Sens de la fraction : partager, diviser, prendre une part

Une tablette de chocolat est partagée en $4$ carrés égaux. Tu en manges $3$. Combien de tablette as-tu mangé ?

Pas un nombre entier : plus de la moitié, moins d'une tablette entière. Il te manque un nombre pour dire cela. Ce nombre s'écrit

et il se lit « trois quarts ».

Dans l'écriture $\dfrac{3}{4}$, le nombre du bas s'appelle le dénominateur : il dit en combien de parts égales on a partagé. Le nombre du haut s'appelle le numérateur : il dit combien de ces parts on prend.

Retiens l'ordre de lecture : on regarde d'abord le bas, parce qu'il faut savoir de quelles parts on parle avant de savoir combien on en prend.

Le mot important est « égales ». Si tu casses la tablette n'importe comment, tes morceaux ne sont pas des quarts. Un quart, c'est une part parmi quatre parts de même taille.

Cette même écriture $\dfrac{3}{4}$ sert dans trois situations différentes. Ce sont les trois sens de la fraction, et ils décrivent le même nombre.

Premier sens : le partage. Tu prends $3$ parts sur les $4$ d'un objet partagé en parts égales. C'est l'histoire de la tablette. Ici, la fraction décrit une part d'un tout.

Deuxième sens : le quotient. Trois pizzas sont partagées équitablement entre quatre amis. Chacun reçoit $3 \div 4$ de pizza. Cette division ne « tombe pas juste » : son résultat exact, c'est justement $\dfrac{3}{4}$.

Une fraction est le résultat exact d'une division : $\dfrac{3}{4}$ signifie $3 \div 4$, et $\dfrac{a}{b}$ signifie $a \div b$.

C'est le sens le plus utile, parce qu'il fonctionne même quand la division ne tombe pas juste. Le trait de fraction est un signe de division, tout simplement écrit autrement.

Troisième sens : la part d'une quantité. Une classe compte $28$ élèves, et les $\dfrac{3}{4}$ des élèves sont demi-pensionnaires. Combien cela fait-il d'élèves ? Ici, la fraction ne décrit pas un objet : elle agit sur un nombre. On partage $28$ en $4$ parts égales, ce qui donne $7$, puis on en prend $3$, ce qui donne $21$ élèves.

Le point qui trompe le plus. Dans ce troisième sens, il y a deux nombres bien distincts, et il ne faut pas les confondre.

Ici, le premier est plus petit que $1$, parce qu'on prend une part d'un tout. Le second dépend de la classe. Quand une question demande un nombre d'élèves, la réponse est $21$, jamais $\dfrac{3}{4}$.

Une même part, plusieurs écritures. Coupe chacun des $4$ carrés de la tablette en deux. Tu as maintenant $8$ morceaux au lieu de $4$, et tes $3$ carrés sont devenus $6$ morceaux. Tu n'as pourtant ni mangé ni rendu de chocolat.

C'est la règle des fractions égales, et elle se comprend sans effort avec cette image : découper chaque part en $2$ multiplie par $2$ le nombre total de parts et le nombre de parts prises.

On ne change pas la valeur d'une fraction en multipliant — ou en divisant — le numérateur et le dénominateur par un même nombre, différent de zéro.

Dans l'autre sens, on simplifie : $\dfrac{6}{8} = \dfrac{6 \div 2}{8 \div 2} = \dfrac{3}{4}$. Simplifier, c'est écrire la même part avec des nombres plus petits ; ce n'est pas la rendre plus petite.

Attention : la règle porte sur multiplier et diviser, pas sur ajouter. Enlever $1$ en haut et $1$ en bas de $\dfrac{6}{8}$ donnerait $\dfrac{5}{7}$, qui n'est pas la même part du tout — $\dfrac{6}{8}$ vaut $0{,}75$, alors que $\dfrac{5}{7}$ vaut environ $0{,}71$.

Comparer deux fractions, dans les deux cas simples de la 6e.

1. Même dénominateur : les parts ont la même taille, on compare le nombre de parts. $\dfrac{5}{7} > \dfrac{3}{7}$, comme $5$ pommes valent plus que $3$ pommes.
2. Même numérateur : on prend le même nombre de parts, mais les parts n'ont pas la même taille. Et c'est ici que tout se retourne : plus le dénominateur est grand, plus chaque part est petite. Partage un gâteau entre $3$ personnes ou entre $4$ personnes : la part est plus grosse à $3$. Donc

Ce résultat surprend, parce que $3 < 4$. Souviens-toi que le dénominateur ne compte pas des parts prises : il compte des convives. Plus il y a de convives, moins chacun reçoit.

Comparer une fraction à $1$. C'est immédiat, et cela évite beaucoup d'erreurs.

Une fraction est un nombre : elle a une place sur la droite graduée. Pour placer $\dfrac{3}{4}$, on partage l'intervalle qui va de $0$ à $1$ en $4$ intervalles égaux, puis on compte $3$ graduations à partir de $0$. Pour placer $\dfrac{5}{4}$, on continue au-delà de $1$ : on compte $5$ graduations, ce qui tombe entre $1$ et $2$.

C'est la meilleure façon de se convaincre qu'une fraction n'est pas « deux nombres l'un sur l'autre », mais un seul nombre, avec une place et une seule.

Fraction et écriture décimale. Certaines fractions ont une écriture à virgule qui s'arrête :

D'autres non : $\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ ne s'arrête jamais. La fraction $\dfrac{1}{3}$ reste alors l'écriture exacte, et $0{,}33$ n'en est qu'une valeur approchée. Savoir lesquelles s'arrêtent n'est pas au programme de 6e : retiens seulement que la fraction est toujours exacte, ce que l'écriture décimale n'est pas toujours.

Ce que la 6e ne fait pas encore. On ne sait pas encore additionner $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{1}{3}$ : cela demande de rendre les parts de même taille, et ce sera le travail de la 5e puis de la 4e. Cette année, on reconnaît des fractions égales, on les compare et on prend une fraction d'une quantité.

Énoncé, partie A. Un livre compte $240$ pages. Sofiane en a lu les $\dfrac{5}{8}$. Combien de pages a-t-il lues ? Combien lui en reste-t-il ?

Énoncé, partie B. On découpe un ruban de $7$ m en $4$ morceaux de même longueur. Quelle est la longueur d'un morceau ?

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Partie A — une fraction d'une quantité.

1. Comprendre ce que demande la question. On ne demande pas le nombre $\dfrac{5}{8}$, qui vaut $0{,}625$ et ne compte aucune page. On demande combien de pages valent les $\dfrac{5}{8}$ du livre. La réponse sera donc un nombre de pages.

2. Partager en $8$ parts égales. Le dénominateur vaut $8$ : on divise le total par $8$.

Une part vaut $30$ pages. C'est le huitième du livre.

3. En prendre $5$. Le numérateur vaut $5$ : on multiplie une part par $5$.

Sofiane a lu $150$ pages.

4. Répondre à la seconde question. Il reste $240 - 150 = 90$ pages. On peut le vérifier autrement : s'il a lu les $\dfrac{5}{8}$, il lui reste les $\dfrac{3}{8}$, et $3 \times 30 = 90$. Les deux chemins donnent le même nombre.

5. Contrôler la vraisemblance. $\dfrac{5}{8}$ est un peu plus que la moitié, puisque la moitié serait $\dfrac{4}{8}$. Et $150$ pages, c'est bien un peu plus que la moitié de $240$. Le résultat est cohérent. Si tu avais trouvé $384$, tu saurais tout de suite que c'est faux : on ne peut pas lire plus de pages que le livre n'en compte.

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Partie B — une fraction comme quotient.

1. Reconnaître l'opération. Un partage en parts égales, c'est une division : la longueur d'un morceau est $7 \div 4$.

2. Écrire le résultat exact sous forme de fraction. Cette division ne tombe pas juste. Son résultat exact s'écrit

3. Donner aussi l'écriture décimale. Ici, la division s'arrête :

Un morceau mesure $1{,}75$ m, c'est-à-dire $1$ m et $75$ cm.

4. Vérifier. Quatre morceaux de $1{,}75$ m font $4 \times 1{,}75 = 7$ m : on retrouve bien le ruban de départ.

5. Observer ce qui vient de se passer. La fraction $\dfrac{7}{4}$ a un numérateur plus grand que son dénominateur : elle est donc plus grande que $1$. C'est logique — on découpe $7$ mètres en seulement $4$ morceaux, chaque morceau dépasse forcément le mètre. Là encore, la fraction n'est pas « une part de gâteau » : c'est un nombre, et il vaut $1{,}75$.

Figure (fig.math.fraction-three-meanings, SVG programmatique à produire) : trois panneaux côte à côte, tous consacrés au même nombre $\dfrac{3}{4}$, puis une bande commune en bas.

• Panneau 1 — le partage. Une barre rectangulaire horizontale découpée en $4$ parts strictement égales par trois traits verticaux. Les $3$ parts de gauche sont hachurées, la quatrième est laissée vide. Sous la barre, l'accolade des trois parts hachurées porte l'étiquette $\dfrac{3}{4}$. Deux légendes : sous la barre entière, « $4$ parts égales : c'est le dénominateur » ; sous les parts hachurées, « $3$ parts prises : c'est le numérateur ». À côté du panneau, un encart barré montre la même barre découpée en quatre morceaux de tailles visiblement différentes, avec la mention « parts inégales : ce ne sont pas des quarts ».
• Panneau 2 — le quotient. Trois disques identiques, représentant trois pizzas, au-dessus de quatre silhouettes de convives. Chaque disque est coupé en $4$ quarts. Les douze quarts sont reliés aux quatre convives par des traits fins, trois quarts par convive, chaque convive recevant une texture distincte. Au centre, l'égalité $3 \div 4 = \dfrac{3}{4}$, encadrée. Légende : « la fraction est le résultat exact d'une division ».
• Panneau 3 — la part d'une quantité. Une bande représentant $28$ élèves, découpée en $4$ blocs de $7$ jetons. Les trois premiers blocs sont hachurés. Deux étiquettes empilées et clairement séparées : « le nombre $\dfrac{3}{4}$, entre $0$ et $1$ » d'une part, « les $\dfrac{3}{4}$ des $28$ élèves : $21$ élèves » d'autre part, cette seconde étiquette étant reliée par une flèche aux blocs hachurés.
• Bande commune en bas — la droite graduée. Une droite allant de $0$ à $2$, portant les entiers $0$, $1$ et $2$ en graduations longues, et les quarts en graduations courtes. Les points $\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{5}{4}$ sont marqués et nommés, le second étant visiblement à droite de $1$. Sous le point $\dfrac{3}{4}$, la mention « $= 0{,}75$ » ; sous $\dfrac{5}{4}$, la mention « $= 1{,}25$ ». Une flèche courbe relie chacun des trois panneaux au point $\dfrac{3}{4}$ de la droite, avec la légende « trois histoires, un seul nombre, une seule place ».

Ce qu'il faut lire. Les trois panneaux racontent des situations sans rapport — du chocolat, des pizzas, une classe — et pourtant les trois flèches arrivent au même point de la droite graduée. C'est cela, comprendre la fraction : voir que ces trois histoires parlent d'un unique nombre. Et la bande du bas ajoute l'essentiel : ce nombre a une place, donc il peut être comparé à $1$, à $0{,}75$, à n'importe quel autre nombre.

La figure en détail : trois panneaux consacrés au nombre trois quarts. Le premier montre une barre coupée en quatre parts égales dont trois sont hachurées, avec un encart barré montrant des parts inégales. Le deuxième montre trois pizzas coupées en quarts et partagées entre quatre convives, chacun recevant trois quarts, avec l'égalité 3 divisé par 4 égale trois quarts. Le troisième montre 28 élèves rangés en quatre blocs de sept, trois blocs hachurés, et distingue le nombre trois quarts, compris entre 0 et 1, de la quantité qu'il désigne, 21 élèves. En bas, une droite graduée de 0 à 2 découpée en quarts, où sont placés trois quarts, égal à 0,75, et cinq quarts, égal à 1,25 et situé après 1. Trois flèches relient les trois panneaux au même point trois quarts.

En 6e, ce bloc rassemble des règles, pas des formules à appliquer mécaniquement.

Les unités. Une fraction toute seule est un nombre sans unité : $\dfrac{3}{4}$ ne se mesure en rien. En revanche, la fraction d'une grandeur en porte une : les $\dfrac{5}{8}$ de $240$ pages font $150$ pages, et $7$ m partagés en $4$ font $1{,}75$ m. Regarde toujours ce que compte le nombre de départ : c'est la même chose que comptera le résultat.

La précision. L'écriture fractionnaire est exacte. L'écriture décimale ne l'est pas toujours : $\dfrac{1}{3}$ vaut exactement $\dfrac{1}{3}$, et $0{,}33$ n'en est qu'une valeur approchée. Quand un résultat doit être exact, garde la fraction.

1. Croire que $\dfrac{1}{3} < \dfrac{1}{4}$ parce que $3 < 4$. C'est faux : $\dfrac{1}{3}$ est plus grand. Le dénominateur ne compte pas ce que tu reçois, il compte entre combien de personnes on partage. À trois, les parts sont plus grosses qu'à quatre. Le test concret qui ne trompe jamais : préfères-tu partager un gâteau à $3$ ou à $10$ ?
2. Simplifier en soustrayant le même nombre en haut et en bas. $\dfrac{6}{8}$ ne devient pas $\dfrac{5}{7}$. La règle des fractions égales parle de multiplier et de diviser, pas d'ajouter ni de retirer. Vérifie en décimal : $\dfrac{6}{8} = 0{,}75$ alors que $\dfrac{5}{7}$ vaut environ $0{,}71$. Ce ne sont pas les mêmes nombres.
3. Confondre la fraction et la quantité qu'elle désigne. Les $\dfrac{2}{3}$ de $12$ valent $8$, et non $\dfrac{2}{3}$. Le nombre $\dfrac{2}{3}$ est compris entre $0$ et $1$ ; la quantité, elle, dépend du total. Relis toujours la question : demande-t-elle un nombre d'objets, ou la fraction elle-même ?
4. Multiplier par le numérateur avant d'avoir divisé. L'ordre importe pour rester dans des nombres simples : commence par diviser le total par le dénominateur pour trouver une part, puis multiplie par le numérateur. Prendre les $\dfrac{5}{8}$ de $240$, c'est $240 \div 8 = 30$ puis $5 \times 30 = 150$ — bien plus facile que de calculer $5 \times 240$ pour diviser ensuite.
5. Croire qu'une fraction est toujours plus petite que $1$. $\dfrac{5}{4}$ vaut $1{,}25$. C'est parfaitement normal quand le numérateur dépasse le dénominateur : on prend plus de parts qu'il n'en faut pour faire un tout. Sur la droite graduée, ce point est simplement situé après $1$.
6. Découper en parts inégales. Trois morceaux d'une tablette cassée n'importe comment ne sont pas $\dfrac{3}{4}$ de tablette. L'égalité des parts est dans la définition, pas dans les détails.
7. Prendre $0{,}33$ pour $\dfrac{1}{3}$. L'écriture décimale de $\dfrac{1}{3}$ ne s'arrête jamais : $0{,}33$ est une valeur approchée, pratique mais fausse si l'on demande l'exactitude. Trois fois $0{,}33$ font $0{,}99$, et non $1$.
8. Lire une fraction à l'envers. $\dfrac{3}{4}$ n'est pas $\dfrac{4}{3}$. Le premier est plus petit que $1$, le second plus grand. Le repère : le dénominateur, celui du bas, est celui qui découpe.

À quoi t'attendre. L'exercice tire deux sortes de questions. Le plus souvent, une fraction d'une quantité : une classe, un sac de billes, une bouteille de sirop, une récréation ou un livre, dont on demande une part. Plus rarement, un partage équitable dont le résultat ne tombe pas juste, ce qui fait apparaître la fraction comme quotient. Dans le premier cas, la fraction tirée est toujours plus petite que $1$ — « les $\dfrac{5}{3}$ d'une classe » n'aurait aucun sens — et le total est choisi pour que le partage tombe sur un nombre entier de parts. Un exercice voisin est un questionnaire à choix multiples sur les fractions égales et la comparaison.

Énoncé type. Un livre compte $240$ pages. Sofiane en a lu les $\dfrac{5}{8}$. Combien de pages Sofiane a-t-il lues ?

Corrigé complet.

1. Identifier ce qui est demandé. La question porte sur un nombre de pages, donc sur une quantité, et non sur le nombre $\dfrac{5}{8}$.

2. Lire le dénominateur : il donne le nombre de parts. Il vaut $8$, donc on partage le livre en $8$ parts égales.

Une part vaut $30$ pages : c'est le huitième du livre.

3. Lire le numérateur : il donne le nombre de parts prises. Il vaut $5$.

Réponse : Sofiane a lu $150$ pages.

4. Vérifier par un encadrement. La moitié du livre serait $\dfrac{4}{8}$, soit $120$ pages ; le livre entier serait $\dfrac{8}{8}$, soit $240$ pages. Le résultat doit donc se situer entre $120$ et $240$ : $150$ y est bien. Un résultat plus grand que $240$ serait forcément faux, puisque l'on ne peut pas lire plus de pages qu'il n'y en a.

5. Ne pas confondre les deux nombres de l'énoncé. Le nombre $\dfrac{5}{8}$ vaut $0{,}625$ : il est compris entre $0$ et $1$ et ne compte aucune page. La quantité, elle, vaut $150$ pages. Répondre $\dfrac{5}{8}$ à cette question, ce serait donner la recette au lieu du plat.

Auto-contrôle. Deux réflexes suffisent. Le résultat est-il plus petit que le total ? Et la division du total par le dénominateur tombe-t-elle juste ? Si elle ne tombe pas juste, relis l'énoncé : tu as sans doute inversé le numérateur et le dénominateur.