Géométrie repérée : milieu, distance, configurations

La géométrie du collège travaille sur des figures : on mesure, on trace, on lit. La géométrie repérée remplace la figure par des nombres : chaque point du plan est repéré par un couple de coordonnées, et les propriétés géométriques — être au milieu, être à telle distance, former tel triangle — deviennent des calculs. C'est un changement de méthode profond : on ne constate plus sur un dessin, on démontre par le calcul.

Le repère. Un repère du plan est la donnée d'un point origine $O$ et de deux axes gradués sécants en $O$. Tout point $M$ du plan est alors repéré par deux nombres : son abscisse $x_M$, lue sur le premier axe, et son ordonnée $y_M$, lue sur le second. On écrit $M(x_M\ ;\ y_M)$. Un repère est dit orthogonal quand ses deux axes sont perpendiculaires, et orthonormé quand, de plus, la même unité de longueur est utilisée sur les deux axes. Cette distinction n'est pas décorative : certaines formules de ce chapitre exigent un repère orthonormé, d'autres non — et savoir lesquelles fait partie du cours.

Le milieu d'un segment. Le milieu de $[AB]$ est le point situé à mi-chemin de $A$ et de $B$ : à mi-chemin horizontalement, et à mi-chemin verticalement. Chacune de ses coordonnées est donc la moyenne des coordonnées correspondantes des extrémités :

Cette formule est valable dans n'importe quel repère, orthonormé ou non : être au milieu est une affaire de proportion sur chaque axe, pas de longueur.

La distance entre deux points. Dans un repère orthonormé, la distance entre $A(x_A\ ;\ y_A)$ et $B(x_B\ ;\ y_B)$ vaut

D'où vient cette formule ? Du théorème de Pythagore, que tu connais depuis la 4e. Le trajet de $A$ à $B$ peut se décomposer en un déplacement horizontal de longueur $|x_B - x_A|$ suivi d'un déplacement vertical de longueur $|y_B - y_A|$. Ces deux déplacements forment les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle dont $[AB]$ est l'hypoténuse — l'angle est droit précisément parce que les axes sont perpendiculaires. Pythagore donne alors $AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$, et il reste à prendre la racine carrée.

Cette origine explique la condition d'application : si les axes ne sont pas perpendiculaires, le triangle n'est pas rectangle et Pythagore ne s'applique pas ; si les unités des deux axes diffèrent, additionner les carrés mélange des graduations incomparables. La formule de la distance exige un repère orthonormé — c'est une hypothèse à vérifier dans l'énoncé avant de calculer, au même titre que « le triangle est rectangle » avant d'appliquer Pythagore.

Remarque utile : $(x_B - x_A)^2 = (x_A - x_B)^2$. L'ordre de la soustraction n'a donc aucune importance pour une distance — le carré efface le signe. Ce ne sera plus vrai pour les vecteurs, où l'ordre comptera : autant prendre tout de suite l'habitude d'écrire « arrivée moins départ ».

Lire la formule du milieu à l'envers. La formule $x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2}$ relie trois nombres : les deux extrémités et le milieu. Rien n'oblige l'inconnue à être le milieu. Si l'on sait que $B$ est le milieu de $[AC]$ et que l'on cherche $C$, la formule s'écrit $x_B = \dfrac{x_A + x_C}{2}$, et on la traite comme une équation : en multipliant les deux membres par $2$ puis en isolant,

Géométriquement, $C$ est le symétrique de $A$ par rapport à $B$ : pour aller de $A$ à $C$, on fait deux fois le trajet de $A$ à $B$. Cette lecture inverse est un excellent test de compréhension — appliquer mécaniquement la formule du milieu à $A$ et $B$ donnerait un point sans aucun rapport avec la question.

Démontrer qu'un triangle est isocèle. Un triangle $ABC$ est isocèle en $A$ quand ses deux côtés issus de $A$ ont la même longueur : $AB = AC$. En géométrie repérée, cela se démontre en calculant. Une astuce rend le calcul exact : au lieu de comparer $AB$ et $AC$, on compare $AB^2$ et $AC^2$. Deux longueurs sont positives, et deux nombres positifs sont égaux exactement quand leurs carrés le sont : la comparaison des carrés est rigoureusement équivalente, et elle évite toute racine carrée — donc tout arrondi, donc toute conclusion fondée sur des décimales tronquées. Si $AB^2 = 45$ et $AC^2 = 45$, le triangle est isocèle en $A$, point final ; si $AB^2 = 45$ et $AC^2 = 47$, il ne l'est pas, même si $\sqrt{45} \approx 6{,}71$ et $\sqrt{47} \approx 6{,}86$ paraissent proches sur un dessin.

Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme. Propriété du cours : un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leur milieu. En repéré, cela se vérifie avec la seule formule du milieu : $ABCD$ (sommets nommés dans l'ordre, en tournant autour du quadrilatère) est un parallélogramme exactement quand le milieu de $[AC]$ et le milieu de $[BD]$ ont les mêmes coordonnées. Deux milieux à calculer, quatre nombres à comparer, aucune racine : la démonstration est exacte et tient en trois lignes. L'ordre des lettres est décisif : les diagonales de $ABCD$ sont $[AC]$ et $[BD]$ — jamais $[AB]$ ou $[CD]$, qui sont des côtés.

Ce que le calcul remplace — et ce qu'il ne remplace pas. La force de la géométrie repérée est de transformer un « ça a l'air isocèle » en certitude. Sa contrepartie : le calcul ne montre que ce qu'on lui demande. Vérifier que les diagonales ont le même milieu prouve le parallélogramme ; cela ne dit rien de plus (rectangle ? losange ?) sans calculs supplémentaires — les longueurs des côtés ou des diagonales, justement permises par la formule de la distance si le repère est orthonormé. Un réflexe à prendre : avant tout calcul, écrire ce que l'on veut démontrer sous forme d'une égalité de nombres, puis calculer chaque membre séparément.

Énoncé. Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(-3\ ;\ 5)$ et $B(4\ ;\ 1)$.

1. Calculer les coordonnées du milieu $M$ de $[AB]$. 2) Calculer la distance $AB$, en valeur exacte puis arrondie au centième. 3) Déterminer les coordonnées du point $C$ tel que $B$ soit le milieu de $[AC]$.

1) Le milieu.

Chaque coordonnée du milieu est la moyenne des coordonnées correspondantes :

Donc $M(0{,}5\ ;\ 3)$.

Contrôle : $0{,}5$ est bien compris entre $-3$ et $4$, et $3$ entre $1$ et $5$. Un milieu dont une coordonnée sort de l'intervalle des extrémités est toujours faux.

2) La distance.

Étape 1 — vérifier l'hypothèse. L'énoncé précise que le repère est orthonormé : la formule de la distance s'applique. Sans cette mention, le calcul qui suit n'aurait aucune valeur.

Étape 2 — calculer les différences de coordonnées.

Attention à la soustraction du négatif : $4 - (-3)$ vaut $7$, pas $1$.

Étape 3 — appliquer la formule.

La valeur exacte est $\sqrt{65}$ ; l'arrondi au centième est $8{,}06$, et le signe $\approx$ est obligatoire dès qu'on arrondit.

Étape 4 — contrôler l'ordre de grandeur. Le déplacement horizontal vaut $7$ et le vertical $4$ : la distance en ligne droite doit dépasser le plus grand des deux ($7$) sans excéder leur somme ($11$). On a bien $7 < 8{,}06 < 11$. Au passage : additionner $7 + 4 = 11$ n'est pas la distance — c'est la longueur d'un trajet en équerre le long des axes, toujours plus long que la ligne droite.

3) Le point manquant.

Étape 1 — écrire ce que dit l'énoncé. $B$ est le milieu de $[AC]$ : c'est $B$ qui est au centre, et $C$ l'inconnue. Donc $x_B = \dfrac{x_A + x_C}{2}$.

Étape 2 — isoler l'inconnue. En multipliant par $2$ : $2x_B = x_A + x_C$, d'où $x_C = 2x_B - x_A$, et de même pour l'ordonnée :

Donc $C(11\ ;\ -3)$.

Étape 3 — vérifier. Le milieu de $[AC]$ vaut $\left(\dfrac{-3 + 11}{2}\ ;\ \dfrac{5 + (-3)}{2}\right) = (4\ ;\ 1)$ : c'est bien $B$. Cette vérification coûte une ligne et détecte toutes les erreurs de signe — ne t'en prive jamais.

Figure (SVG programmatique à produire) : trois panneaux qui relient les trois formules de la leçon à leur signification géométrique, sur les points de l'exemple guidé.

• Panneau principal — le triangle caché sous la distance. Un repère orthonormé gradué de $-4$ à $12$ en abscisse et de $-4$ à $6$ en ordonnée, avec les points $A(-3\ ;\ 5)$ et $B(4\ ;\ 1)$ marqués et reliés par le segment $[AB]$ en trait plein. En traits tiretés, le chemin en équerre : segment horizontal de $A$ jusqu'au point $(4\ ;\ 5)$, coté « $7$ », puis segment vertical descendant jusqu'à $B$, coté « $4$ » ; le petit carré de l'angle droit est dessiné au coin $(4\ ;\ 5)$. Le segment $[AB]$ porte l'étiquette « $\sqrt{7^2 + 4^2} = \sqrt{65}$ ». Le milieu $M(0{,}5\ ;\ 3)$ est marqué d'un point évidé à mi-longueur, avec deux petites doubles-barres identiques sur $[AM]$ et $[MB]$ pour signifier l'égalité des deux moitiés. Dans le prolongement de $[AB]$, au-delà de $B$, le point $C(11\ ;\ -3)$ en trait d'axe pointillé, avec la mention « $B$ milieu de $[AC]$ : $C$ est le symétrique de $A$ par rapport à $B$ » et les mêmes doubles-barres répétées sur $[AB]$ et $[BC]$.
• Panneau d'avertissement — repère non orthonormé. Un petit repère aux axes obliques (angle nettement différent de $90^\circ$), avec deux points reliés par un segment et le chemin en équerre correspondant : l'angle du chemin n'est visiblement pas droit, le petit carré de l'angle droit est barré, et la formule $\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ est écrite puis barrée d'un trait, avec la mention « sans axes perpendiculaires et sans unité commune, Pythagore ne s'applique pas ». À côté, la formule du milieu est écrite non barrée, avec la mention « le milieu, lui, reste valable ».
• Panneau des carrés — comparer sans racine. Deux segments $[AB]$ et $[AC]$ issus d'un même point $A$ d'un triangle, avec leurs carrés de longueurs affichés dans deux cartouches : « $AB^2 = 45$ » et « $AC^2 = 45$ », reliés par un signe $=$ encadré, et la conclusion « $AB = AC$ : isocèle en $A$ ». En dessous, la même paire avec « $45$ » et « $47$ » reliés par $\neq$, et la mention « l'écart ne se voit pas à l'œil, le calcul tranche ».

Ce qu'il faut lire. Le panneau principal montre que la formule de la distance n'est pas un objet nouveau : c'est le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle que les axes fabriquent d'eux-mêmes — et le chemin en équerre coté $7$ puis $4$ rend visible pourquoi $7 + 4 = 11$ surestime toujours la ligne droite. Le panneau oblique fixe la hiérarchie des hypothèses : la distance exige l'orthonormé, le milieu non. Le panneau des carrés justifie le réflexe de tout le chapitre — comparer $AB^2$ et $AC^2$ plutôt que deux racines arrondies.

Domaine de validité. La colonne « condition » du tableau est la partie la plus importante de la leçon : la formule de la distance repose sur Pythagore, donc sur des axes perpendiculaires et une unité commune ; la formule du milieu ne mesure rien, elle partage, et vaut dans tout repère. Toujours vérifier dans l'énoncé que le repère est orthonormé avant de calculer une distance.

Unités et arrondis. Les coordonnées de ce chapitre sont des nombres sans unité ; si les axes sont gradués en centimètres, les distances s'expriment en centimètres. Une distance se donne d'abord en valeur exacte ($\sqrt{65}$), puis en valeur approchée si l'énoncé le demande, avec le signe $\approx$ et l'arrondi précisé. Un carré de distance ($AB^2 = 65$) est exact et le reste : c'est pour cela qu'on compare les carrés.

Contrôles gratuits. Un milieu a chacune de ses coordonnées comprise entre celles des extrémités. Une distance est toujours supérieure ou égale au plus grand des deux écarts de coordonnées, et inférieure ou égale à leur somme. Un point manquant se vérifie en recalculant le milieu. Trois contrôles, trois lignes, zéro erreur qui passe.

1. Additionner les différences de coordonnées sans les élever au carré. Sur l'exemple guidé, $7 + 4 = 11$ n'est pas la distance $AB$ : c'est la longueur du trajet en équerre le long des axes, toujours plus longue que la ligne droite ($\sqrt{65} \approx 8{,}06$). Les différences se calculent, s'élèvent au carré, s'additionnent, et alors seulement on prend la racine.
2. Utiliser la formule de la distance dans un repère qui n'est pas orthonormé. La formule vient de Pythagore : sans axes perpendiculaires et sans unité commune sur les deux axes, le triangle sous-jacent n'est pas rectangle et le résultat est faux. L'hypothèse « orthonormé » se lit dans l'énoncé ; si elle n'y est pas, la distance ne se calcule pas ainsi. Le milieu, lui, reste valable dans tout repère.
3. Inverser abscisse et ordonnée dans le milieu. $x_M$ se calcule avec les abscisses de $A$ et $B$, $y_M$ avec leurs ordonnées. Mélanger les deux lignes — moyenne d'une abscisse et d'une ordonnée — produit un point sans signification. Repère la coordonnée demandée, puis n'utilise que les deux nombres de la ligne correspondante.
4. Donner $AB^2$ à la place de $AB$. Le calcul passe par le carré de la distance : $AB^2 = 65$. Oublier la racine finale et répondre $65$ est l'erreur de dernière ligne la plus fréquente. Un contrôle d'ordre de grandeur la détecte aussitôt : $65$ est absurde pour deux points dont les écarts de coordonnées valent $7$ et $4$.
5. Se tromper de signe avec des coordonnées négatives. $x_B - x_A = 4 - (-3) = 7$ : soustraire un négatif, c'est additionner. Écris systématiquement les parenthèses autour des nombres négatifs avant de calculer ; la moitié des distances fausses viennent de là — et le carré ne rattrape pas une différence mal calculée.
6. Appliquer la formule du milieu quand le milieu est donné. Si $B$ est le milieu de $[AC]$ et que $C$ est l'inconnue, calculer « le milieu de $A$ et $B$ » répond à une autre question. Il faut lire la formule à l'envers : $x_C = 2x_B - x_A$. Demande-toi toujours qui est le milieu dans la phrase de l'énoncé, avant d'écrire quoi que ce soit.
7. Conclure sur un dessin plutôt que sur un calcul. Deux longueurs dont les carrés valent $45$ et $47$ sont indiscernables à l'œil sur une figure, et pourtant le triangle n'est pas isocèle. En géométrie repérée, la figure aide à comprendre, mais seule l'égalité calculée — de préférence entre carrés, qui restent exacts — a valeur de preuve.

Le modèle. L'exercice associé à cette leçon tire deux points à coordonnées entières dans un repère toujours déclaré orthonormé, puis pose l'une de trois questions : une coordonnée du milieu (l'abscisse ou l'ordonnée, tirée au sort pour déjouer les habitudes), la distance entre les deux points (valeur exacte quand elle tombe juste, trois chiffres significatifs sinon), ou la coordonnée manquante d'un point dont l'un des deux points donnés est le milieu — la lecture inverse de la formule. Un second modèle, voisin, fait démontrer par un calcul qu'un triangle est isocèle ou qu'un quadrilatère est un parallélogramme.

Énoncé type. Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(2\ ;\ -3)$ et $B(-4\ ;\ 5)$. Calculer la distance $AB$ (valeur exacte).

Corrigé complet.

1. Vérifier l'hypothèse. Le repère est orthonormé : la formule de la distance s'applique. C'est la condition qui autorise tout le calcul — dans un repère quelconque, elle n'a aucune raison d'être vraie.

2. Calculer les différences de coordonnées.

Le signe des différences n'a pas d'importance pour la suite — elles vont être élevées au carré — mais leur valeur doit être juste : attention au $5 - (-3) = 8$.

3. Appliquer la formule.

La racine tombe juste : la réponse est exacte, le signe $=$ est légitime.

4. Contrôler. Les écarts de coordonnées valent $6$ et $8$ : la distance doit être comprise entre $8$ (le plus grand écart) et $14$ (leur somme). On a bien $8 < 10 < 14$. Et $6 + 8 = 14$ n'était pas la réponse : c'est le trajet en équerre, pas la ligne droite.

Auto-contrôle : si ta réponse vaut exactement la somme des valeurs absolues des écarts, tu as oublié les carrés. Si elle vaut $100$, tu as oublié la racine finale. Si elle est énorme ou négative, une soustraction de négatifs s'est mal passée à l'étape 2 — refais-la avec les parenthèses écrites.