Fonctions linéaires et affines : une droite, deux nombres

Une salle d'escalade propose : $18$ € d'abonnement par mois, plus $2{,}50$ € par séance. Combien paies-tu pour $x$ séances ?

Cette expression a la forme la plus utile de tout le collège :

Une fonction affine est une fonction du type $f(x) = ax + b$, où $a$ et $b$ sont deux nombres fixés. Si $b = 0$, c'est-à-dire $f(x) = ax$, on dit que la fonction est linéaire.

Les deux nombres $a$ et $b$ ont chacun un nom et un rôle très concret.

• $b$ est l'ordonnée à l'origine. C'est $f(0)$ : ce que l'on paie avant même de commencer. Ici $f(0) = 18$ : l'abonnement est dû même si tu ne viens jamais grimper.
• $a$ est le coefficient directeur. C'est ce que l'on paie en plus à chaque séance supplémentaire. Ici $a = 2{,}50$.

Le mécanisme central : le pas constant. Ajoute une séance, et le montant augmente de $2{,}50$ €. Ajoute-en une autre, il augmente encore de $2{,}50$ €. Toujours la même marche, quelle que soit la position de départ :

C'est précisément pour cela que la représentation graphique est une droite : des pas égaux en abscisse produisent des pas égaux en ordonnée, donc le tracé ne s'incurve jamais.

Plus généralement, si $x$ augmente de $\Delta x$, alors $f(x)$ varie de $a \times \Delta x$. Le coefficient directeur mesure une pente : de combien on monte quand on avance de $1$.

Retrouver $a$ et $b$ sur un graphique.

• $b$ se lit d'un coup d'œil : c'est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe vertical, celui des ordonnées.
• $a$ se lit avec un triangle de pente : on avance horizontalement d'une quantité $\Delta x$, on mesure de combien la droite monte, $\Delta y$, et on divise :

L'accroissement des images est au-dessus, celui des antécédents au-dessous. On peut prendre n'importe quels deux points de la droite : le résultat est toujours le même, et c'est justement ce qui caractérise une droite.

Le signe de $a$ raconte le sens de variation.

Linéaire ou affine : le piège. Toutes les fonctions affines ont une droite pour représentation. Mais seules les fonctions linéaires ($b = 0$) traduisent une proportionnalité, et leur droite passe par l'origine du repère.

Vérifie-le sur l'exemple. Douze séances coûtent $f(12) = 30 + 18 = 48$ €. Vingt-quatre séances, le double, coûtent $f(24) = 60 + 18 = 78$ € — pas $96$ €. Doubler le nombre de séances ne double pas le prix, parce que l'abonnement, lui, n'est payé qu'une fois. Autre lecture : le prix d'une séance en moyenne vaut $48 \div 12 = 4$ € pour douze séances, mais $78 \div 24 = 3{,}25$ € pour vingt-quatre. Le quotient $f(x) \div x$ n'est pas constant : ce n'est pas une situation de proportionnalité.

Pour une fonction linéaire, au contraire, $f(x) = ax$ donne $f(x) \div x = a$ pour tout $x$ non nul : le quotient est constant, et c'est la définition même de la proportionnalité. Le coefficient directeur $a$ est alors le coefficient de proportionnalité.

Tracer la droite, à partir de son expression. C'est l'autre sens du travail, et il se demande au brevet. Deux points suffisent, puisque par deux points passe une seule droite.

• place d'abord le point $(0\,;\,b)$ : il se lit dans l'expression, sans aucun calcul ;
• choisis ensuite un second antécédent commode, par exemple $x = 4$, calcule $f(4)$ et place le point $(4\,;\,f(4))$ ;
• trace la droite qui passe par ces deux points, et prolonge-la des deux côtés.

Variante plus rapide quand $a$ est un entier : pars de $(0\,;\,b)$, avance de $1$ vers la droite et monte de $a$ (descends si $a$ est négatif) ; tu obtiens un second point sans calcul. Contrôle du tracé : reprends un triangle de pente sur la droite obtenue, le quotient $\Delta y \div \Delta x$ doit redonner $a$ ; et si $b = 0$, la droite doit passer exactement par l'origine.

Retrouver l'expression à partir de deux images. Si l'on connaît $f(x_1)$ et $f(x_2)$, on calcule d'abord $a$ par le quotient des accroissements, puis $b$ en reportant l'un des couples :

Deux points suffisent — parce que par deux points passe une seule droite.

Où les rencontres se produisent. Comparer deux tarifs, c'est chercher où deux droites se croisent, donc résoudre une équation du premier degré. C'est l'un des usages les plus fréquents au brevet.

Énoncé. La salle Verticale facture $18$ € d'abonnement mensuel, plus $2{,}50$ € par séance. La salle Bloc Libre ne prend pas d'abonnement, mais facture $5$ € la séance. On note $x$ le nombre de séances dans le mois.

1. Modéliser les deux tarifs.

$f$ est affine ($b = 18 \neq 0$) ; $g$ est linéaire ($b = 0$), donc le tarif de Bloc Libre est une situation de proportionnalité — pas celui de Verticale.

2. Identifier $a$ et $b$ pour $f$. Le coefficient directeur est $a = 2{,}50$ : c'est le prix d'une séance de plus, en euros par séance. L'ordonnée à l'origine est $b = 18$ : c'est $f(0)$, en euros, ce que l'on paie pour zéro séance.

3. Calculer un montant. Pour $12$ séances chez Verticale :

soit $48$ €.

4. Remonter d'un montant à un nombre de séances. Un mois, la facture de Verticale s'élève à $43$ €. On résout :

Il y a eu $10$ séances. Vérification : $2{,}50 \times 10 + 18 = 43$ €.

5. Comparer les deux salles. On cherche le nombre de séances pour lequel les deux factures sont égales :

6. Interpréter — et se méfier du nombre trouvé. Un nombre de séances est un entier : $7{,}2$ n'est pas une réponse, c'est une frontière. On teste de part et d'autre :

Conclusion : jusqu'à $7$ séances par mois, Bloc Libre est plus avantageuse ; à partir de $8$ séances, c'est Verticale. L'abonnement finit par être rentabilisé, parce que le prix par séance y est deux fois moindre.

7. Contrôle de vraisemblance. La droite de $g$ part de l'origine et monte plus vite ($5 > 2{,}50$) ; celle de $f$ part plus haut ($18 > 0$) mais monte plus doucement. Deux droites de pentes différentes se coupent en exactement un point : le résultat trouvé est cohérent.

Figure (fig.math.affine-line-reading, SVG programmatique à produire) : les deux tarifs de l'exemple, tracés dans un seul repère.

• Le repère. Axe horizontal gradué de $0$ à $16$ de $2$ en $2$, légende « nombre de séances $x$ ». Axe vertical gradué de $0$ à $80$ de $10$ en $10$, légende « montant payé, en euros ». Une grille légère en arrière-plan.
• Droite de $f$ (Verticale, $f(x) = 2{,}50x + 18$) : trait plein épais, tracée de $(0\,;\,18)$ à $(16\,;\,58)$. Le point $(0\,;\,18)$ est marqué d'un disque plein, avec l'étiquette « ordonnée à l'origine : $b = 18$ » et un trait de rappel jusqu'à la graduation $18$ de l'axe vertical.
• Droite de $g$ (Bloc Libre, $g(x) = 5x$) : trait tireté, tracée de $(0\,;\,0)$ à $(15\,;\,75)$. Elle passe par l'origine — une étiquette le souligne : « passe par l'origine : proportionnalité ».
• Le triangle de pente est dessiné sur la droite de $f$, entre les abscisses $8$ et $12$ : un segment horizontal de $(8\,;\,38)$ à $(12\,;\,38)$ coté $\Delta x = 4$, puis un segment vertical de $(12\,;\,38)$ à $(12\,;\,48)$ coté $\Delta y = 10$. À côté, le calcul $a = 10 \div 4 = 2{,}50$.
• Le point d'intersection $(7{,}2\,;\,36)$ est marqué d'un disque plein cerclé, avec ses coordonnées, et deux traits pointillés qui le projettent sur les deux axes. Une bande verticale légèrement grisée couvre les abscisses de $0$ à $7{,}2$ et porte la mention « Bloc Libre moins chère » ; la zone au-delà porte « Verticale moins chère ».

Ce qu'il faut lire. Les deux nombres $a$ et $b$ se voient directement : $b$ est la hauteur de départ de la droite, $a$ est son inclinaison. La droite tiretée part de plus bas mais monte plus vite ; elle finit donc par rattraper puis dépasser l'autre. Le point d'intersection n'est pas une réponse au problème, c'est la frontière entre deux réponses : c'est pour cela qu'il faut ensuite tester un entier de chaque côté.

La figure en détail : un repère dont l'axe horizontal donne le nombre de séances de 0 à 16 et l'axe vertical le montant payé en euros de 0 à 80. Une droite en trait plein part du point d'ordonnée 18 sur l'axe vertical et monte régulièrement ; un triangle de pente montre que lorsqu'on avance de 4 séances, le montant augmente de 10 euros, soit un coefficient directeur de 2,50. Une seconde droite, en tirets, part de l'origine et monte plus vite, avec un coefficient directeur de 5. Les deux droites se croisent au point d'abscisse 7,2 et d'ordonnée 36. À gauche de ce point la droite tiretée est en dessous, à droite elle est au-dessus.

Unités. Elles ne sont pas décoratives, elles vérifient le calcul. Dans l'exemple, $x$ est un nombre de séances, $f(x)$ est en euros : $b$ s'exprime donc en euros et $a$ en euros par séance. C'est cohérent, puisque $a \times x$ doit donner des euros. Si tu trouves un coefficient directeur en « séances par euro », c'est que tu as inversé le quotient.

Domaine de validité. Mathématiquement, $f(x) = ax + b$ est définie pour tout nombre $x$. Dans une situation concrète, restreins : un nombre de séances est un entier positif ou nul, une durée est positive. Une solution comme $x = 7{,}2$ séances doit être interprétée, pas recopiée telle quelle.

Chiffres significatifs. Les montants en euros s'écrivent avec deux décimales quand ils ne sont pas ronds ($35{,}50$ €), et la virgule décimale française sépare l'unité des centimes — jamais un point.

1. Prendre $b$ pour $a$, ou l'inverse. Dans $f(x) = 2{,}50x + 18$, le coefficient directeur est le nombre qui multiplie $x$ : $2{,}50$. L'ordonnée à l'origine est le terme seul : $18$. Test imparable : calcule $f(0)$. Ce que tu obtiens est $b$, forcément. Et si l'expression est écrite dans l'autre ordre, $f(x) = 18 + 2{,}50x$, rien ne change : c'est le rôle qui compte, pas la place.
2. Croire qu'une fonction affine avec $b \neq 0$ est une proportionnalité. Sa représentation est bien une droite, mais elle ne passe pas par l'origine, et le quotient $f(x) \div x$ n'est pas constant : $48 \div 12 = 4$ mais $78 \div 24 = 3{,}25$. Doubler $x$ ne double pas $f(x)$. Seule la fonction linéaire est une proportionnalité.
3. Calculer la pente avec $\Delta x \div \Delta y$. Le coefficient directeur répond à la question « de combien varie $f(x)$ quand $x$ augmente de $1$ » : la variation des images va donc au numérateur. Contrôle par les unités : ici, des euros par séance, jamais des séances par euro. Le quotient inversé donnerait $4 \div 10 = 0{,}4$ au lieu de $2{,}50$.
4. Oublier le signe d'un coefficient négatif. Si $f(-2) = 11$ et $f(3) = -4$, alors $a = (-4 - 11) \div (3 - (-2)) = -15 \div 5 = -3$. Les deux soustractions doivent être menées dans le même ordre aux deux étages du quotient : $f(x_2) - f(x_1)$ au-dessus, $x_2 - x_1$ au-dessous. Inverser un seul des deux change le signe du résultat.
5. Mélanger les points en calculant $b$. Une fois $a$ trouvé, reporte un couple complet : $b = f(x_1) - a \times x_1$ avec le même $x_1$ des deux côtés. Prendre $f(x_1)$ et $x_2$ donne un $b$ faux, et la droite obtenue ne passera par aucun des deux points.
6. Lire une pente sur un graphique sans regarder les graduations. Une droite peut paraître « à 45° » alors que son coefficient directeur vaut $10$ : tout dépend de l'échelle des deux axes. Compte toujours les graduations, ne juge jamais à l'œil.
7. Confondre le point d'intersection et la réponse au problème. $x = 7{,}2$ est l'abscisse où les deux tarifs sont égaux ; ce n'est pas un nombre de séances possible. La réponse attendue est un encadrement : « jusqu'à $7$ séances… à partir de $8$ séances… ».

À quoi t'attendre. L'exercice te donne deux images d'une fonction affine et te demande son expression. Environ un tirage sur trois a $b = 0$ : la fonction est alors linéaire, et le corrigé le signale, car c'est exactement la frontière entre proportionnalité et non-proportionnalité. Un exercice voisin pose la même compétence en contexte tarifaire (abonnement d'escalade, course en taxi) et demande tantôt un montant, tantôt une quantité, tantôt le coefficient directeur, tantôt l'ordonnée à l'origine.

Énoncé type. $f$ est une fonction affine telle que $f(2) = 1$ et $f(5) = 10$.

1. Déterminer l'expression de $f(x)$.
2. Tracer la représentation graphique de $f$ dans un repère. (Cette seconde question n'est pas posée par l'exercice, qui ne demande que l'expression ; elle est corrigée ici parce qu'elle est, elle aussi, un attendu de fin de 3e.)

Corrigé complet.

1. Poser la forme générale. $f$ est affine, donc $f(x) = ax + b$ : il y a exactement deux nombres à trouver, et on dispose de deux informations. C'est cohérent.

2. Calculer le coefficient directeur. L'accroissement des images divisé par celui des antécédents, dans cet ordre :

Lecture concrète : entre $x = 2$ et $x = 5$, on avance de $3$ et on monte de $9$ ; donc on monte de $3$ à chaque pas de $1$.

3. Calculer l'ordonnée à l'origine. On reporte un couple complet, par exemple $x = 2$ et $f(2) = 1$ :

4. Conclure.

5. Vérifier avec l'autre couple, celui qui n'a pas servi à calculer $b$ : $f(5) = 3 \times 5 - 5 = 15 - 5 = 10$. C'est bien la seconde donnée de l'énoncé.

6. Interpréter. Ici $b = -5 \neq 0$ : $f$ est affine mais pas linéaire, elle ne traduit donc pas une proportionnalité.

7. Tracer. On place le point $(0\,;\,-5)$, donné par $b$. Puis on avance de $1$ et on monte de $3$ : on obtient $(1\,;\,-2)$. On trace la droite passant par ces deux points, on la prolonge, et on contrôle qu'elle passe bien par les deux points de l'énoncé, $(2\,;\,1)$ et $(5\,;\,10)$. Si l'un des deux tombe à côté, c'est le calcul de $a$ ou de $b$ qu'il faut reprendre, pas le dessin.

Auto-contrôle : la vérification de l'étape 5 est obligatoire, et elle doit porter sur le couple non utilisé pour trouver $b$ — sinon tu vérifies un calcul avec lui-même. Contrôle du signe de $a$ : ici les images augmentent quand $x$ augmente, donc $a$ doit être positif.