Développements limités : remplacer par un polynôme

Tu sais déjà remplacer une fonction par une droite : c'est la tangente. Si $f$ est dérivable en $0$, alors $f(x)$ vaut $f(0) + f'(0)\,x$, à une erreur près qui tend vers $0$ plus vite que $x$. Cette approximation est excellente… tant qu'on reste très près de $0$, et tant qu'on ne cherche pas mieux qu'un ordre $1$. Dès qu'une limite se présente sous la forme $\frac{0}{0}$ avec un $x^{2}$ au dénominateur, la tangente ne suffit plus : il faut un polynôme de degré 2, puis 3, puis $n$. C'est exactement ce qu'est un développement limité.

Définition. Soit $f$ définie au voisinage de $0$ et $n \in \mathbb{N}$. On dit que $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $0$, en abrégé $\mathrm{DL}_n(0)$, s'il existe des réels $a_0, a_1, \ldots, a_n$ tels que

$$f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^{2} + \cdots + a_n x^{n} + o(x^{n}) \qquad (x \to 0).$$

La partie polynomiale $a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^{n}$ s'appelle la partie régulière, et $o(x^{n})$ le reste.

Que veut dire le reste ? L'écriture $o(x^{n})$ — « petit o de $x^{n}$ » — désigne une fonction $\varepsilon(x)\,x^{n}$ où $\varepsilon(x)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $0$. Autrement dit : l'erreur commise en remplaçant $f$ par son polynôme est négligeable devant $x^{n}$. Ce n'est PAS « l'erreur est nulle », ni « l'erreur est petite » : c'est une comparaison, et une comparaison locale, valable au voisinage de $0$ et nulle part ailleurs.

Pourquoi une telle écriture est-elle utile ? Parce qu'un polynôme, on sait tout en faire : l'additionner, le multiplier, le composer, repérer son terme de plus bas degré. Une fonction transcendante comme $e^{x}$ ou $\ln(1+x)$, non. Le développement limité est donc un traducteur : il transforme un problème d'analyse en un calcul de polynômes, et le reste porte la trace de ce qu'on a jeté.

Le théorème qui les fabrique.

Formule de Taylor-Young. Si $f$ est $n$ fois dérivable en $0$, alors

$$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}\,x^{k} + o(x^{n}).$$

Elle donne la partie régulière en fonction des dérivées successives, et elle explique d'un coup tous les développements usuels : le coefficient de $x^{k}$ n'est autre que $f^{(k)}(0)/k!$. Elle est locale : elle décrit ce qui se passe au voisinage de $0$, elle ne majore l'erreur nulle part.

Le point qui rend tout le calcul licite.

Unicité. Si $f$ admet un $\mathrm{DL}_n(0)$, sa partie régulière est unique.

Sans ce résultat, rien ne serait possible : c'est lui qui autorise à obtenir un développement par n'importe quel chemin — dérivation, produit, composition, astuce — et à identifier ensuite les coefficients terme à terme, comme on identifie deux polynômes égaux. Deux corollaires utiles : si $f$ est paire, tous les coefficients d'indice impair sont nuls ; si $f$ est impaire, tous ceux d'indice pair le sont. C'est pourquoi le développement de $\cos$ ne contient que des puissances paires, celui de $\sin$ que des impaires — et c'est un contrôle gratuit sur toute copie.

Les six développements à connaître par cœur. Ils s'obtiennent tous par Taylor-Young, et on ne les redémontre plus :

Ces six lignes sont l'outillage complet de la leçon. Tout le reste s'en déduit par les opérations du bloc suivant.

Un développement limité se manipule comme un polynôme — à une discipline près : on tronque à l'ordre voulu, et le reste absorbe tout ce qui est plus petit. Voici les quatre opérations, avec ce qui les rend légitimes.

Somme. Si $f$ et $g$ ont un $\mathrm{DL}_n(0)$, alors $f + g$ aussi, et on ajoute les parties régulières terme à terme. Aucune condition. Attention seulement à l'ordre : la somme n'est développée qu'à l'ordre du moins bon des deux.

Produit. On multiplie les deux parties régulières, puis on jette tous les termes de degré strictement supérieur à $n$. Ils ne sont pas superflus, ils sont faux : en tronquant chaque facteur à l'ordre $n$, on a déjà perdu les contributions de degré $n+1$ qui viendraient s'y ajouter. Exemple, à l'ordre $2$ :

Composition — la seule opération à condition. Pour développer $f(u(x))$ en substituant le DL de $u$ dans celui de $f$, il faut que $u(x)$ tende vers $0$ quand $x$ tend vers $0$, c'est-à-dire $u(0) = 0$. La raison est immédiate : le développement de $f$ dont on dispose est un développement en $0$, il ne décrit $f$ qu'au voisinage de $0$. Substituer une fonction intérieure qui tend vers $1$ dans le DL de $\ln(1+u)$ n'a aucun sens.

où l'on a jeté, dans chaque carré et chaque cube, tout ce qui dépasse le degré $3$. Vérification du coefficient de $x^{3}$ : $-\frac{1}{6}$ (issu du sinus), plus $0$ (le double produit du carré est en $x^{4}$), plus $\frac{1}{6}$ (issu du cube) — total nul.

Quotient. Deux méthodes, au choix. Soit on écrit $\dfrac{1}{1+v}$ avec $v$ tendant vers $0$ et on compose avec le DL de $\dfrac{1}{1-x}$ ; soit on pose le quotient comme une division suivant les puissances croissantes. La condition est toujours la même : le dénominateur ne doit pas s'annuler en $0$ — sinon on factorise d'abord la puissance de $x$ fautive.

Intégration et dérivation. On peut intégrer un DL terme à terme (le reste $o(x^{n})$ s'intègre en $o(x^{n+1})$), à condition d'ajouter la constante $f(0)$. C'est ainsi qu'on retrouve $\ln(1+x)$ en intégrant $\dfrac{1}{1+x}$. En revanche, on ne dérive pas un DL : l'existence d'un $\mathrm{DL}_n$ de $f$ n'entraîne pas celle d'un $\mathrm{DL}_{n-1}$ de $f'$. On dérive la FONCTION, puis on développe.

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À quoi servent-ils ? Trois usages, dans cet ordre d'importance.

1. Lever une forme indéterminée. C'est l'usage massif. Une limite en $\frac{0}{0}$ se traite en développant numérateur et dénominateur au même ordre, celui du terme de plus bas degré non nul. Le principe : si $N(x) = a x^{p} + o(x^{p})$ et $D(x) = b x^{q} + o(x^{q})$ avec $a$ et $b$ non nuls, alors

La limite est donc $a/b$ si $p = q$, elle est nulle si $p > q$, infinie si $p < q$. Toute la difficulté pratique tient dans le choix de l'ordre : trop bas, on obtient $\frac{0}{0}$ à nouveau et on conclut faussement ; trop haut, on calcule pour rien.

2. Produire un équivalent. Le premier terme non nul d'un DL est un équivalent de la fonction : si $f(x) = a_p x^{p} + o(x^{p})$ avec $a_p$ non nul, alors $f(x) \sim a_p x^{p}$ au voisinage de $0$. C'est la passerelle avec les relations de comparaison vues juste avant dans le cycle. Attention : un équivalent se multiplie et se divise, il ne s'ajoute pas — c'est précisément parce que la somme de deux équivalents est fausse qu'on garde le DL complet plutôt que le seul premier terme.

3. Situer une courbe par rapport à sa tangente. Si $f(x) = f(0) + f'(0)x + a_p x^{p} + o(x^{p})$ avec $a_p$ non nul et $p \ge 2$, alors la tangente en $0$ a pour équation $y = f(0) + f'(0)x$, et le signe de $a_p x^{p}$ donne la position locale de la courbe : au-dessus si ce terme est positif, au-dessous sinon. Si $p$ est pair, la courbe reste du même côté ; si $p$ est impair, elle traverse la tangente — c'est un point d'inflexion.

Un dernier mot sur le reste. Le $o(x^{n})$ n'est pas décoratif. Écrire $e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2}$ sans reste est faux : les deux membres ne sont égaux pour aucun $x$ non nul. Écrire $e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + o(x^{2})$ est vrai, et cette vérité est locale. Un DL ne dit rien de $f$ en dehors du voisinage de $0$, et n'autorise donc jamais à conclure sur une limite en l'infini.

Énoncé. Calculer, si elle existe, la limite en $0$ de

Reprendre ensuite le calcul avec le numérateur $e^{3x} - 1$ seul, et expliquer ce qui change. Enfin, déterminer le coefficient de $x^{2}$ dans le développement limité en $0$ de $h(x) = e^{2x}\cos(3x)$.

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1. Reconnaître la forme. Quand $x$ tend vers $0$ : $e^{3x}$ tend vers $1$, donc le numérateur tend vers $1 - 1 - 0 = 0$, et le dénominateur tend vers $0$. C'est une forme indéterminée $\frac{0}{0}$. Le dénominateur est exactement $x^{2}$ : il faut donc développer le numérateur à l'ordre 2, pas moins.

2. Développer le numérateur. On part du DL usuel de l'exponentielle et on compose avec $u = 3x$, licite puisque $3x$ tend vers $0$ :

Donc

Les termes $1$ et $3x$ se sont exactement annulés : c'est ce que l'énoncé avait organisé, et c'est pourquoi l'ordre $2$ était nécessaire — à l'ordre $1$, le numérateur se serait réduit à $o(x)$, information insuffisante.

3. Diviser.

Le passage de $\frac{o(x^{2})}{x^{2}}$ à $o(1)$ est la définition même du petit o : une quantité négligeable devant $x^{2}$, divisée par $x^{2}$, tend vers $0$.

Réponse : la limite en $0$ de $g$ vaut $4{,}5$.

4. Le numérateur tronqué. Avec $e^{3x} - 1$ au numérateur :

Le terme de plus bas degré du numérateur est maintenant $3x$, de degré $1 < 2$ : le quotient est équivalent à $\dfrac{3}{x}$ et diverge, vers $+\infty$ à droite de $0$, vers $-\infty$ à gauche. Il n'y a pas de limite. Moralité : ce n'est pas la fonction du dessus qui décide, c'est l'écart entre les ordres du numérateur et du dénominateur.

5. Le coefficient de $x^{2}$ dans $e^{2x}\cos(3x)$. On développe chaque facteur à l'ordre $2$ — inutile d'aller plus loin, on ne veut qu'un coefficient de $x^{2}$ :

Dans le produit, le terme en $x^{2}$ vient de trois croisements : $1$ multiplié par $-\frac{9x^{2}}{2}$ ; $2x$ multiplié par le terme de degré $1$ du cosinus, qui est nul ; et $2x^{2}$ multiplié par $1$. D'où

Contrôle de cohérence : $h(0) = 1$ et $h'(0) = 2$ (le cosinus est plat en $0$), et le coefficient trouvé est négatif, donc la courbe de $h$ passe au-dessous de sa tangente d'équation $y = 1 + 2x$ au voisinage de $0$ — ce que confirme le fait que $\cos(3x)$ chute vite dès qu'on s'écarte de l'origine.

Contrôle général. Trois réflexes, dans cet ordre. (a) Le numérateur et le dénominateur sont-ils développés au même ordre ? (b) Après simplification, reste-t-il une forme indéterminée ? Si oui, l'ordre était trop bas : on recommence un cran plus haut, jamais on ne conclut. (c) La réponse est-elle un nombre fini ? Si le terme de plus bas degré du numérateur est de degré strictement inférieur à celui du dénominateur, la réponse est une divergence, et le dire est la bonne réponse.

Figure (fig.math.taylor-expansions, SVG programmatique à produire) : deux panneaux, l'approximation à gauche, l'erreur à droite.

• Panneau gauche — les approximations successives. Repère orthonormé, $x$ de $-1{,}5$ à $1{,}5$, $y$ de $-0{,}5$ à $4{,}5$, axes gradués et passant par l'origine. Quatre courbes : celle de $x \mapsto e^{x}$ en trait plein épais, puis $P_1(x) = 1 + x$ (la tangente), $P_2(x) = 1 + x + \frac{x^{2}}{2}$ et $P_3(x) = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6}$, chacune dans un style de trait distinct — pointillé court, tirets, tirets-points — et étiquetée en bout de courbe par son ordre. Aucune information ne repose sur la seule couleur : le style de trait et l'étiquette suffisent à identifier chaque courbe en noir et blanc. Une bande verticale grisée autour de $x = 0$, de $-0{,}3$ à $0{,}3$, portant la mention « voisinage de 0 : les quatre courbes sont confondues à l'œil ». Un cartouche : « plus l'ordre monte, plus longtemps la courbe reste collée ».
• Panneau droit — l'erreur, en échelle logarithmique. Axe horizontal : $x$ de $0$ à $1$. Axe vertical : l'écart $\lvert e^{x} - P_n(x)\rvert$, échelle logarithmique de $10^{-8}$ à $1$, décades étiquetées. Trois courbes d'erreur, pour $n = 1$, $2$, $3$, dans les mêmes styles de trait qu'à gauche. Trois droites de référence en pointillé fin, de pentes $2$, $3$ et $4$ dans cette échelle, légendées « $x^{2}$ », « $x^{3}$ », « $x^{4}$ ». Une flèche pointant la zone $x < 0{,}1$ : « l'erreur du développement d'ordre $n$ décroît comme $x^{n+1}$ ».
• Bandeau du bas : deux vignettes. À gauche, la courbe de $\ln(1+x)$ et son développement d'ordre $1$, avec la mention « la tangente : un DL d'ordre 1 ». À droite, la même courbe et une substitution barrée : « composer avec une fonction intérieure qui ne tend pas vers $0$ : le DL de départ ne décrit pas ce voisinage ».

Ce qu'il faut lire. Le panneau gauche montre POURQUOI un DL est utile — près de $0$, un polynôme de degré $3$ est indiscernable de l'exponentielle — et le panneau droit montre en quel SENS : l'erreur ne devient pas nulle, elle devient négligeable devant $x^{n}$, et le pas d'une décade sur les droites de référence donne à ce « négligeable » un contenu mesurable. Le bandeau rappelle enfin les deux bornes de l'outil : un DL est local, et sa composition exige que la fonction intérieure tende vers $0$.

La figure en détail : la figure comprend deux graphiques côte à côte. À gauche, dans un repère où l'abscisse va de moins un et demi à un et demi, la courbe de l'exponentielle est tracée en trait plein épais, accompagnée de trois polynômes qui l'approchent : la droite d'équation un plus x, la parabole un plus x plus x carré sur deux, et la cubique qui lui ajoute x cube sur six, chacun dans un style de trait différent et étiqueté par son ordre. Une bande verticale grisée entoure l'origine et indique que, sur cette plage, les quatre tracés se confondent à l'œil ; plus l'ordre augmente, plus la courbe approchante reste proche de l'exponentielle loin de l'origine. À droite, un second graphique porte en abscisse x entre zéro et un, et en ordonnée, sur une échelle logarithmique allant de un cent-millionième à un, l'écart entre l'exponentielle et chacun des trois polynômes. Les trois courbes d'erreur y sont des droites presque parfaites, de pentes croissantes, comparées à trois droites de référence correspondant à x carré, x cube et x puissance quatre : l'erreur du développement d'ordre n décroît comme x puissance n plus un. En bas, deux vignettes rappellent qu'une tangente n'est rien d'autre qu'un développement limité d'ordre un, et qu'on ne peut pas substituer, dans un développement écrit en zéro, une fonction intérieure qui ne tend pas vers zéro.

Les unités. Il n'y en a pas : $x$, les coefficients et les limites sont des nombres sans dimension. En physique, on développe toujours une quantité adimensionnée — un angle en radians, un rapport de longueurs, un rapport de vitesses — jamais une longueur en mètres : c'est ce qui rend légitime, par exemple, l'approximation $\sin\theta \approx \theta$ du pendule simple.

Le choix de l'ordre, en pratique. Développe au plus bas ordre qui fasse apparaître un terme non nul au numérateur ET au dénominateur. Si, après simplification, il reste une forme indéterminée, l'ordre était insuffisant : recommence un cran plus haut. Si tu obtiens le résultat en calculant deux fois plus de termes que nécessaire, tu as perdu du temps, pas la note.

Ce qui n'est pas dans cette leçon. Les formules de Taylor globales (reste intégral, inégalité de Taylor-Lagrange), qui MAJORENT l'erreur sur un intervalle, et les séries entières, qui remplacent le reste par une somme infinie. Ici, le reste n'est jamais majoré : il est seulement déclaré négligeable, au voisinage de $0$.

1. Oublier le reste, ou le traiter comme nul. L'égalité $e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2}$ est fausse ; $e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + o(x^{2})$ est vraie. Le reste n'est pas un ornement : c'est lui qui transforme une approximation en égalité, et c'est lui qui interdit de conclure hors du voisinage de $0$.
2. Composer sans vérifier que la fonction intérieure tend vers $0$. Le DL de $\ln(1+u)$ est un développement en $0$ : y substituer une fonction qui tend vers $1$ n'a aucun sens. Avant toute substitution, calcule la valeur en $0$ de la fonction intérieure : si elle n'est pas nulle, il faut d'abord factoriser ou changer de point.
3. Tronquer à un ordre insuffisant, puis conclure. C'est l'erreur la plus coûteuse, parce qu'elle produit un nombre — donc l'illusion d'avoir fini. Si après simplification tu retrouves $\frac{0}{0}$, tu n'as pas le droit de conclure : reprends un ordre plus haut. Le bon ordre est celui du dénominateur.
4. Garder des termes de degré trop élevé dans un produit. Ils sont faux, pas seulement inutiles : en tronquant les facteurs à l'ordre $n$, tu as déjà perdu les contributions de degré $n+1$ qui viendraient s'y ajouter. Multiplie, puis jette tout ce qui dépasse.
5. Dériver un développement limité. L'existence d'un $\mathrm{DL}_n$ de $f$ n'entraîne rien sur $f'$. L'intégration terme à terme, elle, est licite, à la constante près. La règle n'est pas symétrique : retiens « on intègre, on ne dérive pas ».
6. Additionner des équivalents. De $f \sim f_1$ et $g \sim g_1$ on ne peut pas déduire $f + g \sim f_1 + g_1$ : les termes dominants peuvent s'annuler, et c'est exactement ce qui se produit dans $e^{3x} - 1 - 3x$. C'est la raison d'être des DL : ils gardent assez de termes pour survivre à une annulation.
7. Confondre « négligeable » et « petit ». $o(x^{2})$ ne veut pas dire « inférieur à $x^{2}$ pour un $x$ donné », mais « rapport à $x^{2}$ tendant vers $0$ ». Aucune valeur numérique de $x$ ne permet de vérifier ni d'infirmer un petit o : c'est une propriété de limite.
8. Croire qu'un DL renseigne sur le comportement en l'infini. Un développement en $0$ ne décrit la fonction qu'au voisinage de $0$. Pour l'infini, on pose $t = 1/x$ et on développe en $0$ par rapport à $t$ — c'est un autre calcul, avec ses propres conditions.
9. Écrire $\frac{9}{2}x^{2}$ plutôt que $\frac{9x^{2}}{2}$. Sur un écran étroit, la première forme se lit « 9/2x² » et devient ambiguë. Place le monôme au numérateur ; ce n'est pas une coquetterie, c'est de la lisibilité.
10. Redémontrer les DL usuels à chaque exercice. Les six développements du bloc « retenir » sont exigibles : on les cite, on ne les recalcule pas. Le temps gagné sert à choisir le bon ordre — la seule décision qui compte vraiment.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon tire l'une de trois questions. (a) Une limite en $0$ d'un quotient bâti sur les développements usuels, dont la valeur est décimale par construction. (b) L'ordre minimal auquel il faut développer le numérateur pour lever l'indétermination — la question du piège n° 3, posée frontalement. (c) Le coefficient de $x^{2}$ d'un produit ou d'une composée, comme au point 5 de l'exemple guidé. Un modèle voisin, à choix multiples, demande le développement lui-même parmi quatre polynômes calculés (signe faux, factorielle oubliée, terme manquant, reste mal écrit), ou pour laquelle de quatre fonctions la substitution directe est légitime — c'est-à-dire la condition d'annulation en $0$ de la fonction intérieure.

Énoncé type. Déterminer la limite en $0$ de

Corrigé complet.

1. Reconnaître la forme. Quand $x$ tend vers $0$, $\ln(1+5x)$ tend vers $0$ et $5x$ tend vers $0$ : le numérateur tend vers $0$, le dénominateur aussi. Forme indéterminée $\frac{0}{0}$. Le dénominateur est $x^{2}$, donc le numérateur doit être développé à l'ordre 2.

2. Développer, par composition licite. Le DL usuel donne $\ln(1+u) = u - \dfrac{u^{2}}{2} + o(u^{2})$. On pose $u = 5x$, qui tend bien vers $0$ quand $x$ tend vers $0$ : la substitution est légitime.

3. Soustraire. Le terme $5x$ disparaît exactement :

C'est l'annulation attendue : sans elle, le numérateur serait de degré $1$ et le quotient divergerait.

4. Diviser et conclure.

Réponse : la limite en $0$ de $f$ vaut $-12{,}5$.

5. Contrôle indépendant. Le coefficient de $x^{2}$ dans $\ln(1+ax)$ vaut $-a^{2}/2$ : avec $a = 5$, cela fait $-25/2$, ce qu'on a trouvé. Deuxième contrôle, par le signe : l'inégalité $\ln(1+u) < u$ vaut pour tout $u > -1$ non nul, donc le numérateur est négatif au voisinage de $0$, et le dénominateur positif — la limite ne pouvait pas être positive.

Auto-contrôle. Ai-je vérifié que la fonction intérieure tend vers $0$ avant de substituer ? Ai-je développé au même ordre que le dénominateur, et pas un cran en dessous ? Reste-t-il une forme indéterminée après simplification ? Et ai-je gardé le reste jusqu'à la dernière ligne, où $o(x^{2})$ divisé par $x^{2}$ devient $o(1)$ ?