Le premier principe : un bilan à deux entrées

Gonfle un pneu de vélo à la pompe : au bout de quelques dizaines de coups, le corps de la pompe est chaud. Pourtant, tu ne l'as approchée d'aucune source de chaleur. D'où vient cette énergie ?

Le problème. La leçon précédente a montré comment l'énergie interne d'un système augmente lorsqu'il reçoit un transfert thermique. Ici, il n'y en a pas : rien de chaud n'a touché la pompe. Ce que tu as fait, c'est pousser sur le piston contre l'air qui résistait. Tu as fourni de l'énergie au gaz par un travail, pas par un transfert thermique. Le bilan d'énergie d'un système doit donc compter deux entrées, et non une.

Les deux modes de transfert. Un système fermé — c'est-à-dire qui n'échange pas de matière avec l'extérieur — peut échanger de l'énergie de deux façons seulement : par travail $W$, quand des forces extérieures déplacent une paroi ou un piston, et par transfert thermique $Q$, quand une différence de température met l'énergie en mouvement. Les deux se mesurent en joules.

La convention de signe, la même que précédemment. Comme un échange peut aller dans les deux sens, on continue de se placer du point de vue du système :

Convention. Le travail $W$ et le transfert thermique $Q$ reçus par le système sont comptés positivement ; ceux qu'il cède au milieu extérieur sont comptés négativement.

Retiens la phrase courte : ce qui entre est positif. Un gaz comprimé par un opérateur reçoit du travail, donc $W > 0$. Un gaz qui se détend en repoussant le piston fournit du travail au milieu extérieur, donc $W < 0$. Un gaz que l'on chauffe reçoit un transfert thermique, donc $Q > 0$ ; un gaz qui refroidit en cède, donc $Q < 0$. Cette convention est écrite dans chaque énoncé de la plateforme : lis-la, elle décide de tous les signes de ta copie.

Le principe. Une fois les deux entrées comptées avec leur signe, l'énoncé du principe est presque une évidence comptable — et pourtant, c'est l'une des lois les plus solides de toute la physique.

Premier principe de la thermodynamique. Pour un système fermé au repos, la variation de son énergie interne entre l'état initial et l'état final est la somme du travail et du transfert thermique reçus :

$$\Delta U = W + Q .$$

Trois lectures de cette égalité, qui valent mieux qu'une récitation.

Première lecture : l'énergie ne se crée pas. Si l'énergie interne d'un système augmente, c'est que quelque chose est entré, par travail ou par chaleur, en quantité exactement égale. Rien n'apparaît de nulle part et rien ne disparaît.

Deuxième lecture : les deux modes sont interchangeables. L'énergie interne se moque de la façon dont l'énergie est arrivée. Chauffer un gaz de $500$ J ou le comprimer en lui fournissant $500$ J de travail produit la même augmentation d'énergie interne. C'est ce qu'a établi James Joule au dix-neuvième siècle, et c'est ce qui a fait de la chaleur une forme d'énergie comme une autre.

Troisième lecture : à gauche un état, à droite des échanges. $\Delta U$ ne dépend que de l'état initial et de l'état final du système. En revanche, $W$ et $Q$ décrivent la manière dont la transformation s'est faite : deux chemins différents entre les mêmes états peuvent donner des valeurs différentes de $W$ et de $Q$, mais toujours la même somme. C'est pourquoi on parle de la variation d'énergie interne, et jamais de la « variation de chaleur » d'un système, expression qui n'a aucun sens.

Le travail des forces de pression. Reste à savoir calculer $W$. Le programme se limite à la situation la plus simple, celle où la pression reste constante pendant la transformation :

Travail des forces de pression, transformation isobare. Si la pression extérieure $p$ est constante, le travail reçu par le gaz vaut $W = -p\,\Delta V$, avec $\Delta V = V_f - V_i$, la pression en pascals et les volumes en mètres cubes.

Cette relation est donnée dans les énoncés : tu n'as pas à la retrouver. En revanche, il faut comprendre son signe moins, qui n'est pas un caprice. Lors d'une compression, le volume diminue, donc $\Delta V < 0$, donc $W = -p\,\Delta V > 0$ : le gaz reçoit du travail, ce qui est bien ce que fait l'opérateur qui appuie. Lors d'une détente, le volume augmente, $\Delta V > 0$, donc $W < 0$ : le gaz pousse le piston et cède du travail. Le signe moins est exactement ce qui rend la relation compatible avec la convention « ce qui entre est positif ».

Un ordre de grandeur utile. Un bar multiplié par un litre vaut $10^{5} \times 10^{-3} = 100$ J. Les travaux mis en jeu dans un cylindre de travaux pratiques ou dans une pompe à vélo se comptent donc en dizaines ou en centaines de joules — pas en kilojoules, et pas en millijoules.

Le premier principe est toujours vrai. Ce qui change d'une situation à l'autre, c'est la valeur de l'un des deux termes — et c'est là que le vocabulaire des transformations prend tout son sens.

Transformation isochore : le volume ne change pas. Le récipient est rigide et indéformable, donc $\Delta V = 0$. Les forces de pression ne travaillent que si le volume varie : ici, $W = 0$, et le principe se réduit à

Toute l'énergie reçue par transfert thermique va dans l'énergie interne, donc dans la température. C'est le seul cas où cette égalité simplifiée est vraie, et cette phrase mérite d'être soulignée deux fois : l'écrire pour une transformation quelconque est l'erreur la plus répandue du chapitre.

Transformation isobare : la pression reste constante. Le piston est libre de coulisser sous une pression extérieure fixée. Le travail vaut $W = -p\,\Delta V$, et le bilan complet s'écrit $\Delta U = -p\,\Delta V + Q$. Les deux termes comptent, chacun avec son signe. C'est la situation la plus fréquente dans les exercices, parce que c'est celle de tout ce qui se passe à l'air libre, sous la pression atmosphérique.

Transformation adiabatique : aucun transfert thermique. Le préfixe « a » signifie « sans » : la transformation se fait sans échange de chaleur, soit parce que les parois sont isolantes, soit parce que la transformation est trop rapide pour que l'énergie thermique ait le temps de passer. On a donc $Q = 0$, et

Voilà la pompe à vélo : on comprime vite, la chaleur n'a pas le temps de s'échapper, le travail reçu augmente l'énergie interne, donc la température monte. Retiens bien : adiabatique veut dire $Q = 0$, pas température constante. Dans cet exemple, la température varie fortement, et c'est précisément ce que l'on observe.

Transformation isotherme d'un gaz parfait : la température reste constante. Ici, une propriété supplémentaire est nécessaire, et les énoncés la donnent quand ils en ont besoin : l'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de sa température. Si la température ne varie pas, l'énergie interne non plus :

Un gaz parfait comprimé lentement, en contact avec un milieu qui maintient sa température, reçoit du travail et cède aussitôt exactement autant d'énergie par transfert thermique. Rien ne s'accumule à l'intérieur : l'énergie traverse le système. C'est le contraire exact de l'adiabatique, où rien ne sort et où tout s'accumule.

Le tableau du vocabulaire, à connaître par cœur. Le préfixe « iso » signifie « même » ; les éléments « bare », « chore » et « therme » désignent respectivement la pression, le volume et la température ; le préfixe « a » signifie « sans ». Une transformation isobare se fait à pression constante, isochore à volume constant, isotherme à température constante, adiabatique sans transfert thermique. Les deux mots que l'on confond le plus sont isotherme et adiabatique : le premier parle de la température, le second du transfert thermique, et ils ne disent pas du tout la même chose.

Comment on lit un énoncé. Trois questions, toujours les mêmes, dans cet ordre. Premièrement : quel est le système ? Presque toujours le gaz, jamais le piston ni l'opérateur — et c'est du point de vue du gaz que tous les signes sont écrits. Deuxièmement : que reçoit et que cède ce système ? Chaque phrase de l'énoncé se traduit en une valeur signée : « il est comprimé et reçoit un travail de $300$ J » donne $W = +300$ J ; « il cède un transfert thermique de $500$ J » donne $Q = -500$ J ; « son énergie interne diminue de $200$ J » donne $\Delta U = -200$ J. Troisièmement : que demande la question, et quelle grandeur reste inconnue dans $\Delta U = W + Q$ ? Une seule relation, trois formes possibles selon l'inconnue : $\Delta U = W + Q$, ou $Q = \Delta U - W$, ou $W = \Delta U - Q$.

Ce que cette leçon ne fait pas. Elle ne calcule aucun travail hors du cas isobare, et n'aborde ni les machines thermiques, ni leur rendement, ni le second principe, ni l'entropie, ni le cycle de Carnot. Le premier principe dit ce qui est possible du point de vue de la comptabilité de l'énergie ; il ne dit pas dans quel sens les transformations se produisent spontanément. Cette seconde question, qui est celle du second principe, appartient à l'enseignement supérieur.

Énoncé. Un gaz est enfermé dans un cylindre fermé par un piston. Convention : le travail $W$ et le transfert thermique $Q$ reçus par le gaz sont comptés positivement, ceux qu'il cède négativement, et le premier principe s'écrit $\Delta U = W + Q$. On rappelle que, pour une transformation à pression constante $p$, le travail des forces de pression reçu par le gaz vaut $W = -p\,\Delta V$, avec $\Delta V = V_f - V_i$.

Questions. 1. Le gaz est comprimé lentement à la pression constante $p = 2{,}0$ bar : son volume diminue de $1{,}5$ L. Calculer le travail $W$ reçu par le gaz. 2. Pendant cette compression, le gaz cède $500$ J au milieu extérieur par transfert thermique. Calculer la variation d'énergie interne. 3. Le même gaz est ensuite enfermé dans un récipient rigide et reçoit $800$ J par transfert thermique. Que vaut la variation d'énergie interne ? 4. On comprime enfin très rapidement le gaz dans un cylindre aux parois isolantes, en lui fournissant $250$ J de travail. Que devient sa température ?

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1. Le travail des forces de pression. Deux conversions d'abord, chacune sur sa ligne :

• la pression : $p = 2{,}0$ bar $= 2{,}0 \times 10^{5}$ Pa ;
• la variation de volume : le volume diminue de $1{,}5$ L, donc $\Delta V = V_f - V_i = -1{,}5$ L $= -1{,}5 \times 10^{-3}$ m³. Le signe moins est ici la moitié du travail intellectuel.

Le résultat est positif, et c'est cohérent : comprimer, c'est pousser le piston contre la pression du gaz, donc lui fournir de l'énergie. Contrôle de l'ordre de grandeur : $2$ bar multipliés par $1{,}5$ L font $2 \times 1{,}5 \times 100 = 300$ J, puisqu'un bar fois un litre vaut $100$ J.

2. Le bilan complet. Le gaz cède $500$ J par transfert thermique : avec la convention, $Q = -500$ J. Le premier principe donne

L'énergie interne du gaz diminue de $200$ J, alors même qu'on lui a fourni du travail : il a cédé plus d'énergie qu'il n'en a reçu. Sa température baisse. Un résultat de $+800$ J s'obtiendrait en additionnant les deux valeurs absolues, c'est-à-dire en oubliant la convention ; un résultat de $-800$ J, en se trompant sur le signe du travail. Les trois nombres $-200$, $+800$ et $-800$ ont la même unité et la même allure : seul le raisonnement sur les signes les sépare.

3. Le récipient rigide. Rigide signifie indéformable : le volume ne varie pas, $\Delta V = 0$, et les forces de pression ne travaillent pas. Donc $W = 0$, et

Toute l'énergie reçue par transfert thermique se retrouve dans l'énergie interne : la température du gaz augmente. C'est la transformation isochore, et c'est le seul cas où l'on peut écrire $\Delta U = Q$.

4. La compression rapide dans un cylindre isolé. Les parois sont isolantes et la transformation est rapide : aucun transfert thermique n'a le temps de se faire, $Q = 0$. La transformation est adiabatique, et

L'énergie interne augmente de $250$ J, donc la température du gaz monte. C'est exactement l'échauffement d'une pompe à vélo. Remarque le contraste avec la question 1 : la même compression, selon qu'elle est lente et accompagnée d'un refroidissement ou rapide et isolée, fait baisser ou monter la température. Ce n'est pas la compression seule qui décide, c'est le bilan des deux termes.

Contrôle final. Toutes les valeurs sont en joules. Chaque signe a été justifié par une phrase de l'énoncé, jamais deviné. Et la somme $W + Q$ a été calculée en additionnant deux nombres signés, ce qui, en pratique, revient souvent à une soustraction : c'est normal, et c'est le sens même du bilan.

Figure (fig.physics.first-law, image vectorielle produite par programme, à produire) : trois panneaux et un bandeau.

• Panneau gauche — la convention de signe. Un cylindre à piston au centre, entouré d'une frontière en pointillé qui délimite le système. Deux flèches épaisses pointent vers l'intérieur, l'une marquée $W$ et l'autre $Q$, toutes deux accompagnées d'un signe plus et de la mention « reçu par le gaz : positif ». Deux flèches plus fines pointent vers l'extérieur, marquées $W$ et $Q$ avec un signe moins et la mention « cédé par le gaz : négatif ». Au centre du cylindre, l'inscription « $\Delta U = W + Q$ ». En dessous, un rappel : « le système, c'est le gaz — pas le piston, pas l'opérateur ».
• Panneau central — le signe du travail des forces de pression. Deux vignettes côte à côte. À gauche, une compression : une main pousse le piston, une flèche indique que le volume diminue, avec $\Delta V < 0$ puis $W = -p\,\Delta V > 0$, et la mention « le gaz reçoit du travail ». À droite, une détente : le gaz repousse le piston, le volume augmente, avec $\Delta V > 0$ puis $W < 0$, et la mention « le gaz cède du travail ». Sous les deux vignettes, le repère « $1$ bar $\times$ $1$ L $= 100$ J ».
• Panneau droit — les quatre transformations. Quatre lignes, chacune avec un petit schéma et le bilan simplifié. Isochore : récipient rigide, $\Delta V = 0$, donc $W = 0$ et $\Delta U = Q$. Isobare : piston libre sous pression constante, $W = -p\,\Delta V$ et $\Delta U = W + Q$. Adiabatique : parois hachurées d'isolant, $Q = 0$ et $\Delta U = W$, avec une pompe à vélo qui chauffe. Isotherme d'un gaz parfait : cylindre en contact avec un grand réservoir à température fixée, $\Delta U = 0$ et $Q = -W$. Sur le côté, un encadré rappelle que « iso » signifie « même » et « a » signifie « sans », et que isotherme parle de la température quand adiabatique parle du transfert thermique.
• Bandeau du bas : la relation $\Delta U = W + Q$, ses trois formes isolées, la relation $W = -p\,\Delta V$ avec ses unités, et la phrase « ce qui entre est positif ».

Ce qu'il faut lire. Le panneau de gauche fixe l'unique convention dont dépendent tous les signes de l'exercice, et rappelle que le système est le gaz. Le panneau central montre que le signe moins de $W = -p\,\Delta V$ n'est pas arbitraire : il est ce qui rend la relation compatible avec la convention. Le panneau de droite montre que les quatre transformations ne sont pas quatre formules, mais un seul principe dans lequel l'un des deux termes est connu d'avance.

La figure en détail : à gauche, un cylindre fermé par un piston est entouré d'une frontière en pointillé qui délimite le système ; deux flèches épaisses pointent vers l'intérieur, l'une portant la lettre W et l'autre la lettre Q, avec un signe plus et l'indication que ce qui est reçu par le gaz est compté positivement ; deux flèches plus fines pointent vers l'extérieur, avec un signe moins et l'indication que ce qui est cédé est compté négativement ; au centre est écrite l'égalité qui donne la variation d'énergie interne comme somme du travail et du transfert thermique, et une note rappelle que le système est le gaz, ni le piston, ni l'opérateur. Au centre, deux vignettes comparent une compression et une détente : dans la première, une main pousse le piston, le volume diminue, la variation de volume est négative et le travail reçu par le gaz est donc positif ; dans la seconde, le gaz repousse le piston, le volume augmente, la variation de volume est positive et le travail reçu est négatif, ce qui signifie que le gaz cède du travail ; sous les deux vignettes est rappelé qu'un bar multiplié par un litre vaut cent joules. À droite, quatre lignes présentent les quatre transformations avec chacune un petit schéma et le bilan simplifié correspondant : la transformation isochore, dans un récipient rigide, où le travail est nul et la variation d'énergie interne égale au transfert thermique ; la transformation isobare, avec un piston libre sous pression constante, où les deux termes comptent ; la transformation adiabatique, dans un cylindre aux parois isolantes, où le transfert thermique est nul et la variation d'énergie interne égale au travail, illustrée par une pompe à vélo qui s'échauffe ; et la transformation isotherme d'un gaz parfait, en contact avec un grand réservoir à température fixée, où la variation d'énergie interne est nulle et où le transfert thermique est l'opposé du travail. Un encadré latéral rappelle que le préfixe iso signifie même et le préfixe a signifie sans, et que le mot isotherme parle de la température alors que le mot adiabatique parle du transfert thermique. Le bandeau du bas reprend le premier principe, ses trois formes isolées, l'expression du travail des forces de pression avec ses unités, et la phrase selon laquelle ce qui entre est compté positivement.

Le vocabulaire. Isobare : à pression constante. Isochore : à volume constant. Isotherme : à température constante. Adiabatique : sans transfert thermique, c'est-à-dire $Q = 0$. Les deux derniers ne sont pas synonymes et ne se recouvrent pas.

Les unités et les conversions. Toutes les énergies en joules ($1$ kJ $= 1000$ J) ; pression en pascals ($1$ bar $= 10^{5}$ Pa) ; volumes en mètres cubes ($1$ L $= 10^{-3}$ m³) pour que $-p\,\Delta V$ sorte directement en joules. Repère de contrôle : $1$ bar $\times$ $1$ L $= 100$ J.

Les ordres de grandeur. Travaux et transferts thermiques d'un gaz de travaux pratiques ou d'une pompe à vélo : de quelques dizaines de joules à quelques kilojoules. Une pression de $1$ à $5$ bar, une variation de volume de quelques dixièmes de litre à quelques litres donnent un travail de $10$ J à $2{,}5$ kJ environ.

Ce qui n'est pas au programme de terminale. Le travail des forces de pression hors du cas isobare, les capacités thermiques molaires, les machines thermiques et leur rendement, le second principe, l'entropie et le cycle de Carnot appartiennent à l'enseignement supérieur. Le premier principe dit ce que la comptabilité de l'énergie autorise ; il ne dit pas quel sens d'évolution la nature choisit.

1. Confondre le travail reçu et le travail fourni. C'est l'erreur centrale du chapitre. La convention se place du point de vue du gaz : un gaz comprimé reçoit du travail, donc $W > 0$ ; un gaz qui se détend en fournit, donc $W < 0$. Avant d'écrire un signe, demande-toi qui donne et qui reçoit, et reformule la phrase de l'énoncé du point de vue du gaz.
2. Écrire $\Delta U = Q$ pour une transformation qui n'est pas isochore. Cette forme simplifiée suppose $W = 0$, donc un volume qui ne varie pas. Dès que le piston bouge, les forces de pression travaillent et le terme $W$ entre dans le bilan. Ne simplifie qu'après avoir vérifié que le récipient est rigide.
3. Assimiler adiabatique et isotherme. Adiabatique signifie $Q = 0$, aucun transfert thermique ; isotherme signifie température constante. Une compression adiabatique fait monter la température — c'est la pompe à vélo qui chauffe. Les deux mots décrivent des grandeurs différentes, et confondre l'une avec l'autre change complètement le bilan.
4. Oublier le signe moins dans $W = -p\,\Delta V$. Il fait partie de la relation, et il est exactement ce qui la rend compatible avec la convention. Sans lui, une compression donnerait un travail négatif, c'est-à-dire un gaz qui cède de l'énergie alors qu'on appuie dessus.
5. Calculer $\Delta V$ dans le mauvais sens. $\Delta V = V_f - V_i$, final moins initial, toujours. « Le volume diminue de $1{,}5$ L » signifie $\Delta V = -1{,}5$ L, pas $+1{,}5$ L. Une variation se lit avec son signe, et l'énoncé dit « diminue » ou « augmente » exprès.
6. Laisser les bars et les litres dans $W = -p\,\Delta V$. La pression doit être en pascals et le volume en mètres cubes pour obtenir des joules. Utilise le repère « un bar fois un litre vaut $100$ J » comme contrôle : si ton travail sort à $3$ J ou à $3 \times 10^{5}$ J pour quelques bars et quelques litres, une conversion a été oubliée.
7. Se tromper sur le signe de $\Delta U$ dans l'énoncé. « Son énergie interne diminue de $300$ J » se traduit par $\Delta U = -300$ J, et non $+300$ J. Le mot « diminue » porte le signe ; la valeur donnée n'en est que la valeur absolue.
8. Additionner les valeurs absolues. Le premier principe additionne deux nombres signés. Un gaz qui reçoit $300$ J de travail et cède $500$ J par transfert thermique ne voit pas son énergie interne varier de $800$ J, mais de $-200$ J. En pratique, la somme algébrique ressemble souvent à une soustraction : c'est normal.
9. Parler de la « chaleur contenue » dans le gaz, ou de sa « variation de chaleur ». Un système possède une énergie interne ; il échange du travail et de la chaleur. Seule l'énergie interne a une variation, notée $\Delta U$ ; écrire $\Delta Q$ ou $\Delta W$ n'a pas de sens.
10. Prendre le piston ou l'opérateur pour le système. Le système est le gaz, et tous les signes sont écrits de son point de vue. « L'opérateur exerce un travail de $350$ J sur le piston » signifie, du point de vue du gaz, $W = +350$ J : il le reçoit.
11. Croire qu'une compression réchauffe toujours. Elle réchauffe si rien ne sort ($Q = 0$, cas adiabatique) ; elle peut refroidir le gaz si celui-ci cède plus d'énergie par transfert thermique qu'il n'en reçoit par travail. C'est le bilan qui décide du sens de variation de la température, jamais un seul des deux termes.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon décrit un gaz enfermé dans un cylindre à piston, dans une pompe à vélo bouchée ou dans une seringue bouchée, et écrit la convention de signe dans chaque énoncé. Selon le tirage, il demande la variation d'énergie interne à partir du travail et du transfert thermique reçus ; ou l'un des deux transferts à partir de l'autre et de la variation d'énergie interne ; ou le travail des forces de pression d'une compression ou d'une détente isobare, avec la relation $W = -p\,\Delta V$ rappelée ; ou le bilan complet d'une transformation isobare ; ou encore le cas d'un récipient rigide, où le travail est nul. La réponse est demandée en joules ou en kilojoules, avec son signe. Un modèle voisin, à affirmations vraies ou fausses, revient sur le signe du travail reçu par un gaz comprimé, sur le fait que $\Delta U = Q$ n'est vrai qu'en isochore, sur la différence entre adiabatique et isotherme, sur la transformation isotherme d'un gaz parfait et sur le vocabulaire des transformations.

Énoncé type. Un gaz enfermé dans un cylindre fermé par un piston reçoit un travail de $350$ J (il est comprimé) et cède un transfert thermique de $800$ J au milieu extérieur. Convention : le travail $W$ et le transfert thermique $Q$ reçus par le gaz sont comptés positivement, ceux qu'il cède négativement, et le premier principe s'écrit $\Delta U = W + Q$. Calculer la variation d'énergie interne $\Delta U$ du gaz. Répondre en joules, avec son signe.

Corrigé complet.

1. Traduire l'énoncé en valeurs signées. Le gaz reçoit le travail : $W = +350$ J. Il cède le transfert thermique : $Q = -800$ J. C'est ici que se joue l'exercice ; le reste n'est qu'une addition.

2. Appliquer le principe.

3. Interpréter. $\Delta U < 0$ : l'énergie interne du gaz diminue. Il a cédé plus d'énergie qu'il n'en a reçu, et sa température baisse — bien qu'on l'ait comprimé. La compression seule ne décide de rien : c'est le bilan des deux termes qui décide.

Réponse : $\Delta U = -450$ J.

4. Écarter les réponses voisines. $+1150$ J s'obtiendrait en additionnant les deux valeurs absolues, c'est-à-dire en ignorant la convention. $+450$ J s'obtiendrait en inversant les deux signes, ce qui décrirait un gaz qui se détend et que l'on chauffe. Et $450$ J sans signe est une réponse incomplète : la question demande le signe, parce que c'est lui qui dit si le gaz gagne ou perd de l'énergie.

Auto-contrôle. Trois questions avant de rendre. Ai-je écrit chaque grandeur avec son signe avant de calculer, en me plaçant du point de vue du gaz ? Ai-je bien additionné deux nombres signés, plutôt que deux valeurs absolues ? Et le signe de mon résultat raconte-t-il une histoire cohérente : le gaz a-t-il globalement gagné ou perdu de l'énergie ?