Limites et continuité : lire, lever, conclure

Les limites de suites t'ont donné le vocabulaire : converger, diverger, forme indéterminée. Les fonctions reprennent tout cela, avec une nouveauté : une suite ne se regarde qu'en $+\infty$, une fonction se regarde en $+\infty$, en $-\infty$, et en n'importe quel point de la droite réelle — y compris en un point où elle n'est pas définie.

Limite en l'infini. $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ signifie que $f(x)$ s'approche indéfiniment de $\ell$ quand $x$ grandit sans borne. Géométriquement, la droite d'équation $y = \ell$ est asymptote horizontale à la courbe en $+\infty$ : la courbe s'en approche sans jamais s'en écarter durablement. Elle peut fort bien la traverser — une asymptote n'est pas une barrière.

Limite en un point. $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell$ signifie que $f(x)$ s'approche de $\ell$ quand $x$ s'approche de $a$, sans jamais valoir $a$. Cette précision est capitale : la limite en $a$ ne dit rien de $f(a)$, et se calcule très souvent en un point où $f$ n'est pas définie. Quand la limite est infinie, la droite d'équation $x = a$ est asymptote verticale.

Continuité. Une fonction $f$ est continue en $a$ lorsque $f$ est définie en $a$ et que $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$ : la limite et la valeur coïncident. Intuitivement, la courbe se trace sans lever le crayon. Deux faits à retenir pour ne pas perdre de temps en contrôle :

• les fonctions polynômes sont continues sur $\mathbb{R}$ ; les fonctions rationnelles, racine carrée, exponentielle, logarithme, sinus et cosinus sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition ; sommes, produits, quotients (dénominateur non nul) et composées de fonctions continues le sont aussi ;
• une fonction dérivable sur un intervalle y est continue. La réciproque est fausse : $x \mapsto |x|$ est continue en $0$ sans y être dérivable.

Attention au sens des mots. Croissante n'entraîne pas continue : une fonction en escalier est croissante et pleine de sauts. Et « avoir une limite en $a$ » n'entraîne pas « être continue en $a$ » : il faut de plus que $f(a)$ existe et vaille cette limite.

Pourquoi ce chapitre existe. Deux usages, tous deux au programme et tous deux au baccalauréat. D'abord décrire le comportement d'une courbe : asymptotes, branches infinies, position limite. Ensuite démontrer qu'une équation a une solution — c'est le théorème des valeurs intermédiaires, le seul outil du lycée qui prouve l'existence d'un nombre sans le calculer.

Les quatre formes indéterminées sont les mêmes que pour les suites :

« Indéterminée » signifie que la règle générale ne conclut pas : il faut réécrire. Trois techniques suffisent en terminale.

1. Quotient de polynômes en $\pm\infty$ — on factorise par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur, on simplifie, et les termes en $\frac{1}{x}$ s'évanouissent. Conséquence pratique : en l'infini, un quotient de polynômes se comporte comme le quotient de ses termes de plus haut degré.
2. Forme $\frac{0}{0}$ en un point $a$ — si $a$ annule le numérateur ET le dénominateur, les deux se factorisent par $(x - a)$. On simplifie pour $x \ne a$, et la fonction obtenue, continue en $a$, donne la limite par simple substitution. Retiens la nuance : les deux écritures ne définissent pas la même fonction — l'une n'est pas définie en $a$ — mais elles coïncident partout ailleurs, donc elles ont la même limite. Deux fonctions de même limite ne sont pas égales pour autant.
3. Différence de racines — on multiplie par la quantité conjuguée pour transformer $\infty - \infty$ en un quotient.

Croissances comparées. À connaître par cœur, elles règlent d'un coup une famille entière d'indéterminations : en $+\infty$, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance, et toute puissance l'emporte sur le logarithme :

Asymptote verticale : la bonne procédure. Pour un quotient, on cherche les valeurs qui annulent le dénominateur. Deux cas se présentent, et les confondre coûte cher :

• le numérateur ne s'y annule pas → le quotient tend vers l'infini, il y a asymptote verticale ;
• le numérateur s'y annule aussi → forme $\frac{0}{0}$, la fraction se simplifie et il n'y a en général pas d'asymptote, mais un simple trou dans l'ensemble de définition.

Le théorème des valeurs intermédiaires. Si $f$ est continue sur $[a\,;\,b]$ et si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors l'équation $f(x) = k$ admet au moins une solution dans $[a\,;\,b]$. Si de plus $f$ est strictement monotone sur $[a\,;\,b]$, cette solution est unique.

Trois remarques que les copies oublient une fois sur deux.

• Ce qui donne quoi. La continuité donne l'EXISTENCE ; la stricte monotonie donne l'UNICITÉ. Attribuer l'unicité à la continuité est une faute : une fonction continue peut prendre plusieurs fois la même valeur.
• Comment justifier chaque hypothèse. La continuité se justifie par la NATURE de la fonction (polynôme, rationnelle sur son domaine, composée de fonctions continues), jamais par sa croissance. La monotonie se justifie par le SIGNE DE LA DÉRIVÉE sur tout l'intervalle, jamais par la comparaison de deux valeurs : une fonction peut monter puis descendre et vérifier $f(a) < f(b)$.
• L'encadrement de $k$. Il faut écrire l'inégalité complète $f(a) < k < f(b)$ (ou l'inverse). Dire « $f(a) < f(b)$ » ne dit rien de la position de $k$.

Localiser la solution. Le théorème prouve l'existence sans donner la valeur. Pour encadrer $\alpha$, on calcule les images d'entiers consécutifs jusqu'à un changement de signe, puis on affine par dichotomie : on coupe l'intervalle en deux, on garde la moitié où le changement de signe persiste, et on recommence. Chaque étape divise l'amplitude par $2$.

Énoncé.

1. Soit $f(x) = \dfrac{3x - 5}{2x + 4}$. Déterminer $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$ et interpréter graphiquement.
2. Déterminer l'équation de l'asymptote verticale à la courbe de $f$.
3. Soit $g(x) = \dfrac{x^{2} - x - 6}{x - 3}$, définie pour $x \ne 3$. Déterminer $\lim\limits_{x \to 3} g(x)$.
4. Soit $h(x) = x^{3} + 2x - 5$. Démontrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$, et déterminer l'entier $n$ tel que $n < \alpha < n + 1$.

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1. Limite en $+\infty$. Numérateur et dénominateur tendent vers $+\infty$ : forme $\frac{\infty}{\infty}$, la règle du quotient ne conclut pas. On factorise par $x$ :

Comme $\dfrac{5}{x} \to 0$ et $\dfrac{4}{x} \to 0$, le numérateur tend vers $3$ et le dénominateur vers $2 \ne 0$, donc

Interprétation : la droite d'équation $y = 1{,}5$ est asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $+\infty$.

2. Asymptote verticale. On annule le dénominateur : $2x + 4 = 0$, soit $x = -2$. On vérifie que le numérateur ne s'y annule pas :

Le numérateur tend vers $-11$ et le dénominateur vers $0$ : le quotient tend vers l'infini. La droite d'équation $x = -2$ est asymptote verticale.

3. Une forme $\frac{0}{0}$. En $x = 3$, le dénominateur s'annule ; le numérateur aussi, car $3^{2} - 3 - 6 = 9 - 3 - 6 = 0$. C'est une indétermination. Le trinôme $x^{2} - x - 6$ a pour racines $3$ et $-2$ (somme $1$, produit $-6$), donc

Pour $x \ne 3$, on simplifie : $g(x) = x + 2$. Cette dernière expression définit une fonction affine, continue en $3$, donc

Attention : $g$ et la fonction $x \mapsto x + 2$ ne sont pas la même fonction — la seconde est définie en $3$, la première non. Elles coïncident partout ailleurs, ce qui suffit pour la limite.

4. Une racine par le théorème des valeurs intermédiaires.

Continuité. $h$ est une fonction polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$.

Stricte monotonie. $h'(x) = 3x^{2} + 2$. Un carré est positif, donc $3x^{2} + 2 \ge 2 > 0$ : $h'$ est strictement positive sur $\mathbb{R}$, et $h$ y est strictement croissante.

Existence et unicité. On calcule

Comme $-2 < 0 < 7$, la valeur $0$ est comprise entre $h(1)$ et $h(2)$. $h$ étant continue et strictement croissante sur $[1\,;\,2]$, l'équation $h(x) = 0$ y admet une unique solution $\alpha$. Et comme $h$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier, elle ne peut pas prendre la valeur $0$ ailleurs : $\alpha$ est l'unique solution sur $\mathbb{R}$.

Encadrement. On a donc $1 < \alpha < 2$, soit $n = 1$. Un pas de dichotomie affine : $h(1{,}5) = 3{,}375 + 3 - 5 = 1{,}375 > 0$, donc $1 < \alpha < 1{,}5$.

Contrôle. Trois réflexes : nommer la forme indéterminée avant de calculer ; vérifier que le dénominateur d'une limite de quotient ne tend pas vers $0$ avant d'invoquer la règle ; et, pour le théorème des valeurs intermédiaires, écrire les trois hypothèses séparément — continuité, monotonie, encadrement.

Figure (fig.math.limits-continuity-panorama, SVG programmatique à produire) : trois panneaux.

• Panneau gauche — les deux asymptotes. Courbe de $f(x) = \dfrac{3x - 5}{2x + 4}$ dans un repère, $x$ de $-8$ à $8$, $y$ de $-6$ à $8$, avec les deux branches séparées. Une droite horizontale en pointillé d'équation $y = 1{,}5$, étiquetée « asymptote horizontale : limite en $\pm\infty$ ». Une droite verticale en pointillé d'équation $x = -2$, étiquetée « asymptote verticale : le dénominateur s'annule, pas le numérateur ». Deux flèches suivent la courbe vers le haut et vers le bas de part et d'autre de $x = -2$.
• Panneau central — le trou. Courbe de $g(x) = \dfrac{x^{2} - x - 6}{x - 3}$ : c'est la droite d'équation $y = x + 2$, tracée en trait plein, mais avec un cercle vide bien visible au point de coordonnées $(3\,;\,5)$, et une bulle « $g$ n'est pas définie en $3$, et pourtant sa limite y vaut $5$ ». Sous le dessin, deux cadres côte à côte : « $g(x) = \dfrac{x^{2}-x-6}{x-3}$, définie pour $x \ne 3$ » et « $x \mapsto x + 2$, définie partout », reliés par une double flèche portant « même limite en $3$, fonctions différentes ».
• Panneau droit — le théorème des valeurs intermédiaires. Courbe de $h(x) = x^{3} + 2x - 5$ pour $x$ de $0$ à $2{,}5$, strictement croissante. L'axe des abscisses est tracé en trait plein. Les points $(1\,;\,-2)$ et $(2\,;\,7)$ sont marqués et étiquetés. Un segment vertical en pointillé descend de $(1\,;\,-2)$ et monte de $(2\,;\,7)$ jusqu'à l'axe, et la portion d'axe entre $1$ et $2$ est épaissie avec l'étiquette « la courbe traverse ici, et une seule fois ». Un cartouche récapitule : « continue $\Rightarrow$ elle traverse ; strictement croissante $\Rightarrow$ une seule fois ».

Ce qu'il faut lire. Le panneau gauche montre que les deux sortes d'asymptotes se cherchent à deux endroits différents : l'une à l'infini, l'autre aux valeurs interdites. Le panneau central est le seul moyen de voir la différence entre « avoir une limite en $3$ » et « être définie en $3$ » : le cercle vide est exactement cette différence. Le panneau droit sépare visuellement les deux conclusions du théorème — traverser, et ne traverser qu'une fois.

La figure en détail : la figure comprend trois parties. À gauche, la courbe d'une fonction rationnelle est tracée en deux branches, avec une droite horizontale en pointillé qu'elle approche à l'infini et une droite verticale en pointillé le long de laquelle elle s'échappe vers le haut d'un côté et vers le bas de l'autre. Au centre, la courbe d'une autre fonction rationnelle se confond avec une droite, à ceci près qu'un petit cercle vide marque le point d'abscisse trois, où la fonction n'est pas définie alors que sa limite y existe et vaut cinq ; deux cadres rappellent que deux expressions de même limite ne définissent pas la même fonction. À droite, la courbe d'une fonction polynôme strictement croissante passe du dessous au dessus de l'axe horizontal entre les abscisses un et deux ; les images de ces deux abscisses, moins deux et sept, sont marquées, et la portion d'axe où la courbe traverse est mise en évidence pour illustrer l'existence et l'unicité de la solution.

Vocabulaire. « Asymptote » décrit une droite dont la courbe se rapproche indéfiniment ; la courbe peut la couper. « Continue sur un intervalle » se dit d'un intervalle, jamais d'un point isolé pris seul. « Strictement monotone » veut dire strictement croissante ou strictement décroissante sur tout l'intervalle considéré.

Pas d'unités. Limites et images sont des nombres. $+\infty$ n'est pas un nombre : on ne l'additionne pas, on ne le soustrait pas, et les quatre formes indéterminées sont précisément les cas où l'écriture symbolique ne suffit pas.

Ce qui n'est pas ici. La définition quantifiée d'une limite, la continuité uniforme, le théorème de la bijection dans sa forme générale et les théorèmes de Rolle et des accroissements finis relèvent du supérieur.

1. Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sans vérifier la continuité. C'est l'hypothèse qui donne l'existence : sans elle, le théorème ne dit rien. Une fonction en escalier « saute » par-dessus les valeurs intermédiaires sans jamais les prendre.
2. Attribuer l'unicité à la continuité. L'unicité vient de la stricte monotonie. Une fonction continue peut prendre trois fois la même valeur sur un intervalle ; une fonction strictement monotone, jamais.
3. Justifier la monotonie par deux valeurs. $f(a) < f(b)$ ne prouve rien : la courbe peut monter, redescendre et remonter. La monotonie se démontre par le signe de la dérivée sur tout l'intervalle.
4. Justifier la continuité par la croissance. Aucun lien : une fonction en escalier est croissante et discontinue. La continuité se justifie par la nature de la fonction.
5. Écrire « $f(a) < f(b)$ donc $k$ est compris entre les deux ». Il faut l'encadrement complet $f(a) < k < f(b)$, qui est la véritable hypothèse.
6. Croire que deux fonctions de même limite sont égales au voisinage. $\dfrac{x^{2}-x-6}{x-3}$ et $x + 2$ ont la même limite en $3$ ; la première n'y est même pas définie. Une limite ne dit rien de la valeur au point.
7. Traiter $0 \times \infty$ comme $0$. Forme indéterminée : $\dfrac{1}{x} \times x^{2} = x \to +\infty$ alors que $\dfrac{1}{x^{2}} \times x \to 0$. Le facteur qui tend vers $0$ ne l'emporte pas d'office.
8. Conclure à une asymptote verticale sans regarder le numérateur. Si numérateur et dénominateur s'annulent ensemble, la fraction se simplifie : il n'y a pas d'asymptote, seulement un point exclu de l'ensemble de définition.
9. Croire que la courbe ne coupe jamais son asymptote. Elle peut la traverser, parfois plusieurs fois. « Asymptote » décrit un comportement à la limite, pas une interdiction.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon tire l'une de quatre questions dont la réponse est un nombre : la limite en $+\infty$ d'un quotient d'expressions affines (donc l'ordonnée de l'asymptote horizontale), l'abscisse de l'asymptote verticale, la limite en un point d'une forme $\frac{0}{0}$ levée par factorisation, et l'entier qui encadre par en dessous l'unique solution donnée par le théorème des valeurs intermédiaires. Toutes les réponses sont exactes. Un modèle voisin, à choix multiples, ne demande aucun calcul : il présente la copie d'un élève qui applique le théorème des valeurs intermédiaires en quatre étapes, dont une seule est mal justifiée — tous les calculs y sont exacts, et le résultat annoncé est vrai. Il s'agit d'y trouver la justification fautive.

Énoncé type. Soit $f$ la fonction définie par

Déterminer $\lim\limits_{x \to 3} f(x)$.

Corrigé complet.

1. Reconnaître l'indétermination. En $x = 3$, le dénominateur vaut $0$. Le numérateur aussi :

C'est la forme $\frac{0}{0}$ : aucune règle générale ne conclut.

2. Factoriser. Le trinôme $x^{2} + 2x - 15$ a pour racines $3$ et $-5$ (leur somme vaut $-2$, leur produit $-15$), donc

3. Simplifier, pour $x \ne 3$.

Les deux écritures coïncident partout sauf en $3$, où $f$ n'est pas définie : c'est bien la même limite, mais pas la même fonction.

4. Conclure. La fonction $x \mapsto x + 5$ est affine, donc continue en $3$ : sa limite y est sa valeur.

Réponse : $\lim\limits_{x \to 3} f(x) = 8$.

Auto-contrôle. Ai-je vérifié que le numérateur s'annule bien au point, avant d'annoncer une forme $\frac{0}{0}$ ? Ai-je écrit « pour $x \ne 3$ » au moment de simplifier ? Et le résultat est-il plausible ? Un test numérique le confirme : $f(3{,}001) = 8{,}001$ et $f(2{,}999) = 7{,}999$, de part et d'autre de $8$.