Convergence d'une suite : la définition quantifiée

En terminale, tu écrivais $\lim u_n = \ell$ et tu disais : « les termes se rapprochent de $\ell$ ». Cette phrase suffisait pour calculer, elle ne suffit plus pour démontrer. Que veut dire « se rapprocher » ? Plus près que quoi ? À partir de quand ? Toute l'analyse du supérieur commence par répondre à ces trois questions d'un seul coup, avec des inégalités et deux quantificateurs.

Définition. La suite $(u_n)$ converge vers $\ell \in \mathbb{R}$ lorsque

$$\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \ge N,\ |u_n - \ell| < \varepsilon.$$

On note alors $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \ell$, et on dit que $(u_n)$ est convergente. Une suite qui ne converge vers aucun réel est divergente.

Lire la formule dans l'ordre, c'est la comprendre. Elle se lit comme un jeu à deux joueurs, et l'ordre des quantificateurs est l'ordre des coups.

• $\forall \varepsilon > 0$ : ton adversaire choisit une exigence de précision, aussi sévère qu'il le veut — $10^{-3}$, $10^{-15}$, ce qu'il veut, pourvu que ce soit strictement positif.
• $\exists N \in \mathbb{N}$ : tu réponds par un rang, et tu as le droit de le choisir après avoir vu $\varepsilon$. C'est le point décisif : $N$ dépend de $\varepsilon$, et il grandit quand $\varepsilon$ diminue. On écrit souvent $N_\varepsilon$ pour s'en souvenir.
• $\forall n \ge N$ : à partir de ce rang, l'inégalité doit tenir pour tous les termes suivants, sans exception ni rechute. Un seul terme qui ressort de la bande, si loin soit-il, et tu as perdu.
• $|u_n - \ell| < \varepsilon$ : l'écart entre le terme et la limite, mesuré par une valeur absolue, reste sous l'exigence. De façon équivalente, $u_n$ appartient à l'intervalle $\left]\ell - \varepsilon\ ;\ \ell + \varepsilon\right[$ — la bande de demi-largeur $\varepsilon$ autour de $\ell$.

Une seule phrase, quatre pièges d'écriture. Échanger les deux premiers quantificateurs donne « $\exists N, \forall \varepsilon > 0, \forall n \ge N, |u_n - \ell| < \varepsilon$ » : cette proposition dit que tous les termes de rang $\ge N$ sont à une distance de $\ell$ plus petite que tout réel strictement positif, donc qu'ils sont égaux à $\ell$. Elle décrit une suite stationnaire, pas une suite convergente. Remplacer « $\forall n \ge N$ » par « $\exists n \ge N$ » donne autre chose encore : la suite revient près de $\ell$ infiniment souvent, sans y rester — c'est le cas de $u_n = (-1)^n$ avec $\ell = 1$, qui ne converge pas. Écrire $\le \varepsilon$ au lieu de $<$ ne change rien (si l'écart est $< \varepsilon/2$ il est $\le \varepsilon$, et réciproquement en changeant d'$\varepsilon$) : les deux versions définissent la même notion, et tu peux utiliser celle qui t'arrange. Enfin, exiger le plus petit $N$ possible n'est jamais demandé par la définition : n'importe quel rang qui marche démontre la convergence.

Ce que cela change concrètement. Pour prouver qu'une suite converge vers $\ell$, on ne raisonne plus par analogie : on part d'un $\varepsilon > 0$ quelconque, on majore $|u_n - \ell|$, on résout l'inégalité en $n$, et on exhibe un rang. La démonstration a désormais une forme fixe, et c'est cette forme que la leçon apprend à écrire.

Une définition ne vaut que par les théorèmes qu'elle donne. En voici quatre, tous démontrés à partir de la seule formule ci-dessus.

L'unicité de la limite. Une suite convergente a une seule limite. Supposons qu'elle converge à la fois vers $\ell$ et vers $\ell'$ avec $\ell \neq \ell'$, et prenons $\varepsilon = \dfrac{|\ell - \ell'|}{2}$, qui est strictement positif. La définition fournit un rang $N_1$ à partir duquel $|u_n - \ell| < \varepsilon$, et un rang $N_2$ à partir duquel $|u_n - \ell'| < \varepsilon$. Pour $n \ge \max(N_1, N_2)$, l'inégalité triangulaire donne

c'est-à-dire $|\ell - \ell'| < |\ell - \ell'|$ : absurde. Donc $\ell = \ell'$. Remarque la mécanique, qui resservira sans cesse : on choisit un $\varepsilon$ particulier, fabriqué à partir des données du problème, et on prend le maximum de deux rangs pour faire tenir deux inégalités en même temps.

Toute suite convergente est bornée. Appliquons la définition avec $\varepsilon = 1$ : il existe $N$ tel que, pour $n \ge N$, $|u_n - \ell| < 1$, donc $|u_n| < |\ell| + 1$. Restent les termes de rang $0$ à $N - 1$, en nombre fini : ils admettent un plus grand module. La suite est donc majorée en valeur absolue par $\max\left(|u_0|, \ldots, |u_{N-1}|, |\ell| + 1\right)$. La réciproque est fausse, et le contre-exemple tient en trois symboles : $u_n = (-1)^n$ est bornée et n'a pas de limite.

Nier la convergence. Nier une proposition quantifiée, c'est échanger chaque « pour tout » en « il existe », chaque « il existe » en « pour tout », et nier l'inégalité finale. « $(u_n)$ ne converge pas vers $\ell$ » s'écrit donc

En clair : il existe une exigence de précision que la suite viole encore, aussi loin qu'on aille. Sur $u_n = (-1)^n$ et $\ell = 1$ : prends $\varepsilon = 1$ ; quel que soit $N$, il existe un rang impair $n \ge N$, et pour celui-là $|(-1)^n - 1| = 2 \ge 1$. La suite ne converge donc pas vers $1$ ; le même argument avec $\ell$ quelconque montre qu'elle ne converge vers rien.

Le théorème de la limite monotone. Une suite croissante et majorée converge, et sa limite est la borne supérieure $\ell = \sup\lbrace u_n \rbrace$ de l'ensemble de ses termes. La démonstration est le premier usage sérieux de la propriété de la borne supérieure de $\mathbb{R}$ : par définition du sup, $\ell - \varepsilon$ n'est pas un majorant, donc il existe un rang $N$ tel que $u_N > \ell - \varepsilon$ ; par croissance, tous les termes suivants sont eux aussi $> \ell - \varepsilon$ ; et ils sont tous $\le \ell$. Donc $|u_n - \ell| < \varepsilon$ pour $n \ge N$. Note ce qui est remarquable : on démontre l'existence d'une limite sans la connaître. Une suite croissante non majorée, elle, tend vers $+\infty$.

Suites adjacentes. Deux suites $(a_n)$ croissante et $(b_n)$ décroissante telles que $b_n - a_n \to 0$ sont dites adjacentes : elles convergent vers une même limite $\ell$, et pour tout $n$, $a_n \le \ell \le b_n$. C'est l'outil qui fabrique des encadrements aussi fins qu'on veut, et il découle directement du théorème précédent : $(a_n)$ est croissante et majorée par $b_0$, $(b_n)$ est décroissante et minorée par $a_0$.

Le cas des limites infinies. La même grammaire s'écrit sans valeur absolue : $u_n \to +\infty$ signifie $\forall A \in \mathbb{R},\ \exists N,\ \forall n \ge N,\ u_n > A$. Le rôle de « aussi petit qu'on veut » est tenu par « aussi grand qu'on veut ». Toutes les fautes de quantificateurs se transposent telles quelles.

Et en pratique ? Trois familles couvrent l'essentiel des exercices, parce que leur écart à la limite se calcule exactement :

Dans les trois, l'écart décroît strictement. C'est cette décroissance, et elle seule, qui permet de conclure « pour tout $n \ge N$ » après avoir vérifié l'inégalité au seul rang $N$ : sans elle, un rang isolé ne garantirait rien de ses successeurs.

Énoncé. Soit la suite définie pour $n \in \mathbb{N}$ par

1. Montrer que $(u_n)$ converge vers $3$ en calculant exactement $|u_n - 3|$.
2. Déterminer le plus petit entier $N$ tel que, pour tout $n \ge N$, $|u_n - 3| < \varepsilon$ avec $\varepsilon = 3 \times 10^{-3}$.
3. Reprendre avec $\varepsilon = 3 \times 10^{-4}$ et commenter.

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1. Calculer l'écart, exactement. On met tout sur le même dénominateur :

Donc

Cet écart est strictement positif, strictement décroissant, et il devient plus petit que n'importe quel $\varepsilon > 0$ dès que $n + 2 > \dfrac{1}{\varepsilon}$ — ce qui est possible puisque les entiers ne sont pas majorés. La suite converge donc vers $3$. Retiens la méthode : on ne cherche pas à « voir » la limite, on la soustrait et on regarde ce qui reste.

2. Le rang pour $\varepsilon = 3 \times 10^{-3}$. L'inégalité à résoudre est

Or $\dfrac{994}{3} = 331{,}33\ldots$ : le plus petit entier strictement supérieur est $332$. Donc

Vérifions les deux bords, sans calculatrice et sans arrondi. Au rang $332$, l'écart vaut $\dfrac{1}{334}$, et $334 \times 3 = 1002 > 1000$, donc $\dfrac{1}{334} < \dfrac{3}{1000}$ : l'inégalité est vérifiée. Au rang $331$, l'écart vaut $\dfrac{1}{333}$, et $333 \times 3 = 999 < 1000$, donc $\dfrac{1}{333} > \dfrac{3}{1000}$ : elle ne l'est pas. Le rang $332$ est bien le plus petit qui convienne. Et comme l'écart décroît, l'inégalité est acquise pour tous les rangs suivants d'un seul coup : c'est là, et nulle part ailleurs, que sert la décroissance.

3. Une exigence dix fois plus sévère. Avec $\varepsilon = 3 \times 10^{-4}$, la même chaîne donne $n + 2 > \dfrac{10000}{3} = 3333{,}33\ldots$, donc $n > 3331{,}33\ldots$ et $N = 3332$. Contrôle aux deux bords : $3334 \times 3 = 10002 > 10000$ (l'inégalité tient au rang $3332$), et $3333 \times 3 = 9999 < 10000$ (elle ne tient pas au rang $3331$).

Le rang a été multiplié par environ dix quand l'exigence a été divisée par dix. C'est la traduction chiffrée de l'ordre des quantificateurs : $N$ dépend de $\varepsilon$. Aucun rang unique ne pourrait convenir pour tous les $\varepsilon$ à la fois — s'il en existait un, la suite serait constante égale à $3$ à partir de ce rang.

Une remarque de méthode, à ne pas perdre. Pour démontrer que $u_n \to 3$, il aurait suffi d'écrire : « soit $\varepsilon > 0$ ; posons $N = \left\lfloor \dfrac{1}{\varepsilon} \right\rfloor + 1$ ; pour $n \ge N$ on a $n + 2 > \dfrac{1}{\varepsilon}$, donc $|u_n - 3| < \varepsilon$ ». Aucun besoin du plus petit rang. Ce n'est qu'ici, parce que la question le demande explicitement, qu'on est allé jusqu'au meilleur.

Figure (fig.math.convergence-definition, SVG programmatique à produire) : deux repères côte à côte, la même suite, deux exigences.

• Panneau gauche — $\varepsilon$ « large ». Axe horizontal : le rang $n$, gradué de $0$ à $30$, à partir de zéro. Axe vertical : $u_n$, gradué de $2{,}4$ à $3{,}2$. Les termes de la suite $u_n = \dfrac{3n + 5}{n + 2}$ sont marqués par des disques : $u_0 = 2{,}5$, $u_1 = \dfrac{8}{3} \approx 2{,}67$, $u_2 = 2{,}75$, puis la suite monte vers $3$ en restant toujours en dessous. Une droite horizontale continue en $y = 3$ porte l'étiquette « $\ell = 3$ ». Une bande grisée $\left]3 - \varepsilon\ ;\ 3 + \varepsilon\right[$ avec $\varepsilon = 0{,}1$ traverse tout le panneau, ses deux bords en pointillés et étiquetés « $\ell - \varepsilon$ » et « $\ell + \varepsilon$ ». L'écart valant $\dfrac{1}{n+2}$, le terme $u_8 = \dfrac{29}{10} = 2{,}9$ tombe exactement sur le bord inférieur de la bande (écart $0{,}1$, pas strictement plus petit) : il est dessiné sur le trait, évidé, avec la mention « bord exclu ». Le premier terme réellement dans la bande est $u_9 = \dfrac{32}{11}$, écart $\dfrac{1}{11}$ : il est entouré d'un cercle épais et signalé par une flèche verticale montant de l'axe, étiquette « $N = 9$ ». Les disques de rang $\ge 9$ sont pleins, ceux de rang $< 9$ sont évidés — la distinction ne repose donc pas sur la couleur.
• Panneau droit — $\varepsilon$ dix fois plus petit. Le même repère, mais avec un axe horizontal gradué jusqu'à $120$ et une bande de demi-largeur $\varepsilon = 0{,}01$, beaucoup plus fine. Là encore le rang $98$ tombe pile sur le bord (écart $\dfrac{1}{100}$) et le premier terme intérieur est $u_{99}$, écart $\dfrac{1}{101}$ : étiquette « $N = 99$ ». Une accolade sous l'axe relie les deux panneaux avec la mention « exigence divisée par $10$, rang multiplié par $11$ ».
• Bandeau du bas — la faute de quantificateurs, en image. Deux miniatures. À gauche, une suite qui entre dans la bande au rang $N$ et n'en ressort plus : mention « $\forall n \ge N$ : convergence ». À droite, une suite qui entre dans la bande, en ressort, y revient, en ressort encore, indéfiniment : mention « $\exists n \ge N$ seulement : pas de convergence ». Aucune valeur numérique sur cette seconde miniature — c'est une allure, pas une mesure.

Ce qu'il faut lire. La bande matérialise $\varepsilon$, le rang entouré matérialise $N$, et le fait que plus aucun disque ne sorte de la bande après lui matérialise le « pour tout $n \ge N$ ». Passer d'un panneau à l'autre montre en une image la seule chose que l'ordre des quantificateurs affirme : la bande rétrécit, le rang recule, et il n'existe pas de rang qui convienne pour toutes les bandes à la fois.

La figure en détail : la figure comprend deux graphiques et deux vignettes. Dans le premier graphique, les termes d'une suite sont représentés par des points en fonction de leur rang ; ils montent en se rapprochant d'une droite horizontale qui figure la limite. Une bande horizontale centrée sur cette droite représente la tolérance choisie ; le premier point qui entre dans la bande est entouré et son rang est indiqué sous l'axe, et tous les points suivants restent dans la bande. Le second graphique montre la même suite avec une bande dix fois plus fine : le premier point qui y entre est bien plus loin, et son rang est indiqué de la même manière. Une accolade souligne que réduire la tolérance repousse le rang. En bas, deux petites vignettes opposent une suite qui entre dans la bande et n'en ressort plus, ce qui correspond à la convergence, et une suite qui entre et ressort de la bande indéfiniment, ce qui n'y correspond pas.

Le geste de calcul, en trois temps. (1) Écrire $|u_n - \ell|$ exactement, en réduisant au même dénominateur ou en factorisant. (2) Résoudre $|u_n - \ell| < \varepsilon$ en $n$ : une inéquation du premier degré pour la famille homographique, un passage au logarithme pour la famille géométrique, une racine $p$-ième pour la famille de Riemann. (3) Prendre le plus petit entier qui convient, et vérifier les deux bords — le rang trouvé marche, le rang précédent ne marche pas.

Ce qui n'est pas dans cette leçon. Les équivalents et les développements limités, qui permettront d'estimer un écart au lieu de le calculer ; les suites de Cauchy et la complétude de $\mathbb{R}$ ; le théorème de Bolzano-Weierstrass et les suites extraites. Ici, tout écart est calculé exactement, ce qui restreint les exemples mais garantit que chaque rang annoncé est démontré.

1. Intervertir les deux premiers quantificateurs. « $\exists N, \forall \varepsilon > 0$ » décrit une suite stationnaire : à partir de $N$, les termes seraient à une distance de $\ell$ plus petite que tout réel positif, donc égaux à $\ell$. Ce n'est pas la convergence, c'est un cas particulier extrême de la convergence.
2. Écrire « $\exists n \ge N$ » au lieu de « $\forall n \ge N$ ». On définit alors une valeur d'adhérence : la suite s'approche de $\ell$ infiniment souvent, sans y rester. $(-1)^n$ s'approche de $1$ infiniment souvent et ne converge pas.
3. Chercher le plus petit rang quand on démontre. La définition demande un rang, pas le meilleur. S'acharner à optimiser $N$ transforme une démonstration de trois lignes en un calcul d'inéquation inutile — et fait souvent rater la démonstration. C'est seulement quand la question dit « le plus petit » qu'il faut y aller.
4. Ne vérifier qu'un seul bord. Quand on affirme que $N$ est le plus petit rang qui convienne, deux vérifications sont dues : l'inégalité est vraie au rang $N$, et elle est fausse au rang $N - 1$. La seconde est celle qu'on oublie, et c'est elle qui distingue « un rang » de « le plus petit ».
5. Conclure « pour tout $n \ge N$ » sans argument. Vérifier l'inégalité au seul rang $N$ ne dit rien des suivants — sauf si l'écart est décroissant, ce qu'il faut avoir remarqué. Sur une suite dont l'écart oscille, un rang isolé ne prouve rien.
6. Nier en gardant l'ordre. La négation échange chaque quantificateur et renverse l'inégalité stricte en inégalité large. Écrire « $\forall \varepsilon > 0, \exists N, \forall n \ge N, |u_n - \ell| \ge \varepsilon$ » n'est pas la négation de la convergence : c'est une proposition beaucoup plus forte, et presque toujours fausse.
7. Croire qu'une suite bornée converge. $(-1)^n$ est bornée, divergente, et tient sur une ligne. L'implication ne vaut que dans un sens : convergente $\Rightarrow$ bornée.
8. Conclure à la convergence d'une suite croissante sans majorant. Le théorème de la limite monotone a deux hypothèses. Une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$ ; « elle monte » n'est pas un argument de convergence.
9. Arrondir avant de comparer. Écrire « $\dfrac{1}{333} \approx 0{,}0030$, supérieur à $3 \times 10^{-3}$ » affiche deux nombres identiques suivis du mot « supérieur ». La comparaison se fait sur les entiers, par produit en croix : $333 \times 3 = 999 < 1000$. Un arrondi ne démontre jamais une inégalité stricte.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon tire une suite dans l'une des trois familles dont l'écart à la limite se calcule exactement — homographique, géométrique, ou de la forme $\ell + \dfrac{A}{n^{p}}$ — et une tolérance $\varepsilon = c \times 10^{-k}$ avec $c \in \lbrace 3\ ;\ 7 \rbrace$. Il demande le plus petit entier $N$ tel que l'écart reste sous $\varepsilon$ à partir de ce rang. Un modèle voisin, à choix multiples, propose un rang $N_0$ et demande de le situer : convient-il ? est-il le plus petit ? C'est exactement la distinction du piège n° 3.

Énoncé type. Soit la suite définie pour $n \in \mathbb{N}$ par

Déterminer le plus petit entier $N$ tel que, pour tout $n \ge N$, on ait $|u_n - \ell| < \varepsilon$, avec $\varepsilon = 7 \times 10^{-3}$.

Corrigé complet.

1. Identifier la limite. Le quotient de deux expressions du premier degré tend vers le quotient des coefficients dominants : $\ell = -2$.

2. Calculer l'écart, exactement.

donc $|u_n - \ell| = \dfrac{13}{n + 3}$. Cet écart est strictement décroissant : il suffira de trouver le premier rang qui convient pour que tous les suivants conviennent aussi.

3. Résoudre l'inéquation.

Or $\dfrac{12\,979}{7} = 1854{,}142\ldots$, donc le plus petit entier convenable est $1855$.

4. Vérifier les deux bords, par produits en croix. Au rang $1855$ : l'écart vaut $\dfrac{13}{1858}$, et $1858 \times 7 = 13\,006 > 13\,000$, donc $\dfrac{13}{1858} < \dfrac{7}{1000}$. $\checkmark$ Au rang $1854$ : l'écart vaut $\dfrac{13}{1857}$, et $1857 \times 7 = 12\,999 < 13\,000$, donc $\dfrac{13}{1857} > \dfrac{7}{1000}$. Ce rang ne convient pas. $\checkmark$

Réponse : $N = 1855$.

Auto-contrôle. Ai-je calculé l'écart exactement, sans arrondi ? Ai-je vérifié que l'écart décroît, seule justification du « pour tout $n \ge N$ » ? Ai-je testé le rang $N - 1$ pour prouver que $N$ est bien le plus petit ? Et me souviens-je que, pour une simple démonstration de convergence, aucun de ces raffinements n'aurait été nécessaire ?