Énergie et puissance : combien, et en combien de temps

Deux bouilloires remplissent la même tâche : porter un litre d'eau à ébullition. La première met 3 minutes, la seconde en met 10. Elles transfèrent à peu près la même énergie à l'eau — mais pas dans le même temps. C'est exactement ce que mesure la puissance.

La puissance d'un appareil est l'énergie qu'il transfère par unité de temps :

• $E$ : énergie transférée, en joules (J) ;
• $\Delta t$ : durée du transfert, en secondes (s) ;
• $P$ : puissance, en watts (W), l'unité de puissance du Système international.

Un watt, c'est un joule par seconde. Un appareil de 100 W transfère 100 J chaque seconde, ni plus ni moins. La relation se retourne dans les deux sens :

Le mécanisme à saisir : deux grandeurs différentes, pas deux mots pour la même chose.

Une bouilloire de 2000 W est puissante, mais si elle ne fonctionne que 3 minutes, elle consomme peu. Une petite ampoule de 10 W est peu puissante, mais allumée dix heures d'affilée, elle consomme exactement autant que cette bouilloire ($10 \times 10 = 100$ wattheures dans les deux cas). La puissance seule ne dit rien de la consommation : il faut la multiplier par la durée.

La phrase à retenir : la puissance dit à quelle vitesse, l'énergie dit combien en tout.

Le piège des unités est ici, et nulle part ailleurs. La relation $E = P \times \Delta t$ n'est vraie que si les trois unités sont cohérentes entre elles. Il existe deux jeux d'unités cohérents, et il ne faut jamais les mélanger.

Multiplier des watts par des minutes ne donne ni des joules, ni des kilowattheures : cela ne donne rien du tout. Avant tout calcul, décide dans quel système tu travailles, et convertis tout dedans.

Qu'est-ce qu'un kilowattheure ? C'est l'énergie transférée en une heure par un appareil de un kilowatt. Ce n'est pas une unité de puissance, malgré le « kilowatt » dans son nom : c'est bien une énergie, comme le joule. On peut d'ailleurs passer de l'une à l'autre :

Pourquoi les fournisseurs d'électricité l'utilisent-ils ? Parce que le joule est minuscule à l'échelle d'un logement : un an de consommation d'une famille se compte en dizaines de milliards de joules, mais en quelques milliers de kilowattheures. Le kWh est une unité hors SI, admise pour cet usage.

Conversions utiles.

« Le plus puissant consomme le plus » : faux, et c'est démontrable. Compare un téléviseur et un four :

Le four est 20 fois plus puissant, et pourtant les deux consomment exactement autant, parce que le téléviseur fonctionne 20 fois plus longtemps. Ce qui compte, c'est le produit puissance × durée.

La puissance nominale n'est pas toujours la puissance consommée. La valeur inscrite sur la plaque signalétique est celle pour laquelle l'appareil est conçu, dans ses conditions normales d'utilisation. Un réfrigérateur de 150 W ne fonctionne pas en continu : son moteur s'arrête et redémarre, si bien que sa puissance moyenne sur la journée est plus faible. Un four réglé à mi-puissance ne transfère pas 2000 W. Pour un bilan sur une durée longue, c'est la puissance moyenne qui compte.

Ordres de grandeur de puissance (utiles pour repérer un résultat aberrant). Ce sont des puissances de plaque signalétique, c'est-à-dire celles de l'appareil en marche :

Attention à la ligne du réfrigérateur : ces 100 à 250 W sont la puissance du moteur quand il tourne. Comme il s'arrête et redémarre toute la journée, sa puissance moyenne sur 24 h est bien plus petite — c'est le paragraphe précédent.

Ce qui se calcule au lycée, et ce qui se dit dès maintenant. Le rendement d'une conversion — la part de l'énergie reçue qui sert vraiment à l'usage voulu — se calcule au lycée. Au collège, on ne calcule pas cette part, mais on doit savoir la nommer : une partie de l'énergie reçue par un appareil est toujours transférée à l'extérieur sous forme thermique, et c'est pour cela que les transferts entrant et sortant ne sont pas égaux. On l'écrit avec une chaîne énergétique, sans aucun chiffre. Pour une bouilloire :

énergie électrique reçue → énergie thermique de l'eau + énergie thermique perdue (vapeur, parois, air de la cuisine).

Ce qui compte, c'est le + de droite : l'énergie ne disparaît pas, mais une partie s'en va ailleurs que là où on la voulait.

Un four électrique de puissance $P = 2000$ W fonctionne pendant $\Delta t = 45$ min. Le tarif de l'électricité est de 0,250 € par kilowattheure.

1. Calculer l'énergie en joules (système SI). Il faut des secondes :

Soit, en kilojoules, $E = 5400$ kJ, ou en mégajoules, $E = 5{,}40$ MJ.

2. Calculer la même énergie en kilowattheures (système domestique). Il faut des kilowatts et des heures :

3. Vérifier la cohérence des deux résultats.

Les deux calculs concordent : c'est la même énergie, écrite dans deux unités. Ce contrôle est le meilleur moyen de repérer une conversion ratée.

4. Calculer le coût. Le tarif s'applique aux kilowattheures, donc on part du résultat de la question 2 :

soit 0,38 €. Trente-huit centimes pour trois quarts d'heure de four.

5. Retourner la relation. Combien de temps ce four devrait-il fonctionner pour consommer 1 kWh ?

On retrouve bien la définition du kilowattheure : un appareil de 2 kW en consomme un en une demi-heure.

6. Interpréter. Ce four consomme en 45 minutes autant qu'une ampoule LED de 10 W allumée pendant $1500\ \text{Wh} \div 10\ \text{W} = 150$ h, soit plus de six jours d'affilée. Ce n'est pas une raison d'oublier d'éteindre la lumière — mais cela dit où se joue vraiment la consommation d'un logement : du côté de ce qui chauffe.

Figure (fig.physics.energy-power, SVG programmatique à produire) : un unique repère où l'énergie apparaît comme une aire, pour comparer le téléviseur et le four.

• Axes. En abscisse, la durée $\Delta t$ en heures, de 0 à 10, graduée toutes les heures. En ordonnée, la puissance $P$ en watts, de 0 à 2000, graduée tous les 500 W. Quadrillage léger.
• Rectangle A — le téléviseur : base de 0 à 10,0 h, hauteur 100 W. Un rectangle très aplati, occupant toute la largeur du repère sur un vingtième de sa hauteur. Rempli en aplat uni, étiqueté « téléviseur · 100 W × 10,0 h = 1,00 kWh ».
• Rectangle B — le four : base de 0 à 0,500 h, hauteur 2000 W. Un rectangle très étroit et très haut, occupant toute la hauteur du repère sur un vingtième de sa largeur. Rempli de hachures diagonales (pour se distinguer sans dépendre de la couleur), étiqueté « four · 2000 W × 0,500 h = 1,00 kWh ».
• Sous le repère, deux mentions encadrées de même taille : « aire A = 1,00 kWh » et « aire B = 1,00 kWh », reliées par un signe « = » bien visible.
• En marge, la formule rappelée : « $E = P \times \Delta t$ : l'énergie est l'aire du rectangle ».

Ce qu'il faut lire. Les deux rectangles n'ont rien en commun : l'un est plat et large, l'autre haut et mince. Pourtant leurs aires sont égales. C'est toute la leçon en une image : la hauteur seule (la puissance) ne dit pas la consommation ; c'est le produit hauteur × largeur qui la donne. Un appareil vingt fois plus puissant utilisé vingt fois moins longtemps coûte exactement pareil.

La figure en détail : un repère avec la durée en heures en abscisse, de 0 à 10, et la puissance en watts en ordonnée, de 0 à 2000. Deux rectangles y sont tracés. Le premier, en aplat uni, représente un téléviseur : il s'étend de 0 à 10 heures en largeur et monte à 100 watts, donc très plat et très large ; son aire vaut 1,00 kilowattheure. Le second, hachuré, représente un four : il s'étend de 0 à 0,5 heure en largeur et monte à 2000 watts, donc très étroit et très haut ; son aire vaut également 1,00 kilowattheure. Sous le repère, deux cadres de même taille affichent les deux aires, reliées par un signe égal. En marge figure la relation : l'énergie est égale à la puissance multipliée par la durée, c'est-à-dire l'aire du rectangle.

Domaine de validité. Ces relations valent pour une puissance constante pendant toute la durée $\Delta t$. Si la puissance varie (un réfrigérateur qui démarre et s'arrête), elles restent utilisables avec la puissance moyenne sur la période — et c'est ce que fait un énoncé qui écrit « de puissance moyenne ».

Équivalences à connaître. $1\ \text{W} = 1\ \text{J/s}$ ; $1\ \text{kW} = 1000\ \text{W}$ ; $1\ \text{kJ} = 1000\ \text{J}$ ; $1\ \text{kWh} = 3{,}6 \times 10^{6}\ \text{J}$ ; $1\ \text{h} = 3600\ \text{s}$ ; $1\ \text{min} = 60\ \text{s}$.

Pour un coût. Le prix se calcule toujours à partir de l'énergie en kilowattheures : $\text{coût} = E_{\text{kWh}} \times \text{prix du kWh}$. Le prix du kWh est une donnée de l'énoncé, jamais une valeur à connaître : il change selon le contrat et selon l'année.

1. Confondre le watt et le kilowattheure. Le watt mesure une puissance, le kilowattheure une énergie. « Ce four consomme 2000 W » est incorrect : il a une puissance de 2000 W, et il consomme 1,50 kWh en 45 minutes. Test simple : si la phrase ne mentionne aucune durée, elle ne peut pas parler d'énergie.
2. Multiplier des watts par des minutes. $2000 \times 45$ ne vaut ni 90 000 J, ni 90 000 kWh : cela ne vaut rien. Convertis la durée en secondes pour des joules, ou la puissance en kilowatts et la durée en heures pour des kilowattheures.
3. Croire qu'un appareil puissant consomme forcément plus. Le téléviseur de 100 W allumé 10 h consomme autant que le four de 2000 W utilisé 30 min. La durée compte autant que la puissance.
4. Écrire $P = E \times \Delta t$. Contrôle par les unités : des joules multipliés par des secondes ne donnent pas des watts. La puissance est un quotient : une énergie divisée par une durée.
5. Croire que le kilowattheure est une puissance. Son nom trompe. C'est une énergie, comme le joule, et elle vaut 3,6 millions de joules.
6. Prendre la puissance nominale pour la puissance réellement consommée. Un réfrigérateur ne tourne pas 24 h sur 24 ; un appareil en veille ne consomme pas sa puissance nominale. Un énoncé qui écrit « de puissance moyenne » te prévient qu'il a déjà fait la moyenne pour toi.
7. Mélanger 1 h 30 min et 1,30 h. 1 h 30 min vaut 1,5 h : les minutes se comptent par 60, pas par 100. Convertis-les en fraction d'heure ($30 / 60 = 0{,}5$).
8. Oublier de multiplier par le nombre de jours. Dans un calcul de facture mensuelle, la durée totale est « la durée quotidienne × le nombre de jours ». C'est l'étape que l'on saute le plus souvent.

Exercice type. L'exercice tire un appareil domestique et une durée cohérente avec lui. Selon les variantes, il demande :

• l'énergie en kWh ;
• l'énergie en kJ, à partir d'une durée donnée en minutes ;
• la puissance, ou la durée ;
• le coût sur 30 jours, au tarif donné dans l'énoncé ;
• la comparaison de deux appareils.

Réponse à 3 chiffres significatifs, dans l'unité demandée.

Énoncé. Un radiateur électrique de puissance 1500 W fonctionne 6,00 h par jour pendant 30 jours. Le tarif de l'électricité est de 0,250 € par kilowattheure. Calculer le coût de l'électricité consommée, en euros, arrondi au centime.

Correction complète.

Étape 1 — choisir le jeu d'unités. On veut un coût, donc des kilowattheures : on travaille en kW et en heures.

Étape 2 — calculer la durée totale. Le piège est ici : ce n'est pas 6,00 h, c'est 6,00 h par jour, pendant 30 jours.

Étape 3 — calculer l'énergie consommée.

Étape 4 — calculer le coût.

soit 67,50 €.

Étape 5 — interpréter. 67,50 € pour un seul radiateur sur un mois d'hiver. En le faisant fonctionner 3,00 h par jour au lieu de 6,00 h, l'énergie tomberait à 135 kWh et le coût à 33,75 € : moitié moins, parce que $E$ est proportionnelle à la durée.

Auto-contrôle en deux gestes. Reviens à la puissance : 270 kWh pour 180 h de fonctionnement, cela fait $270 / 180 = 1{,}5$ kWh par heure, c'est-à-dire 1,5 kW — exactement la puissance de départ. Et vérifie la cohérence des unités : des kilowatts multipliés par des heures donnent bien des kilowattheures, que l'on multiplie par un prix en euros par kilowattheure pour obtenir des euros.