Interférences à deux ondes : de la phase aux franges

En terminale, l'interfrange des fentes d'Young t'était donné : $i = \lambda D / b$. Ce chapitre le démontre, et surtout dit pourquoi deux lampes ne font jamais de franges alors que deux fentes éclairées par une seule lampe en font.

Superposer deux ondes. En un point $M$, deux ondes lumineuses de même fréquence arrivent avec des phases différentes : $s_1 = a_1 \cos(\omega t - \varphi_1)$ et $s_2 = a_2 \cos(\omega t - \varphi_2)$. Le signal total est la somme $s = s_1 + s_2$ — c'est le principe de superposition. Mais l'œil, une plaque, un capteur ne voient pas $s$, qui oscille des centaines de milliers de milliards de fois par seconde : ils voient l'intensité, moyenne temporelle du carré du signal, $I = \overline{s^{2}}$ (à un facteur près, sans importance ici). Pour une onde seule, $I_1 = \overline{s_1^{2}} = \dfrac{a_1^{2}}{2}$ : l'intensité est proportionnelle au carré de l'amplitude.

La formule de Fresnel. Développons $s^{2} = s_1^{2} + s_2^{2} + 2 s_1 s_2$ et prenons la moyenne. Le produit $2 s_1 s_2 = a_1 a_2\left[\cos(2\omega t - \varphi_1 - \varphi_2) + \cos(\varphi_2 - \varphi_1)\right]$ : le premier cosinus est de moyenne nulle, le second est constant. D'où

$$I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\,\cos \Delta\varphi, \qquad \Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_1.$$

Le troisième terme est le terme d'interférence : selon $\Delta\varphi$, l'intensité peut valoir jusqu'à $(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^{2}$ ou descendre jusqu'à $(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^{2}$. Pour deux ondes de même intensité $I_0$ :

entre $0$ et $4I_0$ — et non « $2I_0$ partout ». On n'additionne pas les intensités ; on additionne les ondes, puis on élève au carré.

Différence de marche et déphasage. Si les deux ondes viennent d'une même source et parcourent des chemins de longueurs $L_1$ et $L_2$ dans un milieu d'indice $n$, leur déphasage à l'arrivée est

où $\lambda_0$ est la longueur d'onde dans le vide et $\delta$ la différence de marche — une différence de chemins optiques (longueur multipliée par l'indice), en mètres. Le déphasage est un angle, la différence de marche une longueur : ce ne sont pas deux noms de la même chose, mais deux grandeurs reliées par $\lambda_0$. L'ordre d'interférence est le rapport $p = \delta / \lambda_0$ :

Pourquoi il faut une seule source. Deux lampes distinctes émettent des trains d'ondes dont la phase relative change au hasard des milliards de fois par seconde : $\cos \Delta\varphi$ prend toutes les valeurs, sa moyenne est nulle, et $I = I_1 + I_2$ — les intensités s'ajoutent, aucune frange. Pour que le terme d'interférence survive, il faut que $\Delta\varphi$ soit stable au point $M$ : deux ondes issues de la même onde, séparées puis réunies. On dit qu'elles sont cohérentes. Les trous d'Young y parviennent en découpant un même front d'onde en deux (division du front d'onde).

Les trous d'Young, cette fois démontrés. Deux sources cohérentes $S_1$ et $S_2$ distantes de $b$, en phase, un écran à la distance $D \gg b$, un point $M$ d'abscisse $x$ sur l'écran, mesurée depuis l'axe. Pour $x \ll D$, un calcul de géométrie donne $S_2 M - S_1 M \approx \dfrac{b\,x}{D}$, donc dans l'air ($n = 1$) :

Les franges brillantes sont aux $x_p = p\,\dfrac{\lambda D}{b}$, et leur écart, l'interfrange, vaut

$$i = \frac{\lambda D}{b}.$$

Avec un laser hélium-néon ($633$ nm), $D = 2{,}0$ m et $b = 0{,}30$ mm : $i = \dfrac{633 \times 10^{-9} \times 2{,}0}{0{,}30 \times 10^{-3}} = 4{,}22$ mm. À $405$ nm, $2{,}70$ mm : l'interfrange est proportionnel à la longueur d'onde, ce qui aura une conséquence en lumière blanche.

Le contraste. Des franges se voient d'autant mieux que le noir est noir. On définit le contraste (ou visibilité)

compris entre $0$ (pas de franges) et $1$ (minimum nul). Il vaut $1$ pour deux ondes de même intensité ; si $I_1 = 4 I_2$, $V = \dfrac{2 \times 2}{5} = 0{,}80$ ; si $I_1 = 100\,I_2$, $V \approx 0{,}20$ — les franges existent encore mais se noient dans le fond. Le contraste mesure aussi, on va le voir, la cohérence des deux ondes.

Cohérence temporelle : une source n'est jamais parfaitement monochromatique. Une raie réelle a une largeur $\Delta\lambda$ autour de $\lambda$. Chaque longueur d'onde produit son système de franges, d'interfrange $\lambda D / b$ ; tous coïncident à l'ordre $0$ (là où $\delta = 0$ pour toutes) et s'écartent quand l'ordre monte. À l'ordre $p$, la frange brillante de $\lambda + \Delta\lambda$ est décalée de $p\,\Delta\lambda\,D/b$ par rapport à celle de $\lambda$ ; quand ce décalage atteint l'interfrange, les systèmes se brouillent : $p\,\Delta\lambda \approx \lambda$, soit une différence de marche

$$\delta \approx \frac{\lambda^{2}}{\Delta\lambda} = L_c,$$

la longueur de cohérence. Au-delà, plus de franges ; en deçà, on en observe environ $\lambda/\Delta\lambda$ de chaque côté du centre. Pour une source à $600$ nm filtrée sur $\Delta\lambda = 10$ nm : $L_c = \dfrac{(600 \times 10^{-9})^{2}}{10 \times 10^{-9}} = 36$ µm, et une soixantaine d'ordres visibles. Un laser, dont $\Delta\lambda$ est infime, a une longueur de cohérence de plusieurs centimètres ou plus : c'est ce qui rend ses franges si faciles.

En lumière blanche. $\Delta\lambda$ couvre tout le visible, de $400$ à $700$ nm : $L_c$ est de l'ordre d'une longueur d'onde. Seule la frange d'ordre $0$ est blanche — toutes les couleurs y sont constructives, car $\delta = 0$ ne dépend pas de $\lambda$. Dès l'ordre $1$, le rouge (interfrange plus grand) est décalé vers l'extérieur par rapport au bleu ($i_{400}/i_{700} \approx 0{,}57$) : les franges se colorent, puis se superposent et le contraste chute ; à quelques ordres du centre, l'écran paraît uniformément blanc. Voir des franges colorées de part et d'autre d'une frange blanche est le signe d'un ordre $0$.

Cohérence spatiale : la source ne doit pas être trop large. Chaque point de la source primaire éclaire les deux trous avec sa propre phase et produit un système de franges décalé sur l'écran, d'autant plus que ce point est loin de l'axe. Une source étendue est une somme incohérente de tels systèmes : quand leurs décalages couvrent un interfrange, le contraste s'annule. C'est pourquoi le montage d'Young s'éclaire par une fente source fine, ou par un laser, et non par une lampe nue : élargir la source donne plus de lumière et moins de contraste.

Déplacer les franges : la lame. Place devant $S_1$ une lame transparente d'épaisseur $e$ et d'indice $n$. Le chemin optique de la voie $1$ augmente de $(n - 1)\,e$ : pour retrouver $\delta = 0$, il faut que la voie $1$ soit géométriquement plus courte, donc que $M$ se rapproche de $S_1$ — tout le système de franges se déplace du côté de la lame, de $\dfrac{(n - 1)\,e}{\lambda}$ interfranges, sans que l'interfrange change. Pour $e = 1{,}0$ µm et $n = 1{,}5$ : $(n - 1)e = 500$ nm, soit $0{,}79$ interfrange, $3{,}3$ mm sur l'écran de l'exemple. C'est une méthode de mesure : un déplacement de franges mesure une épaisseur, ou un indice.

Retenir la logique. Franges = cohérence + différence de marche stable. Position des franges = $\delta$ comparée à $\lambda$. Visibilité des franges = contraste, limité par le déséquilibre des intensités, la largeur spectrale (temporelle) et la largeur de la source (spatiale).

Énoncé. Deux fentes fines parallèles distantes de $b = 0{,}30$ mm sont éclairées par un laser hélium-néon, $\lambda = 633$ nm ; l'écran est à $D = 2{,}0$ m, dans l'air. Les deux ondes ont la même intensité $I_0$ sur l'écran.

1. Calculer l'interfrange.
2. Au point $M$ d'abscisse $x = 5{,}0$ mm, calculer la différence de marche, l'ordre d'interférence, et l'intensité rapportée à l'intensité maximale. Est-on sur une frange brillante, sombre, ou entre les deux ?
3. On place devant l'une des fentes une lame d'épaisseur $e = 1{,}0$ µm et d'indice $n = 1{,}5$. De combien, et dans quel sens, les franges se déplacent-elles ?
4. On atténue l'une des voies : $I_1 = 4 I_2$. Que devient le contraste ?

---

1. Interfrange. $i = \dfrac{\lambda D}{b} = \dfrac{633 \times 10^{-9} \times 2{,}0}{0{,}30 \times 10^{-3}} = 4{,}22 \times 10^{-3}$ m.

$i = 4{,}22$ mm. Franges brillantes en $x = 0$, $\pm 4{,}22$, $\pm 8{,}44$ mm…

2. Au point $x = 5{,}0$ mm. Différence de marche : $\delta = \dfrac{b\,x}{D} = \dfrac{0{,}30 \times 10^{-3} \times 5{,}0 \times 10^{-3}}{2{,}0} = 7{,}5 \times 10^{-7}$ m $= 750$ nm. Ordre : $p = \dfrac{\delta}{\lambda} = \dfrac{750}{633} \approx 1{,}18$ — ni entier ni demi-entier. Intensité : $I = 4 I_0 \cos^{2}(\pi p)$, soit $\dfrac{I}{I_{\max}} = \cos^{2}(1{,}18\,\pi) \approx 0{,}70$.

$\delta = 750$ nm, $p \approx 1{,}18$, $I \approx 0{,}70\,I_{\max}$ : entre la frange brillante d'ordre $1$ ($x = 4{,}22$ mm) et la frange sombre d'ordre $1{,}5$ ($x = 6{,}33$ mm), plus près de la brillante.

Contrôle par une autre voie : $x/i = 5{,}0/4{,}22 \approx 1{,}18$ — c'est le même nombre, puisque $p = \delta/\lambda = x/i$. $\checkmark$

3. La lame. Elle allonge le chemin optique de sa voie de $(n - 1)\,e = 0{,}5 \times 1{,}0 \times 10^{-6}$ m $= 500$ nm. L'ordre de chaque point est décalé de $\dfrac{500}{633} \approx 0{,}79$ ; le système entier se déplace de $0{,}79\,i \approx 3{,}3$ mm, vers la fente qui porte la lame, et l'interfrange ne change pas.

Déplacement de $3{,}3$ mm du côté de la lame.

4. Contraste. $V = \dfrac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2} = \dfrac{2\sqrt{4}}{5} = 0{,}80$. Les franges sombres ne sont plus noires : $I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^{2} = I_2$, et $I_{\max} = 9\,I_2$.

$V = 0{,}80$ ; les positions des franges sont inchangées, seul le noir est perdu.

Lecture. L'interfrange décrit les maximums ; la formule de Fresnel décrit tout l'écran, y compris les points intermédiaires. La lame déplace, l'atténuation délave, aucune des deux ne change $i$ : la géométrie fixe l'interfrange, la phase fixe la position, les intensités fixent le contraste.

Figure (fig.physics.interference-diffraction, figure programmatique de la leçon de terminale, dont les nombres du montage d'Young sont ceux de cette leçon) : six parties, dont trois servent ici.

• Partie 3, le montage d'interférences vu de dessus. Deux fentes distantes de $b$ deviennent deux sources ; les crêtes des deux ondes sont en trait plein, les creux en tirets ; un cercle blanc marque chaque rencontre crête-crête, un losange noir chaque rencontre crête-creux. Ces marques se rangent sur des hyperboles calculées : lieux brillants d'ordre $0$, $\pm 1$, $\pm 2$ en gras, lieux sombres intermédiaires en tirets. Ce qu'il faut y lire pour cette leçon : un cercle blanc est un point où $\delta = S_2M - S_1M$ vaut un nombre entier de $\lambda$ — c'est la ligne « entier / constructif » du tableau —, un losange, un demi-entier. Le rapport dessiné $\lambda/b = 1/3$ ne laisse exister que cinq ordres brillants ; au laboratoire ce rapport vaut environ $0{,}002$ et il en existe des centaines, presque parallèles : c'est le régime $x \ll D$ où $\delta \approx bx/D$.
• Partie 4, l'écran à $2{,}0$ m, à l'échelle six pixels pour un millimètre : onze franges brillantes régulièrement espacées de $4{,}22$ mm, et la mesure des dix interfranges qui séparent la première de la onzième — le geste de mesure qui divise par dix l'incertitude.
• Partie 5, quatre cases. Case a : la construction géométrique de la différence de marche, avec le point $H$ de $[MF_2]$ à la distance $MF_1$ de $M$, de sorte que $\delta = HF_2$. Case b : une règle graduée du rapport $\delta/\lambda$, où les valeurs entières sont brillantes et les demi-entières sombres — l'ordre d'interférence de cette leçon, sous forme d'instrument. Case c : le laser rouge ($633$ nm) et le laser bleu ($405$ nm) dans le même montage, interfranges $4{,}22$ et $2{,}70$ mm à la même échelle — la proportionnalité de $i$ à $\lambda$, d'où les franges colorées de la lumière blanche.

Ce que la figure ne montre pas, et qu'il faut imaginer : le profil d'intensité le long de l'écran, en $\cos^{2}$, qui décrit aussi les points entre deux franges (le point $x = 5{,}0$ mm de l'exemple, à $0{,}70\,I_{\max}$) ; le contraste, puisque les franges y sont dessinées toutes noires ou toutes blanches ; la perte de cohérence — les onze franges sont identiques, comme avec un laser, alors qu'une lampe filtrée les verrait pâlir vers les bords et une lampe blanche les colorer dès l'ordre $1$ ; et le déphasage lui-même, qui n'est pas une longueur et ne se dessine pas. Les parties 1 et 2, sur la diffraction par une fente, relèvent d'un autre phénomène : au montage d'Young, la diffraction fixe l'enveloppe de l'éclairement, les interférences les franges à l'intérieur.

Trois conditions pour voir des franges. Deux ondes issues de la même source (cohérence) ; une différence de marche inférieure à la longueur de cohérence ; une source assez fine pour que les systèmes de franges de ses points ne se brouillent pas.

Ce qui n'est pas dans cette leçon. La division d'amplitude (lames, Michelson), les interférences à $N$ ondes et les réseaux, le calcul complet du contraste d'une source étendue, la polarisation.

1. Confondre différence de marche et déphasage. $\delta$ est une longueur, $\Delta\varphi$ un angle ; $\Delta\varphi = 2\pi\delta/\lambda_0$. « $\delta = \pi$ » n'a pas de sens.
2. Croire que deux lampes ordinaires font des franges. Leur phase relative change au hasard : le terme d'interférence se moyenne à zéro et les intensités s'ajoutent. Il faut deux ondes issues de la même onde.
3. Mesurer l'interfrange entre une frange brillante et la sombre voisine. C'est un demi-interfrange. L'interfrange sépare deux franges de même nature. Et mesurer dix interfranges plutôt qu'un divise l'incertitude par dix.
4. Oublier que l'interfrange dépend de $\lambda$. En lumière blanche, chaque couleur a le sien : seule la frange d'ordre $0$ est blanche, les autres se colorent puis se brouillent.
5. Additionner les intensités de deux ondes cohérentes. $I \ne I_1 + I_2$ : c'est la formule de Fresnel, avec son terme croisé, qui vaut. Pour deux ondes égales, l'intensité va de $0$ à $4I_0$.
6. Oublier l'indice dans la différence de marche. $\delta$ est une différence de chemins optiques : une lame d'épaisseur $e$ n'ajoute pas $e$ mais $(n - 1)\,e$ par rapport à l'air qu'elle remplace.
7. Prendre $b$ pour $a$. Dans le montage d'Young, $b$ est l'écartement des deux fentes (il fixe l'interfrange), $a$ la largeur d'une fente (elle fixe l'enveloppe de diffraction). Deux relations, deux longueurs.
8. Appliquer $\delta = bx/D$ loin de l'axe. La relation suppose $x \ll D$ et $b \ll D$ ; les hyperboles de la figure rappellent qu'en toute rigueur les lieux ne sont pas des droites parallèles.
9. Croire qu'atténuer une voie déplace les franges. Un déséquilibre d'intensités change le contraste ($V = 0{,}80$ pour $I_1 = 4I_2$), pas les positions. Ce qui déplace les franges, c'est un changement de chemin optique.
10. Élargir la source « pour voir mieux ». Plus de lumière, mais chaque point de la source ajoute un système décalé : le contraste chute. On éclaire par une fente fine ou un laser.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon porte sur ce chapitre lui-même. Il tire un laser de travaux pratiques et demande, selon la variante, l'intensité en un point de différence de marche donnée pour deux ondes d'intensités différentes (formule de Fresnel), le contraste des franges quand une voie est atténuée, le décalage de la frange centrale d'un montage d'Young quand une lame de verre couvre une fente, la longueur de cohérence d'une source de largeur spectrale donnée, ou la différence de marche depuis un déphasage. Chaque réponse est contrôlée par une superposition numérique de deux sinusoïdes ou par la géométrie exacte des chemins optiques. L'interfrange et le comptage des franges restent servis par le modèle de terminale.

Énoncé type. Deux ondes cohérentes de longueur d'onde $\lambda = 633$ nm se superposent en un point $M$ ; leurs intensités séparées valent $I_1 = I_0$ et $I_2 = 4\,I_0$.

1. La différence de marche en $M$ vaut $\delta = \lambda/3$. Calculer l'intensité résultante, en unités de $I_0$.
2. Calculer le contraste $V = \dfrac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}}$ de la figure.
3. Dans un montage d'Young ($b = 0{,}30$ mm, $D = 2{,}0$ m), on couvre une fente avec une lame de verre d'indice $n = 1{,}50$ et d'épaisseur $e = 1{,}0$ µm. De combien la frange centrale se déplace-t-elle ?

Corrigé complet.

1. Fresnel. Les amplitudes s'ajoutent, pas les intensités : $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\cos\Delta\varphi$ avec $\Delta\varphi = \dfrac{2\pi\delta}{\lambda} = \dfrac{2\pi}{3}$, donc $\cos\Delta\varphi = -\dfrac{1}{2}$ :

$I = I_0 + 4I_0 + 2 \times 2I_0 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 3\,I_0$.

Moins que la somme $5I_0$, plus que le minimum $(2 - 1)^{2} I_0 = I_0$.

2. Contraste. $I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^{2} = 9I_0$ et $I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^{2} = I_0$ :

$V = \dfrac{9 - 1}{9 + 1} = 0{,}80$.

Le déséquilibre des voies baisse le contraste sans déplacer les franges.

3. Lame. La lame ajoute $(n - 1)\,e = 0{,}50 \times 1{,}0 = 0{,}50$ µm de chemin optique sur une voie — pas $e$. La frange centrale se trouve où $\dfrac{bx}{D} = (n - 1)\,e$ :

$x_0 = \dfrac{(n - 1)\,e\,D}{b} = \dfrac{0{,}50 \times 10^{-6} \times 2{,}0}{0{,}30 \times 10^{-3}} \approx 3{,}3 \times 10^{-3}$ m, soit $3{,}3$ mm,

du côté de la fente couverte, sans changement d'interfrange ($i = \lambda D/b \approx 4{,}22$ mm) : un décalage de $0{,}50/0{,}633 \approx 0{,}79$ interfrange — qui dépendrait de $\lambda$ en lumière blanche.

Réponses : $I = 3\,I_0$ ; $V = 0{,}80$ ; décalage $\approx 3{,}3$ mm vers la fente couverte.

Auto-contrôle. Ai-je converti $\delta$ en déphasage avant d'appliquer Fresnel ? Le contraste est-il sans dimension et au plus égal à $1$ ? Pour la lame, ai-je compté $(n - 1)\,e$ et non $e$, puis exprimé le décalage en interfranges ? Ai-je gardé les unités SI dans le quotient ?