Les nombres complexes : calculer avec i

Cette leçon appartient à l’option mathématiques expertes de terminale. Dans les nombres réels, l’équation $x^2+1=0$ n’a pas de solution : le carré d’un réel est positif ou nul. Pour résoudre de telles équations, on travaille dans un ensemble plus grand, celui des nombres complexes, noté $\mathbb{C}$.

On y dispose d’un nombre $i$ tel que $i^2=-1$. Un nombre complexe s’écrit de manière unique $z=a+ib$, avec $a$ et $b$ réels. C’est sa forme algébrique. Le réel $a$ est sa partie réelle ; le réel $b$ est sa partie imaginaire. Dans $z=3-2i$, la partie réelle est trois et la partie imaginaire est moins deux, sans le facteur $i$.

Les réels restent présents : $a=a+0i$. Deux complexes sont égaux exactement lorsque leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires aussi. Ainsi, $a+ib=c+id$ équivaut à $a=c$ et $b=d$.

Les additions et multiplications conservent la distributivité habituelle. On regroupe séparément les termes réels et les termes en $i$. Lorsqu’un produit fait apparaître $i^2$, on remplace ce carré par moins un. Par exemple, $(1+i)^2=1+2i+i^2=2i$.

L’équation $z^2+1=0$ possède maintenant deux solutions, $i$ et $-i$, car leurs carrés valent tous les deux moins un. Il n’y a pas contradiction avec les réels : on a élargi l’ensemble dans lequel on cherche.

On ne compare pas deux complexes avec les inégalités usuelles des réels. En particulier, $i$ n’est ni un réel positif ni un réel négatif.

Au complexe $z=a+ib$, on associe le point de coordonnées $(a;b)$ dans un repère orthonormé. On dit que $z$ est l’affixe du point : c’est le nombre qui code ses deux coordonnées. L’axe horizontal porte la partie réelle et l’axe vertical la partie imaginaire.

Le conjugué de $z$ est $\overline z=a-ib$. Géométriquement, son point est le symétrique de celui de $z$ par rapport à l’axe réel. Le module $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ est la distance du point à l’origine. C’est un réel positif ou nul ; il vaut zéro seulement si $z=0$.

Le produit par le conjugué vaut $z\overline z=(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2=|z|^2$. Pour $z\ne0$, ce nombre est strictement positif. On peut donc écrire $1/z=\overline z/|z|^2$. Cette identité permet de transformer un quotient de complexes en une forme algébrique : on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Le module traduit aussi les distances : pour deux points d’affixes $z$ et $w$, leur distance est $|z-w|$. Le théorème de Pythagore explique cette formule à partir des deux différences de coordonnées.

Enfin, pour $az^2+bz+c=0$, avec $a$, $b$, $c$ réels et $a\ne0$, on calcule le discriminant $\Delta=b^2-4ac$. S’il est négatif, les deux solutions complexes sont $(-b+i\sqrt{-\Delta})/(2a)$ et $(-b-i\sqrt{-\Delta})/(2a)$. Elles sont conjuguées. Si $\Delta\geq0$, les solutions réelles déjà connues restent valables dans $\mathbb{C}$.

Énoncé construit. Écrire $q=(3+2i)/(1-i)$ sous forme algébrique, puis déterminer son conjugué et son module.

1. Vérifier le dénominateur. Le complexe $1-i$ est non nul. Son conjugué est $1+i$.

2. Multiplier en haut et en bas. On obtient $q=((3+2i)(1+i))/((1-i)(1+i))$.

3. Développer et remplacer le carré de i. Au numérateur, $3+3i+2i+2i^2=1+5i$. Au dénominateur, $1-i^2=2$.

4. Séparer les parties. Ainsi $q=\frac12+\frac52i$. Sa partie imaginaire est $5/2$ et son conjugué est $\overline q=\frac12-\frac52i$.

5. Calculer le module. On trouve $|q|=\sqrt{(1/2)^2+(5/2)^2}=\sqrt{26}/2$.

Contrôle du quotient. En multipliant la réponse par $1-i$, on doit retrouver le numérateur : $(\frac12+\frac52i)(1-i)=3+2i$. Le contrôle est exact.

Autre application construite. Pour $z^2-2z+5=0$, le discriminant vaut $4-20=-16$. Les solutions sont $1+2i$ et $1-2i$. En substituant la première, $(1+2i)^2-2(1+2i)+5=-3+4i-2-4i+5=0$. La conjugaison donne le même contrôle pour la seconde.

Le dessin vectoriel prévu place dans un repère orthonormé les points $M(3;2)$ et $N(3;-2)$, d’affixes $3+2i$ et $3-2i$. Les projections sur les axes sont en pointillés. Les points sont symétriques par rapport à l’axe horizontal, nommé « axe réel ». L’axe vertical est nommé « axe imaginaire ».

Le segment de l’origine à $M$ forme l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les deux autres côtés mesurent trois et deux unités du repère. Sa longueur est $\sqrt{13}$. Le segment vers $N$ a la même longueur. Ce sont les modules des deux complexes.

Le dessin, encore à réaliser, doit porter les coordonnées et les affixes en toutes lettres de légende afin que les couleurs ne soient pas nécessaires à sa lecture. Il montre pourquoi changer le signe de la partie imaginaire conserve le module. Aucune unité physique n’est associée à ce repère abstrait.

Pour une somme, additionne les parties réelles et les parties imaginaires séparément. Pour un produit, développe avec la distributivité, remplace $i^2$ par moins un, puis regroupe. Pour un quotient, vérifie que le dénominateur est non nul et multiplie en haut et en bas par son conjugué.

Pour trouver le module de $a+ib$, calcule $\sqrt{a^2+b^2}$ ; ne calcule pas $a+b$. Pour résoudre une équation du second degré à coefficients réels, calcule le discriminant et choisis la formule correspondant à son signe.

Dans les formules ci-dessus, $a$ et $b$ sont réels. Le module est un nombre réel, le conjugué est un nombre complexe. La formule d’inverse exige $z\ne0$.

Termine par un contrôle adapté : remultiplie un quotient par son dénominateur ; remplace l’inconnue par une solution dans l’équation ; vérifie qu’un module est réel et positif ou nul. Ces contrôles détectent notamment les erreurs de signe sur $i^2$.

1. Écrire $i^2=1$. La relation définissant le calcul est $i^2=-1$ ; ainsi $i^4=1$.
2. Inclure i dans la partie imaginaire. Pour $3-2i$, elle vaut moins deux, pas $-2i$.
3. Confondre opposé et conjugué. L’opposé de $3+2i$ est $-3-2i$ ; son conjugué est $3-2i$.
4. Calculer le module en additionnant les coordonnées. Il vient du théorème de Pythagore et vaut $\sqrt{a^2+b^2}$.
5. Multiplier seulement le dénominateur par son conjugué. Cela change le quotient. Il faut multiplier aussi le numérateur.
6. Conclure qu’un discriminant négatif donne toujours zéro solution. Cela vaut dans $\mathbb{R}$ ; dans $\mathbb{C}$, on obtient deux solutions non réelles.
7. Confondre zéro et un dénominateur de partie réelle nulle. Le complexe $i$ est non nul et possède un inverse : $1/i=-i$.

Question construite. Calculer $p=(2+i)(3-2i)$ sous forme algébrique, puis donner sa partie imaginaire.

Indice. Développe les quatre produits, puis remplace $i^2$ avant de regrouper.

Corrigé. La distributivité donne $p=6-4i+3i-2i^2$. Comme $i^2=-1$, on obtient $p=8-i$. La partie réelle est huit et la partie imaginaire est moins un.

Contrôle. La formule générale $(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)$ donne ici une partie réelle $2\times3-1\times(-2)=8$ et une partie imaginaire $2\times(-2)+1\times3=-1$.

Auto-contrôle. Ai-je remplacé le carré de i par moins un, puis exprimé la partie imaginaire comme un réel ? Une réponse $-i$ à la seconde question confondrait la partie imaginaire avec le terme imaginaire.