L'oscillateur harmonique : période, énergie, phase

Un chariot sur un banc à coussin d'air, attaché à un ressort. On l'écarte de sa position de repos, on le lâche. Il revient, dépasse, repart, revient encore — et il recommence indéfiniment avec la même durée d'aller-retour, que l'on ait écarté le chariot de un centimètre ou de dix. Cette indifférence à l'amplitude est le fait expérimental que toute la leçon explique.

La cause : une force de rappel linéaire. Un ressort de raideur $k$, allongé ou comprimé de $x$ à partir de sa longueur naturelle, exerce sur la masse la force

dirigée vers la position d'équilibre — d'où le signe moins — et d'intensité proportionnelle à l'écart. Plus on s'éloigne, plus le rappel est fort ; exactement dans le même rapport.

La mise en équation. Le chariot de masse $m$ glisse horizontalement, sans frottement. Le poids et la réaction du support sont verticaux et se compensent ; la seule force horizontale est celle du ressort. La deuxième loi de Newton, projetée sur l'axe du mouvement, donne $m\,\ddot{x} = -k\,x$, soit

Équation de l'oscillateur harmonique. $\ddot{x} + \omega_0^{2}\,x = 0$, avec la pulsation propre

$$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \quad (\mathrm{rad\cdot s^{-1}}).$$

C'est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, sans second membre — celle que tu sais résoudre. Son équation caractéristique est $r^{2} + \omega_0^{2} = 0$, de discriminant strictement négatif, de racines $\pm i\omega_0$ : partie réelle nulle, partie imaginaire $\omega_0$. D'où la solution générale, sans enveloppe et sans amortissement :

Ce que chaque symbole désigne, et où il vient.

Cette séparation est le cœur de la leçon : le système fixe la période, l'expérimentateur fixe l'amplitude et la phase. C'est pourquoi la période ne dépend pas de l'amplitude — propriété appelée isochronisme — et c'est ce qui a permis, historiquement, de faire des horloges.

La période, en toutes lettres.

Lis-la : une masse plus grande ralentit l'oscillation ($T_0$ augmente), un ressort plus raide l'accélère ($T_0$ diminue). Et c'est bien $m/k$ sous la racine, pas $k/m$ — un contrôle d'homogénéité le confirme en dix secondes, puisque $k$ s'exprime en $\mathrm{N\cdot m^{-1}} = \mathrm{kg\cdot s^{-2}}$, donc $m/k$ en $\mathrm{s^{2}}$.

L'énergie, ou l'oscillateur vu autrement. Pour un ressort de raideur $k$, l'énergie potentielle élastique vaut $E_p = \frac{1}{2}k x^{2}$, et l'énergie cinétique $E_c = \frac{1}{2}m v^{2}$. Sans frottement, leur somme se conserve. En prenant la position extrême, où la vitesse est nulle :

Cette écriture est riche. Elle dit que l'énergie totale ne dépend que de l'amplitude — au carré, donc doubler l'amplitude quadruple l'énergie. Elle donne aussi la vitesse maximale, atteinte au passage par l'équilibre où toute l'énergie est cinétique :

Ce résultat se retrouve directement en dérivant $x(t) = X_m\cos(\omega_0 t + \varphi)$ : $v(t) = -X_m\,\omega_0\sin(\omega_0 t + \varphi)$, dont l'amplitude est bien $X_m\omega_0$. Deux chemins, un seul résultat — et c'est un bon contrôle.

L'échange, et sa fréquence double. Au cours d'une période, l'énergie passe deux fois entièrement de la forme cinétique à la forme potentielle : aux deux extrémités, $E_c = 0$ et $E_p = E$ ; aux deux passages par le centre, l'inverse. Chaque forme d'énergie oscille donc à la fréquence $2f_0$, pas $f_0$. La position où les deux se partagent également se trouve en écrivant $E_p = E/2$ :

Une valeur remarquable, indépendante du système : c'est toujours à $71\ \%$ de l'amplitude que l'énergie se partage en deux moitiés égales.

Fixer $X_m$ et $\varphi$. Les conditions initiales $x(0) = x_0$ et $v(0) = v_0$ donnent, à partir de $x(t) = X_m\cos(\omega_0 t + \varphi)$ :

d'où

Quatre cas se retiennent sans calcul et servent de contrôle : lâché sans vitesse depuis $x_0 > 0$, $\varphi = 0$ ; lâché sans vitesse depuis $x_0 < 0$, $\varphi = \pi$ ; lancé depuis l'équilibre vers les $x$ positifs, $\varphi = -\pi/2$ ; lancé depuis l'équilibre vers les $x$ négatifs, $\varphi = +\pi/2$. Attention : $\tan\varphi$ ne détermine $\varphi$ qu'à $\pi$ près — c'est le signe de $x_0$ qui tranche, en vérifiant que $\cos\varphi$ a le bon signe.

Le ressort vertical : rien ne change, sauf l'origine. Suspendue, la masse s'immobilise à un allongement statique $x_{\text{éq}} = mg/k$. En repérant la position à partir de cette nouvelle origine, le poids disparaît de l'équation : il est exactement compensé par la tension supplémentaire du ressort. On retrouve $\ddot{X} + \omega_0^{2}X = 0$ avec le même $\omega_0 = \sqrt{k/m}$. La période d'un oscillateur vertical est celle de l'oscillateur horizontal ; seule la position d'équilibre a bougé. C'est un résultat contre-intuitif, et un classique d'oral.

---

Le pendule simple : un second oscillateur, sous condition. Une masse ponctuelle au bout d'un fil inextensible de longueur $\ell$, sans masse. En projetant la deuxième loi de Newton sur la direction orthoradiale, on obtient

Cette équation n'est pas celle d'un oscillateur harmonique : $\sin\theta$ n'est pas proportionnel à $\theta$. Mais le développement limité vu en mathématiques donne $\sin\theta = \theta - \frac{\theta^{3}}{6} + o(\theta^{4})$, donc pour de petits angles en radians :

Deux remarques décisives. D'abord, la masse a disparu : la période d'un pendule ne dépend pas de la masse suspendue, seulement de sa longueur et du champ de pesanteur. Ensuite, l'approximation exige des radians — $\sin\theta \approx \theta$ est faux en degrés, et c'est une erreur qui se voit d'un facteur $57$.

Jusqu'où l'approximation tient-elle ? La période réelle croît avec l'amplitude. La formule de Borda, qu'on admet ici, en donne le premier terme correctif :

À $\theta_0 = 10° = 0{,}175$ rad, l'écart relatif vaut $\theta_0^{2}/16 = 0{,}0019$, soit $+0{,}19\ \%$ : négligeable devant l'incertitude d'un chronométrage manuel. À $30°$, il monte à $1{,}7\ \%$ — mesurable. L'isochronisme n'est donc pas une loi de la nature : c'est une approximation dont on sait chiffrer le domaine de validité, et savoir le chiffrer vaut mieux que de la réciter.

Énoncé. Un chariot de masse $m = 0{,}250$ kg glisse sans frottement sur un banc à coussin d'air horizontal, relié à un ressort de raideur $k = 25$ N/m. On l'écarte de $X_m = 4{,}0$ cm de sa position d'équilibre et on le lâche sans vitesse initiale, à l'instant $t = 0$.

1. Calculer la pulsation propre, la période propre et la fréquence propre.
2. Calculer l'énergie mécanique et la vitesse maximale du chariot.
3. En quelle position l'énergie cinétique est-elle égale à l'énergie potentielle ?
4. Écrire $x(t)$.
5. On remplace le dispositif par un pendule simple de longueur $\ell = 0{,}60$ m, écarté de $\theta_0 = 10°$. Calculer sa période, puis l'écart à la formule des petits angles donné par la formule de Borda $T \approx T_0(1 + \theta_0^{2}/16)$. On donne $g = 9{,}81$ $\mathrm{m\cdot s^{-2}}$.

---

1. Les trois grandeurs du système.

Contrôle d'homogénéité. $k$ en $\mathrm{N\cdot m^{-1}} = \mathrm{kg\cdot s^{-2}}$, donc $k/m$ en $\mathrm{s^{-2}}$ et sa racine en $\mathrm{s^{-1}}$. $\checkmark$ Aucune de ces trois valeurs ne dépend de l'amplitude : elles sont fixées par le chariot et le ressort, un point c'est tout.

2. Énergie et vitesse maximale. L'amplitude en unités du système international vaut $X_m = 4{,}0 \times 10^{-2}$ m.

Contrôle par l'autre chemin. $\frac{1}{2}mv_{\max}^{2} = \frac{1}{2}\times0{,}250\times0{,}40^{2} = \frac{1}{2}\times0{,}250\times0{,}16 = 2{,}0\times10^{-2}$ J. On retrouve exactement $E$. $\checkmark$ Les deux expressions de l'énergie coïncident : c'est la conservation, vérifiée numériquement.

3. Le partage de l'énergie. On veut $E_c = E_p$, donc $E_p = E/2$ :

Soit $\pm 2{,}8$ cm, ce qui est bien $X_m/\sqrt{2} = 4{,}0/1{,}414 = 2{,}83$ cm. $\checkmark$ Le chariot passe donc quatre fois par période par une position où les deux énergies sont égales.

4. L'équation horaire. Le chariot est lâché sans vitesse depuis $x_0 = +X_m$ : l'amplitude est directement $X_m$, et la phase à l'origine est nulle, puisque $\cos(0) = 1$ donne bien $x(0) = X_m$ et $v(0) = -X_m\omega_0\sin(0) = 0$.

5. Le pendule.

Sur dix oscillations, un chronomètre lirait environ $15{,}5$ s — c'est ainsi qu'on mesure une période au laboratoire, pour diluer le temps de réaction sur dix mesures.

Correction de Borda. On convertit d'abord l'angle : $\theta_0 = 10° = 10 \times \dfrac{\pi}{180} = 0{,}1745$ rad. Alors

soit un écart relatif de $\mathbf{+0{,}19\ \%}$, et une période réelle $T \approx 1{,}554 \times 1{,}0019 = 1{,}557$ s. L'écart, trois millisecondes, est très inférieur à l'incertitude d'un chronométrage manuel : à $10°$, l'approximation des petits angles est excellente. À $30°$ en revanche, $\theta_0 = 0{,}524$ rad et l'écart monterait à $1{,}7\ \%$, soit $27$ ms — parfaitement mesurable sur dix périodes.

Contrôle général. Quatre réflexes. (a) Convertir en unités du système international AVANT tout calcul — centimètres en mètres, degrés en radians. (b) Vérifier l'homogénéité de chaque racine carrée : $m/k$ et $\ell/g$ sont des temps au carré, $k/m$ et $g/\ell$ des inverses de temps au carré. (c) Recalculer l'énergie par les deux chemins, cinétique au centre et potentielle au bord : elles doivent coïncider. (d) Se demander si la réponse dépend de l'amplitude : la période, non ; l'énergie et la vitesse maximale, oui.

Figure (fig.physics.harmonic-oscillator, SVG programmatique à produire) : trois bandes empilées, partageant le même axe des temps.

• Bande du haut — le dispositif et ses positions remarquables. Un banc horizontal, un mur à gauche, un ressort dessiné en zigzag, un chariot. Trois vignettes côte à côte, à la même échelle : à gauche le chariot en $x = +X_m$, ressort étiré au maximum, flèche de force pointant vers le centre et légende « vitesse nulle, énergie toute potentielle » ; au centre le chariot en $x = 0$, ressort à sa longueur naturelle, flèche de vitesse la plus longue et légende « force nulle, énergie toute cinétique » ; à droite le chariot en $x = -X_m$, symétrique de la première. Une cote sous l'axe marque $X_m/\sqrt{2} \approx 0{,}71\,X_m$ avec la mention « ici, les deux énergies sont égales ».
• Bande du milieu — les courbes horaires. Repère avec le temps en abscisse, gradué en fractions de $T_0$ ($0$, $T_0/4$, $T_0/2$, $3T_0/4$, $T_0$), et deux courbes superposées dans des styles de trait distincts et étiquetées en toutes lettres : la position $x(t) = X_m\cos(\omega_0 t)$ et la vitesse $v(t) = -X_m\omega_0\sin(\omega_0 t)$, chacune avec sa propre échelle verticale annotée à gauche et à droite. Un quart de période est hachuré et légendé « la vitesse est en avance d'un quart de période sur la position ». La période $T_0$ est cotée entre deux maximums successifs.
• Bande du bas — les énergies. Même axe des temps. Trois tracés : $E_c(t)$, $E_p(t)$, et leur somme, cette dernière en trait plein horizontal étiqueté « énergie mécanique constante ». Les deux premières sont des sinusoïdes de période $T_0/2$, en opposition, avec la mention explicite « chaque énergie oscille deux fois plus vite que la position ». Quatre points marqués sur l'axe des temps indiquent les instants où $E_c = E_p$, reliés par un trait fin à la cote $0{,}71\,X_m$ de la bande du haut.

Ce qu'il faut lire. Les trois bandes racontent le même mouvement dans trois langages : la géométrie du dispositif, les fonctions du temps, et le bilan d'énergie. Le décalage d'un quart de période entre position et vitesse explique pourquoi la vitesse est maximale là où la position est nulle ; le doublement de fréquence des énergies explique pourquoi il y a quatre instants par période où elles s'égalisent ; et la ligne horizontale de la somme est la conservation de l'énergie, rendue visible. Rien ici ne dépend de l'amplitude sauf les échelles verticales : agrandir $X_m$ étire les courbes vers le haut sans jamais changer $T_0$.

La figure en détail : la figure superpose trois bandes qui partagent le même axe des temps. En haut, un chariot relié à un ressort horizontal est dessiné dans trois positions : écarté au maximum d'un côté, où sa vitesse est nulle et son énergie entièrement potentielle ; au centre, où la force de rappel est nulle et l'énergie entièrement cinétique ; puis écarté au maximum de l'autre côté. Une cote indique la position, à environ soixante et onze pour cent de l'amplitude, où les deux énergies sont égales. Au milieu, deux courbes du temps sont tracées dans des styles de trait différents et étiquetées en toutes lettres : la position, qui part de son maximum et oscille en cosinus, et la vitesse, qui part de zéro et oscille en sinus changé de signe ; la vitesse est en avance d'un quart de période sur la position, et la période est cotée entre deux maximums successifs. En bas, l'énergie cinétique et l'énergie potentielle sont tracées sur le même axe des temps : ce sont deux sinusoïdes en opposition, de période moitié de celle du mouvement, et leur somme est une droite horizontale qui matérialise la conservation de l'énergie mécanique.

Les unités, et le contrôle qu'elles offrent. $k$ s'exprime en $\mathrm{N\cdot m^{-1}}$, c'est-à-dire $\mathrm{kg\cdot s^{-2}}$ : le rapport $m/k$ est donc en $\mathrm{s^{2}}$, et sa racine en secondes. Même contrôle pour le pendule, $\ell/g$ en $\mathrm{m}/(\mathrm{m\cdot s^{-2}}) = \mathrm{s^{2}}$. Une période qui sort en $\mathrm{s^{-1}}$ signale une racine à l'envers, avant même de regarder les chiffres. Les angles sont toujours en radians dès qu'ils entrent dans un sinus développé ou dans la formule de Borda.

Ce qui est donné, ce qui est su. Sont exigibles et jamais rappelés : $\omega_0 = \sqrt{k/m}$, $T_0 = 2\pi/\omega_0$, $E = \frac{1}{2}kX_m^{2}$, $\sin\theta \approx \theta$ aux petits angles. Sont toujours donnés dans un énoncé : la valeur de $g$, et la formule de Borda si on en a besoin.

Ce qui n'est pas dans cette leçon. L'amortissement et les trois régimes qu'il produit, traités dans la leçon suivante du cycle sur l'oscillateur amorti ; les oscillations forcées et la résonance ; le portrait de phase, les oscillateurs couplés ; et l'étude exacte du pendule aux grands angles, dont seule la première correction est citée pour chiffrer le domaine de validité.

1. Confondre pulsation et fréquence. $\omega_0$ est en $\mathrm{rad\cdot s^{-1}}$, $f_0$ en $\mathrm{Hz}$, et $\omega_0 = 2\pi f_0$ : elles diffèrent d'un facteur $6{,}28$. Dans l'exemple guidé, $\omega_0 = 10{,}0\ \mathrm{rad\cdot s^{-1}}$ tandis que $f_0 = 1{,}59$ Hz. Répondre « $10$ Hz » est une erreur de facteur $2\pi$, et l'unité écrite l'aurait évitée.
2. Écrire $T_0 = 2\pi\sqrt{k/m}$. C'est la racine inversée. Le contrôle est immédiat : $k/m$ est en $\mathrm{s^{-2}}$, sa racine en $\mathrm{s^{-1}}$ — on obtiendrait une période en inverse de seconde. Retiens que la période augmente avec la masse.
3. Appliquer la solution sinusoïdale au pendule pour de grands angles. L'équation exacte contient $\sin\theta$, pas $\theta$ : elle n'est harmonique qu'après approximation. À $30°$, la période réelle dépasse déjà $T_0$ de $1{,}7\ \%$. Toujours vérifier l'ordre de grandeur de $\theta_0$ avant d'écrire $2\pi\sqrt{\ell/g}$.
4. Utiliser des degrés dans $\sin\theta \approx \theta$ ou dans la formule de Borda. L'approximation vient d'un développement limité, qui n'est valable qu'en radians. Écrire $\theta_0^{2}/16$ avec $\theta_0 = 10$ donnerait une correction de $625\ \%$ au lieu de $0{,}19\ \%$.
5. Croire que la période dépend de l'amplitude. Elle n'en dépend pas — c'est l'isochronisme, et c'est le contenu physique de la leçon. Ce qui dépend de l'amplitude, ce sont l'énergie (au carré) et la vitesse maximale (linéairement).
6. Croire que la période d'un pendule dépend de la masse. La masse se simplifie dans l'équation du mouvement : seules $\ell$ et $g$ interviennent. Un pendule de plomb et un pendule de liège de même longueur battent la même seconde — dans le vide.
7. Penser qu'un ressort vertical oscille plus lentement. Le poids ne fait que déplacer la position d'équilibre, de $mg/k$ ; en repérant depuis cette nouvelle origine, l'équation et donc $\omega_0$ sont inchangés. La période est la même qu'à l'horizontale.
8. Oublier de convertir les centimètres. Une amplitude de $4{,}0$ cm vaut $4{,}0\times10^{-2}$ m : dans $E = \frac{1}{2}kX_m^{2}$, l'oubli fait une erreur de $10^{4}$ sur l'énergie. Convertis avant, pas après.
9. Confondre la période du mouvement et celle des énergies. $E_c$ et $E_p$ oscillent à $T_0/2$, pas à $T_0$ : lire une période sur une courbe d'énergie et l'appeler $T_0$ divise le résultat par deux.
10. Déterminer $\varphi$ par la seule tangente. $\tan\varphi$ laisse deux valeurs possibles, distantes de $\pi$. Il faut vérifier le signe de $\cos\varphi$ à l'aide de $x_0$ — sans quoi on décrit un mouvement en opposition de phase avec le mouvement réel.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon tire un système masse-ressort ou un pendule et l'une de ces questions : période ou fréquence propre ; vitesse maximale ou énergie mécanique ; position où les deux énergies s'égalisent ; période d'un pendule, éventuellement donnée comme au laboratoire par « $N$ oscillations en $\Delta t$ » ; ou correction de grand angle par la formule de Borda, toujours fournie dans l'énoncé. La pulsation propre y est toujours une étape, jamais la réponse — précisément pour qu'on ne puisse pas la confondre avec une fréquence. Un modèle voisin, à choix multiples, propose quatre valeurs de même unité (le piège n° 1), ou six expressions en $k$ et $m$ dont une seule est homogène à une période (le piège n° 2), ou encore la phase à l'origine pour des conditions initiales tirées.

Énoncé type. Un mobile de masse $m = 0{,}500$ kg glisse sans frottement sur un rail horizontal, relié à un ressort de raideur $k = 32{,}0$ $\mathrm{N\cdot m^{-1}}$. On l'écarte de $3{,}0$ cm de sa position d'équilibre et on le lâche sans vitesse initiale. Déterminer la vitesse maximale atteinte par le mobile, en $\mathrm{m\cdot s^{-1}}$.

Corrigé complet.

1. Convertir. L'amplitude vaut $X_m = 3{,}0\ \mathrm{cm} = 3{,}0\times10^{-2}$ m. La masse et la raideur sont déjà en unités du système international.

2. Calculer la pulsation propre.

3. En déduire la vitesse maximale. Elle est atteinte au passage par la position d'équilibre, où toute l'énergie est cinétique :

Réponse : $v_{\max} = 0{,}24\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$.

4. Contrôle par l'énergie, chemin indépendant. L'énergie mécanique vaut

Au centre, cette énergie est entièrement cinétique :

5. Contrôle de vraisemblance. La période vaut $T_0 = 2\pi/8{,}00 = 0{,}785$ s : le mobile parcourt $4 \times 3{,}0 = 12$ cm par période, soit une vitesse moyenne de $0{,}12/0{,}785 \approx 0{,}15\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$. La vitesse maximale doit être supérieure à cette moyenne, et du même ordre : $0{,}24\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ convient. Une réponse de $2{,}4$ ou de $0{,}024$ aurait été écartée par ce seul raisonnement.

Auto-contrôle. Ai-je converti l'amplitude en mètres ? Ai-je écrit $\sqrt{k/m}$ et non $\sqrt{m/k}$ pour la pulsation ? Mon résultat porte-t-il l'unité $\mathrm{m\cdot s^{-1}}$ — et non $\mathrm{rad\cdot s^{-1}}$, qui serait celle de $\omega_0$ ? Et ai-je vérifié par le bilan d'énergie, qui n'emprunte pas le même chemin ?