La fonction exponentielle : égale à sa dérivée

Toutes les fonctions que tu connais ont été définies par une formule : $x^2$, $\dfrac{1}{x}$, $\sqrt{x}$, $ax + b$. La fonction exponentielle est la première à être définie autrement — par une propriété, et cette propriété parle de sa dérivée. Il faut d'abord comprendre pourquoi une telle définition a un sens.

Une grandeur qui croît à proportion d'elle-même. Une population de bactéries dans un milieu riche, un capital placé à intérêts composés, une réaction en chaîne : dans chacune de ces situations, la vitesse d'augmentation de la grandeur est proportionnelle à la grandeur elle-même. Plus il y a de bactéries, plus il en naît par heure ; plus le capital est gros, plus il rapporte. Si $f(t)$ désigne la grandeur à l'instant $t$, sa vitesse de variation est le nombre dérivé $f'(t)$, et la situation se traduit par l'égalité $f'(t) = k \times f(t)$, où $k$ est une constante. Le cas le plus simple est $k = 1$ : une fonction égale à sa propre dérivée.

Définition. On appelle fonction exponentielle, et l'on note $\exp$, l'unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$. L'existence d'une telle fonction et son unicité sont admises en première.

Pourquoi la condition $f(0) = 1$ ? Parce que si $f$ est égale à sa dérivée, $2f$ l'est aussi, et $-3f$ également : l'égalité $f' = f$ seule laisse une infinité de fonctions candidates, toutes proportionnelles. Fixer la valeur en $0$ en choisit une seule — celle qui « part de $1$ ». Cette fonction est le modèle de toutes les autres : on montrera que les fonctions vérifiant $f' = kf$ s'écrivent avec elle.

Ce que la définition donne tout de suite. Puisque $\exp' = \exp$, le nombre dérivé de $\exp$ en $0$ vaut $\exp(0) = 1$ : la tangente à la courbe au point $(0\ ;\ 1)$ a pour pente $1$, c'est la droite $y = x + 1$. Et en tout point, la pente de la tangente est égale à l'ordonnée du point — plus la courbe est haute, plus elle monte vite. C'est la traduction géométrique de « la croissance est proportionnelle à la valeur ».

Elle ne s'annule jamais — démonstration. Considérons la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \exp(x) \times \exp(-x)$. La dérivée de $x \mapsto \exp(-x)$ est $-\exp(-x)$ (dérivée de $x \mapsto u(ax + b)$ avec $a = -1$, vue au chapitre sur la dérivation), et la formule du produit donne

Une fonction de dérivée nulle sur $\mathbb{R}$ est constante ; or $g(0) = \exp(0)^2 = 1$. Donc pour tout réel $x$, $\exp(x)\exp(-x) = 1$. Deux conséquences : $\exp(x)$ n'est jamais nul (un produit nul aurait un facteur nul), et

Elle est strictement positive. Elle ne s'annule jamais et vaut $1 > 0$ en $0$. Mieux : elle est positive partout, et la raison tient en une ligne une fois connue la relation fonctionnelle du bloc suivant — $\exp(x) = \exp\left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2}\right) = \left(\exp \dfrac{x}{2}\right)^2$ est un carré, donc un nombre positif ou nul ; comme $\exp$ ne s'annule pas, $\exp(x) > 0$ pour tout réel $x$. Retiens le fait, il est central : une exponentielle n'est jamais négative, jamais nulle.

La relation fonctionnelle. C'est la propriété qui fait de l'exponentielle un outil de calcul :

Pour tous réels $a$ et $b$, $\quad \exp(a + b) = \exp(a) \times \exp(b).$

Démonstration par l'unicité. Fixons un réel $a$ et posons $h(x) = \dfrac{\exp(a + x)}{\exp(a)}$, ce qui est licite puisque $\exp(a) \neq 0$. La dérivée de $x \mapsto \exp(a + x)$ est $\exp(a + x)$ (dérivée de $u(x + a)$, avec le coefficient $1$ devant $x$), donc $h'(x) = \dfrac{\exp(a + x)}{\exp(a)} = h(x)$ ; et $h(0) = \dfrac{\exp(a)}{\exp(a)} = 1$. La fonction $h$ vérifie donc $h' = h$ et $h(0) = 1$ : par unicité, $h = \exp$. Autrement dit, $\exp(a + x) = \exp(a)\exp(x)$ pour tout $x$ — c'est la relation annoncée.

Conséquence immédiate : la positivité. Avec $a = b = \dfrac{x}{2}$, la relation donne $\exp(x) = \left(\exp \dfrac{x}{2}\right)^2 \geqslant 0$ ; comme $\exp$ ne s'annule pas, $\exp(x) > 0$. La positivité annoncée plus haut est démontrée, sans aucun recours à la continuité.

Le nombre $e$ et la notation $e^x$. On note $e = \exp(1)$ ; c'est un nombre irrationnel, $e \approx 2{,}718$. La relation fonctionnelle donne $\exp(2) = \exp(1 + 1) = e \times e = e^2$, puis $\exp(3) = e^3$, et de proche en proche $\exp(n) = e^n$ pour tout entier naturel $n$ ; avec $\exp(-x) = \dfrac{1}{\exp(x)}$, la formule s'étend aux entiers négatifs. L'exponentielle prolonge donc aux réels les puissances de $e$ : c'est ce qui justifie la notation $e^x$ pour $\exp(x)$, et c'est pourquoi les règles des puissances entières, vues au collège, restent vraies pour tous les exposants réels :

Un piège tient dans la première : $e^{a + b}$ est un produit, jamais la somme $e^a + e^b$. Contre-exemple immédiat : $e^0 = 1$, alors que $e^1 + e^{-1} \approx 2{,}718 + 0{,}368 = 3{,}086$.

Sens de variation. La dérivée de $\exp$ est $\exp$, strictement positive : l'exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Ce fait a une conséquence d'usage constant, la règle d'identification des exposants :

Pour tous réels $a$ et $b$ : $\quad e^a = e^b \iff a = b \qquad$ et $\qquad e^a < e^b \iff a < b.$

C'est elle qui permet de résoudre $e^{2x + 1} = e^{x - 3}$ sans aucun outil nouveau : les exponentielles sont égales si et seulement si les exposants le sont, et il reste une équation du premier degré. En revanche, une équation comme $e^x = 5$ demande une fonction réciproque, le logarithme, qui est au programme de terminale : en première, on sait seulement dire qu'elle a une solution unique, comprise entre $1$ et $2$ puisque $e^1 \approx 2{,}72 < 5 < e^2 \approx 7{,}39$.

La courbe. Elle passe par $(0\ ;\ 1)$ avec la tangente $y = x + 1$, par $(1\ ;\ e)$, par $(-1\ ;\ 1/e)$ où $1/e \approx 0{,}368$ ; elle est entièrement au-dessus de l'axe des abscisses, monte de plus en plus vite vers la droite, et se rapproche de l'axe des abscisses vers la gauche sans jamais l'atteindre. La formalisation de ces comportements aux infinis attend la terminale.

La fonction $t \mapsto e^{kt}$. C'est la version « à vitesse $k$ » de l'exponentielle. Sa dérivée est

d'après la dérivée de $t \mapsto u(kt)$ : on retrouve l'exponentielle multipliée par le coefficient de l'exposant. Le signe de cette dérivée est celui de $k$ : la fonction est croissante si $k > 0$, décroissante si $k < 0$, constante (égale à $1$) si $k = 0$. Dans tous les cas, elle reste strictement positive et vaut $1$ en $0$. Un modèle $f(t) = A\,e^{kt}$ vérifie $f' = k f$ : sa vitesse de variation est proportionnelle à sa valeur, avec le coefficient $k$ — nous voilà revenus au point de départ de la leçon.

Le lien avec les suites géométriques. Si l'on ne regarde $e^{kt}$ qu'aux instants entiers $t = n$, on obtient la suite $u_n = e^{kn}$, et $u_{n + 1} = e^{k(n + 1)} = e^{kn} \times e^k = u_n \times e^k$ : c'est une suite géométrique de raison $e^k$. L'exponentielle est la version continue de la croissance géométrique — augmenter de $2\,\%$ par an, c'est multiplier par $1{,}02$ chaque année, et il existe un $k$ tel que $e^k = 1{,}02$.

Énoncé. 1) Simplifier $\dfrac{e^{3x} \times e^{-x + 2}}{e^{2}}$. 2) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x + 1} = e^{x - 3}$. 3) Dans une culture, le nombre de bactéries au bout de $t$ heures est modélisé par $N(t) = 800\,e^{0{,}25\,t}$. Calculer $N(6)$, puis la vitesse d'accroissement $N'(6)$, et interpréter.

1) Simplifier : l'algèbre des exposants.

Un produit d'exponentielles ajoute les exposants, un quotient les soustrait :

Aucune valeur numérique n'a été calculée : tout est exact. On peut aussi écrire $e^{2x} = \left(e^x\right)^2$, puisqu'une puissance multiplie les exposants.

2) Résoudre : l'identification des exposants.

Étape 1 — invoquer la stricte croissance. L'exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc deux exponentielles sont égales si et seulement si leurs exposants sont égaux :

Étape 2 — résoudre l'équation du premier degré. $2x - x = -3 - 1$, soit $x = -4$.

Étape 3 — contrôler. Pour $x = -4$ : exposant de gauche $2 \times (-4) + 1 = -7$, exposant de droite $-4 - 3 = -7$ ✔. L'unique solution est $-4$. Aucun logarithme n'a été nécessaire — et aucun n'était disponible.

3) Modéliser : calcul, arrondi, interprétation.

Étape 1 — l'image. $N(6) = 800\,e^{0{,}25 \times 6} = 800\,e^{1{,}5}$. C'est la valeur exacte. À la calculatrice, $e^{1{,}5} \approx 4{,}4817$ (on garde plus de chiffres que la précision finale), donc

Au bout de $6$ heures, la culture compte environ $3\,590$ bactéries (à trois chiffres significatifs).

Étape 2 — la dérivée. $N'(t) = 800 \times 0{,}25\,e^{0{,}25\,t} = 200\,e^{0{,}25\,t}$ : le coefficient $0{,}25$ de l'exposant vient en facteur. Donc $N'(6) = 200\,e^{1{,}5} \approx 200 \times 4{,}4817 \approx 896$.

Étape 3 — interpréter. $N'(6) \approx 896$ est un nombre de bactéries par heure : à l'instant $t = 6$ h, la population augmente au rythme d'environ $900$ bactéries par heure. On remarque que $N'(t) = 0{,}25 \times N(t)$ : à chaque instant, la vitesse d'accroissement vaut un quart de la population — c'est exactement la propriété qui a servi à définir l'exponentielle. Et comme $k = 0{,}25 > 0$, $N$ est croissante ; comme une exponentielle est strictement positive, $N(t)$ ne s'annule jamais, même si l'on remonte à des $t$ négatifs.

Le moment décisif : à l'étape 2, écrire $N'(t) = 800\,e^{0{,}25\,t}$ — sans le facteur $0{,}25$ — est l'erreur la plus fréquente. Seule $t \mapsto e^{t}$ est sa propre dérivée ; $e^{kt}$ se dérive en $k\,e^{kt}$, et c'est ce $k$ qui porte toute la physique du modèle.

Figure (SVG programmatique à produire) : trois panneaux — la courbe de l'exponentielle avec la propriété qui la définit, l'effet du coefficient $k$, et le pont avec les suites géométriques.

• Panneau 1 — $y = e^x$ et ses tangentes. Repère orthonormé, $x$ de $-3$ à $2{,}2$, $y$ de $-1$ à $8$. La courbe, entièrement au-dessus de l'axe des abscisses, passe par les points cotés $(-1\ ;\ 0{,}37)$, $(0\ ;\ 1)$, $(1\ ;\ 2{,}72)$ et $(2\ ;\ 7{,}39)$, avec la mention « $e \approx 2{,}718$ » près du point $(1\ ;\ e)$. La tangente en $(0\ ;\ 1)$ est tracée en trait épais : la droite $y = x + 1$, avec un triangle de pente en tirets (une unité à droite, une unité en haut) coté « pente $1 = e^0$ ». Une seconde tangente, plus fine, au point $(1\ ;\ e)$, avec un triangle de pente coté « pente $e \approx 2{,}72$ = l'ordonnée du point ». Cartouche : « en tout point, pente de la tangente = ordonnée : $\exp' = \exp$ ». Vers la gauche, la courbe s'écrase sur l'axe avec la mention « se rapproche de $0$ sans l'atteindre ».
• Panneau 2 — $t \mapsto e^{kt}$ selon $k$. Même repère, trois courbes passant toutes par $(0\ ;\ 1)$ : $e^{0{,}5\,t}$ (croissante, trait plein), $e^{-0{,}5\,t}$ (décroissante, trait tireté), et la droite horizontale $y = 1$ pour $k = 0$ (trait fin). Les deux courbes sont symétriques l'une de l'autre par rapport à l'axe des ordonnées. Cartouche : « $k > 0$ : croissante ; $k < 0$ : décroissante ; toujours $> 0$ ». Sous le panneau, la dérivée écrite : « $\left(e^{kt}\right)' = k\,e^{kt}$ ».
• Panneau 3 — du continu au discret. La courbe $y = e^{0{,}5\,t}$ seule, et sur elle des disques pleins aux abscisses entières $t = 0, 1, 2, 3, 4$, d'ordonnées $1$ ; $1{,}65$ ; $2{,}72$ ; $4{,}48$ ; $7{,}39$. Entre deux disques consécutifs, une flèche courbe cotée « $\times\, e^{0{,}5} \approx 1{,}65$ ». Cartouche : « la suite $u_n = e^{0{,}5\,n}$ est géométrique de raison $e^{0{,}5}$ ».

Ce qu'il faut lire. Le panneau 1 montre la définition en acte : la tangente en $(0\ ;\ 1)$ a pour pente $1$, et chaque tangente a pour pente l'ordonnée de son point — la courbe monte d'autant plus vite qu'elle est haute. Le panneau 2 isole le rôle de $k$ : le signe décide du sens de variation, la valeur absolue de la rapidité, et rien ne peut faire passer la courbe sous l'axe. Le panneau 3 relie la leçon au chapitre des suites : lue aux instants entiers, une exponentielle est une suite géométrique.

La figure en détail : à gauche, une courbe qui monte de plus en plus vite, toujours au-dessus de l'axe horizontal, qu'elle rase vers la gauche sans jamais le toucher ; elle passe par le point d'abscisse zéro et de hauteur un, où une droite épaisse la touche en montant d'une unité par unité (un petit triangle en tirets le montre), et par le point d'abscisse un et de hauteur environ deux virgule soixante-douze, où une seconde droite, plus fine, la touche avec une pente égale à cette hauteur. Au centre, trois courbes qui passent toutes par le point de hauteur un en abscisse zéro : une qui monte, une qui descend, symétrique de la première par rapport à l'axe vertical, et une droite horizontale à la hauteur un. À droite, la courbe montante seule, avec cinq disques aux abscisses entières de zéro à quatre, de hauteurs un ; un virgule soixante-cinq ; deux virgule soixante-douze ; quatre virgule quarante-huit ; sept virgule trente-neuf, et, entre deux disques consécutifs, une flèche courbe indiquant que chaque hauteur vaut environ un virgule soixante-cinq fois la précédente.

Domaine de validité. L'exponentielle est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ tout entier : tout réel a une image, et cette image est strictement positive. Les règles algébriques valent pour tous les exposants réels ; la règle $(e^a)^n = e^{na}$ est énoncée pour $n$ entier relatif en première. L'identification des exposants ne vaut que pour l'égalité de deux exponentielles : $e^{u} = e^{v}$ — pas pour $e^u = 5$, ni pour $e^u + e^v = 3$.

Écritures. $\exp(x)$ et $e^x$ désignent la même chose ; la seconde est la plus courante. Une valeur numérique d'exponentielle est presque toujours un arrondi et se note avec $\approx$ : $e^{1{,}5} \approx 4{,}48$. La valeur exacte est $e^{1{,}5}$ lui-même, et c'est elle que l'on garde tant que l'énoncé ne demande pas d'arrondir. Dans un modèle $A\,e^{kt}$, $A$ est la valeur en $t = 0$ et $k$ le taux instantané, dans l'unité inverse de celle de $t$ (par heure, par an).

Contrôles gratuits. Une solution de $e^u = e^v$ se vérifie en recalculant les deux exposants. Une dérivée de $A\,e^{kt}$ se contrôle par $f' = k f$. Et tout résultat négatif ou nul pour une exponentielle est faux avant même d'être vérifié.

1. Écrire $e^{a + b} = e^a + e^b$. La relation fonctionnelle transforme une somme d'exposants en produit d'exponentielles. Contre-exemple : $e^0 = 1$, mais $e^1 + e^{-1} \approx 3{,}09$. Dans l'autre sens, $e^a + e^b$ ne se simplifie pas en une seule exponentielle — et $e^x + e^x = 2e^x$, pas $e^{2x}$.
2. Croire que l'exponentielle peut être négative ou nulle. $e^x > 0$ pour tout réel $x$, y compris négatif : $e^{-3} = \dfrac{1}{e^3} \approx 0{,}05$, petit mais positif. Un modèle $A\,e^{kt}$ avec $k < 0$ décroît sans jamais atteindre $0$. Une réponse négative pour une exponentielle est fausse d'office.
3. Dériver $e^{2x}$ en $e^{2x}$. Seule $x \mapsto e^x$ est sa propre dérivée. Pour $e^{kx}$, le coefficient de l'exposant vient en facteur : $\left(e^{2x}\right)' = 2e^{2x}$. Oublier ce facteur, c'est dire qu'une population qui double deux fois plus vite croît à la même vitesse.
4. Appliquer la règle des puissances $\left(x^n\right)' = n\,x^{n - 1}$ à $e^x$. Dans $x^n$, la variable est la base ; dans $e^x$, elle est l'exposant. Écrire $\left(e^x\right)' = x\,e^{x - 1}$ est un contresens : la dérivée de $e^x$ est $e^x$.
5. Confondre $(e^x)^2$ et $e^{x^2}$. $(e^x)^2 = e^x \times e^x = e^{2x}$ (les exposants s'ajoutent). $e^{x^2}$ est tout autre chose : l'exponentielle de $x^2$. Les parenthèses ne sont pas décoratives.
6. Vouloir résoudre $e^x = 5$ en première. L'outil manque : c'est le logarithme, en terminale. On peut seulement affirmer qu'il existe une unique solution (stricte croissance) et l'encadrer par des valeurs de $e^n$ connues. L'identification des exposants ne s'applique qu'à une égalité de deux exponentielles.
7. Oublier que $e^0 = 1$, pas $0$. Toute exponentielle $A\,e^{kt}$ vaut $A$ en $t = 0$ : c'est ce qui donne à $A$ son sens de « valeur initiale ». Un calcul qui aboutit à $e^0 = 0$ ou $e^0 = e$ est à reprendre.
8. Soustraire les exposants dans le mauvais sens. $\dfrac{e^a}{e^b} = e^{a - b}$ : l'exposant du dénominateur est retranché. Avec $a = 2$ et $b = 5$, on obtient $e^{-3}$, pas $e^{3}$ — et le résultat doit être inférieur à $1$ puisque $e^2 < e^5$.

Le modèle. L'exercice associé à cette leçon tire l'une de deux familles : résoudre une équation $e^{px + q} = e^{rx + s}$ par identification des exposants (réponse exacte, entière, sans logarithme), ou calculer la valeur d'un modèle $A\,e^{kt}$ en contexte — bactéries, médicament dans le sang, population — avec une réponse arrondie à trois chiffres significatifs, le corrigé concluant sur le sens de variation et la positivité. Un second modèle, voisin, fait choisir la bonne simplification de $e^a e^b$, $\dfrac{e^a}{e^b}$, $(e^a)^n$, ou la bonne dérivée de $t \mapsto A\,e^{kt}$, parmi quatre expressions calculées.

Énoncé type. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{3x - 2} = e^{x + 4}$.

Corrigé complet.

1. Justifier l'identification. La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ : deux exponentielles sont égales si et seulement si leurs exposants sont égaux. L'équation équivaut donc à

2. Résoudre l'équation du premier degré. $3x - x = 4 + 2$, soit $2x = 6$, d'où $x = 3$.

3. Contrôler. Pour $x = 3$ : l'exposant de gauche vaut $3 \times 3 - 2 = 7$, celui de droite $3 + 4 = 7$. Les deux membres valent $e^7$ ✔. L'unique solution est $3$.

4. Situer. Sans la stricte croissance, l'étape 1 ne serait pas justifiée : c'est elle qui garantit qu'une valeur de l'exponentielle n'est atteinte qu'une fois, donc que l'égalité des images force l'égalité des exposants. Et si l'énoncé avait été $e^{3x - 2} = 7$, la première ne saurait pas conclure : il faudrait le logarithme.

Auto-contrôle : vérifie que tu as bien écrit la justification (stricte croissance) avant d'identifier, que l'équation du premier degré a été résolue avec ses signes, et que la valeur trouvée redonne le même exposant des deux côtés. Sur la famille « modèle », vérifie en plus que l'exposant $k \times t$ a été calculé avant l'exponentielle, que l'arrondi n'intervient qu'à la fin, et que ta réponse est positive.