Le vecteur vitesse instantanée : la vitesse à un instant précis

En seconde, tu as calculé des vitesses moyennes : une distance divisée par la durée du parcours. Le compteur d'une voiture, lui, n'affiche pas une moyenne — il affiche la vitesse maintenant, à cet instant précis. Comment définir une vitesse à un instant, alors qu'un instant n'a pas de durée et qu'en une durée nulle on ne parcourt aucune distance ?

La réponse de la physique est un passage à la limite, que tu rencontres la même année en mathématiques. On prend deux positions du mobile à deux instants très voisins, on divise le déplacement par la durée, et l'on regarde ce que devient ce quotient quand la durée devient de plus en plus courte. Ce quotient se stabilise : c'est la vitesse instantanée.

Vecteur vitesse instantanée. Soit un système modélisé par un point $M$, dont la position dépend du temps. Sa vitesse à l'instant $t$ est le vecteur $\vec{v}(t) \approx \dfrac{\overrightarrow{M(t)\,M(t + \Delta t)}}{\Delta t}$, où $\Delta t$ est une durée petite devant la durée du mouvement. Plus $\Delta t$ est courte, meilleure est l'approximation ; on admet que la valeur limite existe et que c'est la vitesse instantanée.

Trois caractéristiques de ce vecteur se lisent directement sur sa définition.

Sa direction est celle de la corde $M(t)\,M(t + \Delta t)$, qui, lorsque les deux points se rapprochent, devient la tangente à la trajectoire au point $M(t)$. Le vecteur vitesse est donc toujours tangent à la trajectoire — jamais perpendiculaire, jamais « vers le centre ».

Son sens est celui du mouvement : de $M(t)$ vers $M(t + \Delta t)$.

Sa valeur (sa norme) est ce que mesure le compteur : le quotient de la longueur du petit déplacement par la petite durée, en mètres par seconde.

En pratique, sur une chronophotographie prise toutes les $\Delta t$, on estime la vitesse au point $M_i$ avec ses deux voisins, ce qui encadre l'instant visé :

Cette formule « centrée » est celle des exercices : elle demande deux positions, l'une avant, l'autre après. Une seule position ne donne aucune vitesse — pas plus qu'une seule photo ne dit si la voiture roule.

Le lien avec les mathématiques. Pour un mouvement rectiligne repéré par une abscisse $x(t)$, le quotient $\dfrac{x(t + \Delta t) - x(t)}{\Delta t}$ est exactement le taux de variation de la fonction $x$ entre $t$ et $t + \Delta t$ — celui dont la limite, quand $\Delta t$ tend vers $0$, définit le nombre dérivé $x'(t)$. La vitesse instantanée est donc, pour une fonction connue, la dérivée de la position :

Le programme de physique de première ne l'exige pas : il définit la vitesse par deux positions voisines. Quand un énoncé te donne l'expression de $x(t)$, il écrit « on admet que la vitesse instantanée est la dérivée de la position », et tu dérives — c'est une méthode autorisée, pas une définition à réciter. L'expression explicite de $\vec{v}$ comme dérivée du vecteur position est réservée à la Terminale.

Une coïncidence utile. Pour un mouvement dont la position est un polynôme de degré 2 (une voiture qui freine régulièrement, une balle lancée verticalement), le quotient centré $\dfrac{x(t_0 + \Delta t) - x(t_0 - \Delta t)}{2\,\Delta t}$ est exactement égal à $x'(t_0)$, quelle que soit la durée $\Delta t$. Développe pour t'en convaincre avec $x(t) = a t^2 + b t + c$ : les termes en $\Delta t^2$ se compensent, il reste $2 a t_0 + b$. C'est pourquoi les corrigés peuvent écrire « $=$ » sur cette ligne, et pourquoi le quotient centré est meilleur que le quotient « en avant » $\dfrac{x(t_0 + \Delta t) - x(t_0)}{\Delta t}$, qui, lui, dévie d'un terme $a\,\Delta t$.

Vitesse nulle, position non nulle. Une balle lancée vers le haut, au sommet de sa trajectoire, a une vitesse nulle — elle s'immobilise l'espace d'un instant avant de redescendre — mais son altitude est maximale, pas nulle. Position et vitesse sont deux grandeurs indépendantes : l'une dit où l'on est, l'autre comment cela change. Un mobile peut passer par l'origine à toute vitesse, et s'arrêter loin d'elle.

En deux dimensions : des coordonnées. Sur une trajectoire courbe repérée dans un repère $(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})$, la définition s'applique coordonnée par coordonnée. Si $M_2\,(1{,}20\,;\,0{,}80)$ et $M_4\,(1{,}80\,;\,1{,}10)$ (en mètres) encadrent $M_3$ sur une chronophotographie à $\Delta t = 40$ ms :

et la valeur vaut $v_3 = \sqrt{7{,}5^2 + 3{,}75^2} = \sqrt{70{,}3125} \approx 8{,}4$ m/s. La direction du vecteur (celle de $\overrightarrow{M_2 M_4}$) est la tangente en $M_3$.

La vitesse est un vecteur : la direction compte. Dans un virage pris à compteur constant, la valeur ne change pas mais la direction tourne : le vecteur vitesse change. C'est cette variation, mesurée entre deux instants voisins par $\Delta \vec{v} = \vec{v}(t + \Delta t) - \vec{v}(t)$, que le chapitre suivant reliera aux forces — la suite naturelle de cette leçon.

Énoncé. Une voiture freine sur une route rectiligne. Dans le référentiel terrestre, on repère sa position par son abscisse $x$ (en m) sur un axe orienté dans le sens du mouvement, et l'étude donne, pour $t$ en secondes, $x(t) = 10 + 24\,t - 1{,}5\,t^2$.

Questions. 1. Calculer la vitesse moyenne entre $t = 0$ et $t = 3$ s. 2. Estimer la vitesse instantanée à $t_0 = 3$ s à partir des positions à $2{,}5$ s et $3{,}5$ s. 3. On admet que la vitesse instantanée est la dérivée de la position : retrouver le résultat, puis déterminer l'instant où la voiture s'arrête.

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1. La vitesse moyenne — une corde, pas une tangente.

Ce nombre résume trois secondes de freinage ; il ne dit pas la vitesse à un instant donné.

2. La vitesse instantanée par deux positions voisines.

À $t_0 = 3$ s, la voiture roule à $15$ m/s (soit $54$ km/h) : moins que la moyenne, ce qui est cohérent — elle freine, sa vitesse à la fin de l'intervalle est plus faible qu'au début.

3. Par la dérivée, comme l'énoncé l'admet.

Les deux chemins donnent la même valeur : la position est un polynôme de degré 2, et le quotient centré coïncide exactement avec la dérivée.

L'arrêt correspond à $v(t_1) = 0$ :

La voiture s'immobilise à $t_1 = 8$ s, à l'abscisse $x(8) = 10 + 192 - 96 = 106$ m — une position qui n'a rien de nul. Au-delà de $8$ s, le modèle cesserait de s'appliquer (il ferait reculer la voiture) ; un modèle a toujours un domaine de validité.

4. Contrôler. Le signe : $v(3) > 0$, le mobile avance dans le sens de l'axe ✔. L'ordre de grandeur : $15$ m/s pour une voiture en ville, plausible ✔. La cohérence : $v(0) = 24$ m/s, $v(3) = 15$ m/s, $v(8) = 0$ — la vitesse décroît régulièrement, comme il sied à un freinage ✔.

Figure (fig.physics.instantaneous-velocity, SVG programmatique à produire) : deux panneaux superposés et un bandeau.

La figure en détail : en haut, une chronophotographie d'un mobile sur une trajectoire courbe, vue de dessus, dans un repère orthonormé gradué en mètres, sept positions $M_0$ à $M_6$ régulièrement datées (intervalle $\Delta t$ écrit dans un cartouche). Autour de $M_3$, trois cordes tracées en traits de plus en plus fins : $M_0 M_6$, $M_1 M_5$, puis $M_2 M_4$, chacune portant, de part et d'autre de $M_3$, l'étiquette de son demi-intervalle : « $3\,\Delta t$ », « $2\,\Delta t$ », puis « $\Delta t$ ». Une flèche épaisse issue de $M_3$, portée par la corde la plus courte $M_2 M_4$ (celle de demi-intervalle $\Delta t$), est étiquetée $\vec{v}_3$, avec la mention « tangent à la trajectoire, dans le sens du parcours ». Un encart barré d'une croix montre un vecteur dessiné perpendiculairement à la trajectoire, légendé « jamais ainsi ». En bas, un graphique de la position $x$ en fonction du temps $t$ pour la voiture de l'exemple, parabole décroissante de pente : le point d'abscisse $t = 3$ s porte sa tangente (pente $15$ m/s, triangle de pente coté $1$ s et $15$ m) et la corde entre $t = 0$ et $t = 3$ s (pente $19{,}5$ m/s, en trait tireté), les deux pentes étant écrites en clair. Le sommet de la parabole, à $t = 8$ s, est marqué « $v = 0$, $x = 106$ m ». Le bandeau du bas aligne trois cases : « vitesse moyenne = pente de la corde », « vitesse instantanée = pente de la tangente », « deux positions au moins, jamais une seule ».

Ce qu'il faut lire. Le panneau du haut montre la définition elle-même : quand les deux points qui encadrent $M_3$ se rapprochent, la corde pivote vers la tangente et la direction du vecteur vitesse se fixe. Le panneau du bas traduit la même idée sur un graphique de position : la vitesse moyenne est une pente de corde, la vitesse instantanée une pente de tangente — exactement la lecture du nombre dérivé en mathématiques. Le sommet rappelle que vitesse nulle ne signifie pas position nulle.

Les unités. Positions en mètres, durées en secondes, vitesse en mètres par seconde ; $1$ m/s $= 3{,}6$ km/h. Sur une chronophotographie, $\Delta t$ est souvent donné en millisecondes : convertis avant de diviser.

Les mots. Vitesse moyenne : sur un intervalle, une corde. Vitesse instantanée : à un instant, une tangente. Valeur de la vitesse : la norme du vecteur, ce que lit le compteur. Vecteur vitesse : valeur, direction et sens — un virage à compteur constant change le vecteur sans changer la valeur.

Vers la suite. Le programme de première va plus loin : entre deux instants voisins, la variation du vecteur vitesse $\Delta \vec{v} = \vec{v}(t + \Delta t) - \vec{v}(t)$ est reliée à la somme des forces qui s'exercent sur le système. La vitesse instantanée est la première marche ; sa variation est la deuxième.

1. Croire que la vitesse est nulle quand la position est nulle. Position et vitesse sont indépendantes. Un mobile qui passe par l'origine a en général une vitesse non nulle ; une balle au sommet de son vol a une vitesse nulle et une altitude maximale. Demande-toi toujours « comment la position change-t-elle ? », pas « où est-il ? ».
2. Vouloir une vitesse à partir d'une seule position. La vitesse est un quotient de déplacement par durée : il faut deux positions et deux instants, ou bien une expression de $x(t)$ que l'on dérive. Une photo isolée ne dit rien du mouvement.
3. Dessiner le vecteur vitesse perpendiculairement à la trajectoire, ou vers le centre du virage. Le vecteur vitesse est porté par la corde entre deux positions voisines, donc par la tangente. Ce qui pointe vers l'intérieur d'un virage, c'est la variation de vitesse, pas la vitesse.
4. Oublier que la vitesse est un vecteur. Une voiture qui tourne à $50$ km/h constants a un vecteur vitesse qui change à chaque instant : sa direction tourne. Dire « sa vitesse ne change pas » est faux au sens vectoriel — et c'est le sens qui compte en physique.
5. Confondre vitesse moyenne et vitesse instantanée. La première est une pente de corde sur tout l'intervalle ; la seconde une pente de tangente à un instant. Dans l'exemple, $19{,}5$ m/s et $15$ m/s : deux grandeurs différentes pour un même mouvement.
6. Utiliser le quotient « en avant » quand on dispose des deux voisins. $\dfrac{x(t_0 + \Delta t) - x(t_0)}{\Delta t}$ estime la vitesse « un peu après » $t_0$ ; le quotient centré encadre $t_0$ et, pour un mouvement à position polynomiale de degré 2, tombe exactement sur la valeur. Choisis les deux positions qui encadrent l'instant visé.
7. Réciter « la vitesse est la dérivée » comme une définition. En première, c'est une relation admise, précieuse quand $x(t)$ est connue ; la définition est physique : un déplacement divisé par une durée courte. Sur une chronophotographie, il n'y a rien à dériver, il y a des positions à soustraire.
8. Négliger les unités de la chronophotographie. Un intervalle de $40$ ms vaut $0{,}040$ s, et deux intervalles $0{,}080$ s ; diviser par $40$ donnerait une vitesse mille fois trop petite. Convertis, puis divise.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon te donne un mobile en mouvement rectiligne — voiture qui freine ou qui démarre, cycliste, balle lancée verticalement — dont la position est un polynôme de degré 2 en $t$. Selon la variante, il te demande la vitesse instantanée par la dérivée (l'énoncé écrit qu'il l'admet), son estimation à partir de deux positions voisines données dans un tableau, ou l'instant où la vitesse s'annule. Un modèle voisin, à affirmations vraies ou fausses, travaille les idées de la leçon : vitesse nulle et position non nulle, impossibilité d'une vitesse à partir d'une seule position, vecteur qui change dans un virage.

Énoncé type. Une balle est lancée verticalement vers le haut. Dans le référentiel terrestre, on repère sa position par son altitude $z$ (en m) sur un axe vertical orienté vers le haut, l'origine étant le point de lancer. L'étude du mouvement donne, pour $t$ en secondes, $z(t) = 19{,}62\,t - 4{,}905\,t^2$. On admet que la vitesse instantanée est la dérivée de la position par rapport au temps. À quel instant $t_1$ la vitesse de la balle s'annule-t-elle ? Où est alors la balle ?

Corrigé complet.

1. Dériver, comme l'énoncé l'admet. $v(t) = z'(t) = 19{,}62 - 9{,}81\,t$ (le terme en $t^2$ donne un terme en $t$, le terme en $t$ donne une constante).

2. Résoudre $v(t_1) = 0$. $19{,}62 - 9{,}81\,t_1 = 0$, soit $t_1 = \dfrac{19{,}62}{9{,}81} = 2$ s.

3. Situer la balle. $z(2) = 19{,}62 \times 2 - 4{,}905 \times 4 = 39{,}24 - 19{,}62 = 19{,}62$ m.

À $t_1 = 2$ s, la vitesse de la balle est nulle : elle est au sommet de sa trajectoire, à $19{,}62$ m au-dessus du point de lancer. Sa vitesse est nulle, sa position ne l'est pas.

4. Interpréter les signes. Avant $t_1$, $v > 0$ : la balle monte (sens de l'axe). Après $t_1$, $v < 0$ : elle redescend. La vitesse ne fait que passer par zéro ; le mouvement, lui, ne s'interrompt pas.

Auto-contrôle. Trois questions avant de rendre. Ai-je dérivé terme à terme sans oublier de faire descendre l'exposant ? Mon instant d'arrêt est-il positif et plausible pour la situation ? Et si l'énoncé me donne des positions plutôt qu'une expression, ai-je bien pris deux positions qui encadrent l'instant visé, avec une durée en secondes ?