Dériver un polynôme : du nombre dérivé à la fonction dérivée

Une fonction $f$ décrit comment une grandeur dépend d'une autre : la hauteur d'une balle selon le temps, le coût selon la quantité, l'aire d'un carré selon son côté.

La question de la dérivation : à un instant précis, à quelle vitesse $f$ est-elle en train de varier ?

• Entre deux abscisses $a$ et $a+h$ (avec $h \neq 0$), la variation moyenne est le taux de variation

C'est la pente de la droite qui relie les deux points de la courbe (une sécante).

• Quand $h$ se rapproche de $0$, les deux points se rapprochent et la sécante se rapproche de la tangente en $a$. La pente limite est le nombre dérivé $f'(a)$.

Le nombre dérivé $f'(a)$ est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$. C'est un nombre, pas une fonction.

Si l'on fait ce calcul pour tous les $a$ d'un intervalle, on obtient une nouvelle fonction $a \mapsto f'(a)$ : la fonction dérivée $f'$.

Commençons par les cas que l'on peut calculer à la main avec la définition.

Fonction constante $f(x)=c$ : le taux de variation vaut $\dfrac{c-c}{h}=0$. Donc $f'(x)=0$ : une constante ne varie pas.

Fonction identité $f(x)=x$ : $\dfrac{(a+h)-a}{h}=1$. Donc $f'(x)=1$.

Fonction carré $f(x)=x^2$ :

Donc $f'(x)=2x$. Remarquez le rôle de l'identité remarquable $(a+h)^2 = a^2+2ah+h^2$ : le terme $a^2$ s'annule, le terme en $h$ survit, le terme en $h^2$ disparaît à la limite.

Fonction cube $f(x)=x^3$ : même mécanisme avec $(a+h)^3 = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3$, d'où $f'(x)=3x^2$.

On reconnaît un motif : pour $n$ entier naturel non nul,

L'exposant « descend » en facteur et diminue de 1. (La démonstration générale utilise la formule du binôme ; en première on admet la formule.)

Deux règles pour assembler (dérivation linéaire) :

• $(k\,u)' = k\,u'$ pour une constante $k$ ;
• $(u+v)' = u' + v'$.

Un polynôme est une somme de termes $a_k x^k$ : on dérive donc terme à terme.

On dérive chaque terme séparément, puis on additionne.

Donc

Utiliser le résultat. Le nombre dérivé en $x=1$ vaut $f'(1) = 6 - 10 + 4 = 0$ : la tangente en $1$ est horizontale. En $x=2$, $f'(2)=24-20+4=8$ : la courbe « monte » avec une pente de 8.

Lien avec la physique. Si $x(t) = 2t^3 - 5t^2 + 4t - 7$ est la position (en m) d'un mobile sur un axe à l'instant $t$ (en s), alors $v(t) = x'(t) = 6t^2 - 10t + 4$ est sa vitesse instantanée sur cet axe (en m/s). C'est une valeur algébrique : elle est positive quand le mobile avance dans le sens de l'axe, négative quand il recule. Ici $v(t) = 2(3t-2)(t-1)$ : le mobile avance jusqu'à $t = \frac23$ s, recule entre $\frac23$ s et $1$ s, puis repart en avant. À $t = 1$ s il est momentanément immobile ($v=0$) ; à $t = 2$ s il avance à $8$ m/s.

Figure (fig.math.derivative-tangent, SVG programmatique, statique) :

• Repère orthonormé (même unité sur les deux axes), $x$ de $-2$ à $3$, $y$ de $-1$ à $4$, quadrillage léger.
• Courbe de $f(x) = x^2$ (parabole, trait violet), tracée de $x = -2$ à $x \approx 2{,}1$.
• Le point $A(1 ; 1)$ sur la courbe, marqué par un petit cercle et étiqueté.
• La tangente en $A$, en trait orange : $y = 2x - 1$, tracée de $(0 ; -1)$ à $(2{,}5 ; 4)$. Elle ne touche la parabole qu'en $A$.
• Un triangle de pente en pointillés orange : depuis $A$, on avance de $\Delta x = 1$ (jusqu'à $x = 2$), puis on monte de $\Delta y = 2$ (jusqu'à $y = 3$) pour retomber sur la tangente. Les deux côtés sont annotés « Δx = 1 » et « Δy = 2 ».
• Légende : « f(x) = x² », « tangente en a = 1 : y = 2x − 1 » et « pente = f′(1) = 2·1 = 2 (sans unité : grandeurs abstraites) ».

Ce qu'il faut lire. La pente de la tangente, $\Delta y / \Delta x = 2 / 1 = 2$, est exactement le nombre dérivé $f'(1) = 2 \times 1 = 2$. L'équation $y = 2x - 1$ est bien $y = f'(1)\,(x - 1) + f(1)$. Le passage à la limite (sécante qui pivote vers la tangente) n'est pas dessiné : il est décrit dans le bloc « Comprendre » ; la figure montre le résultat de ce passage à la limite.

La figure en détail : repère orthonormé avec une parabole d'équation y = x². Un point A de coordonnées (1 ; 1) est marqué sur la parabole. Une droite orange, la tangente, touche la parabole en A seulement ; son équation y = 2x − 1 est indiquée dans la légende. Un petit triangle en pointillés part de A vers la droite d'une unité, puis monte de deux unités jusqu'à la tangente : il montre que la pente vaut 2 pour 1, soit 2, ce qui est la valeur de la dérivée en 1.

Unités en physique : si $x$ est en mètres et $t$ en secondes, $x'(t)$ est en m/s (le rapport $\Delta x / \Delta t$ garde ses unités à la limite).

1. Dériver une constante en 1. $(-7)' = 0$, pas $1$. Seule la fonction $x$ se dérive en $1$.
2. Oublier de baisser l'exposant. $(x^3)' = 3x^2$ et non $3x^3$. L'exposant descend et diminue de 1.
3. Multiplier les coefficients au lieu de les garder. $(3x^2)' = 3 \times 2x = 6x$, pas $3 \times 2x^2$.
4. Confondre $f'(a)$ et $f(a)$. $f(1)$ est l'ordonnée du point ; $f'(1)$ est la pente en ce point. Les deux valent rarement la même chose.
5. Équation de tangente bancale. $y = f'(a)\,x + f(a)$ est faux : la pente multiplie l'écart $x - a$, pas $x$. Il faut écrire $y = f'(a)\,(x-a) + f(a)$, et vérifier que la droite passe bien par le point $(a ; f(a))$.
6. En physique : vitesse nulle $\neq$ position nulle. À $t=1$ s dans l'exemple, $v(1)=0$ alors que $x(1) = -6$ m. Le mobile s'arrête un instant, il n'est pas à l'origine.

Exercice type. La question 1 est celle que l'exercice te posera : un trinôme $f(x) = ax^2 + bx + c$ à coefficients entiers ($a \neq 0$), dérivé terme à terme, les écritures équivalentes de $f'$ étant acceptées. Les questions 2 et 3 la prolongent au degré 3, au-delà de ce que l'exercice génère.

1. Soit $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$. Donner $f'(x)$, puis calculer $f'(0)$ et $f'(1)$.
2. Soit $g(x) = 3x^3 - 2x^2 + x - 5$. Donner $g'(x)$, puis calculer $g'(1)$.
3. Un mobile se déplace sur un axe et sa position vaut $x(t) = 3t^3 - 2t^2 + t - 5$ (en m, avec $t$ en s). Quelle est sa vitesse à $t = 1$ s, en m/s puis en km/h ?

Auto-contrôle : dériver abaisse le degré d'une unité, donc la dérivée d'un polynôme de degré $n \geqslant 1$ est de degré $n-1$ ; si $g'$ contient encore un $x^3$, une erreur s'est glissée.