Cercle trigonométrique et radians : le cosinus d'un réel

En troisième, tu as appris que le cosinus d'un angle aigu est un rapport de deux longueurs dans un triangle rectangle. C'était vrai, mais étroit : un angle de $150°$ n'est dans aucun triangle rectangle, un angle de $-30°$ ou de $400°$ non plus. Cette leçon donne au cosinus et au sinus une définition qui marche pour tout nombre réel, et la construction qui le permet est un enroulement.

Le cercle trigonométrique. Dans un repère orthonormé $(O\ ;\ I\ ;\ J)$, c'est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, parcouru dans le sens direct — le sens inverse des aiguilles d'une montre. Le point $I(1\ ;\ 0)$ en est l'origine. Ce choix du rayon $1$ n'est pas anodin : il fait coïncider les longueurs d'arcs et les mesures d'angles, comme on va le voir.

L'enroulement. Trace la droite tangente au cercle en $I$, graduée comme un axe des réels, avec $0$ en $I$ et les réels positifs vers le haut. Enroule-la sur le cercle : les réels positifs s'enroulent dans le sens direct, les négatifs dans le sens indirect. Chaque réel $x$ tombe alors sur un point $M$ du cercle, et la longueur de l'arc parcouru de $I$ à $M$ est exactement $|x|$ — la droite ne s'étire pas en s'enroulant. On dit que $M$ est le point associé au réel $x$.

Le périmètre du cercle vaut $2\pi \times 1 = 2\pi$. Donc le réel $2\pi$ retombe sur $I$ après un tour complet ; $\pi$ tombe sur le point diamétralement opposé $(-1\ ;\ 0)$, à mi-tour ; $\dfrac{\pi}{2}$ tombe sur $J(0\ ;\ 1)$, au quart de tour. Et deux réels qui diffèrent d'un nombre entier de tours — de $2\pi$, $4\pi$, $-2\pi$… — sont associés au même point : la droite est infinie, le cercle ne l'est pas, chaque point reçoit une infinité de réels.

Le radian. Cette construction fournit une unité d'angle naturelle. Un angle de sommet $O$ mesure un radian lorsqu'il intercepte, sur le cercle de rayon $1$, un arc de longueur $1$. Autrement dit : sur le cercle trigonométrique, la mesure de l'angle en radians est la longueur de l'arc. Un tour complet mesure $2\pi$ rad, un angle plat $\pi$ rad, un angle droit $\dfrac{\pi}{2}$ rad. Comme $180°$ et $\pi$ rad désignent le même angle plat, les deux unités sont proportionnelles :

Ainsi $60° = 60 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{3}$ rad, et $\dfrac{\pi}{4}$ rad $= \dfrac{180°}{4} = 45°$. Une mesure en radians s'écrit presque toujours comme une fraction de $\pi$ : la calculatrice donnerait $1{,}047…$ pour $\dfrac{\pi}{3}$, mais c'est la fraction qui est exacte, et c'est elle qu'on manipule.

Cosinus et sinus d'un réel. Soit $M$ le point associé au réel $x$. On définit

Voilà la définition qui marche pour tout réel : $M$ existe toujours, il a toujours deux coordonnées. Comme $M$ est sur un cercle de rayon $1$ centré en $O$, ses coordonnées vérifient $OM^2 = 1$, c'est-à-dire

Conséquence immédiate : $\cos x$ et $\sin x$ sont toujours compris entre $-1$ et $1$.

Le lien avec la troisième. Pour $x$ dans $\left]0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$, le point $M$ est dans le premier quart du cercle. Appelons $H$ son projeté orthogonal sur l'axe des abscisses : le triangle $OHM$ est rectangle en $H$, d'hypoténuse $OM = 1$, et l'angle en $O$ mesure $x$ radians. Le cosinus du collège donne $\cos x = \dfrac{OH}{OM} = OH$ — l'abscisse de $M$. Les deux définitions coïncident là où elles existent toutes les deux : la nouvelle prolonge l'ancienne, elle ne la contredit pas.

Les valeurs remarquables — pourquoi elles sont exactes. Pour trois réels du premier quart, la géométrie donne le cosinus et le sinus sans calculatrice.

Pour $x = \dfrac{\pi}{4}$ ($45°$), le triangle $OHM$ est rectangle isocèle : $OH = HM$, donc $\cos x = \sin x$. Avec $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, il vient $2\cos^2 x = 1$, soit $\cos x = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ (positif dans le premier quart). Donc $\cos \dfrac{\pi}{4} = \sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Pour $x = \dfrac{\pi}{3}$ ($60°$), le triangle $OIM$ a deux côtés de longueur $1$ ($OI$ et $OM$) et un angle de $60°$ entre eux : il est équilatéral. Sa hauteur issue de $M$ tombe au milieu de $[OI]$, donc $OH = \dfrac{1}{2}$ : $\cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$, puis $\sin \dfrac{\pi}{3} = \sqrt{1 - \dfrac{1}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Pour $x = \dfrac{\pi}{6}$ ($30°$), c'est le même triangle équilatéral regardé depuis l'autre angle aigu : $\cos \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$. Les valeurs de $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{\pi}{3}$ s'échangent — parce que $\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2}$, angles complémentaires.

Un moyen de contrôle : sur la ligne des cosinus, les valeurs décroissent de $1$ à $0$ quand $x$ va de $0$ à $\dfrac{\pi}{2}$ (le point $M$ s'éloigne de l'axe des abscisses vers la gauche) ; sur la ligne des sinus, elles croissent de $0$ à $1$. Et $\dfrac{1}{2} < \dfrac{\sqrt{2}}{2} < \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ puisque $1 < 2 < 3$.

Les angles associés — des symétries, pas des formules. Le cercle est symétrique ; ces symétries transportent le point associé à $x$ sur d'autres points dont on lit les coordonnées.

• Le point associé à $-x$ est le symétrique de $M$ par rapport à l'axe des abscisses : même abscisse, ordonnée opposée. Donc $\cos(-x) = \cos x$ et $\sin(-x) = -\sin x$.
• Le point associé à $\pi - x$ est le symétrique de $M$ par rapport à l'axe des ordonnées : abscisse opposée, même ordonnée. Donc $\cos(\pi - x) = -\cos x$ et $\sin(\pi - x) = \sin x$.
• Le point associé à $\pi + x$ est le symétrique de $M$ par rapport à l'origine $O$ : les deux coordonnées changent de signe. Donc $\cos(\pi + x) = -\cos x$ et $\sin(\pi + x) = -\sin x$.
• Le point associé à $\dfrac{\pi}{2} - x$ est le symétrique de $M$ par rapport à la première bissectrice : les coordonnées s'échangent. Donc $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$.

Grâce à elles, la table du premier quart suffit pour tout le cercle : $\cos \dfrac{5\pi}{6} = \cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) = -\cos \dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Le quadrant fixe le signe, la symétrie fixe la valeur absolue.

La périodicité. Ajouter $2\pi$ à un réel, c'est faire un tour complet de plus : le point associé ne change pas. Pour tout entier $k$,

Pour lire les coordonnées du point associé à un grand réel, on lui retire des tours entiers jusqu'à tomber dans $[0\ ;\ 2\pi[$ (ou dans $]-\pi\ ;\ \pi]$, selon la commodité).

Ce qui dépasse cette leçon. Le programme de première prolonge ces définitions en deux fonctions $x \mapsto \cos x$ et $x \mapsto \sin x$, définies sur $\mathbb{R}$, dont les courbes ondulent entre $-1$ et $1$ avec une période $2\pi$ : la parité de cosinus et l'imparité de sinus sont exactement les relations pour $-x$ ci-dessus, lues sur la courbe. Leurs dérivées et les équations trigonométriques générales sont du programme de terminale : ici, on lit le cercle, on ne résout pas encore.

Énoncé.

1. Convertir $150°$ en radians. 2) Placer le point associé et donner les valeurs exactes de $\cos \dfrac{5\pi}{6}$ et $\sin \dfrac{5\pi}{6}$. 3) Donner la valeur exacte de $\cos \dfrac{17\pi}{4}$, puis une valeur approchée au millième. 4) Convertir $-\dfrac{7\pi}{6}$ rad en degrés.

1) La conversion. Un angle plat vaut $180°$ ou $\pi$ rad ; on multiplie par $\dfrac{\pi}{180}$ :

après simplification de la fraction par $30$. Donc $150° = \dfrac{5\pi}{6}$ rad. Contrôle : $150°$ est un peu moins qu'un angle plat, et $\dfrac{5}{6} < 1$ — cohérent.

2) Placer et lire. $\dfrac{5\pi}{6}$ est compris entre $\dfrac{\pi}{2}$ et $\pi$ (car $\dfrac{3}{6} < \dfrac{5}{6} < \dfrac{6}{6}$) : le point $M$ est dans le deuxième quadrant, en haut à gauche. Son abscisse sera négative, son ordonnée positive. On écrit $\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}$ et on utilise la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées :

Les signes trouvés correspondent bien au quadrant annoncé. Vérification par l'identité fondamentale : $\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = 1$.

3) Retirer les tours. $\dfrac{17\pi}{4}$ dépasse $2\pi = \dfrac{8\pi}{4}$ : on retire des tours entiers.

Deux tours complets ramènent au point associé à $\dfrac{\pi}{4}$ : par périodicité, $\cos \dfrac{17\pi}{4} = \cos \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. C'est la valeur exacte. Valeur approchée : $\sqrt{2} \approx 1{,}414\,2$, donc $\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707$ au millième. L'arrondi vient en dernier ; tout le raisonnement s'est fait sur la fraction.

4) Vers les degrés. On remplace $\pi$ par $180°$ :

Le signe négatif indique un parcours dans le sens indirect : depuis $I$, on tourne de $210°$ dans le sens des aiguilles d'une montre. On retombe sur le point associé à $360° - 210° = 150°$, c'est-à-dire à $\dfrac{5\pi}{6}$ : ce n'est pas un hasard, $-\dfrac{7\pi}{6} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{6}$. Le point de la question 2 et celui-ci sont le même.

Le moment décisif : à la question 2, tout se joue sur l'écriture $\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}$. Écrire $\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{3}$ est vrai mais ne mène nulle part ; écrire $\pi + \left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$ mène à la même réponse par une autre symétrie, à condition de ne pas se tromper de signe. Le quadrant, repéré d'abord, sert de garde-fou.

Figure (SVG programmatique à produire) : trois panneaux qui suivent l'ordre de la leçon — l'enroulement, la lecture des coordonnées, les angles associés.

• Panneau 1 — l'enroulement. Le cercle trigonométrique dans un repère orthonormé, avec $O$, $I(1\ ;\ 0)$ et $J(0\ ;\ 1)$ nommés, et une flèche courbe près de $I$ indiquant le sens direct. À droite du cercle, la droite tangente en $I$, verticale, graduée de $-2$ à $7$ avec les graduations $\dfrac{\pi}{2}$, $\pi$, $\dfrac{3\pi}{2}$, $2\pi$ mises en évidence. Des arcs de rappel en pointillés relient la graduation $\dfrac{\pi}{2}$ au point $J$, la graduation $\pi$ au point $(-1\ ;\ 0)$, la graduation $2\pi$ au point $I$ lui-même — avec, pour ce dernier, la mention « un tour complet : retour en $I$ ». Un arc épais va de $I$ au point associé à $1$ rad, coté « longueur $1$ = $1$ rad ».
• Panneau 2 — cosinus et sinus. Le même cercle, avec le point $M$ associé à $\dfrac{5\pi}{6}$ dans le deuxième quadrant. Les deux projections en pointillés : sur l'axe des abscisses au point coté $\cos \dfrac{5\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, sur l'axe des ordonnées au point coté $\sin \dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$. L'arc de $I$ à $M$ dans le sens direct, coté $\dfrac{5\pi}{6}$. Les quatre quadrants sont numérotés en chiffres romains dans les coins, avec le couple de signes attendu (par exemple « II : $\cos < 0$, $\sin > 0$ »). En bas, le premier quart agrandi avec les points de $\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{\pi}{3}$ et leurs coordonnées exactes, le triangle $OHM$ tracé pour $\dfrac{\pi}{3}$ avec la cote $OH = \dfrac{1}{2}$.
• Panneau 3 — les angles associés. Le cercle avec le point $M$ associé à $x = \dfrac{\pi}{6}$ et ses trois symétriques : $M'$ associé à $-x$ (symétrie d'axe horizontal, flèche double verticale entre $M$ et $M'$), $M''$ associé à $\pi - x$ (symétrie d'axe vertical, flèche double horizontale), $M'''$ associé à $\pi + x$ (symétrie centrale, segment en pointillés passant par $O$). Chaque point porte son couple de coordonnées avec les signes en évidence : $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ ;\ \dfrac{1}{2}\right)$, $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ ;\ -\dfrac{1}{2}\right)$, $\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ ;\ \dfrac{1}{2}\right)$, $\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ ;\ -\dfrac{1}{2}\right)$.

Ce qu'il faut lire. Le panneau 1 est la définition : le réel devient un point, et la longueur d'arc est la mesure en radians — le rayon $1$ rend cette identité possible. Le panneau 2 montre que cosinus et sinus ne sont rien d'autre que deux coordonnées, d'où les signes par quadrant et la borne $[-1\ ;\ 1]$ ; l'agrandissement du premier quart contient toute la table des valeurs, et le triangle $OHM$ relie la définition nouvelle à celle du collège. Le panneau 3 rend les formules des angles associés inutiles à mémoriser : chaque symétrie change le signe d'une coordonnée, ou des deux, ou d'aucune — il suffit de voir laquelle.

La figure en détail : à gauche, un cercle de rayon un avec une droite verticale collée à sa droite ; la droite est graduée et des arcs en pointillés montrent que ses graduations s'enroulent sur le cercle, la graduation deux pi revenant au point de départ. Au centre, le même cercle avec un point placé en haut à gauche, dont on projette l'abscisse (négative, environ moins zéro virgule quatre-vingt-sept) et l'ordonnée (un demi) sur les axes ; les quatre quarts du cercle portent chacun le signe de l'abscisse et de l'ordonnée. À droite, un point du premier quart et ses trois images par la symétrie d'axe horizontal, la symétrie d'axe vertical et la symétrie de centre, chacune avec ses coordonnées dont seuls les signes diffèrent.

Domaine de validité. Les définitions par le cercle valent pour tout réel $x$ : c'est leur raison d'être. Le lien avec le triangle rectangle ($\cos x$ = côté adjacent sur hypoténuse) ne vaut que pour $x$ dans $\left]0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right[$ — au-delà, il n'y a plus de triangle, seulement des coordonnées. Les valeurs de la table sont exactes : $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ est une valeur, $0{,}707$ en est une approximation. La relation $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ est vraie pour tout réel, c'est le théorème de Pythagore dans le triangle $OHM$ — ou simplement $OM = 1$.

Écritures. Une mesure en radians s'écrit comme fraction de $\pi$ ($\dfrac{5\pi}{6}$, $-\dfrac{\pi}{3}$), sans le symbole « rad » quand le contexte est clair ; une mesure en degrés porte toujours son symbole $°$. Écrire $\cos 60$ sans unité, c'est désigner le cosinus du réel $60$ (environ $-0{,}95$), pas celui de $60°$.

Contrôles gratuits. Le quadrant fixe les deux signes avant tout calcul. La somme des carrés doit faire $1$. Une fraction de $\pi$ convertie en degrés doit tomber sur un multiple de $15°$ quand le dénominateur divise $12$ — sinon, relis la fraction.

1. Échanger l'abscisse et l'ordonnée. Le cosinus est l'abscisse du point associé, le sinus son ordonnée — l'ordre alphabétique aide : cosinus, abscisse ; sinus, ordonnée. Symptôme classique : $\cos \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$ au lieu de $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Contrôle : près de $I$ (petits angles), le cosinus est proche de $1$ et le sinus proche de $0$.
2. Convertir en multipliant par $\dfrac{180}{\pi}$ au lieu de $\dfrac{\pi}{180}$. Des degrés vers les radians, le nombre doit diminuer (il y a $2\pi \approx 6{,}28$ radians dans un tour, contre $360$ degrés) : $60° \to \dfrac{\pi}{3} \approx 1{,}05$. Si le résultat grandit, le facteur est à l'envers. Dans l'autre sens, remplacer $\pi$ par $180°$ suffit.
3. Oublier la périodicité. Chercher les réels $x$ de $[0\ ;\ 2\pi[$ tels que $\cos x = \dfrac{1}{2}$, c'est chercher les points du cercle d'abscisse $\dfrac{1}{2}$ : il y en a deux, $\dfrac{\pi}{3}$ et $-\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{3}$, symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Sur $\mathbb{R}$ tout entier, chacun engendre une infinité de réels par ajout de $2k\pi$. Une seule réponse, c'est un point oublié.
4. Retirer $\pi$ au lieu de $2\pi$. Retirer $\pi$ change de point (le symétrique par rapport à $O$) ; seuls les multiples de $2\pi$ ramènent au même point. $\dfrac{7\pi}{6}$ et $\dfrac{\pi}{6}$ n'ont pas le même cosinus : ils ont des cosinus opposés.
5. La calculatrice en degrés. Réglée en degrés, elle affiche $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \approx 0{,}999\,8$ (le cosinus de $1{,}047°$), au lieu de $0{,}5$. En première, on travaille en radians ; on règle la calculatrice en radians, et on s'en sert surtout pour vérifier une valeur exacte trouvée à la main.
6. Se tromper de symétrie pour $\pi - x$ et $\pi + x$. $\pi - x$ conserve le sinus (symétrie d'axe vertical : l'ordonnée ne bouge pas) ; $\pi + x$ change les deux (symétrie centrale). Le réflexe sûr : placer les deux points, regarder ce qui change.
7. Confondre exact et approché. $\cos \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, pas $0{,}707$ — cette dernière valeur est arrondie, et un énoncé qui demande une valeur exacte n'accepte pas d'arrondi. Le radical fait partie de la réponse.
8. Croire que le radian n'est pas un angle « parce que c'est un nombre ». Le radian mesure un angle par une longueur d'arc sur un cercle de rayon $1$ : c'est bien une unité d'angle, la plus naturelle même, celle qui rendra les dérivées de sinus et cosinus simples en terminale.

Le modèle. L'exercice associé à cette leçon est un questionnaire à choix multiples dont chaque question est tirée dans l'une de cinq familles : la valeur exacte du cosinus ou du sinus d'un réel remarquable (de tout signe) ; la valeur exacte de $\cos$ ou $\sin$ d'un angle associé ($\pi - x$, $-x$, $\pi + x$) pour $x$ du premier quart ; la valeur exacte pour un réel dépassant un tour ; la conversion d'une mesure en degrés en radians ; le quadrant où tombe le point associé à un réel. Les mauvaises réponses ne sont pas choisies au hasard : cosinus et sinus échangés, signe du mauvais quadrant, valeur d'un angle voisin, facteur de conversion à l'envers. Un second modèle, numérique, demande une conversion de radians en degrés, ou la mesure en degrés du point associé à un réel hors du premier tour.

Énoncé type. Soit $x = \dfrac{\pi}{3}$. Quelle est la valeur exacte de $\cos(\pi + x)$ ? Les propositions sont $-\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{2}$, $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Corrigé complet.

1. Identifier la symétrie. Les points associés à $x$ et à $\pi + x$ sont symétriques par rapport à l'origine $O$ : les deux coordonnées changent de signe. Donc $\cos(\pi + x) = -\cos x$ et $\sin(\pi + x) = -\sin x$.

2. Lire la valeur remarquable. $\cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$ (triangle équilatéral : la hauteur tombe au milieu de la base).

3. Conclure. $\cos\left(\pi + \dfrac{\pi}{3}\right) = -\cos \dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$.

4. Contrôler par le quadrant. $\pi + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3}$, compris entre $\pi$ et $\dfrac{3\pi}{2}$ : troisième quadrant, où le cosinus est négatif. Le signe est cohérent. On peut aussi lire directement : le point associé à $\dfrac{4\pi}{3}$ est en bas à gauche, d'abscisse $-\dfrac{1}{2}$ et d'ordonnée $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

5. Écarter les autres propositions. $\dfrac{1}{2}$ oublie le changement de signe (c'est $\cos x$, pas $\cos(\pi + x)$) ; $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ est le sinus, pas le cosinus ; $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ cumule les deux erreurs.

Auto-contrôle : avant de choisir, repère le quadrant du réel et écris les deux signes attendus ; puis vérifie que la valeur absolue est bien celle de l'angle du premier quart correspondant. Deux gestes, et les trois mauvaises réponses tombent d'elles-mêmes.