Systèmes de deux équations à deux inconnues

En 4e et en 3e, tu as résolu des équations à une inconnue : une condition, un nombre à trouver. Voici une situation qui n'entre plus dans ce cadre. Dans une papeterie, $3$ cahiers et $2$ stylos coûtent $17$ €, et $2$ cahiers et $5$ stylos coûtent $26$ €. Quel est le prix d'un cahier ? Celui d'un stylo ? Deux nombres inconnus, et deux renseignements qui les concernent ensemble : aucune des deux phrases ne suffit seule, mais les deux réunies déterminent tout.

En notant $x$ le prix d'un cahier et $y$ celui d'un stylo (en euros), les deux phrases se traduisent par deux équations :

Ces deux équations, prises en même temps, forment un système de deux équations à deux inconnues. Chacune est dite linéaire : les inconnues n'y apparaissent qu'à la puissance $1$, sans produit $xy$ ni carré.

Résoudre un système, c'est trouver tous les couples $(x\ ;\ y)$ qui vérifient les deux équations à la fois. Un tel couple est appelé solution du système.

Le mot important est couple : la solution n'est pas un nombre, c'est une paire de nombres qui vont ensemble, notée $(x\ ;\ y)$ dans cet ordre. Et le mot décisif est les deux : le couple $(5\ ;\ 1)$ vérifie $(E_1)$ (car $3 \times 5 + 2 \times 1 = 17$) mais pas $(E_2)$ (car $2 \times 5 + 5 \times 1 = 15 \neq 26$) — il n'est donc pas solution du système. Une équation à deux inconnues a une infinité de solutions à elle seule ; c'est la seconde équation qui, en général, n'en laisse qu'une.

La méthode de substitution. Elle consiste à exprimer une inconnue en fonction de l'autre grâce à l'une des équations, puis à remplacer (substituer) cette expression dans l'autre équation, qui ne contient alors plus qu'une inconnue — retour au terrain connu de la 4e. Sur un système où une inconnue est facile à isoler :

De $(E_1)$, on tire $y = 14 - 4x$. On remplace $y$ par $14 - 4x$ dans $(E_2)$ — et seulement dans $(E_2)$, l'équation qui n'a pas encore servi :

Reste à retrouver $y$ avec l'expression du début : $y = 14 - 4 \times 3 = 2$. La solution est le couple $(3\ ;\ 2)$ — et l'on n'a pas fini tant qu'on ne l'a pas vérifié dans les deux équations : $4 \times 3 + 2 = 14$ et $3 \times 3 - 2 \times 2 = 5$. Les deux égalités tiennent.

Où sont les pièges ? Deux, et ils font l'essentiel des copies fausses. Substituer dans l'équation qui a servi à isoler l'inconnue (on obtient $0 = 0$, une égalité vraie qui n'apprend rien). Et s'arrêter à $x = 3$ : une solution est un couple, la seconde inconnue fait partie de la réponse.

La méthode de combinaison. Quand aucune inconnue n'a de coefficient commode, on préfère une seconde méthode : multiplier chaque équation par un nombre choisi pour que les coefficients d'une inconnue deviennent opposés ou égaux, puis additionner ou soustraire les deux équations membre à membre. L'inconnue visée disparaît. Reprenons la papeterie :

Pour éliminer $y$, il faut le même coefficient devant $y$ dans les deux lignes : on multiplie $(E_1)$ par $5$ et $(E_2)$ par $2$, ce qui donne $10y$ des deux côtés.

On soustrait la seconde à la première, membre à membre et signe par signe :

Un cahier coûte $3$ €. Pour $y$, on revient à l'une des équations de départ : $3 \times 3 + 2y = 17$ donne $2y = 8$, soit $y = 4$. Un stylo coûte $4$ €. Vérification dans l'équation qui n'a pas servi à trouver $y$ : $2 \times 3 + 5 \times 4 = 26$. Le couple $(3\ ;\ 4)$ est solution.

Pourquoi a-t-on le droit ? Multiplier les deux membres d'une égalité par un même nombre, ou ajouter membre à membre deux égalités vraies, donne une égalité vraie : c'est exactement ce que tu faisais déjà pour résoudre une équation. La combinaison ne fait qu'appliquer ces règles à deux lignes en même temps. Le point délicat est le signe dans la soustraction : chaque terme de la ligne retranchée change de signe, y compris le second membre. Écrire les parenthèses avant de les supprimer coûte trois secondes et évite l'erreur la plus fréquente du chapitre.

Substitution ou combinaison ? Les deux méthodes donnent toujours la même solution — elles ne diffèrent que par le confort. Une inconnue a un coefficient $1$ ou $-1$ ? La substitution est immédiate. Les coefficients sont tous « gros » ? La combinaison évite les fractions. Dans un devoir, tu choisis ; ce qui ne se choisit pas, c'est la vérification finale.

Pourquoi vérifier dans les deux équations ? Parce qu'une erreur de calcul produit souvent un couple qui vérifie une équation et pas l'autre — précisément le couple $(5\ ;\ 1)$ du début. Vérifier une seule équation ne détecte pas cette erreur ; vérifier les deux la détecte toujours. La vérification n'est pas une politesse, c'est la seule preuve que le couple trouvé est bien solution.

Lire le système comme deux droites. Chaque équation $ax + by = c$, quand $b \neq 0$, peut s'écrire $y = -\dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}$ : c'est l'équation réduite d'une droite du plan, de coefficient directeur $-\dfrac{a}{b}$. Un couple $(x\ ;\ y)$ vérifie l'équation exactement quand le point de coordonnées $(x\ ;\ y)$ est sur la droite. Résoudre le système, c'est donc chercher les points communs à deux droites — et la géométrie dit qu'il n'y a que trois cas.

• Les droites sont sécantes : un seul point commun, le système a une unique solution — c'est le cas de tous les exemples de cette leçon.
• Les droites sont parallèles et distinctes : aucun point commun, le système n'a aucune solution.
• Les droites sont confondues : tous les points de la droite sont communs, le système a une infinité de solutions.

Le nombre $ab' - a'b$, formé avec les coefficients du système $\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}$, tranche entre le premier cas et les deux autres. C'est le déterminant des vecteurs directeurs $(-b\ ;\ a)$ et $(-b'\ ;\ a')$ des deux droites, rencontré dans la leçon sur les vecteurs : il est nul exactement quand ces vecteurs sont colinéaires, c'est-à-dire quand les droites sont parallèles. Si $ab' - a'b \neq 0$, les droites sont sécantes et le système a une solution unique ; s'il est nul, il n'y a pas de solution unique — aucune ou une infinité, selon que les droites sont distinctes ou confondues. Sur la papeterie : $3 \times 5 - 2 \times 2 = 11 \neq 0$, et c'est bien ce $11$ qui est apparu devant $x$ dans la combinaison.

Énoncé. Résoudre le système d'inconnues $x$ et $y$ :

Interpréter géométriquement le résultat.

1. Choisir la méthode. Aucun coefficient ne vaut $1$ ni $-1$ : isoler une inconnue ferait apparaître des fractions. On choisit la combinaison.

2. Décider quelle inconnue éliminer, et avec quels facteurs. Les coefficients de $y$ sont $3$ et $-7$. En multipliant $(E_1)$ par $7$ et $(E_2)$ par $3$, on obtient $21y$ et $-21y$ : des coefficients opposés, qui se détruiront par addition — pas de soustraction, donc pas de signe à retourner.

Contrôle : chaque terme a bien été multiplié, seconds membres compris — $7 \times 31 = 217$ et $3 \times (-45) = -135$.

3. Additionner membre à membre.

4. Retrouver la seconde inconnue. On remplace $x$ par $2$ dans $(E_1)$, la plus simple :

5. Vérifier dans les deux équations — sans exception. Dans $(E_1)$ : $5 \times 2 + 3 \times 7 = 10 + 21 = 31$. Dans $(E_2)$ : $2 \times 2 - 7 \times 7 = 4 - 49 = -45$. Les deux égalités sont vraies.

Le système a une unique solution : le couple $(2\ ;\ 7)$.

6. Interpréter. L'équation $(E_1)$ est celle d'une droite $d_1$, de coefficient directeur $-\dfrac{5}{3}$ ; l'équation $(E_2)$ celle d'une droite $d_2$, de coefficient directeur $\dfrac{2}{7}$. Les coefficients directeurs sont différents : les droites sont sécantes, et leur point d'intersection a pour coordonnées $(2\ ;\ 7)$ — le seul point du plan qui appartient aux deux droites. On retrouve la condition du cours : $ab' - a'b = 5 \times (-7) - 2 \times 3 = -35 - 6 = -41 \neq 0$, et c'est ce $-41$, au signe près, qui s'est présenté devant $x$ à l'étape 3.

7. L'erreur qu'on a évitée. Un élève qui aurait soustrait au lieu d'additionner à l'étape 3 aurait écrit $29x + 42y = 352$ : rien n'a disparu, le calcul tourne en rond. Le signe des coefficients à éliminer décide de l'opération : opposés, on additionne ; égaux, on soustrait.

Figure (SVG programmatique à produire) : deux panneaux qui donnent un sens géométrique au mot « solution ».

• Panneau de gauche — le système de la substitution, tracé. Un repère orthonormé gradué de $-1$ à $8$ sur les deux axes. La droite $d_1$ d'équation $4x + y = 14$ et la droite $d_2$ d'équation $3x - 2y = 5$ sont tracées en traits pleins de deux styles différents (l'un continu, l'autre tireté, chacune étiquetée par son équation). Leur point d'intersection $(3\ ;\ 2)$ est marqué d'un disque plein, avec deux projections en pointillés vers les axes cotées « $3$ » et « $2$ », et un cartouche : « le couple $(3\ ;\ 2)$ vérifie les deux équations ». Dans un encart barré, un second point est marqué sur $d_1$ seulement, en $(2\ ;\ 6)$, avec la mention « vérifie $(E_1)$, pas $(E_2)$ : ce n'est pas une solution du système ».
• Panneau de droite — les trois cas. Trois vignettes miniatures côte à côte, chacune montrant deux droites dans un petit repère et portant en pied le nombre de solutions du système : droites sécantes (un point commun mis en évidence — « une solution »), droites parallèles distinctes (aucun point commun — « aucune solution »), droites confondues (une seule droite dessinée en trait épais — « une infinité de solutions »). Sous les trois vignettes, une ligne rappelle le critère : « $ab' - a'b \neq 0$ : sécantes ; $ab' - a'b = 0$ : parallèles ou confondues ».

Ce qu'il faut lire. Sur le panneau de gauche, chaque droite est l'ensemble des couples qui vérifient une équation ; la solution du système est le seul point qui appartient aux deux — et le point barré montre qu'être sur une droite ne suffit pas. Le panneau de droite explique pourquoi un système peut n'avoir aucune solution ou en avoir une infinité : ce n'est pas un accident de calcul, c'est la position relative de deux droites.

Domaine de validité. Les méthodes de cette leçon s'appliquent aux systèmes linéaires : aucune inconnue au carré, aucun produit $xy$. La formule de combinaison suppose qu'on a bien multiplié tous les termes de chaque ligne, second membre compris. Le critère $ab' - a'b \neq 0$ garantit une solution unique ; lorsqu'il vaut $0$, il ne dit pas à lui seul s'il y a aucune solution ou une infinité — il faut comparer les deux équations.

Ce qui n'est pas au programme. Les systèmes de trois équations à trois inconnues et les systèmes à coefficients littéraux (où l'on discute selon un paramètre) relèvent de l'enseignement supérieur. En seconde, les coefficients sont des nombres, et le système a le plus souvent une solution unique.

Contrôles gratuits. Un couple qui vérifie une seule équation n'est pas solution. Après une combinaison, une inconnue doit avoir disparu : s'il en reste deux, le facteur ou l'opération était mal choisi. Et en contexte, la solution doit avoir un sens : un prix négatif ou un nombre d'objets non entier signale une erreur.

1. Ne substituer que dans l'une des équations et conclure avec une seule inconnue. Isoler $y$ dans $(E_1)$ puis remplacer dans $(E_1)$ elle-même donne $0 = 0$ : vrai, et inutile. L'expression obtenue se reporte dans l'autre équation. Et une fois $x$ trouvé, le travail n'est pas fini : la solution est le couple $(x\ ;\ y)$, il faut calculer $y$.
2. Faire une erreur de signe lors de la combinaison. Soustraire une ligne, c'est changer le signe de chacun de ses termes, second membre compris : $(15x + 10y) - (4x + 10y) = 85 - 52$, jamais $85 + 52$. Le remède est mécanique : écrire les deux lignes avec leurs parenthèses, puis développer. Et choisir des coefficients opposés plutôt qu'égaux permet d'additionner — aucun signe à retourner.
3. Oublier de vérifier le couple solution dans les deux équations. Une erreur de calcul produit souvent un couple qui vérifie une équation et pas l'autre. Seule la vérification dans les deux équations de départ (pas dans les lignes multipliées) prouve que le couple est solution. C'est la dernière ligne de toute résolution.
4. Multiplier une ligne sans multiplier son second membre. Écrire $5 \times (E_1)$ comme $15x + 10y = 17$ est faux : le $17$ devient $85$. Une égalité ne reste vraie que si les deux membres subissent la même opération.
5. Éliminer une inconnue... et la voir revenir. Si, après la combinaison, il reste encore $x$ et $y$, les facteurs n'ont pas égalisé les coefficients, ou l'on a soustrait là où il fallait additionner. Recommencer en écrivant explicitement les coefficients visés.
6. Confondre « une seule droite passe par le point » et « solution ». Un couple qui annule une seule équation correspond à un point situé sur une seule des deux droites. La solution du système est le point commun aux deux : sur la figure, le seul disque plein.
7. Croire qu'un système a toujours une solution. Deux droites parallèles distinctes n'ont aucun point commun : le système correspondant n'a aucune solution, et la combinaison le signale en faisant disparaître les deux inconnues d'un coup pour laisser une égalité fausse, du type $0 = 7$. Ce n'est pas une erreur de calcul, c'est une réponse.

Le modèle. L'exercice associé à cette leçon propose un système de deux équations linéaires, tantôt sous forme abstraite, tantôt en contexte (deux achats aux prix unitaires inconnus), et demande la valeur de l'une des deux inconnues. La solution est toujours entière, et la réponse n'est jamais un nombre déjà écrit dans l'énoncé. Un second modèle, voisin, demande de trancher par le calcul si un couple donné est solution d'un système — la moitié des couples faux ne vérifient qu'une seule des deux équations — ou si deux droites sont sécantes.

Énoncé type. Dans une jardinerie, tous les rosiers sont vendus au même prix unitaire, et tous les sacs de terreau également. Trois rosiers et quatre sacs de terreau coûtent $68$ €. Cinq rosiers et deux sacs de terreau coûtent $76$ €. Quel est le prix d'un rosier, en euros ?

Corrigé complet.

1. Nommer les inconnues et traduire. Soit $x$ le prix d'un rosier et $y$ le prix d'un sac de terreau, en euros. Les deux achats donnent :

2. Choisir l'inconnue à éliminer. On cherche $x$ : on élimine $y$. Les coefficients de $y$ sont $4$ et $2$ ; en multipliant $(E_2)$ par $2$, on obtient $4y$ dans les deux lignes.

3. Soustraire membre à membre. Les coefficients de $y$ sont égaux : on soustrait, signes compris.

4. Trouver l'autre inconnue. Dans $(E_1)$ : $3 \times 12 + 4y = 68$, donc $4y = 32$ et $y = 8$.

5. Vérifier dans les deux équations. $(E_1)$ : $3 \times 12 + 4 \times 8 = 36 + 32 = 68$. $(E_2)$ : $5 \times 12 + 2 \times 8 = 60 + 16 = 76$. Les deux égalités sont vraies.

Un rosier coûte $12$ €, et un sac de terreau $8$ €.

6. Contrôler le sens. Deux prix positifs, entiers, vraisemblables pour une jardinerie : la solution a un sens dans le contexte. Un prix négatif ou un résultat comme $12{,}37$ aurait signalé une erreur de calcul.

Auto-contrôle : après la combinaison, une inconnue a-t-elle vraiment disparu ? As-tu multiplié le second membre en même temps que les deux autres termes ? Et ton couple vérifie-t-il les deux équations de départ — pas seulement celle qui a servi à trouver $y$ ?