Opérations sur les entiers : dans quel ordre calculer ?

Tu entres dans une papeterie. Tu prends un stylo à 3 € et deux cahiers à 4 € l'un. Combien paies-tu ?

Tu le sais sans y réfléchir : les deux cahiers coûtent $4 + 4 = 8$ euros, et avec le stylo cela fait $11$ euros.

Écrivons maintenant ce calcul en une seule ligne :

Si tu lis cette ligne de gauche à droite, comme une phrase, tu calcules d'abord $3 + 2 = 5$, puis $5 \times 4 = 20$. Tu obtiens $20$ euros. Or tu viens de payer $11$ euros. Le calcul est le même, la caisse ne s'est pas trompée : c'est la lecture qui est fausse.

Voilà tout le sujet de cette leçon. Un calcul écrit en ligne ne se lit pas de gauche à droite. Il se lit dans un ordre, et cet ordre est le même pour tout le monde.

La règle.

Dans un calcul, on effectue d'abord les multiplications et les divisions, puis seulement ensuite les additions et les soustractions.

Pourquoi cet ordre plutôt qu'un autre ? Parce qu'une multiplication est un paquet : $2 \times 4$ ne désigne pas deux opérations, il désigne un seul objet, le prix des deux cahiers. La règle dit simplement : on calcule le contenu de chaque paquet avant de rassembler les paquets.

Le vocabulaire, une fois pour toutes. Chaque opération a un nom, et son résultat aussi.

Ces mots servent tous les jours en classe. « Calcule la somme de $17$ et de $8$ » veut dire $17 + 8$. « Calcule le produit de $6$ par $9$ » veut dire $6 \times 9$.

Deux libertés, et deux interdits. Pour une addition et pour une multiplication, tu peux changer l'ordre des nombres et les regrouper comme tu veux : $25 \times 7 \times 4$ se calcule plus vite en commençant par $25 \times 4 = 100$, ce qui donne $700$. En revanche, pour une soustraction et pour une division, l'ordre compte : $10 - 4$ vaut $6$, mais $4 - 10$ n'est même pas un nombre que tu connais en 6e.

Les parenthèses passent avant tout le reste.

Reprenons la papeterie. Cette fois, tu achètes deux lots contenant chacun un stylo à $3$ € et un cahier à $4$ €. Le prix d'un lot est $3 + 4 = 7$ euros, et deux lots coûtent $14$ euros. En une ligne :

Les parenthèses ne sont pas une décoration : elles disent « ce qui est à l'intérieur forme un seul nombre, calcule-le d'abord ». Sans elles, $3 + 4 \times 2$ vaudrait $11$, ce qui n'est pas le prix des deux lots.

L'ordre complet des priorités, du plus pressé au moins pressé :

1. ce qui est entre parenthèses ;
2. les multiplications et les divisions ;
3. les additions et les soustractions.

Et à l'intérieur d'un même étage, quand il ne reste que des additions et des soustractions, ou que des multiplications et des divisions, on avance de gauche à droite : $20 - 6 - 3$ vaut $11$, et non $17$.

La division euclidienne : deux réponses, pas une.

Un professeur d'EPS a $29$ élèves et forme des équipes de $4$ joueurs. Combien d'équipes complètes ? Il peut en former $7$, parce que $4 \times 7 = 28$. Et il reste $1$ élève, qui n'entre dans aucune équipe complète.

Cette opération porte un nom.

La division euclidienne de $29$ par $4$ consiste à écrire $29 = 4 \times 7 + 1$, où $7$ est le quotient (le nombre de groupes complets) et $1$ est le reste (ce qui n'entre dans aucun groupe).

Deux conditions, et elles comptent autant l'une que l'autre :

1. le quotient et le reste sont des entiers ;
2. le reste est strictement plus petit que le diviseur.

La deuxième condition est celle que l'on oublie. Si tu trouvais un reste de $5$ en divisant par $4$, ce serait faux : avec $5$ élèves restants, tu pourrais encore former une équipe complète. Un reste trop grand est toujours le signe que le quotient est trop petit.

Comment vérifier une division euclidienne ? En remultipliant. Tu as trouvé un quotient $q$ et un reste $r$ en divisant $a$ par $b$ ? Calcule $b \times q + r$ : tu dois retomber exactement sur $a$. Ici, $4 \times 7 + 1 = 29$. Cette vérification prend cinq secondes et attrape presque toutes les erreurs.

Quand le reste est nul. Si la division tombe juste, par exemple $28 = 4 \times 7 + 0$, on dit que $28$ est divisible par $4$, ou encore que $4$ divise $28$. C'est le point de départ d'un chapitre entier que tu retrouveras plus tard au collège.

Un supplément, pour ta curiosité. Les deux libertés du bloc précédent — changer l'ordre, regrouper — portent des noms savants : on dit que l'addition et la multiplication sont commutatives et associatives. Et l'égalité $(3 + 4) \times 2 = 3 \times 2 + 4 \times 2$ s'appelle la distributivité. Ces trois mots ne sont pas au programme de 6e : tu n'as pas à les retenir cette année, mais tu utilises déjà les propriétés qu'ils désignent.

Énoncé. La cantine commande $8$ caisses de $12$ yaourts, plus $15$ yaourts à l'unité pour les allergies. Elle range ensuite tous ces yaourts dans des cartons de $7$.

Question 1. Combien de yaourts la cantine a-t-elle commandés au total ?

Question 2. Combien de cartons complets peut-elle remplir, et combien de yaourts resteront en dehors des cartons pleins ?

---

Question 1 — écrire le calcul en une ligne.

Les $8$ caisses de $12$ yaourts forment un paquet : c'est une multiplication, $8 \times 12$. On y ajoute les $15$ yaourts à l'unité :

Effectuer dans le bon ordre. La multiplication passe avant l'addition.

1. Multiplication : $8 \times 12 = 96$.
2. Addition : $96 + 15 = 111$.

La cantine a commandé $111$ yaourts.

Où est le piège ? Ici, la multiplication est écrite en premier : même en lisant de gauche à droite, on tomberait juste. Écrivons donc le même total dans l'autre sens, ce qui est tout aussi correct : $15 + 8 \times 12$. Lu de gauche à droite, ce calcul donnerait $15 + 8 = 23$, puis $23 \times 12 = 276$ — plus du double du vrai total. Rien n'a changé dans la commande, seule la place des nombres sur la ligne a changé. C'est donc bien la règle des priorités qui décide du résultat, et non l'ordre dans lequel les nombres sont écrits.

Question 2 — la division euclidienne.

On cherche combien de groupes de $7$ on peut former dans $111$, et ce qui reste.

1. Encadrer. On teste les multiples de $7$ : $7 \times 10 = 70$, $7 \times 15 = 105$, $7 \times 16 = 112$. Or $112$ dépasse $111$. Le plus grand multiple de $7$ qui ne dépasse pas $111$ est donc $105$.

2. Lire le quotient et le reste.

Le quotient est $15$, le reste est $6$.

3. Vérifier les deux conditions. Le reste $6$ est bien plus petit que le diviseur $7$ : on ne peut plus former de carton complet. Et la remultiplication retombe juste : $7 \times 15 = 105$, puis $105 + 6 = 111$.

Réponse. La cantine remplit $15$ cartons complets, et il reste $6$ yaourts en dehors des cartons pleins.

4. Lire la question jusqu'au bout. Remarque que les deux nombres trouvés répondent à deux questions différentes : $15$ compte des cartons, $6$ compte des yaourts. Ce ne sont pas les mêmes objets. Quand un énoncé demande « combien de cartons », la réponse ne peut pas être $6$ ; quand il demande « combien de yaourts restent », elle ne peut pas être $15$. Se relire une fois suffit à ne jamais confondre les deux.

Figure (fig.math.operation-priorities, SVG programmatique à produire) : un escalier à trois marches, surmonté de deux bandes de calcul qui comparent la bonne lecture et la mauvaise.

• Partie haute — l'escalier, dessiné de bas en haut, la marche la plus haute étant la plus prioritaire. Trois marches, chacune portant un intitulé et un exemple :
• marche du haut, la plus large : « $1.$ Parenthèses » avec l'exemple $(3 + 4)$ ;
• marche du milieu : « $2.$ Multiplications et divisions » avec les signes $\times$ et $\div$ ;
• marche du bas : « $3.$ Additions et soustractions » avec les signes $+$ et $-$.
• Le long de l'escalier, une flèche verticale descend de la marche du haut à celle du bas, légendée « on descend l'escalier, marche par marche ». Chaque marche porte une texture différente — pleine, hachurée, pointillée — pour que l'information ne repose jamais sur la seule couleur.
• Partie basse — les deux lectures du même calcul, l'une au-dessus de l'autre, sur le calcul $3 + 2 \times 4$.
• Bande du haut, encadrée d'un trait épais et cochée : le produit $2 \times 4$ est entouré, une flèche descend vers $8$, puis la ligne suivante montre $3 + 8$, puis le résultat $11$ dans un cadre.
• Bande du bas, encadrée d'un trait fin et barrée d'une croix : la somme $3 + 2$ est entourée, une flèche descend vers $5$, puis $5 \times 4$, puis $20$. Sous ce $20$, la mention « lecture de gauche à droite : $20$ n'est pas le résultat de ce calcul ».
• Tout en bas, un rappel de la situation concrète : un stylo à $3$ € et deux cahiers à $4$ € font $11$ €, avec trois petites icônes alignées.

Ce qu'il faut lire. Les deux bandes partent du même calcul et arrivent à deux nombres différents. Ce n'est donc pas le calcul qui décide du résultat : c'est l'ordre dans lequel on l'effectue. L'escalier donne cet ordre, et il ne change jamais.

La figure en détail : un escalier à trois marches numérotées de haut en bas. Marche 1, la plus prioritaire : les parenthèses. Marche 2 : les multiplications et les divisions. Marche 3 : les additions et les soustractions. Une flèche descend le long de l'escalier. Sous l'escalier, deux calculs du même départ 3 plus 2 fois 4. Le premier, encadré et validé, entoure 2 fois 4 égale 8, puis 3 plus 8 égale 11. Le second, barré d'une croix, entoure 3 plus 2 égale 5, puis 5 fois 4 égale 20, avec la mention que 20 vient d'une lecture de gauche à droite et n'est pas le résultat. En bas, le rappel : un stylo à 3 euros et deux cahiers à 4 euros font 11 euros.

En 6e, ce bloc ne contient pas des formules à appliquer mais des règles à respecter. Les voici rassemblées.

Les unités. Il n'y en a aucune : on travaille sur des entiers naturels, c'est-à-dire des nombres qui comptent des objets. Attention en revanche à l'écriture des grands nombres : ils se séparent par une espace tous les trois chiffres en partant de la droite, jamais par un point ni par une virgule. On écrit $12\,500$, et non $12.500$.

La précision. La question ne se pose pas : une somme, un produit, un quotient euclidien et un reste sont des résultats exacts. Si tu obtiens un nombre à virgule dans une division euclidienne, c'est qu'il y a une erreur — ou que la question demandait autre chose.

1. Calculer de gauche à droite sans regarder les opérations. C'est l'erreur numéro un du niveau. $3 + 2 \times 4$ ne vaut pas $20$ : la multiplication passe avant, donc le résultat est $11$. Pourquoi est-ce faux ? Parce que $2 \times 4$ désigne un seul nombre, le prix des deux cahiers. Couper ce paquet en deux morceaux revient à changer l'énoncé. Le réflexe qui sauve : avant de commencer, entoure au crayon toutes les multiplications et toutes les divisions de la ligne.
2. Ignorer les parenthèses. $(5 + 3) \times 4$ vaut $32$, alors que $5 + 3 \times 4$ vaut $17$. Ces deux écritures ne racontent pas la même histoire : la première parle de quatre paquets identiques, la seconde d'un nombre auquel on ajoute quatre paquets. Si tu supprimes une parenthèse, tu changes le problème.
3. Confondre le quotient et le reste. Dans $29 = 4 \times 7 + 1$, le quotient $7$ compte des équipes, le reste $1$ compte des élèves. Ce ne sont pas les mêmes objets, donc jamais la même réponse. Relis la question : demande-t-elle combien de groupes complets, ou ce qui reste une fois tous les groupes formés ?
4. Laisser un reste plus grand que le diviseur. Écrire $29 = 4 \times 6 + 5$ est vrai comme égalité, mais ce n'est pas la division euclidienne : avec $5$ qui reste, on peut encore faire une équipe de $4$. La règle $r < b$ n'est pas un caprice, c'est ce qui rend le quotient unique. Si ton reste dépasse le diviseur, augmente le quotient de $1$ et recommence.
5. Oublier une retenue dans une opération posée. L'erreur ne se voit pas ; elle se rattrape par un ordre de grandeur. Avant de poser $487 + 396$, dis-toi que c'est « à peu près $500 + 400$, donc environ $900$ ». Si ta réponse posée donne $783$, tu sais tout de suite qu'il manque une retenue.
6. Croire que l'ordre des nombres est toujours libre. Il l'est pour une somme et pour un produit, pas pour une soustraction ni pour une division. $12 \div 3$ vaut $4$ ; $3 \div 12$ ne donne pas $4$. Beaucoup d'élèves « retournent » une division parce que le grand nombre leur semble devoir passer en premier : ce réflexe est faux.
7. Répondre par un calcul au lieu d'un nombre. Une réponse s'écrit en toutes lettres et avec la bonne unité de comptage : « la cantine remplit $15$ cartons complets », pas « $111 \div 7$ ». Le calcul montre le chemin ; la phrase donne la réponse.

À quoi t'attendre. L'exercice tire un calcul en ligne à effectuer en respectant les priorités. Cinq formes sont possibles, dont $a + b \times c$, $a \times b + c \times d$, $a + b \times (c - d)$ et $(a + b) \times c - d$. L'exercice garantit une chose essentielle : la valeur qu'obtiendrait une lecture de gauche à droite n'est jamais égale au bon résultat, sans quoi l'exercice ne vérifierait rien. Un exercice voisin pose la division euclidienne dans une situation concrète, et demande tantôt le quotient, tantôt le reste.

Énoncé type. Calculer, en respectant les priorités opératoires : $7 + 6 \times (13 - 8)$.

Corrigé complet.

1. Repérer les étages. Ce calcul contient les trois : une parenthèse, une multiplication, une addition. L'escalier donne l'ordre.

2. La parenthèse d'abord.

Le calcul devient $7 + 6 \times 5$.

3. La multiplication ensuite.

Le calcul devient $7 + 30$.

4. L'addition en dernier.

Réponse : $37$.

5. Voir l'erreur que la règle empêche. Lu de gauche à droite, ce calcul donnerait $7 + 6 = 13$, puis $13 \times 5 = 65$. Le nombre $65$ n'est pas le résultat de ce calcul : il est le résultat de $(7 + 6) \times (13 - 8)$, qui est un autre calcul. Les deux écritures se ressemblent, mais une seule est écrite au tableau.

Auto-contrôle. Pose-toi toujours ces deux questions avant de rendre. Ai-je effectué toutes les parenthèses avant tout le reste ? Ai-je effectué tous les produits avant la première addition ? Si tu réponds oui aux deux, tu as respecté l'ordre des priorités — il ne reste plus qu'à vérifier tes calculs, par exemple avec un ordre de grandeur.