Équations différentielles linéaires du second ordre

En terminale, tu as résolu $y' = ay + b$ : une famille de solutions à un paramètre, fixé par une seule condition initiale. Le second ordre change l'échelle du problème, et pas seulement d'un cran.

L'équation. On cherche les fonctions $y$, deux fois dérivables sur $\mathbb{R}$, telles que

$$y'' + a\,y' + b\,y = f(x),$$

où $a$ et $b$ sont des constantes réelles et $f$ une fonction donnée, appelée second membre. Quand $f$ est la fonction nulle, l'équation est dite homogène.

Pourquoi elle est partout. La loi de Newton appliquée à une masse rappelée par un ressort, la loi des mailles dans un circuit RLC, la désintégration couplée, la déformation d'une poutre : tous produisent une équation de cette forme. Ce n'est pas un hasard — dès qu'une accélération dépend linéairement d'une position et d'une vitesse, on y est. La leçon de physique sur l'oscillateur harmonique, dans ce même cycle, n'est rien d'autre que le cas $a = 0$ ; l'oscillateur amorti, le cas général.

La structure des solutions, à connaître avant tout calcul. L'application $y \mapsto y'' + a y' + b y$ est linéaire : elle transforme une somme en somme et un multiple en multiple. Deux conséquences, qui structurent toute la résolution.

1. Les solutions de l'équation homogène forment un espace vectoriel de dimension 2 : il existe deux solutions $y_1$ et $y_2$ non proportionnelles telles que toute solution homogène s'écrive $A\,y_1 + B\,y_2$, avec $A$ et $B$ réels.
2. La solution générale de l'équation avec second membre est

$$y = \underbrace{A\,y_1 + B\,y_2}_{\text{solution générale de l'homogène}} \ + \ \underbrace{y_p}_{\text{une solution particulière}}.$$

C'est le même schéma qu'au premier ordre, à ceci près qu'il y a maintenant deux constantes. Deux constantes, donc deux conditions pour les fixer : c'est le rôle du problème de Cauchy.

Théorème de Cauchy linéaire. Pour tout $x_0$ et tout couple $(y_0, v_0)$ de réels, il existe une et une seule solution vérifiant $y(x_0) = y_0$ et $y'(x_0) = v_0$.

Une seule condition ne suffit donc pas — elle laisse une infinité de solutions ; trois conditions, c'est une de trop — en général aucune solution ne les vérifie toutes. Deux, exactement deux, et la solution est unique. Physiquement, cela se dit en une phrase : pour prédire le mouvement d'un oscillateur, il faut connaître sa position et sa vitesse au départ.

L'idée qui résout l'homogène. Cherchons une solution de la forme $y = e^{rx}$, avec $r$ à déterminer. Alors $y' = r e^{rx}$ et $y'' = r^{2} e^{rx}$, donc

Comme l'exponentielle ne s'annule jamais, cette expression est nulle si et seulement si $r^{2} + ar + b = 0$.

Équation caractéristique. $r^{2} + a r + b = 0$. Son discriminant $\Delta = a^{2} - 4b$ décide de la forme des solutions.

Tout le reste de la leçon est la lecture des trois cas de ce discriminant — et la raison pour laquelle chacun donne la forme qu'il donne.

Cas 1 : $\Delta > 0$, deux racines réelles distinctes $r_1 \ne r_2$. On dispose de deux solutions $e^{r_1 x}$ et $e^{r_2 x}$, manifestement non proportionnelles. La solution générale de l'homogène est

Le comportement en $+\infty$ est dicté par la plus grande racine : si les deux sont négatives, tout s'éteint ; si l'une est positive, tout diverge. C'est le régime apériodique de l'oscillateur fortement amorti.

Cas 2 : $\Delta = 0$, une racine double $r = -a/2$. L'exponentielle $e^{rx}$ ne fournit plus qu'UNE direction, et il en faut deux. La seconde est $x\,e^{rx}$ — vérifions-le, car c'est l'endroit où l'on perd le plus de points. Posons $y = x e^{rx}$ ; alors $y' = e^{rx} + r x e^{rx}$ et $y'' = 2r\,e^{rx} + r^{2} x e^{rx}$, d'où

Le second crochet est nul puisque $r$ est racine ; le premier l'est aussi, précisément parce que $r = -a/2$, donc $2r + a = 0$. C'est cette double annulation, et elle seule, qui autorise le facteur $x$. La solution générale est

C'est le régime critique : le retour à l'équilibre le plus rapide sans oscillation.

Cas 3 : $\Delta < 0$, deux racines complexes conjuguées $r = \alpha \pm i\beta$ avec $\alpha = -a/2$ et $\beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}{2} > 0$. Les fonctions $e^{(\alpha + i\beta)x}$ et $e^{(\alpha - i\beta)x}$ sont solutions, mais à valeurs complexes. Comme les coefficients $a$ et $b$ sont réels, la partie réelle et la partie imaginaire d'une solution complexe sont elles-mêmes solutions ; les formules d'Euler donnent alors deux solutions réelles indépendantes, $e^{\alpha x}\cos(\beta x)$ et $e^{\alpha x}\sin(\beta x)$ :

On peut aussi l'écrire $y(x) = C\,e^{\alpha x}\cos(\beta x + \varphi)$ avec $C = \sqrt{A^{2} + B^{2}}$ : c'est la forme amplitude-phase, plus parlante en physique. Le facteur $e^{\alpha x}$ est l'enveloppe — elle décroît si $\alpha < 0$, elle est constante si $\alpha = 0$ — et $\beta$ est la pulsation des oscillations. C'est le régime pseudo-périodique.

Un mot sur le vocabulaire : dans les trois cas, $\alpha = -a/2$ est la même quantité. Le coefficient $a$ règle l'amortissement, le coefficient $b$ règle le rappel, et le signe de $\Delta = a^{2} - 4b$ dit lequel des deux l'emporte.

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Le second membre exponentiel, et la résonance. Soit à résoudre

On cherche une solution particulière de la forme $y_p = C\,e^{mx}$. En substituant, $y_p'' + a y_p' + b y_p = C(m^{2} + am + b)e^{mx}$, donc

c'est-à-dire à condition que $m$ ne soit pas racine de l'équation caractéristique. Si $m$ l'est, cette formule divise par zéro, et c'est un signal, pas un accident : la forme essayée est déjà solution de l'homogène, elle ne peut pas produire le second membre. La règle complète tient en trois lignes :

On monte donc d'un degré en $x$ par ordre de multiplicité — exactement comme le facteur $x$ était apparu dans le cas $\Delta = 0$, et pour la même raison algébrique. En physique, ce cas porte un nom : la résonance, quand l'excitation a la fréquence propre du système, et que la réponse croît au lieu de rester bornée.

Le principe de superposition. Si le second membre est une somme $f_1 + f_2$, une solution particulière est la somme des solutions particulières associées à $f_1$ et à $f_2$. C'est la linéarité, et c'est ce qui permet de traiter séparément chaque morceau d'un second membre compliqué.

Comment on fixe les constantes. Une fois écrite la solution générale $y = A y_1 + B y_2 + y_p$, on impose $y(x_0) = y_0$ et $y'(x_0) = v_0$. Cela donne un système linéaire de deux équations à deux inconnues $A$ et $B$, toujours inversible d'après le théorème de Cauchy. Deux avertissements pratiques : il faut dériver la solution complète, second membre compris — la solution particulière contribue à $y'(x_0)$ ; et il faut dériver avant de remplacer $x$ par $x_0$, jamais l'inverse.

Énoncé. Résoudre les problèmes suivants sur $\mathbb{R}$.

1. $y'' - y' - 6y = 0$, avec $y(0) = 1$ et $y'(0) = 8$.
2. $y'' + 2y' + 5y = 0$, avec $y(0) = 3$ et $y'(0) = 1$.
3. Donner la solution générale de $y'' - y' - 6y = 18\,e^{x}$.

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1. Discriminant strictement positif. Équation caractéristique : $r^{2} - r - 6 = 0$, de discriminant $\Delta = (-1)^{2} - 4 \times 1 \times (-6) = 1 + 24 = 25 > 0$. Racines :

Solution générale : $y(x) = A\,e^{3x} + B\,e^{-2x}$, et donc $y'(x) = 3A\,e^{3x} - 2B\,e^{-2x}$.

Les conditions initiales donnent le système

De la première, $B = 1 - A$ ; en substituant : $3A - 2(1 - A) = 8$, soit $5A = 10$, donc $A = 2$ et $B = -1$.

Vérification, en réinjectant. $y' = 6e^{3x} + 2e^{-2x}$ et $y'' = 18e^{3x} - 4e^{-2x}$. Alors

Et $y(0) = 2 - 1 = 1$, $y'(0) = 6 + 2 = 8$. $\checkmark$

2. Discriminant strictement négatif. Équation caractéristique : $r^{2} + 2r + 5 = 0$, de discriminant $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$. Racines complexes :

Solution générale réelle : $y(x) = e^{-x}\left(A\cos(2x) + B\sin(2x)\right)$.

Pour dériver, on applique la règle du produit — c'est ici qu'on perd des points en oubliant l'un des deux termes :

En $x = 0$ : $y(0) = A = 3$, et $y'(0) = -A + 2B = 1$, d'où $2B = 1 + 3 = 4$ et $B = 2$.

Lecture physique. L'enveloppe $e^{-x}$ décroît, la pulsation vaut $\beta = 2$ : le système oscille en s'amortissant, avec une pseudo-période $2\pi/2 = \pi$. L'amplitude initiale de l'oscillation est $\sqrt{3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{13}$, soit environ $3{,}6$.

3. Un second membre exponentiel. L'homogène est celle du point 1, de racines $3$ et $-2$. Le second membre est $18\,e^{x}$, donc $m = 1$. Comme $1 \notin \lbrace 3\,;\,-2 \rbrace$, $m$ n'est pas racine caractéristique : on cherche $y_p = C e^{x}$, sans facteur $x$.

En substituant : $y_p'' - y_p' - 6y_p = C(1 - 1 - 6)e^{x} = -6C\,e^{x}$. On veut $18\,e^{x}$, donc $-6C = 18$ et $C = -3$.

Vérification. Avec $y_p = -3e^{x}$ : $y_p'' - y_p' - 6y_p = -3e^{x} + 3e^{x} + 18e^{x} = 18e^{x}$. $\checkmark$

Et si le second membre avait été $k\,e^{3x}$ ? Alors $m = 3$ serait racine simple, la forme $Ce^{3x}$ donnerait $0 = k$, absurde. Il faudrait poser $y_p = Cx\,e^{3x}$, dont la substitution donne $(2m + a)C\,e^{3x} = (6 - 1)C\,e^{3x} = 5C\,e^{3x}$, soit $C = k/5$.

Contrôle général. Quatre réflexes. (a) Ai-je calculé $\Delta$ avant de choisir une forme ? (b) Ma solution homogène a-t-elle bien deux constantes indépendantes ? (c) Ai-je dérivé la solution complète avant d'imposer les conditions initiales ? (d) Ai-je réinjecté la solution finale dans l'équation ? Cette dernière vérification prend trois lignes et attrape presque toutes les erreurs de signe.

Figure (fig.math.second-order-linear, SVG programmatique à produire) : deux panneaux, les racines à gauche, les solutions à droite.

• Panneau gauche — le plan des racines. Un plan complexe, axe réel horizontal, axe imaginaire vertical, origine marquée. Trois configurations superposées dans trois vignettes empilées, chacune avec sa mention. (1) $\Delta > 0$ : deux points sur l'axe réel, en $3$ et $-2$, mention « deux racines réelles ». (2) $\Delta = 0$ : un seul point sur l'axe réel, en $-3$, doublé d'un petit cercle concentrique, mention « racine double : la seconde solution porte un facteur $x$ ». (3) $\Delta < 0$ : deux points symétriques par rapport à l'axe réel, en $-1 + 2i$ et $-1 - 2i$, reliés à l'axe réel par un trait pointillé qui matérialise $\alpha = -1$, et à l'axe imaginaire par un trait qui matérialise $\beta = 2$, mention « $\alpha$ amortit, $\beta$ fait osciller ».
• Panneau droit — les trois allures. Un même repère, $x$ de $0$ à $4$, $y$ de $-1$ à $3$, axe des abscisses tracé en trait plein (la position d'équilibre). Trois courbes, dans trois styles de trait distincts et étiquetées en toutes lettres, jamais par la seule couleur : (a) « apériodique, $\Delta > 0$ » — la courbe $2e^{-x} - e^{-2x}$, qui décroît vers $0$ sans jamais le traverser ; (b) « critique, $\Delta = 0$ » — la courbe $(2 + 7x)e^{-3x}$, qui monte brièvement puis retombe vers $0$ ; (c) « pseudo-périodique, $\Delta < 0$ » — la courbe $e^{-x}(3\cos 2x + 2\sin 2x)$, qui oscille en s'amortissant, avec ses deux enveloppes $\pm\sqrt{13}\,e^{-x}$ en pointillé fin et la pseudo-période $\pi$ cotée entre deux passages successifs par zéro dans le même sens.
• Bandeau du bas : une frise en trois cases, « une condition initiale : une infinité de solutions » / « deux conditions : une solution et une seule » / « trois conditions : en général aucune ». Chaque case porte une miniature du faisceau de courbes correspondant.

Ce qu'il faut lire. Le panneau gauche et le panneau droit disent la même chose dans deux langages : la position des racines dans le plan complexe est l'allure de la solution. Une racine réelle négative, c'est une exponentielle qui s'éteint ; une paire complexe, c'est une oscillation dont la partie réelle donne l'enveloppe et la partie imaginaire la pulsation ; une racine double, c'est le cas frontière où apparaît le facteur $x$. Le bandeau, lui, montre pourquoi il faut exactement deux conditions : c'est la dimension 2 de l'espace des solutions, rendue visible.

La figure en détail : la figure comprend deux parties. À gauche, trois petits plans complexes empilés montrent où se placent les racines de l'équation caractéristique dans chacun des trois cas : deux points distincts sur l'axe des réels quand le discriminant est positif ; un point unique, marqué comme double, quand il est nul ; et deux points symétriques par rapport à l'axe des réels quand il est négatif, avec leur partie réelle et leur partie imaginaire matérialisées par des traits pointillés. À droite, un même repère porte trois courbes de solutions, tracées dans des styles de trait différents et étiquetées en toutes lettres. La première décroît régulièrement vers l'axe des abscisses sans le traverser : c'est le régime apériodique. La deuxième monte brièvement avant de retomber vers zéro : c'est le régime critique. La troisième oscille de part et d'autre de l'axe en perdant de l'amplitude à chaque passage, encadrée par deux courbes enveloppes en pointillé, et sa pseudo-période est cotée entre deux passages successifs par zéro dans le même sens : c'est le régime pseudo-périodique. En bas, une frise de trois cases rappelle qu'une seule condition initiale laisse une infinité de solutions, que deux conditions en déterminent une et une seule, et que trois conditions n'en laissent en général aucune.

Les unités. Il n'y en a pas en mathématiques, mais l'équation est presque toujours dimensionnée en physique : si $x$ est un temps en secondes, $a$ est en $\mathrm{s^{-1}}$ et $b$ en $\mathrm{s^{-2}}$, de sorte que $\beta$ soit une pulsation en $\mathrm{rad\cdot s^{-1}}$ et $1/\lvert\alpha\rvert$ un temps caractéristique en secondes. Une équation dont les coefficients ne sont pas homogènes contient une erreur, avant même d'être résolue.

La méthode, en cinq pas. (1) Écrire l'équation caractéristique et calculer $\Delta$. (2) En déduire la solution générale de l'homogène, avec ses deux constantes. (3) S'il y a un second membre, chercher une solution particulière selon la table ci-dessus. (4) Additionner. (5) Imposer les deux conditions initiales à la solution complète, et résoudre le système $2 \times 2$.

Ce qui n'est pas dans cette leçon. Les coefficients non constants, la variation des constantes au second ordre et le wronskien ; les systèmes différentiels linéaires et l'exponentielle de matrice, qui supposent la réduction des endomorphismes ; l'étude de la réponse forcée en régime sinusoïdal, qui appartient à la physique du même cycle.

1. Oublier le facteur $x$ devant la seconde solution quand $\Delta = 0$. Écrire $y = A e^{rx} + B e^{rx}$ ne donne qu'une seule direction — les deux constantes se fondent en une, et il en manque une. La bonne forme est $(A + Bx)e^{rx}$, et sa légitimité tient à la double annulation démontrée dans le bloc précédent : $r$ est racine, ET $2r + a = 0$.
2. Garder une solution complexe quand $\Delta < 0$. L'équation est à coefficients réels et on cherche des solutions réelles : la réponse doit être écrite avec $\cos$ et $\sin$, jamais avec $e^{i\beta x}$. La forme complexe est un intermédiaire de calcul, pas un résultat.
3. Chercher une solution particulière de la même forme que la solution homogène. Si $m$ est racine caractéristique, $Ce^{mx}$ conduit à $0 = k$. Ce n'est pas un blocage, c'est l'indication qu'il faut multiplier par $x$ — une fois si la racine est simple, deux fois si elle est double.
4. Confondre $\alpha$ et $\beta$. $\alpha = -a/2$ est la partie réelle : elle règle l'enveloppe $e^{\alpha x}$, donc l'amortissement. $\beta$ est la partie imaginaire : elle règle la pulsation, donc la pseudo-période $2\pi/\beta$. Les échanger transforme un système amorti en système oscillant, et réciproquement.
5. Imposer les conditions initiales à la seule solution homogène. La solution particulière contribue à $y(x_0)$ et à $y'(x_0)$. Dans l'exemple 3, oublier le $-3e^{x}$ au moment de dériver fausse les deux constantes d'un coup.
6. Dériver après avoir remplacé $x$ par $x_0$. Une fois $x = 0$ substitué, il n'y a plus de fonction à dériver. On dérive d'abord la solution générale, littéralement, on substitue ensuite.
7. Se tromper de signe dans le discriminant. $\Delta = a^{2} - 4b$ porte sur les coefficients de l'équation caractéristique, pas sur ceux de l'équation différentielle réécrits au hasard. Vérifie que ton équation est bien sous la forme $y'' + ay' + by = f$, c'est-à-dire avec un coefficient $1$ devant $y''$ : sinon, divise toute l'équation d'abord.
8. Croire qu'une seule condition initiale suffit. Elle laisse une infinité de solutions. Il en faut deux, et deux seulement : c'est la dimension de l'espace des solutions homogènes, et c'est aussi ce que dit la physique — position et vitesse initiales.
9. Oublier de dériver un produit dans le cas $\Delta < 0$. La dérivée de $e^{\alpha x}\cos(\beta x)$ comporte deux termes. N'en écrire qu'un est l'erreur la plus fréquente du cas 3, et elle passe inaperçue parce qu'elle produit quand même un système soluble.
10. Ne pas vérifier la solution finale. Réinjecter $y$ dans l'équation prend trois lignes et attrape la quasi-totalité des erreurs de signe et de constante. Aucun autre contrôle n'a un aussi bon rapport coût-bénéfice.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon construit l'équation depuis ses racines — c'est ce qui garantit que les constantes tombent juste — puis tire les conditions initiales. Selon la variante : discriminant strictement positif et solution en somme de deux exponentielles ; discriminant nul, où l'on demande précisément $B$, le coefficient de $x$ (le piège n° 1) ; discriminant strictement négatif et solution amortie-oscillante ; ou second membre exponentiel dont on cherche le coefficient de la solution particulière. Un modèle voisin, à choix multiples, demande la forme de la solution générale parmi quatre écritures calculées depuis l'équation, ou la forme sous laquelle chercher une solution particulière selon la multiplicité de $m$, ou encore combien de solutions vérifient une, deux ou trois conditions en $0$.

Énoncé type. On considère l'équation différentielle

et la solution qui vérifie $y(0) = 2$ et $y'(0) = 1$. Cette solution s'écrit $y(x) = (A + Bx)\,e^{rx}$. Déterminer $B$.

Corrigé complet.

1. Équation caractéristique. $r^{2} + 6r + 9 = 0$, de discriminant

Le discriminant est nul : il y a une racine double

ce que confirme la factorisation $r^{2} + 6r + 9 = (r+3)^{2}$.

2. Forme de la solution. Racine double, donc la seconde solution porte un facteur $x$ :

3. Dériver, en produit. On dérive $(A + Bx)$ et $e^{-3x}$ séparément :

4. Imposer les conditions. En $x = 0$, l'exponentielle vaut $1$ :

De la seconde, $B = 1 + 3A = 1 + 6 = 7$.

Réponse : $B = 7$ (et $A = 2$, soit $y(x) = (2 + 7x)\,e^{-3x}$).

5. Vérification, en réinjectant. Avec $y = (2 + 7x)e^{-3x}$ :

Alors

Et $y(0) = 2$, $y'(0) = 1$. $\checkmark$

Auto-contrôle. Ai-je calculé $\Delta$ avant de choisir la forme ? Ai-je bien mis le facteur $x$ — sans lui, la deuxième condition serait impossible à satisfaire ? Ai-je dérivé le produit avec ses deux termes ? Et ai-je réinjecté la solution complète dans l'équation, seule vérification qui teste tout à la fois ?