Nombres décimaux : chaque chiffre à sa place

Deux étiquettes dans un rayon de supermarché : un pain à $2{,}5$ € et une brique de lait à $2{,}45$ €. Lequel est le plus cher ?

Beaucoup d'élèves répondent le lait, parce que $45$ est plus grand que $5$. C'est faux, et c'est l'erreur la plus fréquente de toute la 6e. Le pain, à $2{,}5$ €, coûte $2$ € et $50$ centimes. Le lait, à $2{,}45$ €, coûte $2$ € et $45$ centimes. Le pain est plus cher.

Pourquoi cette erreur est-elle si tentante ? Parce qu'on croit que la virgule coupe le nombre en deux morceaux : un nombre entier à gauche, un autre nombre entier à droite. C'est cette idée-là qu'il faut abandonner aujourd'hui.

Un nombre décimal est un nombre qui possède une écriture à virgule avec un nombre fini de chiffres après la virgule. La virgule ne sépare pas deux nombres : elle marque la place des unités, juste à sa gauche.

Ce qui décide de la valeur d'un chiffre, c'est sa place. Exactement comme dans les entiers, où le $3$ de $30$ ne vaut pas le $3$ de $300$. Chaque place porte un nom, et chaque place vaut dix fois moins que sa voisine de gauche.

Lis maintenant la colonne des dixièmes, la première après la virgule. Dans $2{,}45$, il y a $4$ dixièmes. Dans $2{,}5$, il y en a $5$. Or $5$ dixièmes, c'est plus que $4$ dixièmes. La comparaison est tranchée dès cette colonne, et les chiffres suivants n'y changeront plus rien.

Le geste qui règle tout : compléter par des zéros. Un zéro ajouté à la fin de la partie décimale ne change pas le nombre, parce qu'il n'ajoute aucun centième ni aucun millième.

Écris donc les deux prix avec le même nombre de décimales :

Maintenant, et seulement maintenant, tu peux comparer les parties décimales comme deux entiers : $50 > 45$. Le pain est bien le plus cher.

Attention à ne pas déformer la règle. Un zéro ajouté à la fin de la partie décimale est inoffensif. Un zéro ajouté ailleurs change tout : $2{,}05$ n'est pas $2{,}5$, et $20{,}5$ non plus.

La méthode de comparaison, en trois temps. Elle marche toujours, sur n'importe quels décimaux.

1. Compare d'abord les parties entières, celles qui sont à gauche de la virgule. Si elles diffèrent, c'est fini : $8{,}1 > 7{,}99$, parce que $8 > 7$. Inutile de regarder plus loin.
2. Si les parties entières sont égales, complète les parties décimales avec des zéros à la fin, pour qu'elles aient le même nombre de chiffres.
3. Compare alors chiffre par chiffre, en partant des dixièmes, puis les centièmes, puis les millièmes. Le premier chiffre qui diffère décide, et la comparaison s'arrête là.

Un exemple complet. Range $7{,}4$, $7{,}25$, $7{,}305$ et $7{,}08$ dans l'ordre croissant. Les quatre parties entières valent $7$ : on complète.

On compare les dixièmes : $4$, $2$, $3$, $0$. Cela suffit à tout ranger.

Regarde bien $7{,}305$ : c'est le nombre qui a le plus de chiffres après la virgule, et pourtant ce n'est pas le plus grand. Une partie décimale plus longue n'a jamais voulu dire un nombre plus grand.

Chaque décimal a une place précise sur la droite graduée. Entre deux entiers, la droite se découpe en dix intervalles égaux : ce sont les dixièmes. Entre deux dixièmes, on peut encore découper en dix : ce sont les centièmes. C'est un zoom qui ne s'arrête jamais.

Cela répond à une question que beaucoup d'élèves se posent. Entre $2{,}4$ et $2{,}5$, y a-t-il un nombre ? Oui, et pas qu'un seul : $2{,}41$, $2{,}42$, $2{,}437$, $2{,}4999$… Contrairement aux entiers, où $4$ et $5$ sont voisins immédiats, deux décimaux distincts ne sont jamais voisins : on peut toujours en glisser un entre eux.

Additionner et soustraire : on aligne les virgules. C'est la seule chose à retenir pour poser une opération. Les unités doivent tomber sous les unités, les dixièmes sous les dixièmes. Complète par des zéros à la fin pour que les deux nombres aient la même longueur, et la retenue se comportera exactement comme avec des entiers.

Multiplier ou diviser par $10$, par $100$, par $1\,000$. Multiplier par $10$, c'est faire passer chaque chiffre au rang immédiatement supérieur : les dixièmes deviennent des unités, les unités deviennent des dizaines. Sur le papier, tout se passe comme si la virgule se déplaçait d'un rang vers la droite. Diviser par $10$ la déplace d'un rang vers la gauche.

Multiplier ne rend pas toujours plus grand. Voilà la deuxième idée fausse héritée du primaire, où l'on ne multiplie que par des entiers.

$4$ est plus petit que $8$. Rien d'étrange : multiplier par $0{,}5$, c'est prendre la moitié. Retiens la règle honnête : multiplier par un nombre plus petit que $1$ donne un résultat plus petit que le nombre de départ ; multiplier par un nombre plus grand que $1$ l'agrandit ; multiplier par $1$ ne change rien.

Un lien avec le chapitre des fractions. Tout décimal s'écrit aussi comme une fraction dont le dénominateur est $10$, $100$ ou $1\,000$ :

C'est même ce qui explique le nom de « nombre décimal » : decem veut dire « dix » en latin.

Une borne à connaître. Tous les nombres ne sont pas décimaux. Le tiers, par exemple, s'écrit $0{,}333\ldots$ sans jamais s'arrêter : aucune écriture à virgule finie ne le donne exactement. Ce n'est pas au programme de 6e, mais il est honnête de le savoir : quand ta calculatrice affiche une longue suite de chiffres, elle ne te donne pas toujours le nombre exact.

Énoncé. Quatre élèves ont couru le $60$ mètres. Leurs temps, en secondes, sont : Lina $9{,}4$ ; Malo $9{,}25$ ; Awa $9{,}305$ ; Théo $9{,}08$.

Question 1. Classer les quatre coureurs, du plus rapide au plus lent.

Question 2. Quel écart de temps sépare le premier du dernier ?

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Question 1 — comparer les quatre temps.

1. Regarder les parties entières. Elles valent toutes $9$. La comparaison ne se joue donc pas là : il faut aller voir après la virgule.

2. Compléter par des zéros pour égaliser les longueurs. Le plus long a trois décimales : on met tout le monde à trois décimales.

3. Comparer les dixièmes, c'est-à-dire le premier chiffre après la virgule : $4$ pour Lina, $2$ pour Malo, $3$ pour Awa, $0$ pour Théo. Ces quatre chiffres sont tous différents : la comparaison est déjà terminée, sans même regarder les centièmes.

4. Répondre à la question posée. Attention au sens : sur une course, le plus rapide est celui qui met le moins de temps. Le classement de la course va donc du plus petit temps au plus grand.

Premier : Théo ($9{,}08$ s). Deuxième : Malo ($9{,}25$ s). Troisième : Awa ($9{,}305$ s). Quatrième : Lina ($9{,}4$ s).

5. Vérifier que le piège a bien été évité. Awa a le temps qui compte le plus de chiffres, $9{,}305$, et pourtant elle n'est ni la plus rapide ni la plus lente. Lina a le temps qui compte le moins de chiffres, $9{,}4$, et c'est elle la plus lente. La longueur de l'écriture ne dit rien sur la valeur du nombre.

Question 2 — l'écart entre le premier et le dernier.

On calcule la différence entre le plus grand temps et le plus petit :

1. Aligner les virgules et compléter. On écrit $9{,}40$ à la place de $9{,}4$, pour que les deux nombres aient deux décimales.

2. Détailler la retenue. Aux centièmes, on ne peut pas retirer $8$ de $0$ : on emprunte un dixième, qui vaut dix centièmes. On calcule alors $10 - 8 = 2$ centièmes. Il reste $3$ dixièmes au lieu de $4$, et $3 - 0 = 3$ dixièmes. Aux unités, $9 - 9 = 0$.

3. Contrôler par un ordre de grandeur. Les deux temps sont proches de $9{,}4$ s et de $9{,}1$ s : l'écart doit être d'environ trois dixièmes de seconde. On trouve $0{,}32$ s. C'est cohérent.

Réponse. L'écart entre le premier et le dernier est de $0{,}32$ seconde, soit environ un tiers de seconde.

Figure (fig.math.decimal-place-value, SVG programmatique à produire) : deux panneaux superposés qui montrent la même comparaison, d'abord par les rangs, ensuite par la position sur la droite.

• Panneau du haut — le tableau de numération. Un tableau à sept colonnes titrées, de gauche à droite : centaines, dizaines, unités, puis une colonne étroite portant la virgule, puis dixièmes, centièmes, millièmes. Un trait vertical épais sépare la colonne des unités de celle des dixièmes : c'est la place de la virgule, et elle ne bouge jamais.
• Première ligne de données : le nombre $2{,}45$, avec $2$ dans la colonne des unités, $4$ dans celle des dixièmes, $5$ dans celle des centièmes.
• Deuxième ligne : le nombre $2{,}5$ écrit $2{,}50$, avec $2$ aux unités, $5$ aux dixièmes, et un $0$ grisé aux centièmes, légendé « zéro ajouté à la fin : le nombre ne change pas ».
• La colonne des dixièmes est mise en avant sur toute sa hauteur par un fond hachuré, et une accolade la désigne avec la mention « c'est ici que la comparaison se décide : $5 > 4$ ».
• Sous le tableau, la conclusion $2{,}5 > 2{,}45$, et à côté, barrée d'une croix, l'écriture fautive $2{,}45 > 2{,}5$ avec la mention « comparaison des parties décimales lues comme des entiers ».
• Panneau du bas — le zoom sur la droite graduée, en deux étages reliés par deux traits obliques qui matérialisent l'agrandissement.
• Étage du haut : une droite graduée de $2$ à $3$, découpée en dix intervalles égaux, les graduations étiquetées $2{,}0$ ; $2{,}1$ ; … ; $3{,}0$. L'intervalle allant de $2{,}4$ à $2{,}5$ est encadré.
• Étage du bas : cet intervalle agrandi, de $2{,}40$ à $2{,}50$, redécoupé en dix intervalles égaux étiquetés $2{,}41$ ; $2{,}42$ ; … Deux points sont placés et nommés : $2{,}45$ au milieu, et $2{,}50$ à l'extrémité droite. Une flèche horizontale relie les deux, légendée « $2{,}45$ est à gauche de $2{,}50$ : il est plus petit ».
• Sous cet étage, la mention « et on pourrait continuer à zoomer : entre deux décimaux, il y en a toujours d'autres ».

Ce qu'il faut lire. Les deux panneaux disent la même chose de deux façons. Le tableau dit : c'est le rang qui donne sa valeur à un chiffre. La droite dit : chaque décimal a une place, et cette place se lit de gauche à droite comme sur une règle. Aucun des deux ne laisse la moindre chance à l'idée que $2{,}45$ dépasserait $2{,}5$.

La figure en détail : en haut, un tableau de numération à sept colonnes, des centaines aux millièmes, coupé par un trait épais entre les unités et les dixièmes. Le nombre 2,45 y occupe les cases 2, 4, 5. Le nombre 2,5, écrit 2,50, y occupe les cases 2, 5 et un zéro grisé. La colonne des dixièmes est hachurée : elle contient 4 pour le premier nombre et 5 pour le second, ce qui suffit à conclure que 2,5 est plus grand que 2,45. L'écriture inverse est montrée barrée. En bas, une droite graduée de 2 à 3 découpée en dix intervalles, dont l'intervalle de 2,4 à 2,5 est encadré puis agrandi en dessous et redécoupé en dix. Sur cet agrandissement, le point 2,45 est placé à gauche du point 2,50.

En 6e, ce bloc rassemble des règles, pas des formules à appliquer.

L'écriture. En français — et donc sur ta copie — le séparateur décimal est la virgule : on écrit $2{,}45$, jamais $2.45$. Le point décimal est l'usage anglais, et c'est aussi celui des calculatrices et des tableurs : ne recopie pas leur affichage tel quel sur ta copie. Les grands nombres, eux, se séparent par une espace tous les trois chiffres, et jamais par un point : $12\,345{,}6$.

Les unités. Un nombre décimal accompagne très souvent une mesure : $2{,}45$ €, $9{,}08$ s, $1{,}75$ m. L'unité s'écrit après le nombre, séparée par une espace, et elle ne disparaît jamais du résultat.

1. Croire que $2{,}45 > 2{,}5$ parce que $45 > 5$. C'est l'erreur reine du niveau, et elle a une cause précise : on lit la partie décimale comme si c'était un entier séparé. Or $45$ n'est pas là en tant que « quarante-cinq » : le $4$ vaut quatre dixièmes et le $5$ vaut cinq centièmes. Le remède tient en un geste : complète par des zéros à la fin pour égaliser les longueurs, et compare seulement ensuite. $2{,}50$ contre $2{,}45$ : la question ne se pose plus.
2. Croire qu'un nombre avec plus de décimales est plus grand. $9{,}305$ a trois chiffres après la virgule et reste plus petit que $9{,}4$, qui n'en a qu'un. La longueur de l'écriture ne mesure rien du tout ; elle dit seulement avec quelle finesse le nombre a été écrit.
3. Mal aligner la virgule dans une opération posée. Si tu poses $9{,}4 - 9{,}08$ en collant les chiffres à droite, tu soustrais des centièmes à des dixièmes et le résultat n'a plus aucun sens. Écris $9{,}40$, place la virgule du résultat sous les deux autres, et l'opération redevient une soustraction ordinaire.
4. Additionner les parties décimales entre elles. $2{,}5 + 2{,}5$ ne fait pas $4{,}10$. Cinq dixièmes plus cinq dixièmes font dix dixièmes, c'est-à-dire une unité entière : il y a une retenue, et le résultat est $5$. Dix dixièmes ne restent jamais après la virgule : ils font une unité entière, qui passe dans la colonne de gauche avec une retenue.
5. Penser que multiplier agrandit toujours. $0{,}5 \times 8 = 4$ : le résultat est deux fois plus petit que $8$. Cette croyance vient du primaire, où l'on ne multiplie que par des entiers. Le repère fiable est la comparaison à $1$ : plus petit que $1$, cela diminue ; plus grand que $1$, cela agrandit.
6. Ajouter un zéro n'importe où. $2{,}5$, $2{,}50$ et $2{,}500$ sont le même nombre. Mais $2{,}05$ et $20{,}5$ sont deux autres nombres, très différents. Le zéro n'est inoffensif qu'à la fin de la partie décimale.
7. Écrire un point à la place de la virgule. La calculatrice affiche $2.45$, ta copie doit porter $2{,}45$. Ce n'est pas un détail de forme : dans plusieurs pays, le point sert à séparer les milliers, et $2.450$ n'y désigne pas du tout le même nombre.
8. Croire qu'il n'y a rien entre $2{,}4$ et $2{,}5$. Les entiers ont des voisins ; les décimaux n'en ont pas. On peut toujours zoomer et trouver $2{,}41$, puis $2{,}401$, et ainsi de suite sans fin.

À quoi t'attendre. L'exercice affiche quatre nombres décimaux à ranger dans l'ordre croissant ou décroissant. Trois garanties le rendent réellement discriminant : les quatre nombres ont la même partie entière, ce qui force à comparer après la virgule ; les parties décimales n'ont pas toutes la même longueur ; et l'un des couples au moins oppose la partie décimale la plus longue à la valeur la plus petite — c'est-à-dire exactement le piège de la leçon. L'ordre d'affichage est tiré au hasard, jamais l'ordre attendu. Un exercice voisin fait calculer avec des décimaux : produit par une puissance de dix, addition ou soustraction posée, écriture décimale d'une fraction décimale.

Énoncé type. On considère les quatre nombres décimaux suivants : $6{,}304$ ; $6{,}09$ ; $6{,}5$ ; $6{,}27$. Ranger ces quatre nombres dans l'ordre croissant, du plus petit au plus grand.

Corrigé complet.

1. Comparer les parties entières. Elles valent toutes $6$. La comparaison se joue donc entièrement après la virgule.

2. Compléter par des zéros à la fin, jusqu'à trois décimales.

Ces quatre écritures désignent exactement les mêmes nombres qu'au départ : un zéro ajouté à la fin de la partie décimale ne change rien.

3. Comparer les dixièmes, premier chiffre après la virgule : $3$, $0$, $5$, $2$. Ces quatre chiffres sont tous différents, donc la comparaison est déjà tranchée. Le plus petit dixième donne le plus petit nombre.

4. Écrire le classement demandé, dans l'ordre croissant :

5. Relire le piège. Le nombre $6{,}304$ est celui qui a le plus de chiffres après la virgule, et il n'est que troisième. Le nombre $6{,}5$ est celui qui en a le moins, et c'est le plus grand. Si tu avais comparé $304$, $9$, $5$ et $27$ comme des entiers, tu aurais écrit $6{,}5 < 6{,}09 < 6{,}27 < 6{,}304$ — un classement entièrement faux, obtenu en oubliant les rangs.

Auto-contrôle. Deux vérifications rapides avant de rendre. Le sens demandé est-il le bon — croissant veut dire du plus petit au plus grand ? Et si tu remplaçais ces nombres par des prix en euros, ton classement resterait-il crédible ? $6{,}09$ € est bien la plus petite somme, $6{,}50$ € la plus grande.