Probabilités : mesurer une chance, sans se raconter d'histoires

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir lequel se produira. Lancer un dé, faire tourner une roue de loterie, tirer un jeton dans un sac : ce sont des expériences aléatoires.

• Chaque résultat possible s'appelle une issue. Pour un dé à six faces : $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$.
• Un événement est un ensemble d'issues, décrit par une phrase. « Obtenir un nombre pair » est un événement, réalisé par les issues $2$, $4$ et $6$.

La probabilité d'un événement est un nombre compris entre $0$ et $1$ qui mesure sa chance de se produire. $0$ signifie « impossible », $1$ signifie « certain ».

Comment obtient-on ce nombre ? De deux façons, et elles se rejoignent.

1. En répétant l'expérience. Lance une punaise mille fois et note la proportion de fois où elle tombe sur le dos. Cette fréquence varie beaucoup sur dix lancers, un peu sur cent, très peu sur dix mille : elle se stabilise autour d'un nombre. C'est ce nombre que l'on appelle la probabilité. C'est la seule méthode disponible quand on ne sait rien de l'objet — une punaise n'a aucune symétrie exploitable.

2. En comptant, quand toutes les issues ont la même chance. Si l'expérience est symétrique — dé équilibré, jetons indiscernables au toucher, secteurs identiques —, on dit qu'il y a équiprobabilité, et alors :

Pourquoi cette formule fonctionne-t-elle ? Parce que si les $n$ issues ont la même probabilité $p$, et que leur somme doit valoir $1$ (l'une d'elles se produit forcément), alors $n \times p = 1$, donc chaque issue vaut $\frac{1}{n}$. Un événement fait de $f$ issues vaut donc $f \times \frac{1}{n} = \frac{f}{n}$. La formule n'est pas une recette : c'est une conséquence.

Attention au mot « favorable » : il ne veut pas dire « souhaitable ». Un cas favorable est simplement un cas qui réalise l'événement décrit, même s'il s'agit de tomber en panne.

Trois écritures pour un même nombre. Une probabilité peut s'écrire en fraction, en décimal ou en pourcentage : $\dfrac{2}{5} = 0{,}4 = 40\ \%$. Ce sont trois habits, un seul nombre. Lis bien l'énoncé pour savoir lequel il attend.

L'événement contraire. Le contraire d'un événement $A$, c'est « $A$ ne se produit pas ». Chaque issue est soit dans $A$, soit dans son contraire, jamais dans les deux ni dans aucun. Les deux probabilités se partagent donc la totalité :

C'est souvent le chemin le plus court. « Au moins un » est presque toujours plus simple à calculer par son contraire, « aucun ».

Deux événements incompatibles. Deux événements sont incompatibles lorsqu'ils ne peuvent pas se produire en même temps. « Tirer un jeton rouge » et « tirer un jeton vert » sont incompatibles : un jeton n'a qu'une couleur. Dans ce cas seulement, les cas favorables s'additionnent :

Et s'ils ne sont pas incompatibles ? Alors l'addition compte deux fois les issues communes, et le résultat est trop grand. Exemple : un sac de $20$ jetons numérotés, chacun rouge ou bleu.

$P(\text{rouge}) = \dfrac{9}{20} = 45\ \%$ et $P(\text{pair}) = \dfrac{11}{20} = 55\ \%$. Leur somme fait $100\ \%$, ce qui voudrait dire « certain » — absurde, puisqu'un jeton bleu impair ne réalise ni l'un ni l'autre, et il y en a $5$. La méthode juste au collège consiste à compter directement les cas favorables : les $9$ rouges, plus les $6$ bleus pairs (les rouges pairs sont déjà comptés), soit $15$ jetons.

L'écart de $25$ points correspond exactement aux $5$ jetons rouges et pairs, comptés deux fois par l'addition.

Une expérience à deux épreuves : on dénombre. Quand on enchaîne deux tirages, la méthode ne change pas : on compte toutes les issues de l'expérience double, on compte celles qui conviennent, et on divise. L'outil pour ne rien oublier est le tableau à double entrée : une ligne par résultat du premier tirage, une colonne par résultat du second, une case par issue.

Prends une urne de $3$ jetons indiscernables au toucher : deux rouges, que l'on distingue en pensée par $R_1$ et $R_2$, et un bleu $B$. On tire un jeton, on le remet, on en tire un second.

Neuf cases, toutes de même chance, puisque les jetons sont indiscernables. Les cases où les deux jetons sont rouges sont au nombre de quatre :

Un raccourci, à connaître comme raccourci. Tu remarqueras que $\dfrac{4}{9} = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3}$ : multiplier la probabilité du premier tirage par celle du second donne le même résultat, plus vite. C'est vrai lorsque le second tirage se fait dans les mêmes conditions que le premier. Au lycée, tu écriras cela sur un arbre pondéré, une probabilité sur chaque branche. Au collège, la méthode attendue est le dénombrement : la multiplication ne sert qu'à vérifier.

Avec ou sans remise ? C'est la question à se poser avant de remplir le tableau.

• Avec remise : on remet l'objet tiré, la composition est identique au second tirage, et le tableau est complet — la case $R_1R_1$ existe.
• Sans remise : il y a un objet de moins, la composition a changé. On recompte : les cases $R_1R_1$, $R_2R_2$ et $BB$ disparaissent, il ne reste que $6$ issues, et $P(\text{deux rouges}) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$. Recompter, toujours ; ne jamais recopier les nombres du premier tirage.

Le hasard n'a pas de mémoire. Avec remise, après cinq jetons rouges d'affilée, la probabilité d'un rouge au tirage suivant est exactement la même qu'au premier : l'urne, elle, n'a rien retenu. Croire qu'une couleur « est due » ou qu'une autre « est en série » s'appelle l'illusion du joueur. C'est faux, et c'est le ressort de beaucoup de jeux d'argent.

Fréquence observée et probabilité ne sont pas la même chose. Sur $10$ lancers d'une pièce équilibrée, obtenir $7$ « pile » n'a rien d'extraordinaire. La probabilité décrit ce vers quoi tendent les fréquences sur un grand nombre de répétitions, pas ce qui arrive sur une petite série.

Énoncé. Une roue de loterie est partagée en $25$ secteurs identiques : $10$ secteurs rouges, $9$ secteurs bleus et $6$ secteurs verts. On fait tourner la roue et on note la couleur du secteur désigné par la flèche à l'arrêt.

1. Justifier l'équiprobabilité. Les secteurs sont identiques : ils ont la même taille, donc la flèche a autant de chances de s'arrêter sur chacun. On peut appliquer la formule des cas favorables. Cette justification n'est pas une formalité de rédaction : sans elle, la formule n'a aucune raison d'être valable.

2. Probabilité d'obtenir un secteur rouge. Cas favorables : les $10$ secteurs rouges. Cas possibles : les $25$ secteurs.

3. Probabilité de ne pas obtenir un secteur rouge. Par l'événement contraire :

Vérification par le comptage direct : les secteurs qui ne sont pas rouges sont les $9$ bleus et les $6$ verts, soit $15$ secteurs, et $\dfrac{15}{25} = 0{,}6$. Les deux méthodes concordent.

4. Probabilité d'obtenir un secteur rouge ou un secteur vert. Un secteur ne peut pas être des deux couleurs à la fois : les deux événements sont incompatibles, donc les cas favorables s'ajoutent.

5. Contrôler avec la somme. Les trois couleurs couvrent toutes les issues, et elles sont deux à deux incompatibles :

Autrement dit $40\ \% + 36\ \% + 24\ \% = 100\ \%$. Si tu ne trouves pas $1$, une couleur a été mal comptée.

6. Deux tours de roue, par dénombrement. On fait tourner la roue deux fois. Chaque tour se fait sur la même roue : la composition ne change pas, c'est l'équivalent d'un tirage avec remise. On compte les issues de l'expérience double : $25$ secteurs possibles au premier tour, $25$ au second, donc

Parmi elles, celles qui donnent du rouge aux deux tours sont au nombre de $10 \times 10 = 100$. D'où

Raccourci de vérification : $0{,}4 \times 0{,}4 = 0{,}16$. On retrouve le même nombre — c'est normal, et c'est ce raccourci que tu écriras sur un arbre pondéré au lycée. Au brevet, c'est le dénombrement qui est attendu.

7. Ne pas se raconter d'histoires. Supposons que les cinq premiers tours aient tous donné du rouge. La probabilité d'obtenir du rouge au sixième tour vaut toujours $40\ \%$ : la roue n'a pas changé, elle ne se souvient de rien. Une série passée ne modifie pas la suite.

8. Contrôler la vraisemblance. Toutes les probabilités trouvées sont comprises entre $0$ et $1$ ; celle de « rouge ou vert » est plus grande que celle de « rouge » seul, ce qui est normal puisqu'on a élargi l'événement ; celle de « rouge puis rouge » est plus petite que celle de « rouge », ce qui est normal aussi puisqu'on a ajouté une exigence. Ces trois contrôles attrapent presque toutes les erreurs de calcul.

Figure (fig.math.probability-tree, SVG programmatique à produire) : deux panneaux, celui de la situation et celui de l'expérience à deux épreuves.

• Panneau de gauche — la roue. Un disque partagé en $25$ secteurs rigoureusement identiques (chacun de $360 \div 25 = 14{,}4^\circ$), avec une flèche fixe pointant vers le haut. Les $10$ secteurs rouges sont unis, les $9$ bleus sont hachurés en diagonale, les $6$ verts sont pointillés : la texture double la couleur, pour que la figure reste lisible sans elle. Une légende sous le disque donne, pour chaque couleur, l'effectif, la fraction et le pourcentage : rouge $10/25 = 40\ \%$, bleu $9/25 = 36\ \%$, vert $6/25 = 24\ \%$, et une ligne de total : $25/25 = 100\ \%$.
• Panneau de droite — dénombrer les deux tours. Un tableau à double entrée sur l'exemple réduit du bloc « Approfondir » : une urne de trois jetons, $R_1$, $R_2$ et $B$, tirés avec remise. Trois lignes (premier tirage) et trois colonnes (second tirage) délimitent neuf cases, chacune portant l'issue correspondante, de $R_1R_1$ à $BB$. Les quatre cases où les deux jetons sont rouges sont hachurées et portent un liseré épais ; les cinq autres restent blanches. Sous le tableau : « $4$ cases favorables sur $9$ cases possibles, toutes de même chance : $P = \dfrac{4}{9}$ ».
• Sous le tableau, un encadré « raccourci », visiblement séparé : « $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{9}$ — même résultat en multipliant. À écrire sur un arbre pondéré… au lycée. »
• Un second encadré de contrôle, sous le disque : « la somme des probabilités de toutes les issues vaut $1$ : $0{,}4 + 0{,}36 + 0{,}24 = 1$ ».

Ce qu'il faut lire. Le disque montre d'où viennent les nombres : les cas favorables sont des parts du disque, et la formule « favorables sur possibles » est littéralement une proportion d'aire. Le tableau montre que la méthode ne change pas quand il y a deux épreuves : on compte les issues, on compte les favorables, on divise — simplement, il y a désormais neuf issues au lieu de trois. On voit aussi pourquoi la probabilité devient plus petite quand on enchaîne deux conditions : quatre cases sur neuf, c'est moins que deux jetons sur trois.

La figure en détail : à gauche, un disque partagé en 25 secteurs de même taille, dont 10 sont rouges et unis, 9 sont bleus et hachurés, 6 sont verts et pointillés ; une flèche fixe pointe vers le haut ; la légende donne 10 sur 25 égale 40 pour cent, 9 sur 25 égale 36 pour cent, 6 sur 25 égale 24 pour cent, total 100 pour cent. À droite, un tableau à double entrée de trois lignes et trois colonnes, pour une urne de trois jetons R1, R2 et B tirés avec remise : les neuf cases portent les neuf issues, de R1R1 à BB. Les quatre cases où les deux jetons sont rouges sont hachurées. Sous le tableau : quatre cases favorables sur neuf cases possibles, soit une probabilité de 4 sur 9. Un encadré séparé donne le raccourci : deux tiers multipliés par deux tiers égalent quatre neuvièmes, écriture que l'on posera sur un arbre pondéré au lycée.

Unités. Une probabilité n'a pas d'unité : c'est un nombre pur, compris entre $0$ et $1$. Elle peut être présentée en fraction, en écriture décimale ou en pourcentage ; le symbole $\%$ signifie « pour cent », donc $0{,}4 = 40\ \%$. Réponds dans l'écriture demandée par l'énoncé, et n'écris jamais « $0{,}4\ \%$ » pour $40\ \%$ : ce serait cent fois trop petit.

Chiffres significatifs. Quand la fraction tombe juste, donne la valeur exacte ($\frac{2}{5}$, $0{,}4$, $40\ \%$). Quand elle ne tombe pas juste, arrondis seulement à la fin, en indiquant que la valeur est approchée : $\frac{1}{6} \approx 0{,}167$, soit environ $16{,}7\ \%$.

Domaine de validité. La formule « favorables sur possibles » n'est valable que sous équiprobabilité. Une probabilité négative, ou supérieure à $1$, n'existe pas : si tu en obtiens une, l'erreur est certaine.

1. Supposer l'équiprobabilité sans raison. La formule « favorables sur possibles » exige que toutes les issues aient la même chance. Un dé pipé, une roue aux secteurs inégaux, une punaise : la formule ne s'applique pas. Le contre-exemple le plus parlant est la somme de deux dés : il y a $11$ sommes possibles, de $2$ à $12$, mais elles ne sont pas équiprobables. La somme $7$ s'obtient de six façons ($\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$), la somme $2$ d'une seule ($\frac{1}{36}$) : $7$ est six fois plus probable que $2$. Repère toujours, dans l'énoncé, les mots qui justifient l'équiprobabilité : « équilibré », « indiscernables au toucher », « secteurs identiques ».
2. Additionner des probabilités d'événements qui peuvent coexister. Avec le sac de $20$ jetons vu plus haut, $P(\text{rouge}) + P(\text{pair}) = 45\ \% + 55\ \% = 100\ \%$, ce qui annoncerait un événement certain — alors que $5$ jetons bleus impairs ne le réalisent pas. Les $5$ jetons rouges et pairs ont été comptés deux fois. La bonne réponse, par comptage direct, est $75\ \%$. Avant d'additionner, pose-toi la question : une même issue peut-elle réaliser les deux événements ?
3. Croire qu'après cinq « pile », « face » devient plus probable. C'est l'illusion du joueur. Une pièce équilibrée reste équilibrée : $50\ \%$ au lancer suivant, quoi qu'il se soit passé avant. Une urne avec remise retrouve exactement sa composition à chaque tirage. Le hasard ne compense pas, il ne rattrape rien, il n'a pas de mémoire.
4. Répondre par le nombre de cas favorables. À la question « quelle est la probabilité de tirer un jeton rouge ? », la réponse n'est pas $10$, c'est $\dfrac{10}{25}$. Une probabilité est toujours comprise entre $0$ et $1$ : un résultat supérieur à $1$ signale qu'on a oublié de diviser.
5. Confondre $0{,}4$ et $0{,}4\ \%$. Multiplier par $100$ pour passer d'une écriture décimale à un pourcentage, diviser par $100$ pour revenir : $0{,}4 = 40\ \%$ et $4\ \% = 0{,}04$. Une erreur de facteur $100$ passe souvent inaperçue à la relecture, alors qu'elle est énorme.
6. Confondre fréquence observée et probabilité. Si $57$ lancers sur $100$ donnent « pile », la fréquence vaut $57\ \%$ ; cela ne prouve pas que la pièce est truquée, et la probabilité reste $50\ \%$ tant qu'on n'a pas de raison de penser autrement. Plus on répète, plus la fréquence se rapproche de la probabilité — mais rien ne garantit qu'elle l'atteigne, et si elle l'atteint, elle ne s'y fixe pas : le lancer suivant la déplace de nouveau.
7. Oublier de se demander s'il y a remise. Sans remise, la composition a changé au second tirage : il faut recompter les issues, et certaines disparaissent (on ne peut pas tirer deux fois le même jeton). Reprendre le tableau du premier tirage tel quel est une erreur silencieuse : le calcul « fonctionne », mais il répond à une autre question.
8. Additionner les probabilités des deux tirages. « Rouge puis rouge » n'est pas $0{,}4 + 0{,}4 = 0{,}8$. Un contrôle suffit à s'en convaincre : exiger deux conditions ne peut pas rendre l'événement plus probable qu'une seule. Si ta probabilité de « rouge puis rouge » dépasse celle de « rouge », c'est que tu as additionné là où il fallait dénombrer.

À quoi t'attendre. L'exercice met en scène une urne de jetons ou une roue à secteurs identiques, et demande soit la probabilité d'une couleur, soit celle de l'événement contraire, soit celle de la réunion de deux couleurs incompatibles. La réponse est attendue en pourcentage, et l'équiprobabilité est toujours justifiée dans l'énoncé. Un exercice voisin est un QCM qui vise les deux pièges les plus coûteux : l'illusion du joueur après plusieurs tirages avec remise, et la réunion d'événements qui peuvent coexister.

Énoncé type. Une urne contient $8$ jetons rouges, $7$ jetons bleus et $5$ jetons verts, indiscernables au toucher. On tire un jeton au hasard. Quelle est la probabilité que le jeton tiré ne soit pas rouge ? Donner la réponse en pourcentage.

Corrigé complet.

1. Justifier l'équiprobabilité. Les jetons sont indiscernables au toucher : aucun n'a plus de chances qu'un autre d'être tiré. On peut donc appliquer

2. Compter les cas possibles. $8 + 7 + 5 = 20$ jetons dans l'urne.

3. Calculer la probabilité de l'événement « rouge ». Cas favorables : les $8$ jetons rouges.

4. Passer à l'événement contraire. « Ne pas être rouge » est le contraire de « être rouge » : les deux se partagent la totalité.

5. Convertir en pourcentage. On multiplie par $100$ :

6. Vérifier par un autre chemin. Comptage direct : les jetons qui ne sont pas rouges sont les $7$ bleus et les $5$ verts, soit $12$ jetons, et $\dfrac{12}{20} = 0{,}6 = 60\ \%$. Les deux méthodes donnent le même résultat : on peut valider.

Auto-contrôle : la somme des probabilités des trois couleurs doit valoir $1$ — ici $\frac{8}{20} + \frac{7}{20} + \frac{5}{20} = \frac{20}{20} = 1$. Et $P(A)$ et $P(\text{contraire de } A)$ doivent totaliser $100\ \%$ : $40\ \% + 60\ \% = 100\ \%$. Si l'un de ces deux contrôles échoue, reprends le comptage avant de reprendre le calcul.