Produit scalaire : trois expressions, une seule opération

En seconde, les vecteurs savaient s'additionner et se multiplier par un réel ; le déterminant disait s'ils étaient colinéaires. Mais rien ne mesurait l'angle entre deux vecteurs, rien ne disait s'ils étaient perpendiculaires, et les normes ne se calculaient que dans un repère orthonormé. Le produit scalaire comble ces trois manques d'un coup. C'est une opération qui prend deux vecteurs et fabrique — attention — un nombre réel, pas un vecteur.

Première expression : par la norme et l'angle. Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls. On note $(\vec{u}\ ;\ \vec{v})$ l'angle géométrique qu'ils forment quand on les fait partir du même point — un angle de $[0\ ;\ \pi]$, en radians, ou de $[0°\ ;\ 180°]$. On définit

Si l'un des deux vecteurs est nul, on pose $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. On lit « $\vec{u}$ scalaire $\vec{v}$ ». Le point entre les deux vecteurs n'est pas une multiplication de nombres : c'est le symbole de cette opération nouvelle.

Regarde ce que fait le cosinus. Il vaut $1$ quand les vecteurs sont colinéaires de même sens (angle nul) : le produit scalaire est alors le produit des normes, la plus grande valeur possible. Il vaut $-1$ pour deux vecteurs colinéaires de sens contraires : produit scalaire égal à l'opposé du produit des normes. Il vaut $0$ pour un angle droit. Entre les deux, il est positif pour un angle aigu et négatif pour un angle obtus. Le signe du produit scalaire dit donc si les deux vecteurs « tirent plutôt dans le même sens » ou « plutôt en sens contraires » — et le cas nul est celui de la perpendicularité.

Pour deux vecteurs non nuls : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ si et seulement si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux. Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur — ce qui rend l'équivalence vraie dans tous les cas.

Cette caractérisation est l'usage numéro un du produit scalaire : démontrer qu'un angle est droit sans mesurer, par un calcul.

Deuxième expression : par la projection orthogonale. Soient $A$, $B$, $C$ trois points, $A \neq B$, et $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$. Dans le triangle $AHC$, rectangle en $H$, le cosinus de l'angle en $A$ vaut $\dfrac{AH}{AC}$ quand cet angle est aigu ; en reportant dans la première expression, $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AC \times \dfrac{AH}{AC} = AB \times AH$. Quand l'angle est obtus, $H$ tombe de l'autre côté de $A$ et le cosinus est négatif : le produit vaut $-AB \times AH$. En résumé :

Autrement dit, on peut remplacer $\vec{AC}$ par son projeté $\vec{AH}$ sur la direction de $\vec{AB}$ sans changer le produit scalaire : seule compte la composante de $\vec{AC}$ « le long de » $\vec{AB}$. C'est cette expression que la physique utilise pour le travail d'une force — la composante de la force le long du déplacement, multipliée par la longueur du déplacement.

Ce que le produit scalaire n'est pas. Il n'est pas un vecteur : $\vec{u} \cdot \vec{v}$ n'a ni direction ni sens, on ne peut pas le dessiner comme une flèche. Il n'est pas le produit des normes : le cosinus est là, et il n'est égal à $1$ que pour des vecteurs colinéaires de même sens. Et un produit scalaire nul ne signifie pas qu'un des vecteurs est nul : c'est le cas, tout à fait ordinaire, de deux vecteurs perpendiculaires.

Les propriétés de calcul. Le produit scalaire se manipule presque comme un produit de nombres, avec deux règles.

• Symétrie : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ (le cosinus ne dépend pas de l'ordre).
• Bilinéarité : $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ et $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k\,(\vec{u} \cdot \vec{v})$ pour tout réel $k$ — on développe comme d'habitude. (La première se voit par la projection : projeter une somme, c'est sommer les projetés.)

Et un cas particulier essentiel : $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{u}\| \times \cos 0 = \|\vec{u}\|^2$. On note aussi $\vec{u}^{\,2}$ ce carré scalaire. Il transforme toute longueur en produit scalaire — et c'est la clé de tout ce qui suit.

Les identités remarquables. En développant $(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v})$ par bilinéarité et symétrie :

La première fournit une troisième expression du produit scalaire, uniquement par des normes :

Elle sert quand on connaît trois longueurs et aucun angle. Elle explique aussi pourquoi, en seconde, la norme d'une somme n'était pas la somme des normes : il manque le terme $2\,\vec{u} \cdot \vec{v}$, positif ou négatif selon l'angle.

L'expression en coordonnées. Plaçons-nous dans un repère orthonormé $(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j})$ : $\|\vec{i}\| = \|\vec{j}\| = 1$ et $\vec{i} \cdot \vec{j} = 0$. Pour $\vec{u}\,(x\ ;\ y)$ et $\vec{v}\,(x'\ ;\ y')$, c'est-à-dire $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}$ et $\vec{v} = x'\vec{i} + y'\vec{j}$, la bilinéarité développe le produit en quatre termes, dont deux sont nuls ($\vec{i} \cdot \vec{j} = 0$) et deux valent $xx'$ et $yy'$ :

C'est l'expression la plus rapide quand on a un repère — et elle exige qu'il soit orthonormé, exactement comme la formule $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$, qui n'en est que le cas $\vec{v} = \vec{u}$. Dans un repère quelconque, $\vec{i} \cdot \vec{j} \neq 0$ et la formule est fausse.

La formule d'Al-Kashi. Dans un triangle $ABC$, on a $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$ (relation de Chasles). Élevons au carré scalaire :

et avec la première expression, $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AC \times \cos \widehat{A}$ :

C'est le théorème de Pythagore avec un terme correctif : quand $\widehat{A}$ est droit, le cosinus est nul et on retrouve $BC^2 = AB^2 + AC^2$. Quand $\widehat{A}$ est aigu, on retranche ; quand il est obtus, le cosinus est négatif et on ajoute. Al-Kashi calcule un côté à partir de deux côtés et de l'angle compris, ou un angle à partir des trois côtés.

Choisir l'expression selon les données. C'est la compétence réelle de ce chapitre.

Les expressions donnent toujours le même nombre : ce sont trois façons de calculer une seule quantité, et passer de l'une à l'autre est précisément ce qui permet de trouver un angle à partir de coordonnées, ou une longueur à partir d'un angle.

Énoncé. Dans un repère orthonormé, on donne $A(1\ ;\ 1)$, $B(5\ ;\ 2)$ et $C(2\ ;\ 4)$.

1. Calculer $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$. 2) En déduire une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ au dixième de degré près. 3) Contrôler la longueur $BC$ par la formule d'Al-Kashi. 4) Déterminer le réel $k$ tel que le vecteur $\vec{w}\,(1\ ;\ k)$ soit orthogonal à $\vec{AB}$.

1) En coordonnées. Arrivée moins départ : $\vec{AB}\,(5 - 1\ ;\ 2 - 1) = (4\ ;\ 1)$ et $\vec{AC}\,(2 - 1\ ;\ 4 - 1) = (1\ ;\ 3)$. Le repère est orthonormé, donc

Le résultat est un nombre, positif : l'angle en $A$ est aigu.

2) Passer à l'expression norme-angle. Normes : $\|\vec{AB}\| = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}$ et $\|\vec{AC}\| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$. La première expression s'écrit $7 = \sqrt{17} \times \sqrt{10} \times \cos \widehat{BAC}$, d'où

C'est la valeur exacte. Numériquement, $\sqrt{170} \approx 13{,}038$, donc $\cos \widehat{BAC} \approx 0{,}536\,9$, et la calculatrice (en degrés) donne $\widehat{BAC} \approx 57{,}5°$. L'angle est bien aigu, comme le signe l'annonçait.

3) Contrôle par Al-Kashi. D'une part, directement : $\vec{BC}\,(2 - 5\ ;\ 4 - 2) = (-3\ ;\ 2)$, donc $BC^2 = 9 + 4 = 13$. D'autre part, par Al-Kashi avec la valeur exacte du cosinus :

Les deux calculs coïncident, et l'on remarque que $2 \times AB \times AC \times \cos \widehat{A}$ n'est rien d'autre que $2\,\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 14$ : Al-Kashi est la seconde identité remarquable. Enfin $BC = \sqrt{13} \approx 3{,}61$.

4) Une coordonnée pour l'orthogonalité. $\vec{w} \perp \vec{AB}$ équivaut à $\vec{w} \cdot \vec{AB} = 0$ (les deux vecteurs sont non nuls). En coordonnées : $1 \times 4 + k \times 1 = 0$, soit $4 + k = 0$ et $k = -4$. Contrôle : $\vec{w}\,(1\ ;\ -4)$ et $\vec{AB}\,(4\ ;\ 1)$ donnent $4 - 4 = 0$. Remarque : les coordonnées de $\vec{w}$ sont celles de $\vec{AB}$ échangées, l'une changée de signe — c'est la recette générale d'un vecteur orthogonal à $(a\ ;\ b)$, à savoir $(-b\ ;\ a)$ ou $(b\ ;\ -a)$, et elle s'explique par $-ab + ba = 0$.

Le moment décisif : à la question 2, on a calculé le même produit scalaire de deux façons — en coordonnées (question 1), puis par la norme et l'angle. C'est l'égalité des deux expressions qui a livré l'angle. Le produit scalaire ne sert pas à « obtenir un nombre » ; il sert de pont entre les données (ici des coordonnées) et l'inconnue (un angle).

Figure (SVG programmatique à produire) : trois panneaux — le produit scalaire vu par la projection, avec son signe ; le triangle de l'exemple guidé dans son repère ; la configuration d'Al-Kashi.

• Panneau 1 — la projection et le signe. Deux vignettes côte à côte, sans repère. Dans chacune, un point $A$, une flèche $\vec{AB}$ horizontale en trait épais, une flèche $\vec{AC}$ en trait plein partant aussi de $A$, et le projeté orthogonal $H$ de $C$ sur $(AB)$ marqué d'un petit carré d'angle droit au pied de la perpendiculaire en pointillés. Vignette de gauche : angle aigu, $H$ entre $A$ et $B$, le segment $[AH]$ surligné avec la cote « $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AH > 0$ ». Vignette de droite : angle obtus, $H$ derrière $A$ (de l'autre côté que $B$), le segment $[AH]$ surligné avec la cote « $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -AB \times AH < 0$ ». Sous les deux, une troisième mini-vignette où $\vec{AC}$ est perpendiculaire à $\vec{AB}$ : $H = A$, cote « produit scalaire nul ».
• Panneau 2 — le triangle de l'exemple. Repère orthonormé, $x$ de $0$ à $6$, $y$ de $0$ à $5$, quadrillage. Les points $A(1\ ;\ 1)$, $B(5\ ;\ 2)$, $C(2\ ;\ 4)$ reliés en triangle, les flèches $\vec{AB}\,(4\ ;\ 1)$ et $\vec{AC}\,(1\ ;\ 3)$ en trait épais depuis $A$ avec leurs coordonnées en cartouche. L'angle $\widehat{BAC}$ marqué par un arc et coté « $\approx 57{,}5°$ ». Le projeté $H$ de $C$ sur $(AB)$ en pointillés, avec la cote « $AH = \dfrac{7}{\sqrt{17}} \approx 1{,}70$ ». En encadré : « $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 4 \times 1 + 1 \times 3 = 7 = \sqrt{17} \times \sqrt{10} \times \cos \widehat{A} = AB \times AH$ » — les trois expressions alignées sur une même ligne, avec le même résultat.
• Panneau 3 — Al-Kashi. Un triangle $ABC$ quelconque, sans repère, l'angle $\widehat{A}$ marqué, les côtés cotés $AB$, $AC$ et $BC$. À côté, la formule $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos \widehat{A}$, dont le dernier terme est encadré avec la mention « nul si $\widehat{A}$ est droit : Pythagore ». Deux petites silhouettes de triangle, l'une à angle aigu (terme retranché), l'autre à angle obtus (cosinus négatif : terme ajouté).

Ce qu'il faut lire. Le panneau 1 est la définition rendue visible : le produit scalaire ne regarde que la composante de $\vec{AC}$ le long de $\vec{AB}$, et le signe dit de quel côté de $A$ tombe cette composante — même sens, sens contraire, ou nulle quand l'angle est droit. Le panneau 2 montre les trois expressions calculant le même nombre sur un vrai triangle ; c'est cette égalité qui permet de trouver un angle à partir de coordonnées. Le panneau 3 fait d'Al-Kashi une généralisation de Pythagore : le terme en cosinus mesure l'écart à l'angle droit, en plus ou en moins.

La figure en détail : à gauche, deux petites scènes montrant un point de départ commun, une flèche horizontale et une flèche inclinée ; la pointe de la flèche inclinée est projetée perpendiculairement sur la droite horizontale. Dans la première scène, le projeté tombe en avant du point de départ et le produit est positif ; dans la seconde, l'angle est ouvert au-delà de l'angle droit, le projeté tombe en arrière et le produit est négatif. Au centre, un triangle dans un quadrillage, sommets aux points de coordonnées un-un, cinq-deux et deux-quatre, avec l'angle au premier sommet mesuré à environ cinquante-sept degrés et demi, et un encadré montrant que le calcul par coordonnées, le calcul par les longueurs et l'angle, et le calcul par le projeté donnent tous sept. À droite, un triangle quelconque avec la formule d'Al-Kashi, dont le dernier terme disparaît quand l'angle est droit.

Domaine de validité. L'expression par la norme et l'angle vaut pour deux vecteurs non nuls (un vecteur nul n'a pas de direction, donc pas d'angle) ; le cas nul est fixé par convention. L'angle $(\vec{u}\ ;\ \vec{v})$ est l'angle géométrique de $[0\ ;\ \pi]$, et comme $\cos(-\theta) = \cos \theta$, le sens de parcours n'a pas d'importance : le produit scalaire est symétrique. L'expression $xx' + yy'$ suppose une base orthonormée ; la projection suppose $A \neq B$. Al-Kashi vaut dans tout triangle, l'angle utilisé étant celui opposé au côté calculé.

Écritures. $\vec{u} \cdot \vec{v}$ est un nombre, sans flèche ; $\vec{u}^{\,2}$ désigne $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$, un nombre positif. Écrire « $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{w}$ » est une faute de nature. Les coordonnées de ce chapitre sont sans unité ; en physique, un produit scalaire de deux grandeurs vectorielles porte le produit des unités (une force en newtons par un déplacement en mètres donne des joules).

Contrôles gratuits. Le signe du produit scalaire doit correspondre à l'angle vu sur la figure (aigu : positif ; obtus : négatif). Un cosinus trouvé doit être dans $[-1\ ;\ 1]$ — sinon, une norme est fausse. Le carré d'une longueur trouvée par Al-Kashi doit être positif, et la longueur doit vérifier l'inégalité triangulaire.

1. Croire que le produit scalaire est un vecteur. $\vec{u} \cdot \vec{v}$ est un réel : $4 \times 1 + 1 \times 3 = 7$, sans direction ni sens. Il ne se dessine pas, ne s'additionne pas à un vecteur, ne se projette pas. La somme $\vec{u} + \vec{v}$ est un vecteur ; le produit scalaire, non.
2. Oublier le cosinus dans l'expression norme-angle. $\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|$ n'est le produit scalaire que pour deux vecteurs colinéaires de même sens. Pour $\|\vec{u}\| = 3$, $\|\vec{v}\| = 4$ et un angle de $60°$, le produit scalaire vaut $3 \times 4 \times \dfrac{1}{2} = 6$, pas $12$.
3. Conclure que $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ implique $\vec{u} = \vec{0}$ ou $\vec{v} = \vec{0}$. Faux : $\vec{u}\,(4\ ;\ 1)$ et $\vec{w}\,(1\ ;\ -4)$ sont tous deux non nuls et leur produit scalaire est nul. Un produit scalaire nul signifie orthogonalité, pas nullité. C'est la différence essentielle avec le produit de deux nombres réels.
4. Utiliser $xx' + yy'$ dans un repère non orthonormé. La formule vient de $\vec{i} \cdot \vec{j} = 0$ et $\|\vec{i}\| = \|\vec{j}\| = 1$. Si le repère est seulement orthogonal, ou seulement normé, ou ni l'un ni l'autre, elle est fausse — comme l'était déjà la formule de la norme en seconde. L'énoncé dit toujours « orthonormé » quand il l'est.
5. Confondre le signe du cosinus dans Al-Kashi. Pour un angle obtus, $\cos \widehat{A} < 0$ et le terme « $-2 \times AB \times AC \times \cos \widehat{A}$ » est positif : $BC^2$ est plus grand que $AB^2 + AC^2$, ce qui est géométriquement normal (le côté opposé à un angle obtus est le plus long). Écris le cosinus avec son signe entre parenthèses avant de calculer.
6. Prendre le mauvais angle dans Al-Kashi. La formule calcule le côté opposé à l'angle utilisé : $BC$ avec $\widehat{A}$, $AC$ avec $\widehat{B}$, $AB$ avec $\widehat{C}$. Avec l'angle en $B$ pour calculer $BC$, le résultat est faux sans qu'aucune erreur de calcul n'apparaisse.
7. Arrondir le cosinus avant de calculer l'angle. $\cos \widehat{A} = \dfrac{7}{\sqrt{170}}$ est exact ; $0{,}54$ ne l'est plus, et l'angle obtenu à partir de $0{,}54$ diffère de celui obtenu à partir de $0{,}536\,9$. Garde la valeur exacte (ou toutes les décimales de la calculatrice) jusqu'à l'arrondi final.
8. « Simplifier » un produit scalaire comme un produit de nombres. De $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \vec{w}$, on ne peut pas déduire $\vec{v} = \vec{w}$ : cela signifie seulement que $\vec{u} \cdot (\vec{v} - \vec{w}) = 0$, c'est-à-dire que $\vec{v} - \vec{w}$ est orthogonal à $\vec{u}$. De même, $(\vec{u} \cdot \vec{v}) \cdot \vec{w}$ n'a pas de sens : le premier facteur est un nombre, on ne peut pas le « scalairer » avec un vecteur.

Le modèle. L'exercice associé à cette leçon tire l'une de quatre situations, et c'est à toi de reconnaître l'expression qui convient : deux vecteurs donnés par leurs coordonnées dans un repère orthonormé (produit scalaire à calculer) ; deux normes et un angle remarquable ($0°$, $60°$, $120°$ ou $180°$) ; un vecteur dont une coordonnée $k$ est inconnue, à déterminer pour que les deux vecteurs soient orthogonaux ; un triangle dont on connaît deux côtés et l'angle compris, dont on demande $BC^2$ en valeur exacte ou $BC$ à trois chiffres significatifs par la formule d'Al-Kashi. Un second modèle, vrai-faux, teste ce que le produit scalaire est : un réel et non un vecteur, un produit nul qui signifie orthogonalité et non nullité, un signe qui dit si l'angle est aigu ou obtus.

Énoncé type. Dans un repère orthonormé, on donne $\vec{u}\,(3\ ;\ -6)$ et $\vec{v}\,(4\ ;\ k)$, où $k$ est un réel. Déterminer la valeur de $k$ pour laquelle $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.

Corrigé complet.

1. Traduire l'orthogonalité. Les deux vecteurs sont non nuls ($\vec{u}$ a des coordonnées non nulles ; $\vec{v}$ a une abscisse $4 \neq 0$). Ils sont orthogonaux si et seulement si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

2. Choisir l'expression. On a des coordonnées dans un repère orthonormé : c'est $xx' + yy'$.

3. Résoudre. $12 - 6k = 0$ donne $6k = 12$, soit $k = 2$.

4. Contrôler. Avec $k = 2$, $\vec{v}\,(4\ ;\ 2)$ et $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 4 + (-6) \times 2 = 12 - 12 = 0$. On peut aussi voir que $\vec{v}\,(4\ ;\ 2) = 2\,(2\ ;\ 1)$ et $\vec{u}\,(3\ ;\ -6) = 3\,(1\ ;\ -2)$ : les directions $(2\ ;\ 1)$ et $(1\ ;\ -2)$ sont bien orthogonales (coordonnées échangées, l'une changée de signe).

Auto-contrôle : vérifie que tu as bien multiplié abscisse par abscisse et ordonnée par ordonnée (jamais en croix — le produit en croix, c'est le déterminant de seconde, qui teste la colinéarité, pas l'orthogonalité) ; que l'équation obtenue est du premier degré en $k$ ; et que la substitution de ta valeur redonne $0$. Si l'énoncé donne des normes et un angle plutôt que des coordonnées, c'est l'expression norme-angle qu'il faut, avec le cosinus exact de l'angle — et pour un triangle, Al-Kashi.