Résoudre une équation du premier degré

Une équation est une égalité qui contient un nombre inconnu, désigné par une lettre — le plus souvent $x$. Cette lettre s'appelle l'inconnue.

Cette égalité n'est ni vraie ni fausse en soi : tout dépend de la valeur de $x$. Pour $x = 1$, le membre de gauche vaut $-3$ et l'égalité est fausse. Pour $x = 3$, il vaut $15 - 8 = 7$ : l'égalité est vraie. On dit que $3$ est solution de l'équation.

Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie.

Le signe $=$ partage l'équation en deux membres : le membre de gauche et le membre de droite. Ne les confonds pas avec les deux côtés d'un calcul ordinaire : ici, ils sont égaux, et tout ce que tu feras devra préserver cette égalité.

L'image de la balance. Imagine une balance à deux plateaux, en équilibre. Le plateau de gauche porte $5x - 8$, celui de droite porte $7$. L'équilibre traduit le signe $=$.

Que peux-tu faire sans rompre l'équilibre ?

• Ajouter ou retirer la même masse des deux côtés. Si tu ajoutes $8$ à gauche, tu dois ajouter $8$ à droite. La balance reste en équilibre.
• Multiplier ou diviser les deux plateaux par un même nombre non nul. Si tu divises tout le contenu de gauche par $5$, tu dois diviser tout le contenu de droite par $5$.

Ces deux gestes — et eux seuls — transforment une équation en une équation équivalente, c'est-à-dire qui a exactement les mêmes solutions. Toute la résolution consiste à les enchaîner jusqu'à obtenir $x = \text{quelque chose}$.

Le mécanisme, sur l'exemple. On veut isoler $x$, c'est-à-dire le laisser seul d'un côté.

Étape 1 — faire disparaître le $-8$. On ajoute $8$ aux deux membres :

Étape 2 — faire disparaître le facteur $5$. On divise les deux membres par $5$ :

Étape 3 — vérifier. On remplace $x$ par $3$ dans l'équation de départ : $5 \times 3 - 8 = 15 - 8 = 7$. C'est bien le membre de droite. La solution est $3$.

L'ordre compte. On enlève d'abord le terme constant (le $-8$), ensuite on divise par le coefficient de $x$ (le $5$). C'est l'ordre inverse de celui dans lequel on lit l'expression : $5x - 8$ se lit « multiplier par $5$, puis retirer $8$ », donc pour défaire, on remet d'abord le $8$, puis on divise par $5$. Comme pour se déshabiller : on enlève d'abord le manteau.

Quand l'inconnue apparaît dans les deux membres. L'équation générale du premier degré s'écrit

Le principe ne change pas : on garde les deux gestes autorisés, et on s'organise pour rassembler les termes en $x$ d'un côté et les nombres seuls de l'autre. Sur $7x - 3 = 4x + 12$ :

1. On retire $4x$ aux deux membres, pour vider le membre de droite de son $x$ :

2. On ajoute $3$ aux deux membres :

3. On divise par $3$ :

« Changer de membre, changer de signe » : d'où ça vient. Tu entendras souvent ce raccourci. Il est juste, mais ce n'est pas une règle magique : c'est le résumé du geste « je retire la même chose des deux côtés ». Retirer $4x$ à gauche et à droite fait effectivement passer le $4x$ de droite à gauche, en $-4x$. Si tu appliques le raccourci sans comprendre, tu oublieras tôt ou tard de changer le signe. En cas de doute, écris le geste en entier.

Un choix qui simplifie la vie. Rassemble les $x$ du côté où le coefficient est le plus grand, pour éviter de finir avec un coefficient négatif. Sur $2x + 9 = 6x - 3$, il vaut mieux retirer $2x$ des deux côtés (on obtient $9 = 4x - 3$) que retirer $6x$ (on obtiendrait $-4x + 9 = -3$). Le résultat est le même, mais le second chemin multiplie les occasions de se tromper de signe.

Diviser par un nombre négatif. Si tu arrives à $-3x = 12$, tu divises les deux membres par $-3$ :

Le signe change parce qu'on divise par un négatif — et il change des deux côtés à la fois, puisqu'on divise les deux membres. Écris le nombre négatif entre parenthèses au dénominateur, $\dfrac{12}{(-3)}$, pour ne pas accoler deux signes.

La solution n'est pas toujours entière. $4x = 10$ donne $x = \dfrac{10}{4} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5$. Une fraction irréductible est une réponse parfaitement acceptable, souvent préférable à une valeur décimale approchée.

Mettre un problème en équation. C'est la compétence la plus utile, et la plus exigeante. Quatre étapes, toujours les mêmes :

1. Choisir l'inconnue et la nommer, en une phrase précise : « Soit $x$ la largeur du rectangle, en centimètres. »
2. Exprimer les autres grandeurs en fonction de $x$ : « la longueur vaut alors $x + 4$ ».
3. Traduire l'énoncé par une égalité : « le périmètre vaut $36$ cm » devient $2 \times \left(x + (x + 4)\right) = 36$.
4. Résoudre, puis revenir à la question posée : $x$ est la largeur, mais si la question demande la longueur, il reste un calcul à faire.

Ne saute jamais l'étape 1. Une équation dont on ne sait plus ce que représente $x$ ne se relit pas, et sa solution ne s'interprète pas.

Vérifier n'est pas facultatif. Reporter la valeur trouvée dans l'équation de départ — pas dans une ligne intermédiaire, qui pourrait contenir l'erreur — est le seul contrôle qui prouve le résultat. Cela prend dix secondes et transforme une réponse probable en réponse certaine.

Un cas particulier, pour ta curiosité. Il arrive que l'inconnue disparaisse en cours de route. Si l'on obtient une égalité fausse comme $0 = 5$, aucune valeur de $x$ ne convient : l'équation n'a pas de solution. Si l'on obtient une égalité toujours vraie comme $0 = 0$, tous les nombres conviennent. Ces situations sont rares au collège, mais si elles se présentent, elles ne signifient pas que tu t'es trompé.

Énoncé. 1) Résoudre $5x - 8 = 7$. 2) Résoudre $7x - 3 = 4x + 12$. 3) Un rectangle a une longueur qui dépasse sa largeur de $4$ cm, et son périmètre vaut $36$ cm. Calculer sa longueur et sa largeur.

1) $5x - 8 = 7$.

Étape 1 — isoler le terme en $x$. Le membre de gauche contient $-8$ : on ajoute $8$ aux deux membres.

Étape 2 — isoler $x$. Le coefficient de $x$ est $5$ : on divise les deux membres par $5$.

Étape 3 — vérifier dans l'équation de départ. $5 \times 3 - 8 = 15 - 8 = 7$. Le membre de droite vaut $7$. L'égalité est vraie.

Conclusion. La solution de l'équation est $3$.

2) $7x - 3 = 4x + 12$.

Étape 1 — rassembler les $x$. Le coefficient le plus grand est à gauche ($7$) : on retire $4x$ aux deux membres.

Étape 2 — rassembler les nombres. On ajoute $3$ aux deux membres.

Étape 3 — diviser.

Étape 4 — vérifier dans l'équation de départ, en calculant les deux membres séparément. Membre de gauche : $7 \times 5 - 3 = 35 - 3 = 32$. Membre de droite : $4 \times 5 + 12 = 20 + 12 = 32$. Les deux valent $32$ : l'égalité est vraie.

Conclusion. La solution est $5$.

3) Le rectangle.

Étape 1 — choisir l'inconnue. Soit $x$ la largeur du rectangle, en centimètres. Comme c'est une longueur, $x$ est positif.

Étape 2 — exprimer le reste. La longueur dépasse la largeur de $4$ cm : elle vaut $x + 4$ centimètres.

Étape 3 — traduire l'énoncé. Le périmètre d'un rectangle vaut deux fois la somme de la longueur et de la largeur :

Étape 4 — réduire avant de résoudre. À l'intérieur de la parenthèse, $x + x + 4 = 2x + 4$. Donc

Étape 5 — résoudre. On retire $8$ aux deux membres : $4x = 28$. On divise par $4$ : $x = 7$.

Étape 6 — revenir à la question. La largeur vaut $7$ cm, la longueur vaut $7 + 4 = 11$ cm.

Étape 7 — vérifier sur l'énoncé, pas sur l'équation. La longueur dépasse bien la largeur de $4$ cm ($11 - 7 = 4$), et le périmètre vaut $2 \times (11 + 7) = 2 \times 18 = 36$ cm. Tout concorde.

Le moment décisif : à l'étape 6. Beaucoup d'élèves s'arrêtent à $x = 7$ et répondent « $7$ cm » à une question qui demandait les deux dimensions. L'inconnue n'est pas toujours la réponse.

Figure (fig.math.equation-balance, SVG programmatique à produire) : la résolution de $5x - 8 = 7$ représentée en trois états de balance empilés verticalement, plus un encart sur le geste interdit.

• État 1, en haut — la situation de départ. Une balance à fléau horizontal, parfaitement équilibrée. Sur le plateau gauche : cinq sachets identiques marqués $x$, et une case creuse marquée $-8$, dessinée en creux (contour en tirets, fond vide) pour signifier une masse retirée. Sur le plateau droit : un bloc marqué $7$. Sous la balance, l'équation $5x - 8 = 7$.
• État 2, au milieu — après avoir ajouté $8$ des deux côtés. Même balance, toujours équilibrée. À gauche, la case creuse $-8$ est comblée par un bloc $+8$ : les deux s'annulent, il ne reste que les cinq sachets $x$. À droite, un bloc $+8$ a été ajouté à côté du bloc $7$, formant $15$. Deux flèches identiques, une de chaque côté, portent l'annotation « $+8$ » — le point clé est qu'elles sont identiques et simultanées. Sous la balance, $5x = 15$.
• État 3, en bas — après avoir divisé par $5$. Le plateau gauche ne porte plus qu'un sachet $x$ ; le plateau droit un bloc $3$. Les quatre autres sachets et les douze unités correspondantes sont dessinés en gris pâle à côté de la balance, avec l'annotation « on garde un cinquième de chaque côté ». Sous la balance, $x = 3$. Un cadre épais entoure ce dernier état : c'est la solution.
• Encart d'avertissement, à droite des trois états, séparé par un filet vertical : la même balance avec $+8$ ajouté seulement à gauche. Le fléau est nettement penché, et la mention barrée « on n'agit jamais d'un seul côté » figure sous le dessin. Le déséquilibre est visible sans lire le texte.
• Une bande de contrôle, tout en bas, montre la vérification : le sachet $x$ remplacé par un bloc $3$ dans la balance de l'état 1, et le calcul $5 \times 3 - 8 = 7$, avec les deux plateaux de nouveau au même niveau.

Ce qu'il faut lire. Le fléau reste horizontal d'un état à l'autre : c'est l'image exacte de « l'équation reste équivalente ». Les deux flèches $+8$ sont jumelles, jamais solitaires — c'est la seule chose à retenir des transformations autorisées. Et l'encart montre, sans calcul, ce que produit le geste interdit : la balance penche, l'égalité est perdue, et toutes les lignes suivantes seront fausses.

La figure en détail : trois balances à deux plateaux empilées verticalement. Sur la première, le plateau gauche porte cinq sachets identiques marqués x et une case creuse marquée moins huit, le plateau droit porte un bloc marqué sept, et le fléau est horizontal ; l'équation cinq x moins huit égale sept figure dessous. Sur la deuxième, un bloc plus huit a comblé la case creuse à gauche et un bloc plus huit a été ajouté à droite ; deux flèches identiques annotées plus huit désignent les deux plateaux, le fléau reste horizontal, et l'équation cinq x égale quinze figure dessous. Sur la troisième, le plateau gauche porte un seul sachet x et le plateau droit un bloc trois, les éléments retirés étant dessinés en gris à côté ; l'équation x égale trois figure dessous dans un cadre épais. À droite, séparé par un filet, un encart montre la même balance avec un bloc ajouté seulement à gauche : le fléau penche nettement, sous la mention barrée on n'agit jamais d'un seul côté. En bas, une bande de vérification remplace le sachet x par un bloc trois et montre les deux plateaux de nouveau à égalité.

Domaine de validité. La formule $x = \dfrac{c-b}{a}$ suppose $a \neq 0$ : sans terme en $x$, il n'y a plus d'équation du premier degré. De même, $ax + b = cx + d$ n'a une solution unique que si $a \neq c$.

Forme de la réponse. La solution peut être un entier, un décimal ou une fraction. Une fraction se donne irréductible ; on ne remplace pas $\dfrac{1}{3}$ par $0{,}33$, qui est faux. Si l'équation vient d'un problème concret, la réponse porte une unité et doit être plausible : une largeur négative ou un âge de $150$ ans signale une erreur de mise en équation.

Rédaction. Écris une transformation par ligne, et aligne les signes $=$. Termine par une phrase de conclusion qui répond à la question posée : « La solution de l'équation est $3$ », ou « La largeur du rectangle est $7$ cm et sa longueur $11$ cm ».

1. Changer un terme de membre sans changer son signe. Passer de $5x - 8 = 7$ à $5x = 7 - 8$ est faux : le $-8$ devient $+8$ en changeant de côté, donc $5x = 7 + 8 = 15$. Le raccourci « je fais passer de l'autre côté » n'est fiable que si l'on change le signe à chaque fois. En cas de doute, écris le geste complet : « j'ajoute $8$ aux deux membres ».
2. Diviser un seul membre par le coefficient de $x$. De $5x = 15$, écrire $x = 15$ oublie la division à droite. Les deux membres subissent toujours le même traitement, sans exception. C'est ce que dit la balance : agir d'un seul côté la fait pencher.
3. Oublier de vérifier. Reporter la solution dans l'équation de départ prend quelques secondes et détecte la quasi-totalité des erreurs de signe. Une copie sans vérification est une copie qui parie.
4. Vérifier dans une ligne intermédiaire. Si tu vérifies dans $5x = 15$ au lieu de $5x - 8 = 7$, une erreur commise à la première étape passera inaperçue : tu vérifierais ton erreur. La vérification se fait toujours dans l'énoncé d'origine.
5. Se tromper de signe en divisant par un nombre négatif. De $-3x = 12$, on tire $x = \dfrac{12}{(-3)} = -4$, et non $x = 4$. Écris le diviseur négatif entre parenthèses.
6. Oublier de distribuer. Dans $2 \times (2x + 4) = 36$, la multiplication par $2$ porte sur toute la parenthèse : $4x + 8 = 36$, et non $4x + 4 = 36$. La parenthèse ne se dissout pas toute seule.
7. Confondre l'inconnue et la réponse à la question. Si $x$ est la largeur et que la question demande la longueur, la valeur trouvée n'est pas la réponse : il reste une addition à faire. Relis la question après avoir résolu.
8. Se lancer sans nommer l'inconnue. Dans un problème, la phrase « Soit $x$ la largeur du rectangle, en centimètres » n'est pas une formalité : c'est elle qui rend l'équation lisible, vérifiable, et qui permet d'interpréter le résultat à la fin.

À quoi t'attendre. L'exercice tire des équations de la forme $ax + b = c$ dont la solution est un entier relatif. Le coefficient $a$ n'est jamais $0$, ni $1$, ni $-1$ : il y a donc toujours une vraie division à faire. Le terme $b$ n'est jamais nul : il y a toujours une vraie addition ou soustraction à faire. Autrement dit, les deux étapes de la méthode sont exigées à chaque tirage. Les nombres négatifs y sont écrits entre parenthèses dans les produits et au dénominateur, pour éviter deux signes accolés.

Énoncé type. Résoudre l'équation

Donner la valeur de $x$.

Corrigé complet.

1. Repérer la forme. L'inconnue n'apparaît que dans le membre de gauche, une seule fois, avec l'exposant $1$ : c'est une équation du premier degré, du type $ax + b = c$ avec $a = 5$, $b = -8$ et $c = 7$.

2. Isoler le terme en $x$. Le membre de gauche contient $-8$ ; on ajoute $8$ aux deux membres :

Remarque le signe : le $-8$ devient $+8$ en changeant de membre. C'est là que se perd le plus de points.

3. Isoler $x$. On divise les deux membres par $5$ :

4. Vérifier dans l'équation de départ. On remplace $x$ par $3$ :

On retrouve exactement le membre de droite. La valeur trouvée est bien solution.

5. Conclure par une phrase. La solution de l'équation est $3$.

Auto-contrôle : deux questions suffisent. Ai-je fait le même geste sur les deux membres à chaque ligne ? Et ma valeur, reportée dans l'équation de départ, redonne-t-elle l'égalité ? Si la vérification échoue, reprends ligne par ligne : l'erreur est presque toujours un signe oublié à l'étape où un terme a changé de membre.