Équations différentielles y′ = ay + b

Toutes les équations que tu as résolues jusqu'ici avaient pour inconnue un nombre. Une équation différentielle a pour inconnue une fonction, et elle relie cette fonction à sa dérivée. Résoudre, c'est trouver toutes les fonctions qui vérifient la relation.

Le cas fondateur : $y' = ay$. Chercher une fonction égale à sa propre dérivée, à un facteur $a$ près, c'est exactement la propriété qui définit l'exponentielle. On démontre en terminale que les solutions sur $\mathbb{R}$ de

sont toutes les fonctions $x \mapsto C\,e^{a x}$, où $C$ est une constante réelle. Il y en a une infinité — une par valeur de $C$ — et il n'y en a pas d'autres.

Deux erreurs de forme à écarter tout de suite. La constante multiplie l'exponentielle, elle ne s'y ajoute pas : $x \mapsto e^{ax} + C$ n'est pas solution dès que $C \ne 0$, car sa dérivée vaut $a\,e^{ax}$ alors que $a$ fois la fonction vaut $a\,e^{ax} + aC$. Et le coefficient $a$ se retrouve dans l'exposant, pas devant.

Le cas du programme : $y' = ay + b$. On ajoute un terme constant. La méthode tient en trois temps, toujours les mêmes :

1. l'équation homogène $y' = ay$ a pour solutions $x \mapsto C\,e^{ax}$ ;
2. une solution particulière constante : on cherche une fonction constante $y = k$. Sa dérivée est nulle, donc $k$ doit vérifier $0 = a k + b$, c'est-à-dire $k = -\dfrac{b}{a}$ ;
3. la somme : les solutions de $y' = ay + b$ sont les fonctions

Le terme $-\dfrac{b}{a}$ n'est pas un détail décoratif : c'est lui qui distingue l'équation avec second membre de l'équation homogène, et l'oublier est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

Une seule solution : la condition initiale. Une infinité de solutions, cela ne décrit aucun phénomène précis. Une condition initiale — le plus souvent $y(0) = y_0$ — en sélectionne exactement une. On remplace $x$ par $0$ dans l'expression, on se souvient que $e^{0} = 1$, et l'on résout l'équation du premier degré obtenue :

Attention : la condition porte sur $f(0)$, la valeur de la fonction, et non sur $f'(0)$. Utiliser la dérivée à sa place donne une autre constante, et une autre fonction.

À quoi cela sert. Presque tous les phénomènes où une grandeur varie proportionnellement à ce qu'il en reste — ou à l'écart à une valeur d'équilibre — se modélisent ainsi : décroissance radioactive, charge et décharge d'un condensateur, refroidissement d'un corps, cinétique chimique d'ordre 1, croissance d'une population limitée par un prélèvement constant.

Le comportement à l'infini. Écrivons la solution sous la forme $f(x) = C\,e^{ax} + \ell$ avec $\ell = -\dfrac{b}{a}$. Deux régimes, selon le signe de $a$ :

• si $a < 0$, alors $e^{ax} \to 0$ quand $x \to +\infty$, et $f(x) \to \ell$. La solution tend vers l'équilibre $-\dfrac{b}{a}$, quelle que soit la condition initiale. C'est le cas de tous les modèles de relaxation : un condensateur qui se charge, un corps qui prend la température de la pièce ;
• si $a > 0$, alors $e^{ax} \to +\infty$ et la solution s'éloigne indéfiniment de $\ell$ (vers $+\infty$ ou $-\infty$ selon le signe de $C$). C'est le régime de croissance explosive.

L'équilibre $\ell$ est aussi la solution constante de l'équation : partir exactement à $y_0 = \ell$ donne $C = 0$ et une fonction constante. C'est le seul cas où l'exponentielle disparaît.

Sens de variation et signe de l'écart. Puisque $f(x) - \ell = C\,e^{ax}$ et que l'exponentielle est strictement positive, l'écart à l'équilibre garde le signe de $C$ pour tout $x$ : une solution ne traverse jamais son équilibre. Et $f'(x) = aC\,e^{ax}$ garde lui aussi un signe constant : toute solution de $y' = ay + b$ est monotone sur $\mathbb{R}$.

Le temps caractéristique. En sciences, on écrit souvent l'équation sous la forme

où $\tau > 0$ est le temps caractéristique (ou constante de temps). La solution s'écrit alors $y(t) = \ell + (y_0 - \ell)\,e^{-t/\tau}$, et $\tau$ se lit directement : au bout d'une durée $\tau$, l'écart à l'équilibre a été divisé par $e \approx 2{,}718$, soit environ $37\ \%$ de l'écart initial restant ; au bout de $5\tau$, il en reste moins de $1\ \%$. C'est ce qui rend $\tau$ utile : il donne l'ordre de grandeur de la durée du régime transitoire, sans aucun calcul.

La demi-vie. Pour une équation homogène $y' = -\lambda y$ avec $\lambda > 0$ — la décroissance radioactive, par exemple —, la demi-vie est la durée $T$ au bout de laquelle il reste la moitié de la quantité initiale. Elle vérifie $e^{-\lambda T} = \dfrac{1}{2}$, d'où

Remarquable : elle ne dépend pas de la quantité initiale. C'est une propriété de l'exponentielle, pas du corps étudié.

Trois modèles à reconnaître. Ils ont tous la même forme mathématique, et c'est le point de la leçon.

Dans les trois cas, on reconnaît $y' = ay + b$ avec $a < 0$, et l'équilibre $-\dfrac{b}{a}$ est la valeur physique vers laquelle le système relaxe. Savoir passer de la phrase (« la vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart de température ») à l'équation est la moitié du travail.

Contrôler sa réponse. Deux vérifications, toutes deux rapides et toutes deux obligatoires : dériver la fonction trouvée et la reporter dans l'équation ; puis calculer sa valeur en $0$ et la comparer à la condition initiale. Une expression peut vérifier l'équation sans vérifier la condition — c'est le cas de toute autre valeur de $C$ — et réciproquement.

Énoncé. On considère l'équation différentielle

d'inconnue une fonction $y$ dérivable sur $\mathbb{R}$.

1. Déterminer toutes les solutions de $(E)$.
2. Déterminer la solution $f$ de $(E)$ qui vérifie $f(0) = 1$.
3. Calculer $f(1)$, arrondi au millième.
4. Déterminer $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$ et interpréter.
5. Étudier le sens de variation de $f$.

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1. Les solutions. On applique la méthode en trois temps.

Équation homogène. $y' = -2y$ a pour solutions les fonctions $x \mapsto C\,e^{-2x}$, $C$ réel.

Solution particulière constante. On cherche $y = k$ constante. Sa dérivée est nulle, donc $k$ doit vérifier

On contrôle : $-2 \times 3 + 6 = -6 + 6 = 0$. La fonction constante égale à $3$ est bien solution.

Somme. Les solutions de $(E)$ sont les fonctions

2. La condition initiale. On remplace $x$ par $0$ dans l'expression de $f$, pas dans celle de $f'$. Comme $e^{0} = 1$ :

La condition $f(0) = 1$ donne $C + 3 = 1$, donc $C = 1 - 3 = -2$, et

Double contrôle. $f(0) = -2 + 3 = 1$ ✔ ; et $f'(x) = 4\,e^{-2x}$, tandis que $-2f(x) + 6 = 4\,e^{-2x} - 6 + 6 = 4\,e^{-2x}$ ✔.

3. Une valeur. $e^{-2} \approx 0{,}135335$, donc

4. La limite. Comme $-2 < 0$, $e^{-2x} \to 0$ quand $x \to +\infty$, donc

Interprétation : $3$ est l'équilibre du modèle, la valeur vers laquelle la solution tend quelle que soit la condition initiale. C'est exactement le terme $-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{6}{-2} = 3$ : l'oublier aurait fait répondre $0$.

5. Sens de variation. $f'(x) = 4\,e^{-2x}$, et l'exponentielle est strictement positive, donc $f' > 0$ sur $\mathbb{R}$ : $f$ est strictement croissante. Elle part de $f(0) = 1$ et monte vers $3$ sans jamais l'atteindre — croissante et majorée, elle converge : croître n'oblige pas à tendre vers $+\infty$.

Contrôle général. Trois réflexes : écrire les deux morceaux de la solution générale ; utiliser la condition initiale sur $f$, jamais sur $f'$ ; et vérifier la réponse en la dérivant.

Figure (fig.math.ode-solution-family, SVG programmatique à produire) : deux panneaux.

• Panneau gauche — le faisceau. Repère $(x\,;\,y)$, $x$ de $-0{,}5$ à $3$, $y$ de $-3$ à $8$. Sept courbes de la famille $x \mapsto C\,e^{-2x} + 3$ sont tracées en trait fin pour $C = -5, -2, -1, 0, 1, 2, 5$ ; celle de $C = 0$, la droite horizontale $y = 3$, est en trait épais et pointillé, légendée « solution constante : l'équilibre $-\dfrac{b}{a} = 3$ ». Toutes les autres courbes s'y écrasent vers la droite, sans jamais la traverser. La courbe $C = -2$ est en trait plein épais, avec un point marqué en $(0\,;\,1)$ légendé « la condition $f(0) = 1$ choisit CETTE courbe », et un second point en $(1\,;\,2{,}729)$. Un cartouche : « une infinité de solutions, une seule condition initiale ».
• Panneau droit — les deux régimes. Deux mini-repères côte à côte, même échelle. À gauche, trois solutions de $y' = -2y + 6$ (donc $a < 0$) qui convergent toutes vers la droite $y = 3$, avec l'étiquette « $a < 0$ : relaxation vers l'équilibre ». À droite, trois solutions de $y' = 2y - 6$ (donc $a > 0$, même équilibre $3$) qui s'écartent de la droite $y = 3$ vers le haut ou vers le bas selon le signe de $C$, avec l'étiquette « $a > 0$ : divergence ». Sous les deux, un bandeau : « même équilibre, comportements opposés — c'est le SIGNE de $a$ qui décide ».

Ce qu'il faut lire. Le panneau gauche montre ce que « résoudre une équation différentielle » veut dire : on obtient une famille de courbes, et la condition initiale est ce qui en désigne une. Il montre aussi, visuellement, que l'écart à l'équilibre ne change jamais de signe — aucune courbe ne traverse la droite horizontale. Le panneau droit isole le rôle du signe de $a$ : l'équilibre existe dans les deux cas, mais il n'est atteint que dans l'un.

La figure en détail : la figure comprend deux parties. À gauche, un repère montre sept courbes d'une même famille de solutions, qui toutes s'aplatissent vers une droite horizontale de hauteur trois lorsqu'on va vers la droite ; cette droite, tracée en pointillé épais, est elle-même une solution, la solution constante correspondant à l'équilibre. Une des courbes, tracée en trait plein épais, passe par le point d'abscisse zéro et d'ordonnée un, ce qui illustre le rôle de la condition initiale, et un second point marqué sur elle a pour abscisse un et pour ordonnée environ deux virgule sept trois. À droite, deux petits repères comparent deux équations de même équilibre : dans le premier, où le coefficient est négatif, les courbes rejoignent la droite d'équilibre ; dans le second, où il est positif, elles s'en éloignent vers le haut ou vers le bas.

Les unités. En mathématiques pures, $x$, $y$, $a$ et $b$ sont des nombres. En sciences, l'homogénéité est un contrôle gratuit : dans $y' = ay + b$, le coefficient $a$ est l'inverse d'un temps (en $\mathrm{s^{-1}}$ si $x$ est en secondes), $b$ est une grandeur de $y$ par unité de temps, et $-\dfrac{b}{a}$ a la même unité que $y$. Si l'équilibre n'a pas l'unité de $y$, il y a une faute de calcul.

Ce qui n'est pas ici. Les équations à coefficients variables, la variation de la constante, le second ordre et les systèmes différentiels relèvent de l'enseignement supérieur. En terminale, on résout $y' = ay + b$ et rien d'autre.

1. Oublier la solution particulière $-\dfrac{b}{a}$. Répondre $C\,e^{ax}$ à $y' = ay + b$ revient à résoudre l'équation homogène. Contrôle immédiat : la fonction proposée vérifie-t-elle l'équation quand on la dérive ? Sans le terme constant, il reste un $+\,b$ non compensé.
2. Écrire les solutions de $y' = ay$ sous la forme $e^{ax} + C$. La constante multiplie, elle ne s'ajoute pas. En dérivant $e^{ax} + C$ on obtient $a\,e^{ax}$, qui ne vaut $a\left(e^{ax} + C\right)$ que si $C = 0$.
3. Utiliser $f'(0)$ au lieu de $f(0)$. La condition initiale est une valeur de la FONCTION. La confusion donne une constante différente, donc une autre solution, sans qu'aucun calcul ne paraisse faux.
4. Se tromper de signe sur $-\dfrac{b}{a}$. Le terme constant est l'opposé de $\dfrac{b}{a}$. La parade est de ne pas retenir la formule mais la METHODE : chercher la constante $k$ telle que $ak + b = 0$, et vérifier.
5. Mettre le coefficient $a$ devant l'exponentielle au lieu de l'exposant. $C\,e^{ax}$, pas $a\,e^{Cx}$ ni $ae^{x}$. En cas de doute, dérive et compare.
6. Croire que l'équilibre dépend de la condition initiale. Quand $a < 0$, toutes les solutions tendent vers $-\dfrac{b}{a}$ ; la condition initiale ne change que la manière d'y arriver, pas la destination.
7. Croire qu'une solution finit par atteindre son équilibre. L'écart vaut $C\,e^{ax}$ : il tend vers $0$ sans jamais s'annuler. La courbe s'approche indéfiniment, elle ne touche pas.
8. Additionner deux conditions initiales. Une seule condition détermine une seule solution ; en donner deux à une équation du premier ordre est en général contradictoire, et signale une erreur de lecture de l'énoncé.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon pose une équation $y' = ay + b$ à coefficients entiers et une condition initiale, puis demande selon le tirage la limite de la solution en $+\infty$ (l'équilibre, exact), la constante $C$ imposée par la condition initiale (exacte), ou une valeur $f(x_1)$ de la solution (arrondie au millième). Un modèle voisin, à choix multiples, présente la copie d'un élève qui résout l'équation en quatre étapes — équation homogène, solution particulière, somme, condition initiale — dont une seule est fausse, les suivantes étant menées fidèlement à partir de ce qu'elle donne, toute l'arithmétique restant exacte. Il s'agit d'y trouver l'étape fautive.

Énoncé type. On considère l'équation différentielle

d'inconnue une fonction $y$ dérivable sur $\mathbb{R}$. Les solutions de $(E)$ s'écrivent $f(x) = C\,e^{-4x} + 2{,}5$, où $C$ est une constante réelle. Déterminer la valeur de $C$ pour laquelle $f(0) = 7$.

Corrigé complet.

1. Le terme constant. La solution particulière constante est

Contrôle : $-4 \times 2{,}5 + 10 = -10 + 10 = 0$ ✔.

2. La condition initiale, sur $f$ et non sur $f'$. Comme $e^{-4 \times 0} = e^{0} = 1$,

3. Résoudre. La condition $f(0) = 7$ s'écrit $C + 2{,}5 = 7$, donc

Réponse : $C = 4{,}5$, et $f(x) = 4{,}5\,e^{-4x} + 2{,}5$.

Auto-contrôle. Trois nombres circulent dans ce calcul et il ne faut pas les confondre : $7$ est la valeur initiale, $2{,}5$ la solution particulière constante, $4{,}5$ le coefficient de l'exponentielle. Ai-je bien vérifié en dérivant ? $f'(x) = -18\,e^{-4x}$, et $-4f(x) + 10 = -18\,e^{-4x} - 10 + 10 = -18\,e^{-4x}$ ✔. Et $f(0) = 4{,}5 + 2{,}5 = 7$ ✔.