Les nombres relatifs : lire, comparer, calculer

Jusqu'ici, tu as travaillé avec des nombres qui comptent des quantités : $3$ billes, $12{,}5$ cm. Aucun de ces nombres n'est plus petit que zéro.

Certaines situations demandent pourtant d'aller au-dessous de zéro. Un matin d'hiver, la météo annonce quatre degrés au-dessous de zéro. Dans un immeuble, le parking est au-dessous du rez-de-chaussée. Sur une carte, le fond d'un lac est au-dessous du niveau de la mer.

Pour écrire ces situations, on utilise les nombres relatifs : des nombres qui portent un signe, $+$ ou $-$, indiquant de quel côté de zéro ils se trouvent.

• Un nombre positif s'écrit $(+4)$ : il est au-dessus de zéro. On peut aussi l'écrire simplement $4$.
• Un nombre négatif s'écrit $(-4)$ : il est au-dessous de zéro. Son signe $-$ ne se supprime jamais.
• Zéro est un cas à part : c'est le seul nombre à la fois positif et négatif. C'est le point de départ, l'origine.

Un exemple concret. Il fait $-4$ °C ce matin. Cela ne veut pas dire qu'il y a « quatre degrés ». Cela veut dire qu'il fait quatre degrés plus froid que le zéro du thermomètre.

La droite graduée. Pour voir les relatifs, on trace une droite, on choisit un point pour zéro, puis on reporte la même longueur de part et d'autre. Les positifs se placent à droite de zéro, les négatifs à gauche. Chaque nombre relatif a alors une seule place sur cette droite.

La distance à zéro. La distance à zéro d'un nombre relatif est ce nombre écrit sans son signe : la distance à zéro de $(-7)$ vaut $7$, et celle de $(+7)$ vaut aussi $7$. C'est la longueur qui sépare le nombre de l'origine sur la droite graduée.

Deux nombres opposés. Deux nombres sont opposés quand ils ont la même distance à zéro mais des signes contraires. $(+7)$ et $(-7)$ sont opposés. Sur la droite graduée, ils encadrent le zéro, à la même distance de lui.

Comparer, c'est regarder la place, pas les chiffres. Sur la droite graduée, un nombre est plus grand qu'un autre quand il est placé plus à droite. Cela donne trois règles simples.

1. Tout nombre positif est plus grand que tout nombre négatif.
2. Entre deux nombres positifs, le plus grand est celui dont la distance à zéro est la plus grande : $(+2) < (+7)$.
3. Entre deux nombres négatifs, c'est l'inverse : le plus grand est celui dont la distance à zéro est la plus petite. Ainsi $(-7) < (-2)$.

Cette troisième règle surprend toujours. Elle se comprend avec le thermomètre : $-7$ °C, c'est plus froid que $-2$ °C, donc c'est bien une température plus petite.

Additionner, c'est se déplacer sur la droite graduée. Ajouter un nombre positif, c'est avancer vers la droite. Ajouter un nombre négatif, c'est reculer vers la gauche. Le résultat est le point où l'on arrive.

Il y a donc deux cas, et deux seulement.

Premier cas : les deux nombres ont le même signe. On additionne leurs distances à zéro et on garde le signe commun.

Tu recules de $3$, puis tu recules encore de $5$ : tu te retrouves à $8$ pas à gauche de zéro. Deux nombres négatifs additionnés donnent un nombre encore plus éloigné de zéro, du côté négatif. Le résultat n'est jamais positif dans ce cas.

Deuxième cas : les deux nombres ont des signes contraires. On soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande, et on garde le signe du nombre le plus éloigné de zéro.

Ici, les distances à zéro valent $4$ et $9$. On calcule $9 - 4 = 5$. Le nombre le plus éloigné de zéro est $(-9)$, qui est négatif : le résultat est donc $(-5)$.

Soustraire, c'est ajouter l'opposé. C'est la règle la plus utile du chapitre. Retrancher un nombre revient à ajouter son opposé :

Pourquoi ? Parce que soustraire, c'est mesurer un écart. Sur la droite graduée, aller de $(-8)$ à $(-3)$, c'est monter de $5$ crans. Une fois la soustraction transformée en addition, tu retombes sur les deux cas précédents : il n'y a rien de nouveau à apprendre.

Deux signes qui se suivent ne jouent pas le même rôle. Dans $(-3) - (-8)$, le premier tiret est le signe du nombre $(-3)$. Le deuxième est l'opération de soustraction. Le troisième est le signe du nombre $(-8)$. Trois tirets, trois rôles différents. C'est pour cela qu'on écrit les nombres relatifs entre parenthèses tant qu'on n'est pas à l'aise.

Un écart est toujours positif. Quand on demande de combien la température a varié, ou quelle hauteur sépare deux points, on cherche un écart : la distance entre deux repères. On retranche la plus petite valeur de la plus grande, et le résultat est positif. Entre $-6$ °C et $+4$ °C, l'écart vaut $4 - (-6) = 4 + 6 = 10$ °C.

Une somme de plusieurs termes se calcule deux par deux. Pour $(-6) + (+9) + (-4)$, on traite d'abord $(-6) + (+9) = (+3)$, puis $(+3) + (-4) = (-1)$. Rien n'oblige à aller de gauche à droite, mais c'est le plus sûr tant qu'on débute.

Hors programme de 5e : on apprend en 4e à multiplier et à diviser des nombres relatifs. Cette année, on additionne et on soustrait, rien de plus — aucune règle de multiplication ne s'applique donc à ce que tu écris ici.

Énoncé. Calculer $A$, $B$ et $C$.

Calcul de $A$.

1. Regarder les signes. Les deux nombres sont négatifs : c'est le premier cas, celui des signes identiques.

2. Additionner les distances à zéro. Elles valent $6$ et $9$. On calcule $6 + 9 = 15$.

3. Garder le signe commun. Les deux termes sont négatifs, donc le résultat l'est aussi :

4. Contrôler. Tu recules de $6$, puis encore de $9$ : tu ne peux pas revenir du côté positif. Un résultat positif serait forcément faux.

Calcul de $B$.

1. Regarder les signes. Un positif et un négatif : c'est le deuxième cas, celui des signes contraires.

2. Comparer les distances à zéro. Elles valent $7$ et $11$. La plus grande est $11$.

3. Soustraire la plus petite de la plus grande. $11 - 7 = 4$.

4. Garder le signe du nombre le plus éloigné de zéro. C'est $(-11)$, qui est négatif :

5. Contrôler. Tu pars de $+7$ et tu recules de $11$ : tu franchis le zéro et tu te retrouves du côté négatif. C'est cohérent.

Calcul de $C$.

1. Repérer l'opération. C'est une soustraction. Le nombre à retrancher est $(-13)$.

2. Ajouter l'opposé. L'opposé de $(-13)$ est $(+13)$ :

3. Regarder les signes. Un négatif et un positif : signes contraires.

4. Calculer. Les distances à zéro valent $4$ et $13$. On calcule $13 - 4 = 9$. Le nombre le plus éloigné de zéro est $(+13)$, qui est positif :

5. Contrôler. Sur la droite graduée, aller de $(-13)$ à $(-4)$, c'est monter : le résultat devait être positif. Un élève qui aurait écrit $(-17)$ aurait additionné les distances à zéro au lieu d'ajouter l'opposé.

Figure (fig.math.relative-number-line, SVG programmatique à produire) : une droite graduée horizontale surmontée de deux déplacements fléchés, qui montre qu'additionner un relatif, c'est se déplacer.

• Droite graduée, au centre de l'image, allant de $-10$ à $+10$, graduée de $1$ en $1$, avec le nombre écrit sous chaque graduation. Le zéro est marqué d'un trait plus épais et du mot « origine ». Le côté gauche porte l'étiquette « négatifs », le côté droit « positifs ».
• Sous la droite, un thermomètre couché à l'horizontale, aligné graduation par graduation avec elle, de sorte que $-4$ sur la droite tombe exactement en face de $-4$ °C sur le thermomètre. La zone au-dessous de zéro y est plus sombre.
• Au-dessus de la droite, premier déplacement : deux flèches courbes bout à bout partant de $0$. La première va de $0$ à $-3$, orientée vers la gauche, étiquetée $(-3)$. La seconde repart de $-3$ jusqu'à $-8$, toujours vers la gauche, étiquetée $(-5)$. Un crochet réunit les deux flèches et porte $(-3) + (-5) = (-8)$.
• Au-dessus encore, second déplacement : une flèche de $0$ à $+4$ vers la droite, étiquetée $(+4)$, puis une flèche de $+4$ à $-5$ vers la gauche, étiquetée $(-9)$, qui traverse visiblement le zéro. Un crochet porte $(+4) + (-9) = (-5)$.
• Encart des opposés, en bas à droite, séparé par un filet : le segment de $-7$ à $0$ et celui de $0$ à $+7$, tracés exactement de la même longueur, réunis par une accolade portant « même distance à zéro : $7$ ». La mention « $(-7)$ et $(+7)$ sont opposés » figure sous l'accolade.
• Encart de comparaison, en bas à gauche : les deux points $-7$ et $-2$ mis en évidence sur la droite, avec la mention « $-7$ est à gauche de $-2$, donc $(-7) < (-2)$ » et, barrée, l'écriture fausse « $-7 > -2$ car $7 > 2$ ».

Ce qu'il faut lire. Ajouter un nombre négatif fait toujours reculer vers la gauche ; ajouter un nombre positif fait toujours avancer vers la droite. Le second déplacement montre le franchissement du zéro : c'est exactement le cas des signes contraires. Et l'encart de comparaison montre du regard pourquoi le plus grand nombre écrit n'est pas le plus grand nombre relatif.

La figure en détail : une droite graduée horizontale de moins dix à plus dix, graduée de un en un, le zéro marqué comme origine, les négatifs à gauche et les positifs à droite. Un thermomètre couché est aligné sous la droite, graduation par graduation, sa partie négative assombrie. Au-dessus de la droite, deux flèches successives partent de zéro vers la gauche, l'une de zéro à moins trois, l'autre de moins trois à moins huit ; un crochet porte moins trois plus moins cinq égale moins huit. Plus haut, une flèche va de zéro à plus quatre vers la droite, puis une flèche va de plus quatre à moins cinq vers la gauche en traversant le zéro ; un crochet porte plus quatre plus moins neuf égale moins cinq. En bas à droite, deux segments de même longueur, de moins sept à zéro et de zéro à plus sept, sont réunis par une accolade indiquant une même distance à zéro de sept, avec la mention que moins sept et plus sept sont opposés. En bas à gauche, les points moins sept et moins deux sont mis en évidence avec la mention que moins sept est à gauche de moins deux, donc plus petit, et l'écriture fausse moins sept supérieur à moins deux est barrée.

Vocabulaire. La distance à zéro d'un nombre relatif est ce nombre écrit sans son signe. Deux nombres opposés ont la même distance à zéro et des signes contraires ; leur somme vaut $0$.

Unités. Un nombre relatif peut porter une unité, comme toute mesure : $-4$ °C, $-12$ m, $-3$ étages. L'unité s'écrit après le nombre, signe compris. Un écart de température s'exprime en degrés Celsius, comme la température elle-même.

Domaine de validité. Ces règles valent pour tous les nombres relatifs, entiers ou décimaux : $(-2{,}5) + (-1{,}5) = (-4)$ se traite exactement comme $(-25) + (-15) = (-40)$.

Ce qui n'est pas au programme cette année. La multiplication et la division de nombres relatifs, ainsi que la « règle des signes » qui les accompagne, sont un attendu de 4e. Aucun calcul de cette leçon n'en a besoin.

1. Croire que $(-3) + (-5)$ vaut $(+8)$. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre : l'élève voit deux signes $-$ et pense qu'ils « s'annulent ». Ils ne s'annulent pas, car aucune multiplication n'est en jeu. Reviens au déplacement : tu recules de $3$, puis de $5$. Tu ne peux pas te retrouver à droite de zéro. La réponse est $(-8)$.
2. Confondre le « moins » d'un nombre et le « moins » d'une soustraction. Dans $(-4) - (-13)$, le premier tiret dit que le nombre est négatif, le deuxième dit qu'on soustrait, le troisième dit que le nombre à retrancher est négatif. Garde les parenthèses tant que tu hésites : elles séparent les rôles.
3. Penser que $-7 > -2$ parce que $7 > 2$. Les chiffres écrits ne décident pas de l'ordre : c'est la place sur la droite graduée. $-7$ est plus à gauche que $-2$, donc plus petit. Le thermomètre le confirme, puisque $-7$ °C est plus froid.
4. Soustraire sans passer par l'opposé. Écrire $(-4) - (-13) = (-17)$ revient à additionner au lieu de retrancher. Transforme d'abord en $(-4) + (+13)$, puis calcule.
5. Donner un écart négatif. Un écart est une distance : il est toujours positif ou nul. Si tu trouves $-10$ °C pour une variation de température, tu as soustrait dans le mauvais sens ; c'est $10$ °C qu'il fallait annoncer.
6. Oublier de choisir le signe du résultat. Dans le cas des signes contraires, une fois les distances à zéro soustraites, il reste à décider du signe. Il est toujours celui du terme le plus éloigné de zéro, jamais celui du premier terme écrit.
7. Croire que « plus grand » veut dire « plus loin de zéro ». C'est vrai chez les positifs, faux chez les négatifs. $(-2)$ est plus proche de zéro que $(-7)$, et pourtant plus grand.
8. Appliquer une règle de multiplication. Tu entendras peut-être qu'« un moins par un moins fait un plus ». Cette phrase parle d'une multiplication, qui s'apprend en 4e. Elle n'a rien à faire dans une addition ni dans une soustraction.

À quoi t'attendre. L'exercice tire au sort l'une de quatre situations : une somme de deux relatifs, une différence de deux relatifs, une somme de trois relatifs, ou un écart entre deux relevés (température relevée à deux heures de la journée, altitudes dans une grotte, étages d'un immeuble). La réponse est un nombre, accompagné de son unité quand la situation en porte une. Un exercice voisin demande de ranger quatre relatifs dans l'ordre croissant ou décroissant.

Énoncé type. À 6 h du matin, la station météo d'un collège a relevé une température de $-7$ °C. À 14 h, elle a relevé $5$ °C. De combien de degrés la température a-t-elle varié entre ces deux relevés ?

Corrigé complet.

1. Comprendre ce qui est demandé. On cherche la variation, c'est-à-dire l'écart entre les deux relevés. Un écart se calcule par une soustraction : la plus grande valeur moins la plus petite.

2. Repérer la plus grande valeur. $5$ est positif et $-7$ est négatif : la plus grande est $5$, la plus petite est $-7$. On écrit donc

3. Transformer la soustraction en addition. L'opposé de $(-7)$ est $(+7)$ :

4. Calculer. Les deux termes sont maintenant de même signe. On additionne leurs distances à zéro, $5 + 7 = 12$, et on garde le signe $+$ :

5. Répondre avec l'unité. La température a varié de $12$ °C. Elle a augmenté, puisqu'il fait plus chaud à 14 h qu'à 6 h.

6. Contrôler sur la droite graduée. De $-7$ à $0$, il y a $7$ crans ; de $0$ à $5$, il y en a $5$. Au total, $7 + 5 = 12$. On retrouve la même valeur.

Auto-contrôle : place toujours les deux valeurs sur une droite graduée avant de conclure. Si les deux relevés sont de part et d'autre de zéro, l'écart est la somme de leurs distances à zéro ; s'ils sont du même côté, c'est la différence de ces distances. Et un écart annoncé négatif est le signe certain d'une soustraction faite à l'envers.