Lois des circuits : série et dérivation

Dans la leçon précédente, tu as appris à mesurer une intensité (en ampères, à l'ampèremètre branché en série) et une tension (en volts, au voltmètre branché en dérivation). Reste la vraie question : quand plusieurs dipôles partagent le même circuit, comment ces valeurs se répartissent-elles ? Quatre lois y répondent, et il n'y en a pas une de plus au collège.

Tout dépend d'abord du type de montage.

• Circuit en série : les dipôles forment une seule boucle. Le courant sort du générateur, traverse successivement chaque dipôle, puis revient au générateur. Il n'a aucun autre chemin possible.
• Circuit en dérivation : chaque dipôle est relié directement aux deux bornes du générateur, sur sa propre branche. Le courant se sépare à l'entrée, en un nœud, puis se rassemble à la sortie en un autre nœud.

Un nœud est un point du circuit où trois fils au moins se rejoignent. Une branche est un chemin entre deux nœuds.

Les quatre lois.

Autrement dit : ce qui est le même partout en série, c'est l'intensité ; ce qui est le même partout en dérivation, c'est la tension. Et ce qui s'additionne est chaque fois l'autre grandeur.

Le mécanisme, grandeur par grandeur.

1. Pourquoi l'intensité est la même partout en série ? Parce qu'il n'existe qu'un seul chemin. Les charges ne peuvent ni s'accumuler quelque part dans le fil, ni disparaître en route : tout ce qui entre dans un dipôle en ressort. Le courant ne s'use pas en traversant une lampe — ce que la lampe reçoit, c'est de l'énergie, pas du courant.
2. Pourquoi les tensions s'additionnent-elles en série ? Parce que la tension mesure l'énergie que chaque charge dépose en traversant un dipôle. Sur un tour complet de boucle, une charge reçoit du générateur exactement ce qu'elle redistribue à tous les autres dipôles. D'où : la tension du générateur est la somme des tensions des autres dipôles.
3. Pourquoi les intensités s'additionnent-elles à un nœud ? Parce que rien ne s'accumule au nœud non plus : tout ce qui y arrive en repart. Le courant principal se partage entre les branches, et le partage est complet.
4. Pourquoi la tension est-elle la même dans toutes les branches en dérivation ? Parce que chaque branche est reliée aux mêmes deux bornes du générateur. Comparer les deux bornes d'une branche, c'est comparer les deux bornes du générateur : c'est la même mesure.

Une phrase pour ne plus se tromper de loi : en série, c'est l'intensité qui est partagée par tous et la tension qui se répartit ; en dérivation, c'est exactement l'inverse.

La tension ne se partage pas également. C'est l'erreur la plus coûteuse du chapitre. Dans un circuit série avec un générateur de 9,0 V et trois dipôles, la réponse « chacun reçoit $9{,}0 / 3 = 3{,}0$ V » est fausse, sauf coïncidence. La loi d'additivité impose seulement que la somme fasse 9,0 V : les valeurs 3,4 V, 4,5 V et 1,1 V la respectent parfaitement. Ce qui décide du partage, c'est la nature de chaque dipôle — et pour un conducteur ohmique, c'est sa résistance : la leçon suivante, la loi d'Ohm, donnera enfin le moyen de calculer ce partage au lieu de le constater.

Ce que l'on ressent dans un montage réel.

• Deux lampes identiques en série brillent moins qu'une seule : la tension du générateur se partage entre elles. Dévisser l'une éteint l'autre, car la boucle unique est coupée.
• Deux lampes identiques en dérivation brillent normalement toutes les deux : chacune reçoit la tension entière du générateur. Dévisser l'une n'éteint pas l'autre, car chaque branche est indépendante. En revanche, le courant fourni par le générateur, lui, double.

C'est pour cette raison que l'installation électrique d'un logement est câblée en dérivation : chaque appareil reçoit les 230 V du réseau et fonctionne indépendamment des autres. C'est aussi pourquoi brancher trop d'appareils sur la même prise fait sauter le disjoncteur : les intensités des branches s'additionnent.

Le court-circuit d'un dipôle. Relie les deux bornes d'une lampe par un simple fil : la lampe s'éteint. Le fil offre au courant un chemin sans obstacle, la tension aux bornes de la lampe tombe à 0 V, et le courant passe presque entièrement par le fil. Court-circuiter le générateur lui-même est autrement plus grave : l'intensité devient très grande, la pile s'échauffe fortement. On ne le fait jamais volontairement.

Un circuit à deux mailles. Prends un générateur, une résistance placée juste après lui, puis deux lampes en dérivation. La résistance est traversée par le courant principal ; chaque lampe n'est traversée que par le courant de sa branche. Ici, les deux montages coexistent : la résistance est en série avec l'ensemble des deux lampes, qui sont en dérivation entre elles. Pour ne pas se perdre, une seule méthode : repérer d'abord les nœuds, puis appliquer à chaque portion la loi qui correspond à son montage.

La loi des mailles, forme générale — relation DONNÉE, outil de lycée. Une maille est un chemin fermé du circuit. En orientant la maille et en comptant positivement les tensions dans le sens choisi, négativement les autres, on obtient :

Cette écriture n'est pas exigible au collège, et tu n'as pas à l'utiliser. Elle est donnée ici pour une raison précise : elle explique pourquoi l'additivité des tensions fonctionne. Dans une boucle unique, la tension du générateur est comptée dans un sens et celles des récepteurs dans l'autre, ce qui redonne exactement $U_G = U_1 + U_2 + \dots$. Au lycée, quand tu écriras la forme générale, c'est le signe de chaque tension qui deviendra le vrai piège ; au collège, l'écriture en somme de valeurs positives te met à l'abri de ce piège.

Une annonce, pour la leçon suivante — résultat non exigible au collège. Deux conducteurs ohmiques en série se comportent comme un seul, de résistance $R = R_1 + R_2$. Cette relation n'est pas au programme du cycle 4, pas plus que la forme générale de la loi des mailles ci-dessus. Elle se démontre en une ligne à partir de l'additivité des tensions et de la loi d'Ohm — mais la loi d'Ohm ne t'a pas encore été enseignée : la démonstration est donc faite, à sa place, dans la leçon Loi d'Ohm.

Partie A — un circuit en série. Un générateur de $U_G = 9{,}0$ V alimente, dans une seule boucle, une lampe, un moteur et une résistance. Un voltmètre donne $U_{\text{lampe}} = 3{,}4$ V et $U_{\text{résistance}} = 1{,}1$ V. Un ampèremètre placé entre le générateur et la lampe indique $I = 120$ mA.

A.1. Quelle est l'intensité du courant qui traverse le moteur ? Le circuit est en série : une seule boucle, donc unicité de l'intensité. Le courant est le même en tout point :

Aucun calcul, et surtout aucune addition : additionner des intensités n'a de sens qu'à un nœud, et une boucle unique n'en a pas.

A.2. Quelle est la tension aux bornes du moteur ? Loi d'additivité des tensions :

On isole l'inconnue :

A.3. Vérifier.

La somme redonne bien la tension du générateur. Remarque au passage que le « partage égal » aurait donné $9{,}0 / 3 = 3{,}0$ V pour chaque dipôle : aucune des trois valeurs réelles ne vaut 3,0 V.

Partie B — le même générateur, en dérivation. Le même générateur de $U_G = 9{,}0$ V alimente maintenant une lampe et un moteur en dérivation : chacun est relié directement aux deux bornes du générateur, sur sa propre branche. Un ampèremètre placé dans chaque branche indique $I_{\text{lampe}} = 150$ mA et $I_{\text{moteur}} = 320$ mA.

B.1. Quelle est la tension aux bornes de la lampe ? Loi d'unicité de la tension en dérivation : la branche de la lampe relie directement les deux bornes du générateur, donc

B.2. Quelle est l'intensité du courant principal, à la sortie du générateur ? Loi des nœuds : ce qui arrive au nœud en repart entièrement.

B.3. Interpréter la comparaison des deux montages. Avec le même générateur, la lampe reçoit 3,4 V en série et 9,0 V en dérivation : elle brille bien plus fort dans le second montage. En contrepartie, le générateur doit fournir 470 mA en dérivation contre 120 mA en série : il se videra beaucoup plus vite. Et si l'on ajoute une troisième branche, le courant principal augmentera encore — alors qu'ajouter un dipôle en série ferait au contraire baisser le courant. Retiens la logique : en dérivation, on ajoute du courant ; en série, on partage la tension.

Figure (fig.physics.circuit-laws, SVG programmatique à produire) : deux panneaux côte à côte, schémas normalisés, teinte physique de la charte. Les deux panneaux utilisent le même générateur de 9,0 V, pour que la comparaison saute aux yeux.

• Panneau 1 — en série. Une boucle rectangulaire unique : générateur (9,0 V), puis une lampe, un moteur et une résistance alignés sur le circuit. Une flèche épaisse unique suit toute la boucle, étiquetée « $I = 120$ mA » en trois endroits différents de la boucle (avant la lampe, entre la lampe et le moteur, après la résistance) — la même valeur écrite trois fois est le message du panneau. Au-dessus de chaque dipôle, une flèche de tension courte, à côté du dipôle et non sur le fil : « $U_{\text{lampe}} = 3{,}4$ V », « $U_{\text{moteur}} = 4{,}5$ V », « $U_{\text{résistance}} = 1{,}1$ V ». Sous le panneau, une bande de calcul : « $3{,}4 + 4{,}5 + 1{,}1 = 9{,}0$ V », et la légende « intensité unique, tensions qui s'additionnent ».
• Panneau 2 — en dérivation. Le même générateur (9,0 V), deux branches parallèles portant l'une la lampe, l'autre le moteur. Les deux nœuds sont marqués par un gros point plein, l'un à l'entrée, l'autre à la sortie. Trois flèches d'intensité d'épaisseurs différentes : la flèche du courant principal, la plus épaisse, « $I = 470$ mA » ; puis, après le nœud, deux flèches plus fines, « $I_{\text{lampe}} = 150$ mA » et « $I_{\text{moteur}} = 320$ mA », la seconde visiblement plus épaisse que la première. Une flèche de tension identique en face de chaque branche : « $U = 9{,}0$ V » écrit trois fois (générateur, lampe, moteur). Sous le panneau : « $150 + 320 = 470$ mA », et la légende « tension unique, intensités qui s'additionnent ».
• Bandeau du bas, commun : deux colonnes symétriques rappelant les quatre lois, la grandeur « unique » de chaque montage encadrée en trait plein et la grandeur « qui s'additionne » encadrée en trait tireté — pour que la distinction ne repose pas seulement sur la couleur.

Ce qu'il faut lire. Compte les flèches de courant : une seule épaisseur à gauche, trois à droite. Compte les valeurs de tension : trois différentes à gauche, une seule répétée à droite. Les deux panneaux sont l'image en miroir l'un de l'autre, et c'est exactement ce que disent les quatre lois. Repère aussi les gros points du panneau 2 : ce sont les nœuds, et c'est là, et seulement là, que des intensités s'additionnent.

La figure en détail : deux panneaux comparant le même générateur de 9,0 volts dans deux montages. À gauche, un circuit en série formant une boucle unique avec une lampe, un moteur et une résistance ; la même intensité de 120 milliampères est indiquée en trois endroits de la boucle, tandis que les trois tensions valent respectivement 3,4 volts, 4,5 volts et 1,1 volts, dont la somme est 9,0 volts. À droite, un circuit en dérivation où la lampe et le moteur occupent deux branches séparées reliées par deux nœuds marqués d'un point ; le courant principal vaut 470 milliampères et se partage en 150 milliampères dans la branche de la lampe et 320 milliampères dans celle du moteur, tandis que la tension de 9,0 volts est la même pour le générateur et pour les deux branches. Un bandeau final rappelle les quatre lois en deux colonnes symétriques.

Comment choisir la bonne loi, en deux questions.

1. Le montage est-il en série (une seule boucle, un seul chemin) ou en dérivation (plusieurs branches entre deux nœuds) ?
2. La question porte-t-elle sur une intensité ou sur une tension ?

Les deux réponses désignent une seule case du tableau. Aucune autre combinaison n'existe.

Attention aux unités avant d'additionner. On n'additionne que des grandeurs exprimées dans la même unité. $I_1 = 150$ mA et $I_2 = 0{,}32$ A donnent $150 + 320 = 470$ mA, c'est-à-dire 0,470 A — surtout pas « 150,32 ». Rappel : $1\ \text{A} = 1000\ \text{mA}$.

Ce que ces lois ne disent pas. Elles ne permettent pas de prévoir comment la tension se partage entre des dipôles différents en série : elles imposent seulement la valeur de la somme. Pour calculer le partage, il faut connaître chaque dipôle — c'est ce qu'apporte la loi d'Ohm, leçon suivante, pour les conducteurs ohmiques.

1. Additionner les intensités dans un circuit série. Il n'y a rien à additionner : dans une boucle unique, l'intensité est la même partout. Si un ampèremètre indique 120 mA avant la lampe, il indiquera 120 mA après elle et 120 mA après le moteur. Les intensités ne s'additionnent qu'à un nœud, et un circuit série n'en possède aucun.
2. Croire que la tension se partage également entre les dipôles en série. La loi impose la somme, pas l'égalité des parts. Avec un générateur de 9,0 V et trois dipôles, écrire « donc 3,0 V chacun » est faux sauf par hasard : la répartition dépend de chaque dipôle. Ne divise jamais $U_G$ par le nombre de dipôles.
3. Oublier le signe des tensions dans une maille. Ce piège concerne la forme générale $\sum U = 0$, qui n'est pas au programme du collège et où chaque tension doit être comptée selon le sens d'orientation choisi. Tant que tu écris l'additivité sous la forme $U_G = U_1 + U_2 + \dots$, avec des valeurs toutes positives et le générateur seul dans son membre, aucun signe ne peut te trahir. Écris toujours cette forme-là.
4. Confondre la loi qui va avec le montage. En série, c'est l'intensité qui est unique ; en dérivation, c'est la tension. Les élèves qui apprennent « ce qui s'additionne » sans noter où finissent par additionner des tensions en dérivation. Repère le montage avant d'écrire quoi que ce soit.
5. Additionner des mA et des A sans convertir. $150$ mA $+\ 0{,}32$ A ne fait pas 150,32 : convertis d'abord, $0{,}32$ A $= 320$ mA, puis additionne — 470 mA.
6. Croire que le courant « s'use » ou se consomme en route. Non : ce que les dipôles reçoivent, c'est de l'énergie. L'intensité qui sort d'une lampe est exactement celle qui y entre.
7. Ne pas repérer les nœuds avant de commencer. Dans un circuit à deux mailles, certaines portions sont en série et d'autres en dérivation. Marque les nœuds au crayon sur le schéma : chaque portion relève alors sans ambiguïté de l'une des quatre lois.
8. Oublier de vérifier. Une réponse de tension se contrôle en refaisant la somme, une réponse d'intensité en recomptant ce qui entre et ce qui sort du nœud. Ce contrôle prend dix secondes et rattrape la plupart des erreurs de calcul.

Exercice type. Deux exercices se partagent cette compétence. Le premier travaille le circuit en série : le plus souvent, il donne la tension du générateur et toutes les tensions partielles sauf une, et demande la manquante ; plus rarement, il donne l'intensité en un point et demande celle en un autre point — la réponse est alors la même valeur, par unicité. Le second fait le travail symétrique en dérivation : courant principal ou courant d'une branche par la loi des nœuds, et tension d'une branche par unicité. Dans les deux cas, les tensions sont construites pour que le « partage égal » donne toujours une valeur fausse.

Énoncé. Un circuit en série relie un générateur et trois dipôles : une lampe, un moteur et une résistance. Les dipôles y forment une seule boucle : le courant sort du générateur, traverse successivement chaque dipôle, puis revient au générateur. La tension aux bornes du générateur vaut $U_G = 12{,}0$ V. Un voltmètre donne $U_{\text{lampe}} = 6{,}2$ V et $U_{\text{résistance}} = 1{,}0$ V. Calculer la tension $U_{\text{moteur}}$ aux bornes du moteur, en volts.

Correction complète.

Étape 1 — reconnaître le montage. Une seule boucle, le courant traverse successivement chaque dipôle : le circuit est en série. Ce sont donc l'unicité de l'intensité et l'additivité des tensions qui s'appliquent. La question porte sur une tension : c'est l'additivité.

Étape 2 — écrire la loi en entier, générateur seul à gauche.

Écrite ainsi, avec des valeurs toutes positives, cette égalité ne contient aucun signe à discuter.

Étape 3 — isoler l'inconnue.

Étape 4 — calculer.

Étape 5 — vérifier par la somme.

On retrouve exactement la tension du générateur : le résultat est cohérent.

Étape 6 — interpréter. Les trois tensions sont différentes : 6,2 V, 4,8 V et 1,0 V. Le « partage égal » aurait donné $12{,}0 / 3 = 4{,}0$ V, une valeur qui ne correspond à aucun des trois dipôles. Retiens que la loi contraint la somme, jamais les parts. Et si l'énoncé avait demandé l'intensité traversant le moteur, connaissant celle qui sort du générateur, la réponse aurait été cette même valeur, sans le moindre calcul.

Auto-contrôle en deux gestes. Chaque tension partielle doit être inférieure à celle du générateur : 4,8 V est bien inférieur à 12,0 V. Et la somme des trois doit redonner 12,0 V exactement. Si l'un des deux contrôles échoue, l'erreur est dans le calcul, pas dans la loi.