tu as bien retranché la mise à chaque somme reçue (y compris à $0$, qui devient $-3$) ; que les probabilités sont des effectifs sur $20$ et font $1$ au total ; et que ton espérance est comprise entre $-3$ et $7$. Si l'on te demande la variance, garde $E(X)$ exact pour calculer les écarts ; si l'on te demande l'écart-type, prends la racine carrée en dernier.