Nombre dérivé et tangente : la pente en un point

Tu sais calculer une vitesse moyenne : la distance parcourue divisée par la durée. Mais que signifie « rouler à $50$ km/h à cet instant précis » ? À un instant, la durée est nulle et la distance aussi : le quotient $\dfrac{0}{0}$ ne veut rien dire. La physique s'en sort en prenant des durées de plus en plus courtes ; la dérivation est la mise au propre mathématique de cette idée.

Le taux de variation. Soit $f$ une fonction et $a$ un nombre de son ensemble de définition. Pour un réel $h \neq 0$, le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a + h$ est le quotient

Tu connais ce quotient depuis le collège : c'est le coefficient directeur de la droite qui passe par les deux points $A(a\ ;\ f(a))$ et $M(a + h\ ;\ f(a + h))$ de la courbe. Une droite qui coupe la courbe en deux points s'appelle une sécante ; le taux de variation est la pente de la sécante $(AM)$. Pour une fonction affine, ce taux est le même quel que soit $h$ : c'est la pente de la droite, partout. Pour une autre fonction, il dépend de $h$.

Passer à la limite. Prenons $f(x) = x^2$ et $a = 1$. Le taux entre $1$ et $1 + h$ vaut

Pour $h = 1$, il vaut $3$ ; pour $h = 0{,}1$, $2{,}1$ ; pour $h = 0{,}01$, $2{,}01$ ; pour $h = -0{,}01$, $1{,}99$. Plus $h$ est proche de $0$, plus le taux est proche de $2$ — et il s'en approche autant qu'on veut. On dit que le taux tend vers $2$ quand $h$ tend vers $0$. Remarque bien que l'on n'a jamais posé $h = 0$ (le quotient serait $\dfrac{0}{0}$) : on a simplifié par $h$ d'abord, ce qui est légitime tant que $h \neq 0$, puis regardé vers quoi tend ce qui reste.

Définition. On dit que $f$ est dérivable en $a$ lorsque le taux de variation $\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ tend vers un nombre réel quand $h$ tend vers $0$. Ce nombre s'appelle le nombre dérivé de $f$ en $a$ et se note $f'(a)$.

Ainsi, pour la fonction carré, $f'(1) = 2$. Le nombre dérivé est un nombre, attaché à un point précis — pas une fonction, pas une expression en $x$. Il faut le distinguer soigneusement de $f(a)$ : $f(1) = 1$ est l'ordonnée du point de la courbe, $f'(1) = 2$ mesure la vitesse à laquelle $f$ varie en ce point.

Ce que dit ce nombre. Si $f(t)$ est la position d'un mobile à l'instant $t$, le taux de variation entre $t$ et $t + h$ est sa vitesse moyenne sur cette durée, et $f'(t)$ est sa vitesse instantanée : la limite des vitesses moyennes sur des durées de plus en plus courtes. C'est exactement la réponse à la question du début, et c'est ainsi que la physique de première définira la vitesse à un instant.

Des sécantes à la tangente. Reprenons la courbe de $f$ et le point $A(a\ ;\ f(a))$. Quand $h$ tend vers $0$, le point $M(a + h\ ;\ f(a + h))$ glisse le long de la courbe vers $A$, et la sécante $(AM)$ pivote autour de $A$. Si $f$ est dérivable en $a$, la pente de cette sécante tend vers $f'(a)$ : la sécante se rapproche d'une position limite, la droite passant par $A$ de coefficient directeur $f'(a)$. Cette droite s'appelle la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$.

Définition. Si $f$ est dérivable en $a$, la tangente à la courbe de $f$ au point $A(a\ ;\ f(a))$ est la droite passant par $A$ et de coefficient directeur $f'(a)$.

Son équation. Une droite de coefficient directeur $m$ passant par le point $(a\ ;\ f(a))$ a pour équation $y - f(a) = m(x - a)$ : c'est la définition même du coefficient directeur, appliquée entre le point $A$ et un point courant $(x\ ;\ y)$ de la droite. Avec $m = f'(a)$ :

Retiens la structure : la pente multiplie l'écart $x - a$, pas $x$. Écrire $y = f'(a)\,x + f(a)$ donne une droite de la bonne pente mais qui, sauf si $a = 0$, ne passe pas par $A$ — ce n'est pas la tangente. Le contrôle est immédiat : en remplaçant $x$ par $a$, on doit retrouver $y = f(a)$. Une tangente horizontale correspond à $f'(a) = 0$ : la courbe ne monte ni ne descend en ce point.

Calculer avec la définition. Le programme demande de savoir mener ce calcul sur les fonctions de référence ; il faut à chaque fois faire disparaître $h$ du dénominateur avant de passer à la limite.

• Fonction carré en $a$ quelconque : $\dfrac{(a + h)^2 - a^2}{h} = \dfrac{2ah + h^2}{h} = 2a + h \longrightarrow 2a$. Donc $f'(a) = 2a$.
• Fonction inverse en $a \neq 0$ : $\dfrac{\frac{1}{a + h} - \frac{1}{a}}{h} = \dfrac{a - (a + h)}{h\,a\,(a + h)} = \dfrac{-h}{h\,a\,(a + h)} = \dfrac{-1}{a(a + h)} \longrightarrow -\dfrac{1}{a^2}$. Donc $f'(a) = -\dfrac{1}{a^2}$.
• Fonction racine carrée en $a > 0$ : on multiplie par la quantité conjuguée, $\dfrac{\sqrt{a + h} - \sqrt{a}}{h} = \dfrac{(a + h) - a}{h\left(\sqrt{a + h} + \sqrt{a}\right)} = \dfrac{1}{\sqrt{a + h} + \sqrt{a}} \longrightarrow \dfrac{1}{2\sqrt{a}}$. Donc $f'(a) = \dfrac{1}{2\sqrt{a}}$.

Ces trois calculs annoncent les formules de dérivation de la leçon suivante ; ici, l'important est le mécanisme — le terme qui contient $h$ disparaît à la limite.

Quand la dérivée n'existe pas. La définition contient une condition : le taux doit tendre vers un nombre réel. Deux cas classiques y échappent.

• La racine carrée en $0$ : le taux entre $0$ et $h > 0$ vaut $\dfrac{\sqrt{h} - 0}{h} = \dfrac{1}{\sqrt{h}}$, qui devient aussi grand qu'on veut quand $h$ tend vers $0$. Il ne tend vers aucun nombre : la fonction racine carrée n'est pas dérivable en $0$. Sa courbe y possède une tangente verticale, qui n'a pas de coefficient directeur.
• La valeur absolue en $0$ : le taux vaut $\dfrac{|h|}{h}$, soit $1$ si $h > 0$ et $-1$ si $h < 0$. Selon le côté par lequel $h$ approche $0$, le taux ne tend pas vers la même valeur : pas de limite, pas de nombre dérivé. La courbe a un « point anguleux » en $0$, et aucune tangente.

Une fonction dérivable en $a$ a donc une courbe lisse en $A$ : d'assez près, elle se confond avec sa tangente. C'est le sens profond de la tangente — la meilleure droite pour approcher la courbe au voisinage de $A$.

La tangente peut recouper la courbe. Le mot « tangente » vient de toucher, et pour un cercle ou une parabole la tangente ne rencontre la courbe qu'au point de contact. Ce n'est pas une règle générale : la courbe de $x \mapsto x^3$ a en $0$ la tangente $y = 0$ (l'axe des abscisses, puisque le taux $\dfrac{h^3}{h} = h^2$ tend vers $0$), et elle traverse cette tangente en $0$ — négative à gauche, positive à droite. La tangente est définie par une pente au point de contact, pas par le nombre de points communs.

Énoncé. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 3x + 1$, et $\mathcal{C}$ sa courbe.

1. Calculer le taux de variation de $f$ entre $2$ et $3$, puis entre $2$ et $2 + h$ pour $h \neq 0$. 2) En déduire $f'(2)$. 3) Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $2$.

1) Les taux de variation.

Étape 1 — les images. $f(2) = 4 - 6 + 1 = -1$ et $f(3) = 9 - 9 + 1 = 1$.

Étape 2 — le taux entre $2$ et $3$. Ici $h = 1$ :

C'est la pente de la sécante passant par $(2\ ;\ -1)$ et $(3\ ;\ 1)$.

Étape 3 — le taux entre $2$ et $2 + h$. On développe $f(2 + h)$ :

Donc $f(2 + h) - f(2) = (-1 + h + h^2) - (-1) = h + h^2$, et le taux vaut

Contrôle : pour $h = 1$, on retrouve $1 + 1 = 2$ ✔.

2) Le nombre dérivé. Quand $h$ tend vers $0$, $1 + h$ tend vers $1$ : $f$ est dérivable en $2$ et

Concrètement : pour $h = 0{,}1$ le taux vaut $1{,}1$, pour $h = 0{,}01$ il vaut $1{,}01$ — les sécantes ont des pentes de plus en plus proches de $1$. Deux nombres à ne pas confondre : $f(2) = -1$ (l'ordonnée du point) et $f'(2) = 1$ (la pente en ce point).

3) La tangente.

Étape 1 — la formule. $T$ passe par $A(2\ ;\ -1)$ avec le coefficient directeur $f'(2) = 1$ :

Étape 2 — contrôler. Pour $x = 2$ : $y = 2 - 3 = -1 = f(2)$ ✔, la droite passe bien par $A$. Sa pente est $1$ ✔.

Étape 3 — situer. La courbe est une parabole tournée vers le haut ; en $x = 2$, elle monte avec une pente de $1$. La tangente $y = x - 3$ reste sous la parabole partout ailleurs : pour $x = 0$, la courbe est en $1$, la tangente en $-3$.

Le moment décisif : à l'étape 1 du point 3, écrire $y = f'(2)\,x + f(2) = x - 1$ donne une droite de pente $1$ qui passe par $(2\ ;\ 1)$, pas par $A(2\ ;\ -1)$. Le contrôle « remplacer $x$ par $a$ doit redonner $f(a)$ » démasque cette erreur en une ligne.

Figure (SVG programmatique à produire) : trois panneaux — le passage à la limite dessiné, le zoom qui confond courbe et tangente, et les deux cas où la tangente n'existe pas.

• Panneau 1 — les sécantes vers la tangente. Repère orthonormé, $x$ de $-0{,}5$ à $4{,}5$, $y$ de $-2$ à $6$. La parabole de $f(x) = x^2 - 3x + 1$ (exemple guidé) et le point $A(2\ ;\ -1)$ marqué d'un disque plein. Trois sécantes issues de $A$, en traits de plus en plus fins : par $M_2(4\ ;\ 5)$, pente $3$ ; par $M_1(3\ ;\ 1)$, pente $2$ ; par $M_{0{,}5}(2{,}5\ ;\ -0{,}25)$, pente $1{,}5$ — chaque point $M$ est marqué d'un cercle vide et coté par son $h$ ($h = 2$, $h = 1$, $h = 0{,}5$). La tangente $y = x - 3$ en trait épais, avec un triangle de pente en tirets (une unité à droite, une unité en haut) coté « pente $f'(2) = 1$ ». Une flèche courbe suggère la rotation des sécantes vers la tangente. En insert, un petit tableau : « $h$ : $2$ ; $1$ ; $0{,}5$ ; $0{,}1$ — taux $1 + h$ : $3$ ; $2$ ; $1{,}5$ ; $1{,}1$ → $1$ ».
• Panneau 2 — le zoom. Le même point $A$ vu dans une fenêtre dix fois plus petite ($x$ de $1{,}8$ à $2{,}2$) : la parabole et la tangente y sont presque indiscernables, la parabole légèrement au-dessus. Cartouche : « de près, la courbe ressemble à sa tangente : $f(2 + h) \approx -1 + h$ pour $h$ petit ».
• Panneau 3 — deux courbes sans tangente en $0$. Deux vignettes. À gauche, $y = |x|$ : deux demi-droites formant un angle en $O$, avec deux demi-tangentes de pentes $-1$ et $+1$ en tirets, mention « taux $= \pm 1$ selon le côté : pas de limite ». À droite, $y = \sqrt{x}$ : la demi-courbe partant de $O$ à la verticale, avec l'axe des ordonnées en tirets comme tangente verticale, mention « taux $= \dfrac{1}{\sqrt{h}}$, sans borne : pas de nombre dérivé ». En bas, une troisième miniature : $y = x^3$ et sa tangente en $0$ (l'axe des abscisses), la courbe la traversant — mention « une tangente peut recouper la courbe ».

Ce qu'il faut lire. Le panneau 1 est la définition en image : les pentes des sécantes, $1 + h$, se rapprochent de $1$ à mesure que $M$ se rapproche de $A$, et la droite limite est la tangente. Le panneau 2 dit à quoi sert ce nombre : près de $A$, la courbe et la droite de pente $f'(a)$ se confondent — c'est ce qui fait de la tangente la meilleure approximation affine locale. Le panneau 3 délimite la notion : un angle ou une pente infinie ne donnent pas de nombre dérivé, et le nombre de points communs entre la courbe et sa tangente n'entre pas dans la définition.

La figure en détail : à gauche, une parabole tournée vers le haut et, sur elle, un point marqué d'un disque en abscisse deux et hauteur moins un ; trois droites de plus en plus fines passent par ce point et par un second point de la courbe, de plus en plus proche : en abscisse quatre (hauteur cinq, pente trois), en abscisse trois (hauteur un, pente deux), en abscisse deux et demi (hauteur moins zéro virgule vingt-cinq, pente un et demi) ; une droite épaisse, la tangente, monte d'une unité par unité, et une flèche courbe suggère que les droites fines pivotent vers elle ; un petit tableau en insert aligne les pentes trois, deux, un et demi, un virgule un, qui se rapprochent de un. Au centre, un zoom sur le même point dans une fenêtre dix fois plus étroite : la courbe et la droite épaisse y sont presque confondues, la courbe légèrement au-dessus. À droite, trois vignettes : la courbe en forme de V de la valeur absolue, avec un angle à l'origine et deux demi-droites en tirets de pentes moins un et plus un ; la demi-courbe de la racine carrée, qui part de l'origine à la verticale, l'axe vertical en tirets lui servant de tangente ; la courbe du cube et sa tangente horizontale à l'origine, que la courbe traverse.

Domaine de validité. Le nombre dérivé n'existe que si le taux tend vers un réel : la racine carrée n'est pas dérivable en $0$ (pente infinie), la valeur absolue non plus (deux pentes selon le côté). Les formules du tableau valent pour $a$ dans l'ensemble de définition et là où la fonction est dérivable : $a \neq 0$ pour l'inverse, $a > 0$ pour la racine carrée. Le taux de variation, lui, se calcule pour tout $h \neq 0$ tel que $a + h$ soit dans l'ensemble de définition.

Écritures. $f'(a)$ se lit « $f$ prime de $a$ » : c'est un nombre. La notation $f'$ seule désigne la fonction dérivée, objet de la leçon suivante. Le nombre dérivé s'écrit sans unité en mathématiques ; en physique, la dérivée d'une position en mètres par rapport à un temps en secondes est en mètres par seconde, l'unité du quotient. Le symbole $\lim_{h \to 0}$ se lit « limite quand $h$ tend vers $0$ » ; en première, on l'emploie sans théorie des limites.

Contrôles gratuits. Le taux entre $a$ et $a + h$, simplifié, doit redonner la valeur calculée à la main pour un $h$ particulier. L'équation de la tangente doit donner $y = f(a)$ pour $x = a$. Et sur une parabole tournée vers le haut, la tangente est sous la courbe : une tangente qui passe au-dessus d'un point de la parabole est fausse.

1. Confondre $f'(a)$ et $f(a)$. $f(a)$ est l'ordonnée du point de la courbe ; $f'(a)$ est la pente de la tangente en ce point. Dans l'exemple, $f(2) = -1$ et $f'(2) = 1$ : deux nombres, deux rôles. Le symptôme classique de cette confusion est une tangente qui ne passe pas par le point.
2. Écrire la tangente $y = f'(a)\,x + f(a)$, sans le $(x - a)$. La pente multiplie l'écart à $a$ : $y = f'(a)\,(x - a) + f(a)$. Sans le $(x - a)$, la droite a la bonne pente mais passe par le mauvais point (sauf si $a = 0$). Contrôle : remplacer $x$ par $a$ doit redonner $f(a)$.
3. Croire que la tangente ne coupe jamais la courbe ailleurs. C'est vrai pour une parabole, faux en général : la courbe de $x^3$ traverse sa tangente en $0$. La tangente est définie par sa pente au point de contact, pas par le nombre de points communs.
4. Poser $h = 0$ dans le taux avant de simplifier. On obtient $\dfrac{0}{0}$, qui ne dit rien. La méthode : développer $f(a + h)$, soustraire $f(a)$, simplifier par $h$, et seulement alors faire tendre $h$ vers $0$ dans l'expression restante.
5. Diviser par $a + h$ au lieu de $h$. Le dénominateur du taux est la variation des abscisses, $(a + h) - a = h$. Entre $2$ et $2{,}5$, on divise par $0{,}5$, pas par $2{,}5$.
6. Prendre le taux pour un $h$ particulier comme nombre dérivé. Le taux entre $2$ et $3$ vaut $2$ ; le nombre dérivé en $2$ vaut $1$. Le premier est la pente d'une sécante, le second la limite de ces pentes. Ils ne coïncident que pour une fonction affine.
7. Déduire un extremum d'une tangente horizontale. $f'(a) = 0$ signifie seulement que la courbe est « à plat » en $a$. Pour $x \mapsto x^3$ en $0$, la tangente est horizontale et la fonction ne cesse de croître. Le lien entre dérivée et variations est une leçon à part.
8. Croire que toute fonction a un nombre dérivé partout. La racine carrée en $0$ et la valeur absolue en $0$ n'en ont pas. Avant d'écrire $f'(a)$, il faut que $f$ soit dérivable en $a$ — et l'énoncé, ou le calcul du taux, doit le garantir.

Le modèle. L'exercice associé à cette leçon tire un trinôme à coefficients entiers et une abscisse entière $a$, puis demande selon le tirage le taux de variation entre $a$ et $a + h$ (pour $h = 0{,}1$, $0{,}5$, $1$ ou $2$), le nombre dérivé $f'(a)$, ou l'ordonnée du point de tangence. Tout se calcule exactement, et le corrigé écrit le taux en fonction de $h$ avant de conclure. Un second modèle, voisin, fait choisir l'équation réduite de la tangente parmi quatre droites calculées — dont celle qu'on obtient en oubliant le $(x - a)$.

Énoncé type. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$. Déterminer le nombre dérivé $f'(3)$.

Corrigé complet.

1. Poser la définition. $f'(3)$ est la valeur vers laquelle tend le taux de variation $\dfrac{f(3 + h) - f(3)}{h}$ quand $h$ tend vers $0$. Il faut donc exprimer ce taux en fonction de $h$.

2. Développer $f(3 + h)$ et calculer $f(3)$.

et $f(3) = 2 \times 9 - 15 + 1 = 4$.

3. Former et simplifier le taux.

Contrôle sur une valeur : pour $h = 1$, $f(4) = 32 - 20 + 1 = 13$, et $\dfrac{13 - 4}{1} = 9 = 7 + 2 \times 1$ ✔.

4. Passer à la limite et conclure. Quand $h$ tend vers $0$, le terme $2h$ disparaît et le taux tend vers $7$. Donc $f'(3) = 7$. Pour ne pas les confondre : $f(3) = 4$ est l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $3$, $f'(3) = 7$ est la pente de la tangente en ce point — dont l'équation serait $y = 7(x - 3) + 4 = 7x - 17$.

Auto-contrôle : vérifie que tu as développé $(3 + h)^2$ avec son double produit $6h$, que le $f(3)$ soustrait annule bien la constante (il ne doit rester que des termes en $h$ au numérateur), et que tu as simplifié par $h$ avant de faire tendre $h$ vers $0$.