La proportionnalité : reconnaître et calculer

Au marché, les tomates coûtent le même prix au kilo. Pour $2$ kg tu paies $5$ €, pour $4$ kg tu paies $10$ €, pour $6$ kg tu paies $15$ €.

Regarde ce qui se passe : quand la masse double, le prix double aussi. Quand la masse triple, le prix triple. Deux grandeurs qui se comportent ainsi sont dites proportionnelles.

Une définition précise. Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre s'appelle le coefficient de proportionnalité.

Pour les tomates : $2 \times 2{,}5 = 5$, $4 \times 2{,}5 = 10$, $6 \times 2{,}5 = 15$. Le même nombre $2{,}5$ revient à chaque fois. C'est le prix d'un kilo, en euros par kilogramme.

Toutes les situations ne sont pas proportionnelles. L'âge d'un enfant et sa taille ne le sont pas : un enfant de $10$ ans ne mesure pas le double d'un enfant de $5$ ans. Un abonnement de téléphone à $5$ € par mois plus $0{,}10$ € par minute d'appel ne l'est pas non plus : il y a une part fixe qu'on paie même sans téléphoner.

Comment reconnaître une situation proportionnelle. Une seule vérification suffit : on divise chaque valeur de la seconde grandeur par la valeur correspondante de la première. Si l'on retrouve toujours le même quotient, la situation est proportionnelle. Sinon, elle ne l'est pas.

Ici, $5 \div 2 = 2{,}5$, puis $10 \div 4 = 2{,}5$, puis $15 \div 6 = 2{,}5$. Trois fois le même quotient : c'est bien un tableau de proportionnalité.

Attention, une erreur de lecture guette. Entre les colonnes, on ajoute $2$ à la masse et $5$ au prix. On pourrait croire que la proportionnalité consiste à ajouter la même quantité. C'est faux : ce qui la définit, c'est de multiplier par le même nombre. Le tableau $1 \mid 2$ et $3 \mid 4$ ajoute bien $1$ des deux côtés, et pourtant $3 \div 1 = 3$ tandis que $4 \div 2 = 2$ : ce n'est pas de la proportionnalité.

À quoi cela sert. Dès qu'une situation est proportionnelle, une seule donnée complète suffit pour calculer toutes les autres. C'est ce qui rend cette notion utile partout : recettes de cuisine, échelles de plans, vitesses, consommations, concentrations en chimie.

Le coefficient de proportionnalité a un sens concret. Ce n'est pas un nombre abstrait : c'est la valeur de la seconde grandeur quand la première vaut $1$. Pour les tomates, le coefficient $2{,}5$ est le prix d'un kilo, en euros par kilogramme. Pour une voiture, il peut être la consommation par kilomètre. Pour un robinet, le volume écoulé par minute.

Le passage à l'unité. C'est la méthode la plus sûre, et celle qui se comprend le mieux. On procède en deux temps.

1. Chercher la valeur qui correspond à une seule unité de la première grandeur : c'est le coefficient.
2. Multiplier ce coefficient par la quantité voulue.

Exemple : $4$ kg de pommes coûtent $7$ €, combien coûtent $10$ kg ? On calcule $7 \div 4 = 1{,}75$ € pour un kilo, puis $1{,}75 \times 10 = 17{,}5$ €.

Le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité, une case est inconnue :

Le produit en croix dit que la case cherchée vaut $7 \times 10 \div 4$, c'est-à-dire $17{,}5$ €. On multiplie les deux nombres placés en diagonale de la case vide, puis on divise par le troisième.

Ce n'est pas une formule magique : c'est exactement le passage à l'unité, écrit dans un autre ordre. $7 \times 10 \div 4$ et $7 \div 4 \times 10$ donnent le même résultat. Le produit en croix est plus rapide ; le passage à l'unité est plus facile à contrôler. Utilise le second pour calculer, le premier pour vérifier.

Deux façons de lire un tableau. On peut passer d'une ligne à l'autre en multipliant par le coefficient, ou d'une colonne à l'autre en multipliant par le rapport des deux situations. Dans l'exemple ci-dessus, on passe de la colonne $4$ kg à la colonne $10$ kg en multipliant par $2{,}5$ — et le prix se multiplie par $2{,}5$ lui aussi. Les deux lectures conduisent à la même réponse ; choisis celle dont les nombres sont les plus simples.

Le coefficient inverse existe aussi. Si le prix vaut $1{,}75$ € par kilo, alors un euro achète $1 \div 1{,}75 \approx 0{,}57$ kg. Les deux coefficients sont inverses l'un de l'autre. Se tromper de sens est l'erreur la plus coûteuse du chapitre : vérifie toujours l'ordre de grandeur du résultat.

Le contrôle d'ordre de grandeur. Avant d'écrire la réponse, demande-toi si elle doit être plus grande ou plus petite que la donnée de départ. $10$ kg, c'est plus que $4$ kg : le prix doit donc être plus élevé que $7$ €. Trouver $2{,}80$ € signalerait une division faite à l'envers.

La signature graphique. Quand on place les couples de valeurs comme des points sur un graphique, une situation proportionnelle donne des points alignés avec l'origine, c'est-à-dire sur une droite qui passe par le point $(0\,;0)$. Une situation avec part fixe donne aussi des points alignés, mais sur une droite qui ne passe pas par l'origine. Cette lecture graphique s'approfondit les années suivantes ; retiens seulement l'image.

Énoncé. Un robinet à débit constant remplit un seau de $9$ L en $4$ min.

1. Quel volume d'eau ce robinet laisse-t-il couler en $10$ min ?

2. Le tableau ci-dessous relève la taille d'un enfant à trois âges. Est-ce un tableau de proportionnalité ?

Question 1.

1. Vérifier que la situation est proportionnelle. Le débit est constant : chaque minute laisse couler le même volume. Doubler la durée double le volume. La situation est donc proportionnelle.

2. Ranger les données dans un tableau.

3. Passer à l'unité. On cherche le volume écoulé en $1$ min :

Le robinet laisse couler $2{,}25$ L par minute. C'est le coefficient de proportionnalité.

4. Multiplier par la durée voulue.

En $10$ min, il coule $22{,}5$ L.

5. Contrôler par le produit en croix.

Même valeur : le calcul est cohérent.

6. Contrôler l'ordre de grandeur. $10$ min, c'est un peu plus du double de $4$ min. Le volume doit donc être un peu plus du double de $9$ L, soit un peu plus de $18$ L. On trouve $22{,}5$ L : c'est plausible.

Question 2.

1. Calculer le quotient de chaque colonne. On divise la taille par l'âge :

2. Comparer. Les trois quotients sont différents : $25{,}5$, puis $16$, puis $12{,}5$.

3. Conclure. Le tableau n'est pas un tableau de proportionnalité. La taille n'est pas proportionnelle à l'âge — ce que le bon sens confirme : un enfant de $12$ ans ne mesure pas trois fois la taille d'un enfant de $4$ ans.

4. Voir l'erreur qu'on a évitée. Appliquer le produit en croix ici donnerait une taille de $102 \times 12 \div 4 = 306$ cm à $12$ ans. Le produit en croix ne se vérifie jamais tout seul : c'est à toi de contrôler d'abord que la situation est proportionnelle.

Figure (fig.math.proportionality-table, SVG programmatique à produire) : deux tableaux côte à côte, l'un proportionnel et l'autre non, avec les flèches des deux lectures et un contre-exemple.

• À gauche, le tableau proportionnel : deux lignes, « Durée (min) » avec les valeurs $2$, $4$, $10$, et « Volume (L) » avec $4{,}5$, $9$, $22{,}5$. Les colonnes sont encadrées.
• Flèches verticales partant de chaque case de la ligne du haut vers la case correspondante du bas, toutes étiquetées $\times 2{,}25$, dessinées de la même couleur et de la même épaisseur pour signifier que c'est le même coefficient partout.
• Flèches horizontales au-dessus du tableau, de la colonne $2$ vers la colonne $4$ étiquetée $\times 2$, et de la colonne $4$ vers la colonne $10$ étiquetée $\times 2{,}5$ ; les mêmes flèches sont répétées sous la ligne du bas, avec les mêmes étiquettes, pour montrer que les deux lignes se multiplient par le même facteur d'une colonne à l'autre.
• Encart du produit en croix, sous le tableau de gauche : les quatre cases $4$, $10$, $9$ et une case vide marquée d'un point d'interrogation, reliées par deux diagonales en pointillés. La diagonale qui joint $9$ et $10$ porte « on multiplie », le trait qui mène à $4$ porte « on divise ». Le résultat $22{,}5$ est écrit sous la case vide.
• À droite, le tableau non proportionnel : deux lignes, « Âge (années) » avec $4$, $8$, $12$, et « Taille (cm) » avec $102$, $128$, $150$. Sous chaque colonne, le quotient calculé est écrit dans un petit cartouche : $25{,}5$, puis $16$, puis $12{,}5$. Les trois cartouches sont de trois nuances nettement différentes et un bandeau barré traverse le tableau avec la mention « quotients différents : pas proportionnel ».
• Encart de la part fixe, en bas à droite : un troisième petit tableau « Durée d'appel (min) » $0$, $10$, $20$ et « Facture (€) » $5$, $6$, $7$, avec une flèche pointant la case $5$ € au-dessus de $0$ min et la mention « on paie déjà $5$ € sans téléphoner : part fixe, donc pas proportionnel ».

Ce qu'il faut lire. À gauche, toutes les flèches verticales portent la même étiquette : c'est la définition même de la proportionnalité. À droite, les trois quotients affichés dessous sont visiblement différents, et aucun coefficient unique n'existe. L'encart du bas montre le cas le plus trompeur : les colonnes progressent régulièrement, mais la présence d'une valeur non nulle en face de zéro suffit à écarter la proportionnalité.

La figure en détail : à gauche, un tableau à deux lignes, durée en minutes valant deux, quatre et dix, et volume en litres valant quatre virgule cinq, neuf et vingt-deux virgule cinq. Des flèches verticales identiques relient chaque durée à son volume, toutes étiquetées multiplié par deux virgule vingt-cinq. Des flèches horizontales au-dessus et au-dessous du tableau portent les mêmes étiquettes, multiplié par deux puis multiplié par deux virgule cinq. Dessous, un encart montre les quatre cases du produit en croix reliées par deux diagonales en pointillés, avec le résultat vingt-deux virgule cinq. À droite, un tableau à deux lignes, âge en années valant quatre, huit et douze, et taille en centimètres valant cent deux, cent vingt-huit et cent cinquante ; sous chaque colonne, le quotient est écrit, vingt-cinq virgule cinq, seize et douze virgule cinq, et un bandeau barré indique que les quotients sont différents, donc que le tableau n'est pas proportionnel. En bas à droite, un petit tableau montre une durée d'appel de zéro, dix et vingt minutes en face d'une facture de cinq, six et sept euros, avec la mention qu'on paie déjà cinq euros sans téléphoner, ce qui est une part fixe.

Unités du coefficient. Le coefficient de proportionnalité porte une unité, obtenue en divisant celle de la seconde grandeur par celle de la première : des euros par kilogramme (€/kg), des litres par minute (L/min), des kilomètres par heure (km/h). Écrire cette unité est le meilleur moyen de vérifier qu'on n'a pas divisé à l'envers.

Domaine de validité. Le produit en croix ne s'applique que si la situation est proportionnelle. Rien dans les nombres eux-mêmes ne le garantit : c'est la situation décrite qui le décide. De plus, on ne divise jamais par zéro : $a \neq 0$ dans toutes les formules ci-dessus.

Un repère infaillible. Dans une situation proportionnelle, à la valeur $0$ de la première grandeur correspond toujours la valeur $0$ de la seconde. Zéro kilo de tomates coûte zéro euro. Dès qu'une part fixe apparaît — abonnement, frais de dossier, prix du récipient —, la situation cesse d'être proportionnelle.

1. Appliquer le produit en croix à une situation qui n'est pas proportionnelle. C'est l'erreur la plus grave, parce que le calcul se déroule sans anomalie et donne un résultat d'apparence honnête. Un enfant de $4$ ans mesure $102$ cm : le produit en croix annoncerait $306$ cm à $12$ ans. Avant tout calcul, demande-toi si doubler la première grandeur doit vraiment doubler la seconde.
2. Ajouter la même quantité au lieu de multiplier par le même nombre. Passer de $1$ à $2$ puis de $3$ à $4$ ajoute $1$ des deux côtés, et pourtant $3 \div 1 = 3$ alors que $4 \div 2 = 2$. La proportionnalité se lit sur les quotients, jamais sur les différences.
3. Inverser le coefficient. Diviser quand il fallait multiplier donne une réponse absurdement petite, ou l'inverse. Le contrôle est immédiat : écris l'unité du coefficient. Si tu cherches un prix à partir d'une masse, le coefficient est en €/kg — pas en kg/€.
4. Oublier la part fixe. Un forfait à $5$ € plus $0{,}10$ € la minute n'est pas proportionnel à la durée d'appel. Le test décisif : que paie-t-on pour zéro minute ? Si ce n'est pas zéro, la situation n'est pas proportionnelle.
5. Croire qu'un tableau bien rangé est forcément proportionnel. Une suite de nombres qui augmentent régulièrement peut ne pas l'être. Seuls les quotients décident.
6. Ne vérifier qu'une seule colonne. Un tableau peut être proportionnel sur trois colonnes et faux sur la quatrième. Calcule tous les quotients avant de conclure.
7. Confondre le coefficient et le rapport entre deux colonnes. Le coefficient relie les deux lignes ; le rapport relie deux colonnes de la même ligne. Ce sont deux nombres différents, tous deux utiles, mais qui ne se remplacent pas.
8. Arrondir trop tôt. Si le coefficient tombe sur un nombre à décimales infinies, garde-le sous forme de quotient jusqu'au dernier calcul, ou utilise le produit en croix. Arrondir dès la première étape fausse le résultat final.

À quoi t'attendre. L'exercice tire au sort l'une de cinq situations du quotidien — une recette, la consommation de carburant d'un véhicule, un prix au kilo, l'échelle d'un plan, le remplissage d'un robinet — et donne une correspondance complète, puis en demande une seconde. L'énoncé précise explicitement que la situation est proportionnelle : l'exercice évalue le calcul, pas la reconnaissance. La réponse est un nombre avec son unité. Un exercice voisin affiche un tableau et demande, par vrai ou faux, s'il s'agit d'un tableau de proportionnalité — c'est là que la reconnaissance est évaluée.

Énoncé type. Un robinet remplit un seau de $9$ L en $4$ min, à débit constant. La situation est proportionnelle. Quel volume d'eau ce robinet laisse-t-il couler en $10$ min ?

Corrigé complet.

1. Identifier les deux grandeurs. La durée, en minutes, et le volume écoulé, en litres. On cherche une quatrième proportionnelle : la valeur manquante dans un tableau à quatre cases.

2. Écrire le tableau.

3. Passer à l'unité. Le volume écoulé en $1$ min vaut

C'est le coefficient de proportionnalité, exprimé en litres par minute.

4. Multiplier par la durée demandée.

5. Répondre avec l'unité. En $10$ min, le robinet laisse couler $22{,}5$ L.

6. Contrôler par le produit en croix.

Le même résultat par un autre chemin : le calcul est cohérent.

7. Contrôler l'ordre de grandeur. $10$ min représentent deux fois et demie $4$ min. Le volume doit donc valoir deux fois et demie $9$ L, soit un peu plus de $20$ L. C'est bien le cas.

Auto-contrôle : écris toujours l'unité de ton coefficient. Ici, $2{,}25$ s'exprime en litres par minute — et non en minutes par litre. Si l'unité que tu écris ne correspond pas à ce que tu cherches, tu as divisé dans le mauvais sens, et il suffit d'échanger le dividende et le diviseur.