Le circuit RC : charger un condensateur prend un temps

Jusqu'ici, en électricité, tout était instantané. On fermait un interrupteur, la loi d'Ohm donnait l'intensité, les lois des circuits donnaient les tensions, et c'était réglé : le régime permanent s'installait sans qu'on se demande combien de temps il avait mis à s'installer. Cette leçon ouvre l'intervalle qu'on avait passé sous silence — ce qui se passe entre la fermeture de l'interrupteur et l'équilibre final. On l'appelle le régime transitoire.

Le problème. Un flash d'appareil photo doit délivrer beaucoup d'énergie en un instant très court, puis se recharger lentement. Un minuteur d'escalier doit éteindre la lumière au bout d'une durée choisie. Un capteur doit ignorer les parasites très brefs et ne réagir qu'aux signaux qui durent. Ces trois besoins ont la même réponse : un composant capable de stocker des charges électriques et de les rendre, associé à un conducteur ohmique qui règle la vitesse à laquelle il se remplit et se vide. Ce composant est le condensateur, et l'association des deux forme un circuit RC.

Le condensateur. Il est fait de deux plaques conductrices, appelées armatures, séparées par un isolant. Aucune charge ne traverse l'isolant : quand on branche le condensateur, des charges s'accumulent sur une armature et un nombre égal de charges opposées sur l'autre. On note $q$ la charge portée par l'armature reliée à la borne positive, en coulombs. Cette charge est proportionnelle à la tension entre les armatures.

Relation du condensateur. $q = C\,u_C$, où $u_C$ est la tension aux bornes du condensateur en volts, $q$ la charge en coulombs, et $C$ la capacité du condensateur, en farads (symbole F).

Le farad est une unité énorme : les condensateurs des travaux pratiques se comptent en microfarads (µF, millionièmes de farad) ou en nanofarads (nF, milliardièmes de farad). Retenir ces préfixes n'est pas un détail : c'est là que se perdent la moitié des résultats.

Le lien entre charge et courant. L'intensité du courant est le débit de charge : la quantité de charge qui traverse une section du circuit par unité de temps. Autrement dit, l'intensité est la dérivée de la charge par rapport au temps, ce qui s'écrit $i = \dfrac{\mathrm dq}{\mathrm dt}$. En remplaçant $q$ par $C\,u_C$, avec une capacité qui ne change pas au cours du temps :

Cette égalité dit une chose simple et importante : il ne passe du courant que tant que la tension du condensateur varie. Dès que $u_C$ se stabilise, le courant s'annule.

L'équation du circuit. Plaçons en série un générateur idéal de tension continue $E$, un conducteur ohmique de résistance $R$, un condensateur de capacité $C$ initialement déchargé, et un interrupteur que l'on ferme à l'instant $t = 0$. La loi des mailles donne à chaque instant

et en remplaçant l'intensité par son expression :

Voilà une équation différentielle : elle relie une fonction inconnue, $u_C$, à sa propre dérivée. Au lycée, on ne la résout pas ; on donne sa solution et on vérifie qu'elle convient. C'est parfaitement rigoureux : une fonction qui satisfait l'équation et la condition initiale est bien la solution du problème.

Solution de la charge. Avec un condensateur initialement déchargé,

$$u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad \tau = R\,C.$$

Vérifions-la, en deux points. D'abord la condition initiale : à $t = 0$, l'exponentielle vaut $1$, donc $u_C(0) = E(1 - 1) = 0$ volt — le condensateur est bien déchargé au départ. Ensuite l'équation : la dérivée de $u_C$ vaut $\dfrac{\mathrm du_C}{\mathrm dt} = \dfrac{E}{\tau}\,e^{-t/\tau}$. En reportant, et comme $R\,C = \tau$ :

L'équation est satisfaite à chaque instant. La fonction proposée est donc bien la solution.

Pourquoi une exponentielle, et pas une droite ? Parce que le circuit se freine lui-même. Au départ, $u_C$ vaut zéro, toute la tension du générateur se retrouve aux bornes du conducteur ohmique, le courant est maximal : le condensateur se remplit vite. Mais plus il se remplit, plus $u_C$ monte, moins il reste de tension pour le conducteur ohmique, plus le courant faiblit — donc plus le remplissage ralentit. Un phénomène dont la vitesse est proportionnelle à ce qui reste à faire est exactement ce que décrit une fonction exponentielle. C'est la même mécanique que le refroidissement d'un café ou la décroissance radioactive, et c'est pourquoi la fonction exponentielle, rencontrée en mathématiques, réapparaît ici.

Tout le comportement du circuit tient dans un seul nombre, le produit $\tau = R\,C$, que l'on nomme constante de temps du circuit. La lettre grecque $\tau$ se lit « tau ».

C'est une durée, et cela se démontre. Un ohm est un volt par ampère, puisque $u = R\,i$ ; un farad est un coulomb par volt, puisque $q = C\,u$. Le produit vaut donc

et comme une charge est une intensité multipliée par une durée, un coulomb divisé par un ampère est bien une seconde. Cette vérification n'est pas décorative : elle rattrape la plupart des erreurs de préfixe. Une constante de temps qui sort en milliers de secondes pour un condensateur de quelques microfarads signale presque toujours une conversion oubliée.

Première lecture graphique : la tangente à l'origine. La pente de la courbe de charge à l'instant initial vaut $\dfrac{\mathrm du_C}{\mathrm dt}(0) = \dfrac{E}{\tau}$. Si la charge se poursuivait à cette vitesse-là sans jamais ralentir, la tension atteindrait la valeur finale $E$ au bout d'une durée exactement égale à $\tau$. Autrement dit : la tangente à la courbe à l'origine coupe l'asymptote horizontale d'ordonnée $E$ à l'instant $t = \tau$. C'est l'outil numéro un pour lire une constante de temps sur un enregistrement — on trace la tangente au départ, on trace l'horizontale de la valeur finale, on lit l'abscisse de leur intersection. Comme la charge ralentit en réalité, la courbe reste toujours en dessous de cette tangente.

Deuxième lecture graphique : le repère à $63$ %. À l'instant $t = \tau$, l'exponentielle vaut $e^{-1} \approx 0{,}368$, donc

La constante de temps est donc l'instant où la tension atteint environ $63$ % de sa valeur finale. On lit $0{,}63\,E$ sur l'axe vertical, on descend sur la courbe, on lit l'abscisse : c'est $\tau$. Les deux méthodes doivent donner le même résultat, et se contrôlent l'une l'autre.

Le repère à $5\tau$ : quand est-ce fini ? La tension tend vers $E$ sans jamais l'atteindre exactement, ce qui est mathématiquement vrai et pratiquement sans intérêt. On convient donc que la charge est terminée au bout de cinq constantes de temps : à $t = 5\tau$, l'exponentielle vaut $e^{-5} \approx 0{,}0067$, la tension a atteint plus de $99$ % de $E$, et aucun instrument de travaux pratiques ne distingue la différence. Voici les jalons à connaître.

La décharge. On charge le condensateur, puis on le débranche du générateur et on le relie seulement au conducteur ohmique. La loi des mailles devient $u_R + u_C = 0$, l'équation devient $R\,C\,\dfrac{\mathrm du_C}{\mathrm dt} + u_C = 0$, et la solution, avec une tension initiale $E$, est

On la vérifie de la même façon : à $t = 0$ elle vaut bien $E$, et sa dérivée vaut $-\dfrac{E}{\tau}\,e^{-t/\tau}$, si bien que $R\,C$ multiplié par cette dérivée, ajouté à $u_C$, donne zéro. La constante de temps est la même qu'à la charge : ce sont les mêmes composants. À $t = \tau$, il reste environ $37$ % de la tension initiale — et non $63$ %. La tangente à l'origine, ici, coupe l'axe des temps à l'instant $t = \tau$.

Ce qui est continu, ce qui ne l'est pas. La charge $q = C\,u_C$ ne peut pas sauter d'une valeur à une autre : il faudrait faire passer une quantité finie de charge en une durée nulle, donc un courant infini. La tension aux bornes du condensateur est donc continue : juste après la fermeture de l'interrupteur, elle vaut encore zéro. L'intensité, elle, n'a aucune raison d'être continue : elle vaut zéro avant la fermeture et, juste après, la loi des mailles avec $u_C = 0$ donne $u_R = E$, donc

L'intensité fait un saut, puis décroît selon $i(t) = \dfrac{E}{R}\,e^{-t/\tau}$. Placer la bonne grandeur du bon côté est l'une des trois erreurs les plus fréquentes du chapitre.

Le régime permanent. Une fois la charge terminée, $u_C$ ne varie plus, donc $i = 0$ : plus aucun courant ne circule, et la loi des mailles donne $u_C = E$. Un condensateur chargé se comporte, en régime permanent, comme un interrupteur ouvert. La charge stockée vaut alors $Q = C\,E$.

Ce qui règle la durée, et ce qui ne la règle pas. Doubler $R$ double $\tau$ : le courant initial est deux fois plus faible, donc le remplissage est deux fois plus lent. Doubler $C$ double aussi $\tau$ : il y a deux fois plus de charge à stocker pour atteindre la même tension. En revanche, doubler la tension $E$ du générateur ne change pas $\tau$ : la tension finale double et le courant initial double dans la même proportion, si bien que la charge dure exactement aussi longtemps. La constante de temps ne dépend que du circuit, jamais de ce qu'on lui applique.

Ce que cette leçon ne fait pas. On n'a pas résolu l'équation différentielle : on a vérifié une solution donnée, ce que le programme demande. On ne traite ni les circuits comportant une bobine, ni le régime sinusoïdal, ni l'énergie stockée par le condensateur : ces sujets relèvent d'autres parties du programme ou de l'enseignement supérieur.

Énoncé. Un circuit comporte, en série, un générateur idéal de tension continue $E = 6{,}0$ V, un conducteur ohmique de résistance $R = 10$ kΩ, un condensateur de capacité $C = 22$ µF initialement déchargé et un interrupteur, fermé à l'instant $t = 0$.

Questions. 1. Calculer la constante de temps du circuit. 2. Calculer l'intensité juste après la fermeture. 3. Au bout de quelle durée la charge peut-elle être considérée comme terminée, et quelle charge le condensateur porte-t-il alors ? 4. Calculer la tension aux bornes du condensateur à l'instant $t = \tau$. 5. On décharge ensuite le condensateur dans le même conducteur ohmique : quelle tension reste-t-il au bout de $\tau$ ?

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1. La constante de temps. On convertit d'abord tout en unités du système international :

Contrôle d'unité : des ohms multipliés par des farads donnent des secondes, et le résultat, un peu plus de deux dixièmes de seconde, est bien l'ordre de grandeur d'un montage de travaux pratiques.

2. L'intensité initiale. Juste après la fermeture, la tension du condensateur est continue et vaut encore zéro, donc toute la tension du générateur se retrouve aux bornes du conducteur ohmique :

C'est la valeur maximale de l'intensité dans ce circuit ; elle décroît ensuite.

3. Fin de la charge et charge stockée. La charge est considérée comme terminée au bout de cinq constantes de temps :

À cet instant, le courant est pratiquement nul et la tension du condensateur vaut pratiquement $E$. La charge portée par l'armature positive vaut alors

Attention à l'unité : la réponse est une charge, en coulombs — pas une capacité, en farads.

4. La tension au bout d'une constante de temps. On applique la solution de la charge à $t = \tau$ :

Soit environ $63$ % des $6{,}0$ V du générateur : c'est le repère à connaître. Sur un enregistrement, on lirait $\tau$ en cherchant l'instant où la courbe passe par $3{,}79$ V, ou bien en traçant la tangente à l'origine — de pente $\dfrac{E}{\tau} = \dfrac{6{,}0}{0{,}22} \approx 27$ volts par seconde — et en repérant où elle coupe l'horizontale d'ordonnée $6{,}0$ V. Les deux constructions donnent la même abscisse, $0{,}22$ s.

5. La décharge. Les composants n'ont pas changé, donc la constante de temps non plus : $\tau = 0{,}22$ s. La tension décroît selon $u_C(t) = E\,e^{-t/\tau}$, donc au bout de $\tau$ :

Il reste environ $37$ % de la tension initiale. Contrôle immédiat : les résultats des questions 4 et 5 doivent s'additionner pour redonner $E$, puisque $\left(1 - e^{-1}\right) + e^{-1} = 1$. Ici, $3{,}79 + 2{,}21 = 6{,}00$ V. C'est bien le cas.

Ce qu'il faut retenir de la démarche. Convertir avant de calculer ; calculer $\tau$ en premier, puisque tout en dépend ; contrôler l'unité du résultat à chaque étape ; et vérifier l'ordre de grandeur — quelques dixièmes de seconde pour la durée, moins d'un milliampère pour le courant, une centaine de microcoulombs pour la charge.

Figure (fig.physics.rc-circuit, image vectorielle programmatique à produire) : un schéma de circuit, deux courbes et un bandeau de synthèse.

La figure en détail : en haut à gauche, le schéma du circuit, dessiné avec les symboles normalisés — un générateur de tension continue de valeur $E$, un conducteur ohmique de résistance $R$, un condensateur de capacité $C$ représenté par deux traits parallèles, et un interrupteur, le tout en série ; les tensions $u_R$ et $u_C$ sont fléchées, l'intensité $i$ est fléchée dans le sens de parcours du circuit, et une mention rappelle que l'interrupteur est fermé à l'instant zéro.

Au centre, le graphique de la charge : axe horizontal du temps gradué en multiples de la constante de temps, de zéro à six fois cette constante, axe vertical de la tension du condensateur gradué de zéro à $E$. La courbe part de l'origine, monte vite, s'infléchit et s'approche d'une asymptote horizontale d'ordonnée $E$ tracée en pointillés. Trois constructions sont superposées. La première est la tangente à la courbe à l'origine, tracée en trait plein jusqu'à ce qu'elle coupe l'asymptote, avec une flèche verticale descendant de ce point d'intersection vers l'axe des temps, étiquetée « la tangente à l'origine coupe l'asymptote à l'instant $\tau$ ». La deuxième est un trait horizontal tracé à $63$ % de $E$, rejoignant la courbe puis descendant vers la même abscisse, étiqueté « $63$ % de $E$ atteints à l'instant $\tau$ ». La troisième est une zone grisée au-delà de cinq constantes de temps, étiquetée « au-delà de $5\tau$ : plus de $99$ % de $E$, la charge est considérée comme terminée ». La courbe reste visiblement en dessous de la tangente sur tout le graphique.

À droite, le graphique de la décharge, avec les mêmes axes : la courbe part de $E$ et décroît vers zéro, la tangente à l'origine coupe l'axe des temps à l'instant $\tau$, et un repère horizontal tracé à $37$ % de la tension initiale marque la valeur atteinte à cet instant.

En bas, un bandeau en trois cases. Première case : le saut de l'intensité, un petit graphique où le courant vaut zéro avant l'instant de fermeture, saute brutalement à la valeur de $E$ divisée par $R$, puis décroît — sous-titre « l'intensité est discontinue ». Deuxième case : la tension du condensateur au même instant, qui part de zéro sans aucun saut — sous-titre « la tension du condensateur est continue ». Troisième case : trois courbes de charge superposées sur les mêmes axes, l'une pour le circuit de référence, l'une pour une résistance doublée et l'une pour une capacité doublée, toutes trois tendant vers la même tension finale mais avec des constantes de temps différentes — sous-titre « doubler la résistance ou la capacité double la durée ; doubler la tension du générateur ne la change pas ».

Ce qu'il faut lire. Les deux constructions du graphique central donnent la même constante de temps : c'est le contrôle croisé à faire sur tout enregistrement. Le fait que la courbe reste sous sa tangente initiale rend visible le ralentissement du remplissage. Et le bandeau du bas isole les trois confusions les plus coûteuses du chapitre : ce qui saute, ce qui ne saute pas, et ce qui change la durée de charge.

Les unités. Résistance en ohms, capacité en farads, tension en volts, charge en coulombs, intensité en ampères, constante de temps en secondes. Les préfixes du chapitre : kilo pour mille, milli pour un millième, micro pour un millionième, nano pour un milliardième. Conversion à faire avant tout calcul, et retour à l'unité demandée après.

Les ordres de grandeur des travaux pratiques. Conducteurs ohmiques de quelques centaines d'ohms à quelques centaines de kilohms, capacités de quelques nanofarads à quelques centaines de microfarads, générateurs de $3$ à $15$ V. La constante de temps obtenue va typiquement de la milliseconde à la dizaine de secondes : un résultat très en dehors de cette fourchette doit faire relire les conversions.

Ce qui n'est pas au programme de terminale. La résolution formelle de l'équation différentielle, les circuits contenant une bobine, le régime sinusoïdal et les impédances relèvent de l'enseignement supérieur. Ici, on établit l'équation, on vérifie la solution donnée, et on exploite la constante de temps.

1. Confondre la constante de temps et la durée de la charge. Au bout de $\tau$, le condensateur n'est pas chargé : il en est à environ $63$ %. La charge n'est considérée comme terminée qu'au bout de cinq constantes de temps. Dire « le condensateur est chargé au bout de $\tau$ » est l'erreur la plus répandue du chapitre, et elle fausse toutes les questions de durée.
2. Oublier que l'intensité saute alors que la tension du condensateur ne saute pas. Juste après la fermeture, $u_C$ vaut encore zéro — la charge ne peut pas apparaître instantanément — tandis que l'intensité passe d'un coup de zéro à $\dfrac{E}{R}$. Beaucoup d'élèves inversent les deux et font partir le courant de zéro en faisant sauter la tension. Le raisonnement à tenir est toujours le même : la tension du condensateur est continue, donc loi des mailles, donc intensité initiale.
3. Se tromper d'unité sur le produit $R\,C$. Le produit d'ohms par des farads donne des secondes, et rien d'autre. La vérification prend dix secondes : un ohm est un volt par ampère, un farad un coulomb par volt, leur produit est un coulomb par ampère, donc une seconde. Si le résultat est absurde, c'est presque toujours qu'un préfixe n'a pas été converti.
4. Oublier de convertir les microfarads et les kilohms. Multiplier $10$ par $22$ parce que l'énoncé écrit $10$ kΩ et $22$ µF donne $220$, qui n'est ni des secondes ni rien du tout. Il faut $1{,}0 \times 10^{4}$ ohms et $2{,}2 \times 10^{-5}$ farad, ce qui donne $0{,}22$ seconde.
5. Confondre les $63$ % de la charge et les $37$ % de la décharge. En charge, au bout de $\tau$, la tension a atteint $63$ % de sa valeur finale. En décharge, au bout de $\tau$, il reste $37$ % de la tension initiale. Les deux nombres sont complémentaires, mais ils ne répondent pas à la même question.
6. Croire que la tension du générateur change la durée de la charge. La constante de temps ne contient ni $E$ ni la tension finale : elle ne dépend que de $R$ et de $C$. Doubler $E$ double la tension finale et le courant initial, mais la charge dure exactement aussi longtemps.
7. Tracer la tangente ailleurs qu'à l'origine, ou la faire couper le mauvais trait. La construction n'est valable qu'avec la tangente à l'instant initial. En charge, on cherche son intersection avec l'asymptote horizontale d'ordonnée $E$, pas avec l'axe des temps ; en décharge, c'est l'inverse. Une courbe de charge qui passerait au-dessus de sa tangente initiale serait un dessin faux.
8. Répondre une capacité quand on demande une charge. Le produit $C\,E$ est une charge, en coulombs, que l'on exprime le plus souvent en microcoulombs ou en millicoulombs. Le farad est l'unité de la capacité, une propriété du composant, pas de ce qu'il contient à un instant donné.
9. Croire que la constante de temps change entre la charge et la décharge. Ce sont les mêmes composants, donc la même durée caractéristique. Seule la fonction change : une montée d'un côté, une descente de l'autre.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon tire un circuit RC de travaux pratiques — un conducteur ohmique de la série normalisée entre $100$ Ω et quelques centaines de kilohms, une capacité entre le nanofarad et quelques centaines de microfarads, un générateur de $3$ à $15$ V — puis demande, selon la variante : la constante de temps, la durée pratique de charge, l'intensité juste après la fermeture, la charge finale, la tension à un instant multiple de la constante de temps en charge ou en décharge, ou encore l'instant de demi-charge. Un modèle voisin, à affirmations vraies ou fausses, revient sur les repères à $63$ % et à $37$ %, sur la continuité de la tension et la discontinuité de l'intensité, sur l'unité du produit de la résistance par la capacité, et sur l'effet du doublement de chaque grandeur.

Énoncé type. Un circuit comporte, en série, un générateur idéal de tension continue $E$, un conducteur ohmique de résistance $R$, un condensateur de capacité $C$ initialement déchargé et un interrupteur, fermé à l'instant $t = 0$. On donne $E = 12$ V, $R = 10$ kΩ et $C = 4{,}7$ µF. Calculer la tension $u_C$ aux bornes du condensateur à l'instant $t = 141$ ms. Répondre en volts, avec trois chiffres significatifs.

Corrigé complet.

1. Convertir, puis calculer la constante de temps.

2. Situer l'instant demandé par rapport à la constante de temps. C'est le réflexe qui simplifie tout :

3. Appliquer la solution de la charge.

Réponse : la tension vaut environ $11{,}4$ V, soit à peu près $95$ % de la tension du générateur — exactement le repère attendu à trois constantes de temps.

4. Écarter les réponses voisines. Répondre $12$ V, c'est confondre trois constantes de temps avec la fin de la charge : il en faut cinq, et la tension n'atteint jamais exactement celle du générateur. Répondre $7{,}59$ V, c'est avoir calculé à l'instant $\tau$ au lieu de $3\tau$. Répondre $0{,}597$ V, c'est avoir utilisé la formule de la décharge alors que l'énoncé décrit un condensateur initialement déchargé que l'on charge. Et tout résultat supérieur à $12$ V est impossible : en charge, la tension du condensateur ne dépasse jamais celle du générateur.

Auto-contrôle. Quatre questions avant de rendre. Ai-je converti la résistance en ohms et la capacité en farads avant de multiplier ? Ai-je exprimé l'instant demandé comme un multiple de la constante de temps ? Ai-je pris la formule de la charge, celle qui part de zéro et qui monte, et non celle de la décharge ? Et mon résultat est-il compris entre zéro et la tension du générateur, avec la bonne unité ?