Probabilités conditionnelles : le « sachant que »

Une information change les probabilités. Avant de tirer une carte, la probabilité d'obtenir un roi est $\dfrac{4}{32}$ ; si l'on t'annonce « c'est une figure », elle devient $\dfrac{4}{12}$. Rien n'a changé dans le paquet : c'est la population de référence qui a rétréci, des $32$ cartes aux $12$ figures. Toute la leçon tient dans ce geste.

Définition. Soient $A$ et $B$ deux événements, avec $P(A) \neq 0$. La probabilité de $B$ sachant $A$ est

On lit « probabilité de $B$ sachant $A$ » ; c'est la probabilité de $B$ quand on sait que $A$ est réalisé. Le dénominateur $P(A)$ est ce qui rétrécit l'univers à $A$ ; le numérateur ne garde de $B$ que la part qui est dans $A$. C'est bien une probabilité : comprise entre $0$ et $1$, égale à $1$ pour $B = A$.

Lire sur un tableau à double entrée. Quand les événements sont définis par des effectifs, le conditionnement se lit sans formule. Voici $200$ élèves d'un lycée répartis selon deux caractères : $A$ « être demi-pensionnaire », $B$ « pratiquer un sport en club ».

On choisit un élève au hasard. Trois nombres, trois questions différentes :

• $P(A \cap B) = \dfrac{40}{200} = 0{,}2$ : la probabilité qu'il soit demi-pensionnaire et sportif — la case commune sur le total général.
• $P_A(B) = \dfrac{40}{100} = 0{,}4$ : sachant qu'il est demi-pensionnaire, la probabilité qu'il soit sportif — la case commune sur le total de la ligne de $A$. On ne regarde plus que les $100$ demi-pensionnaires.
• $P_B(A) = \dfrac{40}{80} = 0{,}5$ : sachant qu'il est sportif, la probabilité qu'il soit demi-pensionnaire — la case commune sur le total de la colonne de $B$.

Même numérateur, trois dénominateurs, trois résultats. $P_A(B)$ et $P_B(A)$ ne sont pas la même chose : « parmi les demi-pensionnaires, la part des sportifs » et « parmi les sportifs, la part des demi-pensionnaires » sont deux questions, et rien n'oblige leurs réponses à coïncider. Dans la langue courante, « sachant que », « parmi ceux qui », « chez les » annoncent un conditionnement — et le mot qui suit désigne la population de référence, celle qui va au dénominateur.

La règle du produit. En multipliant la définition par $P(A)$ :

La probabilité que deux événements se produisent tous les deux est la probabilité du premier, multipliée par la probabilité du second sachant le premier. C'est la règle qui fait fonctionner les arbres, et qui remplace le tableau quand on n'a pas d'effectifs mais des pourcentages « en cascade » — c'est l'objet du bloc suivant.

Conditionner, c'est diviser par la probabilité de ce que l'on sait. La question à se poser devant chaque « sachant que » : quelle est la population dont on parle maintenant ?

L'arbre pondéré. Quand une situation se décrit en étapes (« $30\ \%$ des clients sont abonnés ; parmi les abonnés, $60\ \%$ utilisent l'application chaque jour ; parmi les autres, $20\ \%$ »), on la représente par un arbre. De la racine partent les branches $A$ et $\bar{A}$ (l'événement contraire), portant $P(A)$ et $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$. De chaque nœud du premier niveau partent les branches $B$ et $\bar{B}$, portant les probabilités conditionnelles $P_A(B)$, $P_A(\bar{B})$ depuis $A$, et $P_{\bar{A}}(B)$, $P_{\bar{A}}(\bar{B})$ depuis $\bar{A}$. Trois règles suffisent à l'exploiter.

• Règle des nœuds : les probabilités des branches issues d'un même nœud ont pour somme $1$. En particulier $P_A(\bar{B}) = 1 - P_A(B)$.
• Règle du produit : la probabilité d'un chemin (une intersection) est le produit des probabilités des branches qui le composent : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$.
• Règle de la somme : la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent.

La formule des probabilités totales. Les événements $A$ et $\bar{A}$ forment une partition de l'univers : ils sont incompatibles et leur réunion est tout l'univers — tout individu est dans l'un ou dans l'autre, jamais dans les deux. Un événement $B$ se découpe donc en deux morceaux disjoints, $A \cap B$ et $\bar{A} \cap B$, et

C'est la règle de la somme appliquée aux deux chemins qui aboutissent à $B$. Elle sert dès que $B$ n'est connu qu'« à travers » $A$ : un défaut selon la machine, un usage selon l'abonnement. La formule s'étend à une partition en trois événements ou plus, avec un terme par morceau. Deux erreurs la font échouer : oublier un chemin (on n'obtient que $P(A \cap B)$), ou additionner $P_A(B) + P_{\bar{A}}(B)$ sans les poids $P(A)$ et $P(\bar{A})$.

Inverser le conditionnement. Une fois $P(B)$ connu, la définition donne aussi $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ : « sachant que la pièce est défectueuse, vient-elle de la machine 1 ? ». L'arbre était construit dans un sens (machine, puis défaut), la question se pose dans l'autre — et la réponse n'exige aucune formule nouvelle, seulement la définition et les deux nombres déjà calculés.

L'indépendance : une propriété, pas une impression. Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque savoir que $A$ est réalisé ne change pas la probabilité de $B$ : $P_A(B) = P(B)$. Avec la règle du produit, cela s'écrit de façon symétrique :

La définition est symétrique ($P_B(A) = P(A)$ également) et s'applique même si $P(A) = 0$. Sur le tableau des $200$ élèves : $P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}4$, $P(A) \times P(B) = 0{,}2 = P(A \cap B)$ — les événements « demi-pensionnaire » et « sportif » sont indépendants : la proportion de sportifs est la même ($40\ \%$) chez les demi-pensionnaires et chez les externes. L'indépendance se vérifie par un calcul, jamais par le sentiment que « ça n'a rien à voir » : deux caractères qui semblent sans rapport peuvent être liés dans les données, et deux caractères qui semblent liés peuvent y être indépendants.

Incompatibles n'est pas indépendants. Deux événements incompatibles ne peuvent pas se produire ensemble : $P(A \cap B) = 0$. Si $P(A)$ et $P(B)$ sont non nuls, $P(A) \times P(B) \neq 0$ : l'égalité d'indépendance est fausse. Des événements incompatibles sont donc le contraire d'indépendants — savoir que $A$ s'est produit rend $B$ impossible, ce qui est l'information la plus forte possible : $P_A(B) = 0 \neq P(B)$. Confondre les deux mots est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

Deux épreuves indépendantes à la suite. Le programme de première demande aussi de représenter une succession de deux épreuves indépendantes — deux lancers d'un dé, deux tirages avec remise — par un arbre ou un tableau. L'arbre a deux niveaux, et les probabilités du second niveau ne dépendent pas de la branche suivie au premier : c'est la marque de l'indépendance. La probabilité d'un chemin reste le produit des probabilités rencontrées. On lance deux fois une pièce équilibrée : la probabilité d'obtenir « pile puis face » vaut $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$, et celle d'obtenir exactement un pile, somme des deux chemins qui conviennent, $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$.

Ce qui est en dehors. La formule de Bayes, sous ce nom, est hors programme du lycée : en première, on inverse le conditionnement par la définition, $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$. La répétition de $n$ épreuves indépendantes (lancer dix fois une pièce et compter les piles), le schéma de Bernoulli et la loi binomiale relèvent de la terminale. En première, on conditionne, on lit des arbres à deux niveaux, on teste l'indépendance de deux événements.

Énoncé. Un atelier produit des pièces sur deux machines. La machine 1 fabrique $60\ \%$ de la production, et $4\ \%$ de ses pièces présentent un défaut ; la machine 2 fabrique le reste, avec $9\ \%$ de pièces défectueuses. On prélève une pièce au hasard ; on note $M_1$ « la pièce vient de la machine 1 » et $D$ « la pièce présente un défaut ».

1. Traduire l'énoncé en probabilités et construire l'arbre. 2) Calculer $P(D)$. 3) Sachant que la pièce est défectueuse, quelle est la probabilité qu'elle vienne de la machine 1 ? 4) Les événements $M_1$ et $D$ sont-ils indépendants ?

1) Traduire. $P(M_1) = 0{,}6$, donc $P(\overline{M_1}) = 0{,}4$. Les pourcentages « de ses pièces » sont des probabilités conditionnelles : $P_{M_1}(D) = 0{,}04$ et $P_{\overline{M_1}}(D) = 0{,}09$. Par la règle des nœuds, $P_{M_1}(\bar{D}) = 0{,}96$ et $P_{\overline{M_1}}(\bar{D}) = 0{,}91$. L'arbre a deux niveaux : machine, puis défaut.

2) Probabilités totales. Deux chemins mènent à $D$ :

$M_1$ et $\overline{M_1}$ forment une partition, donc

$6\ \%$ des pièces de l'atelier sont défectueuses — entre $4\ \%$ et $9\ \%$, plus près de $4\ \%$ parce que la machine 1 produit davantage. Oublier le second chemin donnerait $0{,}024$, qui n'est que la probabilité « machine 1 et défaut ».

3) Inverser le conditionnement. On demande $P_D(M_1)$ — la population de référence est celle des pièces défectueuses :

Une pièce défectueuse vient de la machine 1 avec une probabilité de $0{,}4$, alors que la machine 1 fait $60\ \%$ de la production : elle est sous-représentée parmi les défauts, ce qui est logique puisqu'elle en produit moins souvent. Remarque que $P_D(M_1) = 0{,}4$ et $P_{M_1}(D) = 0{,}04$ n'ont rien à voir : le sens du conditionnement change tout.

4) Tester l'indépendance. $P(M_1) \times P(D) = 0{,}6 \times 0{,}06 = 0{,}036$, tandis que $P(M_1 \cap D) = 0{,}024$. Les deux nombres diffèrent : $M_1$ et $D$ ne sont pas indépendants. On le voit aussi sur les conditionnelles : $P_{M_1}(D) = 0{,}04 \neq P(D) = 0{,}06$ — savoir d'où vient la pièce change la probabilité du défaut.

Le même problème en tableau. Sur $1\,000$ pièces, l'énoncé donne $600$ pièces de la machine 1 dont $24$ défectueuses, et $400$ de la machine 2 dont $36$ défectueuses.

On y relit tout : $P(D) = \dfrac{60}{1\,000} = 0{,}06$, $P_D(M_1) = \dfrac{24}{60} = 0{,}4$, $P_{M_1}(D) = \dfrac{24}{600} = 0{,}04$. L'arbre et le tableau sont deux écritures d'une même situation : l'arbre suit l'ordre des informations de l'énoncé, le tableau permet de conditionner dans les deux sens d'un seul regard.

Le moment décisif : à la question 3, la tentation est de répondre $0{,}04$ ou $0{,}6$. Ni l'un ni l'autre : la question dit « sachant que la pièce est défectueuse », la population de référence est donc $D$, et le dénominateur est $P(D)$, que la question 2 venait de calculer. La formule des probabilités totales n'est pas une fin en soi ; elle fournit le dénominateur du conditionnement inverse.

Figure (SVG programmatique à produire) : deux panneaux côte à côte, l'arbre pondéré et le tableau à double entrée de l'exemple guidé, reliés par des flèches de correspondance.

• Panneau 1 — l'arbre. Une racine à gauche. Deux branches vers $M_1$ (poids $0{,}6$) et $\overline{M_1}$ (poids $0{,}4$), les poids écrits sur les branches. De chaque nœud, deux branches vers $D$ et $\bar{D}$ : $0{,}04$ et $0{,}96$ depuis $M_1$, $0{,}09$ et $0{,}91$ depuis $\overline{M_1}$. À l'extrémité de chaque chemin, la probabilité du chemin : $0{,}024$, $0{,}576$, $0{,}036$, $0{,}364$ — et, en fin de colonne, leur somme $1$. Les deux chemins menant à $D$ sont tracés en trait épais, leurs extrémités reliées par une accolade cotée « $P(D) = 0{,}024 + 0{,}036 = 0{,}06$ ». Sur chaque nœud, un petit cartouche « somme des branches $= 1$ ». Sous l'arbre, le rappel des trois règles, une ligne chacune.
• Panneau 2 — le tableau. Le tableau d'effectifs sur $1\,000$ pièces, avec ses totaux de lignes et de colonnes. La case $24$ (machine 1, défectueuses) est mise en évidence. Trois flèches partent de cette case : l'une vers le total général $1\,000$, cotée « $P(M_1 \cap D) = \dfrac{24}{1\,000}$ » ; l'une vers le total de ligne $600$, cotée « $P_{M_1}(D) = \dfrac{24}{600}$ » ; l'une vers le total de colonne $60$, cotée « $P_D(M_1) = \dfrac{24}{60}$ ». La ligne « Machine 1 » et la colonne « Défectueuses » sont légèrement teintées, avec la mention « la population de référence est la ligne ou la colonne ».
• Correspondances. Une flèche relie l'extrémité $0{,}024$ de l'arbre à la case $24$ du tableau, une autre relie l'accolade $P(D) = 0{,}06$ au total de colonne $60$. En bas de figure, un encadré « indépendance ? » : « $P(M_1) \times P(D) = 0{,}6 \times 0{,}06 = 0{,}036 \neq 0{,}024 = P(M_1 \cap D)$ : non ».

Ce qu'il faut lire. L'arbre montre les règles : sur un nœud on additionne à $1$, le long d'un chemin on multiplie, vers un événement on additionne les chemins — et la formule des probabilités totales n'est que la lecture des deux chemins épais. Le tableau montre le conditionnement comme un choix de dénominateur : une seule case, trois populations de référence, trois probabilités. Les flèches de correspondance disent qu'il s'agit du même monde : ce que l'arbre calcule par produits, le tableau le compte par effectifs. L'encadré final rappelle que l'indépendance se tranche par une égalité, pas par une impression.

La figure en détail : à gauche, un arbre couché dont la racine se divise en deux branches, machine un avec le poids zéro virgule six et machine deux avec le poids zéro virgule quatre ; chacune se divise à son tour en défaut et sans défaut, avec des poids quatre centièmes et quatre-vingt-seize centièmes pour la première machine, neuf centièmes et quatre-vingt-onze centièmes pour la seconde. Au bout de chaque chemin est écrit le produit des poids ; les deux chemins qui mènent à un défaut sont en trait épais et leurs produits sont additionnés pour donner six centièmes. À droite, un tableau d'effectifs sur mille pièces, avec la case vingt-quatre (machine un, défectueuses) mise en évidence et trois flèches vers le total général, le total de sa ligne et le total de sa colonne, chacune donnant une probabilité différente.

Domaine de validité. $P_A(B)$ n'est définie que si $P(A) \neq 0$ : on ne conditionne pas par un événement impossible. La formule des probabilités totales exige une partition de l'univers ($A$ et $\bar{A}$, ou plusieurs événements incompatibles deux à deux dont la réunion est l'univers) : avec des événements qui se chevauchent, des chemins seraient comptés deux fois. L'indépendance est une relation entre deux événements dans un modèle donné : les mêmes caractères peuvent être indépendants dans une population et pas dans une autre.

Écritures. $P_A(B)$ (indice) se lit « probabilité de $B$ sachant $A$ » — l'événement connu est en indice, l'événement dont on cherche la probabilité entre parenthèses. On rencontre aussi la notation $P(B \mid A)$ ; c'est la même chose. $P(A \cap B)$ est la probabilité de « $A$ et $B$ » ; $P(A \cup B)$ celle de « $A$ ou $B$ ». Un pourcentage « parmi les… » est une probabilité conditionnelle ; un pourcentage « de la production » est une probabilité simple.

Contrôles gratuits. Les branches d'un nœud font $1$ ; les extrémités de l'arbre font $1$ ; $P(B)$ par les totales est comprise entre la plus petite et la plus grande des conditionnelles $P_A(B)$ et $P_{\bar{A}}(B)$ ; sur un tableau, les totaux de lignes et de colonnes redonnent le total général.

1. Confondre $P_A(B)$ et $P_B(A)$. « Parmi les demi-pensionnaires, la part des sportifs » ($0{,}4$) et « parmi les sportifs, la part des demi-pensionnaires » ($0{,}5$) sont deux questions. Même numérateur, dénominateurs différents. Le mot qui suit « sachant que » ou « parmi » nomme la population de référence : c'est lui qui va au dénominateur.
2. Confondre $P(A \cap B)$ et $P_A(B)$. La première est « $A$ et $B$ » sur tout l'univers ($\dfrac{40}{200}$) ; la seconde est « $B$ » sur la seule population $A$ ($\dfrac{40}{100}$). Une phrase sans « sachant » ni « parmi » demande l'intersection ; avec l'un de ces mots, une conditionnelle.
3. Assimiler incompatibles et indépendants. Incompatibles : $P(A \cap B) = 0$. Indépendants : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. Pour deux événements de probabilités non nulles, ces deux égalités s'excluent : des événements incompatibles sont dépendants au maximum, puisque l'un rend l'autre impossible.
4. Décider l'indépendance à l'intuition. « Être demi-pensionnaire n'a rien à voir avec le sport » n'est pas un argument ; $0{,}5 \times 0{,}4 = 0{,}2 = P(A \cap B)$ en est un. L'indépendance est une égalité à vérifier, avec des nombres exacts — un écart, même petit, la réfute.
5. Oublier un chemin dans les probabilités totales. $P(D) = 0{,}024$ n'est que la branche de la machine 1. L'événement $D$ se produit aussi avec la machine 2 : $P(D) = 0{,}024 + 0{,}036$. Sur l'arbre, repère tous les chemins qui aboutissent à l'événement avant d'additionner.
6. Additionner des conditionnelles sans les pondérer. $P_{M_1}(D) + P_{\overline{M_1}}(D) = 0{,}04 + 0{,}09 = 0{,}13$ n'est la probabilité de rien : ces deux nombres portent sur des populations différentes et de tailles différentes. Chaque conditionnelle est multipliée par le poids de sa branche : $0{,}6 \times 0{,}04 + 0{,}4 \times 0{,}09$.
7. Mettre sur l'arbre des probabilités qui ne sont pas conditionnelles. Au second niveau, les branches portent $P_A(B)$, pas $P(A \cap B)$ ni $P(B)$. Si l'énoncé donne $P(A \cap B)$, il faut d'abord diviser par $P(A)$ pour obtenir le poids de la branche.
8. Conditionner par un événement de probabilité nulle. $P_A(B)$ n'a pas de sens si $P(A) = 0$. Sur un tableau, une ligne de total nul ne permet aucun conditionnement — et une case nulle avec des totaux non nuls signifie des événements incompatibles, donc dépendants.

Le modèle. L'exercice associé à cette leçon tire l'un de deux supports. Sur un tableau croisé d'effectifs (élèves d'un lycée, salariés d'une entreprise, pièces d'une usine, clients d'une application), il demande $P(A \cap B)$, $P_A(B)$ ou $P_B(A)$ — et le corrigé calcule toujours les deux conditionnements côte à côte, pour que leur différence soit visible. Sur un arbre décrit en français (« $30\ \%$ d'entre eux sont abonnés ; parmi ceux-ci, $60\ \%$… »), il demande la probabilité d'une intersection ou $P(B)$ par la formule des probabilités totales. La réponse est un nombre décimal exact. Un second modèle, vrai-faux, fait tester l'indépendance par un calcul, comparer $P_A(B)$ et $P_B(A)$, juger une valeur affirmée de $P(B)$, et démonter « incompatibles donc indépendants ».

Énoncé type. Le tableau ci-dessous répartit les $200$ élèves d'un lycée selon deux caractères.

On choisit un élève au hasard, chacun ayant la même probabilité d'être choisi. On note $A$ l'événement « il est demi-pensionnaire » et $B$ l'événement « il pratique un sport en club ». Calculer $P_B(A)$, la probabilité qu'il soit demi-pensionnaire sachant qu'il pratique un sport en club. Donner le résultat sous forme décimale.

Corrigé complet.

1. Lire les effectifs. La case commune « Demi-pensionnaires / Sportifs en club » donne $n(A \cap B) = 30$ ; les totaux donnent $n(A) = 100$, $n(B) = 40$ et $N = 200$.

2. Identifier la population de référence. La condition est « sachant qu'il pratique un sport en club » : on ne regarde plus que les $40$ sportifs, la colonne de $B$. Le dénominateur est $n(B) = 40$.

3. Calculer.

4. Distinguer des voisins. $P_A(B) = \dfrac{30}{100} = 0{,}3$ : parmi les demi-pensionnaires, $30\ \%$ sont sportifs. $P(A \cap B) = \dfrac{30}{200} = 0{,}15$ : $15\ \%$ des élèves sont à la fois demi-pensionnaires et sportifs. Trois nombres différents pour une même case : c'est le dénominateur, donc la question, qui les distingue. Au passage, $P(A) \times P(B) = 0{,}5 \times 0{,}2 = 0{,}1 \neq 0{,}15$ : $A$ et $B$ ne sont pas indépendants — les sportifs sont surreprésentés chez les demi-pensionnaires.

Auto-contrôle : relis la question et souligne le mot qui suit « sachant que » — il désigne la ligne ou la colonne qui sert de dénominateur ; vérifie que ton résultat est compris entre $0$ et $1$ ; et compare-le au nombre voisin obtenu avec l'autre dénominateur : s'ils sont égaux, c'est une coïncidence d'effectifs, jamais une règle.