Les pourcentages : appliquer, augmenter, diminuer

Un magasin annonce « $30$ % de remise ». Un article coûtait $80$ €. Combien coûte-t-il maintenant ?

Pour répondre, il faut d'abord comprendre ce que le symbole $\%$ veut dire.

Le sens du symbole. Un pourcentage est une proportion écrite sur $100$. Écrire $30$ %, c'est écrire la fraction $\dfrac{30}{100}$. Le mot lui-même le dit : « pour cent », c'est-à-dire « sur cent ».

Une image. Imagine que la quantité de départ soit une barre découpée en $100$ parts égales. Prendre $30$ % de cette quantité, c'est prendre $30$ de ces $100$ parts.

Prendre un pourcentage, c'est multiplier. Pour calculer $30$ % d'une quantité, on multiplie cette quantité par $\dfrac{30}{100}$. Sur notre article à $80$ € :

La remise vaut $24$ €. Le client paie donc $80 - 24 = 56$ €.

Pourquoi cela marche : c'est de la proportionnalité. Le montant de la remise est proportionnel au prix de l'article. Le coefficient de proportionnalité vaut $\dfrac{30}{100}$, soit $0{,}30$. Tout ce que tu sais de la proportionnalité s'applique donc aux pourcentages, sans rien de nouveau.

Un pourcentage n'est pas une quantité. Voilà le point le plus important, et le plus souvent raté. $30$ % n'est pas $30$ €, ni $30$ élèves, ni $30$ grammes. C'est une proportion : elle ne prend une valeur concrète qu'une fois appliquée à une quantité. $30$ % de $80$ € valent $24$ € ; $30$ % de $200$ € valent $60$ €. Le pourcentage est le même, la quantité obtenue est différente.

Quelques pourcentages utiles à reconnaître. $50$ % d'une quantité, c'est sa moitié. $25$ % en est le quart. $10$ % s'obtient en divisant par $10$. $1$ % s'obtient en divisant par $100$. Ces repères servent à contrôler un résultat sans calculatrice.

Dans l'autre sens : exprimer une proportion en pourcentage. Sur $250$ élèves d'un collège, $80$ sont externes. Quelle proportion cela fait-il ? On divise la partie par le tout, puis on multiplie par $100$ :

Les externes représentent $32$ % des élèves.

Diminuer d'un pourcentage. Il y a deux chemins, et ils donnent toujours le même résultat.

Premier chemin, en deux temps : on calcule la part retirée, puis on la retranche. Pour une remise de $30$ % sur $80$ € :

Second chemin, en une seule fois : si l'on retire $30$ %, on garde $100 - 30 = 70$ % du prix.

Le second chemin est plus rapide ; le premier est plus facile à comprendre. Utilise l'un pour calculer, l'autre pour vérifier : trouver deux fois le même nombre est une preuve solide.

Augmenter d'un pourcentage. Le raisonnement est le même, avec une addition. Un club comptait $150$ adhérents ; leur nombre augmente de $20$ %.

Premier chemin :

Second chemin : augmenter de $20$ %, c'est obtenir $100 + 20 = 120$ % de la quantité de départ.

Deux hausses ne s'additionnent pas. Une quantité de $200$ augmente de $20$ %, puis augmente encore de $20$ %. On pourrait croire que cela fait $40$ % en tout. C'est faux, et le calcul le montre :

Alors qu'une hausse unique de $40$ % donnerait $200 + 80 = 280$. La différence vient de ce que la seconde hausse s'applique à $240$, et non plus à $200$. Un pourcentage se rapporte toujours à une quantité précise : changer cette quantité change le résultat.

Une baisse n'annule pas une hausse de même taux. Reprenons $200$, augmenté de $20$ %, ce qui donne $240$. On diminue maintenant de $20$ % :

On ne revient pas à $200$, mais à $192$. Pour la même raison : la hausse portait sur $200$, la baisse porte sur $240$.

Nota : on apprend en 4e et en 3e à traiter ces enchaînements d'évolutions avec un outil dédié. Cette année, il suffit de savoir qu'on ne peut pas additionner deux pourcentages successifs, et de calculer chaque étape l'une après l'autre.

Points et pourcentages ne sont pas la même chose. Aux dernières élections d'un conseil de vie collégienne, une liste passe de $30$ % à $33$ % des voix. Elle a gagné trois points. Elle n'a pas gagné $3$ %, car $3$ % de $30$ % ne feraient que $0{,}9$ point. Le mot « point » sert précisément à désigner un écart entre deux pourcentages, et il évite cette confusion.

Le contrôle d'ordre de grandeur, toujours. Un taux inférieur à $50$ % doit donner une part plus petite que la moitié de la quantité. Un prix après remise doit être plus petit que le prix affiché. Une quantité après hausse doit être plus grande qu'avant. Ces trois vérifications coûtent trois secondes et attrapent presque toutes les erreurs.

Énoncé.

1. Pendant les soldes, un magasin affiche une remise de $30$ % sur un article étiqueté $84{,}00$ €. Quel prix le client paie-t-il ?

2. Un collège compte $475$ élèves, dont $152$ sont externes. Quelle proportion cela représente-t-il ? Donner le résultat en pourcentage, arrondi au dixième.

Question 1.

1. Repérer ce qui est demandé. On ne demande pas la remise, mais le prix payé. C'est une chose qu'on oublie souvent en cours de route.

2. Calculer la remise. Prendre $30$ % de $84$ €, c'est multiplier par $\dfrac{30}{100}$ :

La remise vaut $25{,}20$ €.

3. Retrancher la remise du prix affiché.

Le client paie $58{,}80$ €.

4. Contrôler par l'autre chemin. Après une remise de $30$ %, le client paie $70$ % du prix affiché :

Même résultat.

5. Contrôler l'ordre de grandeur. $30$ % est moins que la moitié : le prix payé doit rester nettement au-dessus de la moitié de $84$ €, soit $42$ €. On trouve $58{,}80$ € : c'est cohérent.

Question 2.

1. Identifier la partie et le tout. Le tout, c'est l'effectif du collège : $475$ élèves. La partie, ce sont les externes : $152$ élèves.

2. Diviser la partie par le tout.

3. Multiplier par $100$ pour exprimer en pourcentage.

Les externes représentent $32{,}0$ % des élèves.

4. Contrôler. On reprend $32$ % de $475$ :

On retrouve exactement l'effectif des externes.

5. Contrôler l'ordre de grandeur autrement. $152$, c'est un peu moins du tiers de $475$. Or un tiers vaut environ $33{,}3$ %. Trouver $32$ % est donc plausible.

6. Voir l'erreur qu'on a évitée. Diviser $475$ par $152$ aurait donné environ $3{,}1$, puis $312$ % : une proportion supérieure à $100$ %, ce qui est impossible ici, puisque les externes sont une partie des élèves. C'est le contrôle le plus simple à faire.

Figure (fig.math.percentage-bar, SVG programmatique à produire) : trois barres de même longueur découpées en $100$ parts, qui montrent successivement une part prélevée, une remise, et le piège des évolutions successives.

• Barre 1, en haut, longue et découpée en $100$ cases fines de largeur identique, avec un trait plus épais toutes les $10$ cases. Les $30$ premières cases sont remplies ; les $70$ suivantes restent vides. Une accolade sous les cases remplies porte « $30$ % », une accolade sous les cases vides porte « $70$ % ». À gauche de la barre, l'étiquette « quantité de départ : $84$ € » ; sous les deux accolades, les valeurs correspondantes, « $25{,}20$ € » et « $58{,}80$ € ».
• Barre 2, au milieu, de même longueur, illustrant la remise. Elle est identique à la barre 1, mais la zone des $30$ premières cases est barrée d'une croix et légendée « retiré », tandis que la zone restante est mise en valeur et légendée « prix payé ». Deux calculs sont alignés à droite, l'un sous l'autre : $84 - 25{,}20 = 58{,}80$ et $84 \times 70 \div 100 = 58{,}80$, reliés par une accolade portant « deux chemins, un seul résultat ».
• Bloc 3, en bas, séparé par un filet, consacré aux évolutions successives. Trois barres horizontales courtes et empilées, dont les longueurs sont proportionnelles aux valeurs : $200$, puis $240$, puis $288$. Entre la première et la deuxième, une flèche « $+20$ % » avec la mention « $+40$ » ; entre la deuxième et la troisième, une flèche « $+20$ % » avec la mention « $+48$ ». Sous ces trois barres, une quatrième barre de longueur $280$, dessinée en pointillés et barrée, légendée « ce que donnerait $+40$ % : $280$, et non $288$ ». La différence de longueur entre $288$ et $280$ est signalée par une petite double flèche.
• Encart des points, en bas à droite : deux barres courtes marquées $30$ % et $33$ %, avec une double flèche entre leurs extrémités portant « $3$ points », et à côté, barrée, la mention « $3$ % ».

Ce qu'il faut lire. La barre à $100$ cases rend visible que le pourcentage est une part du tout, et que les deux chemins de calcul aboutissent au même endroit. Le bloc du bas montre, par la seule longueur des barres, que deux hausses de $20$ % dépassent une hausse de $40$ % : la deuxième hausse s'applique à une barre déjà allongée.

La figure en détail : trois blocs superposés. En haut, une barre découpée en cent cases égales, dont les trente premières sont remplies et les soixante-dix suivantes vides ; deux accolades indiquent trente pour cent et soixante-dix pour cent, correspondant à vingt-cinq euros vingt et cinquante-huit euros quatre-vingts sur une quantité de départ de quatre-vingt-quatre euros. Au milieu, la même barre, la zone des trente premières cases barrée et légendée retiré, le reste légendé prix payé ; à droite, deux calculs donnant tous deux cinquante-huit euros quatre-vingts. En bas, trois barres empilées de longueurs proportionnelles à deux cents, deux cent quarante et deux cent quatre-vingt-huit, reliées par deux flèches de plus vingt pour cent valant respectivement plus quarante et plus quarante-huit ; une quatrième barre en pointillés, de longueur deux cent quatre-vingts, est barrée et légendée comme le résultat d'une hausse unique de quarante pour cent. En bas à droite, deux barres courtes marquées trente pour cent et trente-trois pour cent, séparées par une double flèche portant trois points, la mention trois pour cent étant barrée.

Unités : le piège du symbole $\%$. Quand on cherche une part, la réponse porte l'unité de la grandeur : des euros, des grammes, des élèves — jamais le symbole $\%$. Quand on cherche une proportion, la réponse est un pourcentage et s'écrit avec $\%$. Se tromper de régime, c'est répondre à une autre question que celle posée.

Domaine de validité. La proportion d'une partie dans un tout est comprise entre $0$ % et $100$ %. Un résultat supérieur à $100$ % signale, dans ce cas, une division faite à l'envers. Un pourcentage supérieur à $100$ % a un sens dans d'autres situations — une quantité qui plus que double —, mais jamais pour une partie prise dans un tout.

Le point de pourcentage. Un point est l'écart entre deux pourcentages. Passer de $30$ % à $33$ %, c'est gagner $3$ points, et non $3$ %.

Ce qui n'est pas au programme cette année. Le coefficient multiplicateur, le taux d'évolution à retrouver et les évolutions successives traitées d'un seul calcul relèvent de la 4e et de la 3e. Ici, chaque évolution se calcule séparément, l'une après l'autre.

1. Additionner deux pourcentages successifs. Une hausse de $20$ % suivie d'une hausse de $20$ % ne fait pas $40$ %. Sur $200$ : $200 \to 240 \to 288$, alors que $+40$ % donnerait $280$. La deuxième hausse s'applique à $240$, pas à $200$. Calcule les étapes une par une.
2. Croire qu'une baisse de $20$ % annule une hausse de $20$ %. Sur $200$, la hausse donne $240$, puis la baisse donne $192$. On ne revient pas au point de départ, parce que les deux évolutions ne portent pas sur la même quantité.
3. Confondre points et pourcentage. Passer de $30$ % à $33$ %, c'est gagner $3$ points. Annoncer « $3$ % de hausse » désigne tout autre chose : $3$ % de $30$ %, soit $0{,}9$ point seulement.
4. Répondre la part quand on demande le prix payé. Avec $30$ % de remise sur $84$ €, la remise vaut $25{,}20$ € mais le client paie $58{,}80$ €. Relis la question avant d'écrire la réponse.
5. Écrire $\%$ dans une réponse qui n'en demande pas. « Combien d'élèves sont demi-pensionnaires ? » attend un nombre d'élèves. Répondre « $40$ % » ne répond pas à la question posée.
6. Diviser le tout par la partie. Pour une proportion, c'est toujours partie $\div$ tout. L'inverse donne un nombre supérieur à $1$, donc un pourcentage supérieur à $100$ % : impossible pour une partie prise dans un tout.
7. Oublier de multiplier par $100$. Après avoir divisé $152$ par $475$, on obtient $0{,}32$. Ce n'est pas encore un pourcentage : il reste à multiplier par $100$ pour écrire $32$ %.
8. Prendre un pourcentage d'une mauvaise quantité. « $20$ % de plus » et « $20$ % de moins » ne se rapportent pas au même nombre dès qu'une évolution a déjà eu lieu. Écris toujours en clair de quelle quantité tu prends le pourcentage.

À quoi t'attendre. L'exercice tire au sort l'une de six situations et l'un de trois régimes : calculer une part (des demi-pensionnaires, des romans, une masse de graines), calculer un prix après remise, ou calculer une quantité après hausse. La réponse porte toujours l'unité de la grandeur — des élèves, des euros, des grammes, des kilogrammes — et jamais le symbole $\%$. Un exercice voisin fait le trajet inverse : il donne une partie et un tout, et demande la proportion en pourcentage, au dixième de point.

Énoncé type. Pendant les soldes, un magasin affiche une remise de $30$ % sur un article étiqueté $84{,}00$ €. Quel prix le client paie-t-il ?

Corrigé complet.

1. Lire la question. On demande le prix payé, pas le montant de la remise.

2. Traduire le pourcentage. Une remise de $30$ %, c'est retirer $\dfrac{30}{100}$ du prix affiché.

3. Calculer le montant de la remise.

La remise vaut $25{,}20$ €.

4. Calculer le prix payé.

5. Contrôler par l'autre chemin. Le client paie $100 - 30 = 70$ % du prix affiché :

Les deux chemins donnent le même nombre.

6. Répondre avec l'unité. Le client paie $58{,}80$ €.

7. Contrôler l'ordre de grandeur. La remise est inférieure à la moitié du prix : le client paie donc plus de $42$ €. Et il paie moins que $84$ €. La valeur $58{,}80$ € est bien encadrée par ces deux bornes.

Auto-contrôle : avant d'écrire ta réponse, demande-toi quelle unité elle doit porter. Une part et un prix s'expriment dans l'unité de la grandeur ; seule une proportion s'exprime en pourcentage. Puis vérifie le sens : après une remise on paie moins, après une hausse on obtient plus. Une réponse qui va dans le mauvais sens signale une addition et une soustraction échangées.