Le logarithme népérien : retrouver un exposant

L’exponentielle transforme un réel $y$ en un nombre strictement positif $e^y$. Elle est continue, strictement croissante et prend toutes les valeurs strictement positives. Ainsi, pour chaque $x>0$, il existe un unique réel $y$ tel que $e^y=x$.

Le logarithme népérien de $x$, noté $\ln x$, est ce réel $y$. La fonction logarithme est donc la fonction réciproque de l’exponentielle : elle permet de remonter du résultat à l’exposant. On a $\ln x=y$ si et seulement si $e^y=x$, avec $x>0$.

Puisque $e^0=1$, on obtient $\ln1=0$. Puisque $e^1=e$, on a $\ln e=1$. Plus généralement, $\ln(e^y)=y$ pour tout réel $y$, et $e^{\ln x}=x$ pour tout $x>0$. Les domaines différents de ces deux identités sont essentiels.

L’exponentielle ne vaut jamais zéro et ne prend jamais de valeur négative. Il n’existe donc pas de logarithme népérien réel de zéro ou d’un nombre négatif. En revanche, un logarithme peut être négatif : $\ln(e^{-2})=-2$, bien que son argument $e^{-2}$ soit positif.

Enfin, « réciproque » ne signifie pas « inverse multiplicatif ». Le logarithme permet de retrouver l’entrée de l’exponentielle ; la fonction $x\mapsto1/e^x$ calcule autre chose, à savoir $e^{-x}$.

Pourquoi le logarithme transforme-t-il un produit en somme ? Pour $a>0$ et $b>0$, écrivons $a=e^{\ln a}$ et $b=e^{\ln b}$. La règle de l’exponentielle donne $ab=e^{\ln a+\ln b}$. Prendre le logarithme conduit à $\ln(ab)=\ln a+\ln b$.

On en déduit $\ln(a/b)=\ln a-\ln b$ et $\ln(a^n)=n\ln a$ pour un entier relatif $n$, avec $a>0$. En particulier, $\ln(1/a)=-\ln a$ et $\ln(\sqrt a)=\frac12\ln a$. Aucune propriété semblable ne transforme une somme à l’intérieur du logarithme en somme de logarithmes.

La dérivabilité du logarithme est admise au programme. En dérivant $e^{\ln x}=x$ pour $x>0$, la règle de composition donne $e^{\ln x}(\ln x)'=1$. Comme $e^{\ln x}=x$, on obtient $(\ln x)'=1/x$. Cette dérivée est positive : le logarithme est strictement croissant. Il est négatif sur $]0;1[$, nul en un et positif sur $]1;+\infty[$.

Ses limites sont $\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$. Il croît sans borne mais plus lentement que toute puissance entière positive : pour $n\geq1$, $\lim_{x\to+\infty}(\ln x)/x^n=0$. À l’autre extrémité, $\lim_{x\to0^+}x^n\ln x=0$. Ces résultats de croissance comparée sont admis ici.

Le logarithme décimal, noté $\log_{10}$, cherche un exposant de dix : $\log_{10}(10)=1$. En revanche, $\ln(10)$ n’est pas égal à un.

Énoncé construit. Résoudre $\ln(2x-1)=2$ et donner une valeur arrondie au centième.

1. Déterminer le domaine. Il faut $2x-1>0$, donc $x>1/2$. On cherche uniquement sur $]1/2;+\infty[$.

2. Revenir à l’exponentielle. Par définition du logarithme, $\ln(2x-1)=2$ équivaut à $2x-1=e^2$.

3. Isoler l’inconnue. On trouve $x=(e^2+1)/2$. Cette solution est dans le domaine car $e^2>0$.

4. Arrondir à la fin. Le calcul donne $x\approx4{,}19$. La forme avec $e^2$ est exacte ; la décimale est seulement une approximation.

5. Vérifier avec la forme exacte. En remplaçant $x$ par $(e^2+1)/2$, on obtient $2x-1=e^2$, puis $\ln(e^2)=2$.

Pour une inéquation comme $\ln(2x-1)<2$, le domaine reste obligatoire. La croissance stricte permet d’écrire $2x-1<e^2$, donc l’ensemble des solutions est $]1/2;(e^2+1)/2[$. La borne inférieure vient du domaine, pas de l’inéquation transformée.

Dans un repère orthonormé, le dessin prévu montre les courbes $y=e^x$ et $y=\ln x$, ainsi que la droite $y=x$. La symétrie par rapport à cette droite échange les coordonnées : le point $(0;1)$ de l’exponentielle correspond au point $(1;0)$ du logarithme, et $(1;e)$ correspond à $(e;1)$.

L’exponentielle reste au-dessus de l’axe horizontal ; le logarithme reste à droite de l’axe vertical. Près de zéro, du côté positif, la courbe du logarithme descend sans borne. Elle monte ensuite de plus en plus lentement. Les courbes et la droite sont nommées et distinguées par leurs traits.

Ce dessin vectoriel reste à réaliser. Sa lecture suffit à retrouver les domaines et le sens de variation : échanger entrée et sortie explique la réciprocité. La courbe logarithmique ne traverse jamais l’axe vertical.

Avant tout calcul, impose la stricte positivité de chaque argument. Choisis ensuite la transformation utile : appliquer le logarithme pour une inconnue dans un exposant, ou l’exponentielle pour une inconnue dans un logarithme.

Pour $e^{3x-1}=5$, le second membre est positif. On obtient $3x-1=\ln5$, puis $x=(1+\ln5)/3$. Si le second membre était nul ou négatif, il n’y aurait aucune solution réelle.

Pour simplifier, identifie un produit, un quotient ou une puissance. Ainsi, $\ln(18)-\ln2=\ln9=2\ln3$. Tous les arguments employés sont positifs. Une expression telle que $\ln(a^2)$ peut exister pour $a<0$, mais $2\ln a$ n’existe alors pas : on ne supprime jamais les conditions d’une identité.

Conserve les valeurs exactes jusqu’au dernier calcul. Vérifie la solution dans l’expression initiale, puis arrondis seulement si la consigne le demande.

1. Écrire $\ln(a+b)=\ln a+\ln b$. Par exemple, $\ln(1+1)=\ln2>0$, tandis que $\ln1+\ln1=0$.
2. Accepter $\ln0$ ou le logarithme réel d’un négatif. L’argument doit être strictement positif.
3. Interdire une réponse négative. C’est l’argument qui doit être positif, pas le logarithme.
4. Confondre $\ln$ et $\log_{10}$. On a $\ln(e)=1$ et $\log_{10}(10)=1$.
5. Oublier un facteur dans une dérivée. La dérivée de $\ln(2x-1)$ est $2/(2x-1)$ sur son domaine.
6. Appliquer la croissance sans le domaine. Dans une inéquation, les bornes de définition restent à conserver.
7. Arrondir trop tôt. Une approximation intermédiaire peut changer l’arrondi final. Garde les logarithmes sous forme exacte jusqu’à la fin.

L’exercice associé demande notamment de résoudre une équation exponentielle ou logarithmique et d’arrondir la solution au centième. Certaines variantes portent sur un seuil dans un modèle donné : il faut alors respecter aussi le domaine annoncé.

Question construite. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $e^{2x-1}=3$.

Indice. Quelle fonction permet de retrouver l’exposant ?

Corrigé. Le nombre trois est positif. En appliquant le logarithme, on obtient $2x-1=\ln3$, donc $x=(1+\ln3)/2\approx1{,}05$ au centième. L’exponentielle étant strictement croissante et $2x-1$ prenant toutes les valeurs réelles, la solution est unique.

Auto-contrôle. Ai-je distingué la valeur exacte et son arrondi ? Avec la valeur exacte, $2x-1=\ln3$ et $e^{\ln3}=3$ : l’équation initiale est vérifiée.