L'oscillateur harmonique amorti en régime libre

Tu sais déjà écrire l'équation d'un système masse-ressort idéal et en tirer une sinusoïde qui dure éternellement. Aucun oscillateur réel ne se comporte ainsi : une masse suspendue finit par s'arrêter, un pendule aussi, une aiguille de galvanomètre aussi. Il manque une force à l'équation, et cette force change tout.

Le modèle. Une masse $m$ est reliée à un ressort de raideur $k$ et subit un frottement fluide, force opposée à la vitesse et proportionnelle à son intensité : $\vec{f} = -\alpha \vec{v}$, avec $\alpha > 0$ en N·s·m⁻¹. En repérant par $x$ l'écart à la position d'équilibre, la deuxième loi de Newton projetée sur l'axe du mouvement donne

(Si le ressort est vertical, le poids ne fait que déplacer la position d'équilibre : en repérant $x$ à partir de cette nouvelle position, l'équation est identique. C'est le même argument qu'en régime non amorti.)

La forme canonique, et pourquoi elle existe. On ne garde pas $m$, $k$ et $\alpha$ : on les remplace par deux grandeurs qui ont un sens physique et dont l'une est sans dimension.

$$\ddot{x} + \frac{\omega_0}{Q}\,\dot{x} + \omega_0^{\,2}\,x = 0, \qquad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad Q = \frac{m\,\omega_0}{\alpha} = \frac{\sqrt{k\,m}}{\alpha}.$$

$\omega_0$ est la pulsation propre — celle qu'aurait l'oscillateur sans frottement — et $Q$ le facteur de qualité, nombre sans unité qui mesure la faiblesse de l'amortissement : $Q$ grand, oscillateur peu amorti.

Vérifie l'homogénéité, c'est instructif : $\alpha \dot{x}$ est une force, donc $\alpha$ s'exprime en N·s·m⁻¹ = kg·s⁻¹ ; $m\omega_0$ aussi ; leur quotient est donc bien un nombre pur. Tout l'intérêt est là : deux oscillateurs de tailles très différentes qui ont le même $Q$ ont la même allure de mouvement, à un changement d'échelle près sur le temps et sur l'amplitude.

Trois régimes, décidés par un seul test. L'équation caractéristique $r^2 + \dfrac{\omega_0}{Q}\,r + \omega_0^{\,2} = 0$ a pour discriminant

dont le signe ne dépend que de $Q$ comparé à $\dfrac{1}{2}$.

• $Q < \dfrac{1}{2}$ : $\Delta > 0$, deux racines réelles négatives. Le mouvement est la somme de deux exponentielles décroissantes : la masse revient à l'équilibre sans osciller. C'est le régime apériodique (ou fortement amorti).
• $Q = \dfrac{1}{2}$ : $\Delta = 0$, une racine double $r = -\omega_0$. Le mouvement s'écrit $(A + Bt)\,\mathrm{e}^{-\omega_0 t}$ : pas d'oscillation non plus. C'est le régime critique, et c'est celui qui ramène la masse à l'équilibre le plus vite — le résultat le plus contre-intuitif du chapitre.
• $Q > \dfrac{1}{2}$ : $\Delta < 0$, deux racines complexes conjuguées. Le mouvement oscille en s'éteignant : c'est le régime pseudo-périodique, le seul où les mots « période » et « amplitude » gardent un sens, et le seul que la suite de la leçon détaille.

Attention au sens de « le plus vite ». Augmenter l'amortissement au-delà du régime critique ne fait pas revenir la masse plus vite : cela la fait revenir plus lentement, en la freinant tout le long du trajet. Un amortisseur de voiture, un bras de porte, l'aiguille d'un appareil de mesure sont réglés au voisinage du régime critique, et pas au-delà : on veut la position d'équilibre atteinte vite et sans dépassement.

Le régime pseudo-périodique ($Q > \frac{1}{2}$) mérite d'être décrit en détail, parce que c'est le seul qui se mesure facilement.

La solution, et ce qu'elle contient. Les racines de l'équation caractéristique s'écrivent $r = -\dfrac{\omega_0}{2Q} \pm \mathrm{i}\,\omega$, avec

La solution réelle est donc

$A$ et $\varphi$ étant fixés par les conditions initiales. Elle se lit en deux morceaux : un cosinus, qui fait osciller, et une exponentielle décroissante, l'enveloppe, qui écrase progressivement les oscillations.

Ce n'est pas une période, et $\omega$ n'est pas une pulsation propre. Le mouvement n'est pas périodique : $x(t + T) \neq x(t)$, puisque l'enveloppe a baissé entre-temps. Ce qui se répète, c'est le passage par zéro dans le même sens et la succession des extrema. On parle donc de pseudo-pulsation $\omega$ et de pseudo-période

La racine carrée est un nombre strictement compris entre $0$ et $1$ : la pseudo-période est toujours plus grande que la période propre. Le frottement ralentit l'oscillateur, il ne l'accélère jamais. Pour $Q = 10$, l'écart n'est que de $0{,}13\ \%$ : c'est pourquoi, pour un oscillateur peu amorti, on confond en pratique $T$ et $T_0$ — mais on sait dans quel sens on triche.

Le temps de relaxation. L'enveloppe est $A\,\mathrm{e}^{-t/\tau}$ avec

C'est le temps au bout duquel l'amplitude a été divisée par $\mathrm{e}$. Note bien que $\tau$ ne dépend que de $m$ et de $\alpha$ : la raideur du ressort fixe la vitesse des oscillations, pas la vitesse de leur extinction.

Le décrément logarithmique. On mesure sur un enregistrement deux élongations séparées d'une pseudo-période, $x(t)$ et $x(t + T)$. Leur rapport ne dépend pas de $t$ :

On appelle décrément logarithmique le logarithme de ce rapport :

C'est le logarithme du rapport, pas le rapport : la confusion coûte cher, et elle se repère à l'ordre de grandeur ($\delta$ vaut typiquement quelques dixièmes, le rapport vaut quelques unités). Le décrément est la grandeur qu'on mesure vraiment : il suffit de deux maxima successifs lus sur une acquisition pour en tirer $Q$, puis $\alpha$.

Après $n$ pseudo-périodes, l'amplitude est divisée par $\mathrm{e}^{n\delta}$ :

L'énergie. L'énergie mécanique $E = \dfrac{1}{2}m\dot{x}^2 + \dfrac{1}{2}k x^2$ n'est plus conservée : sa dérivée vaut $\dfrac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t} = -\alpha\,\dot{x}^2 \le 0$. Elle décroît donc constamment, et le travail de la force de frottement est intégralement dissipé — chauffage du fluide, jamais restitué. Comme l'énergie est quadratique en amplitude, elle décroît deux fois plus vite que celle-ci : son temps caractéristique vaut $\dfrac{\tau}{2}$. Pour un oscillateur peu amorti, on montre que

ce qui donne au facteur de qualité son nom : il compte combien d'oscillations l'oscillateur « tient » avant de s'éteindre. Un $Q$ de $10$ signifie grossièrement une dizaine d'oscillations visibles.

Retour sur le régime critique. Pourquoi le retour le plus rapide n'est-il pas obtenu avec l'amortissement le plus fort ? Parce qu'en régime apériodique, la solution contient une exponentielle lente, $\mathrm{e}^{r_+ t}$ avec $r_+ = -\dfrac{\omega_0}{2Q}\left(1 - \sqrt{1 - 4Q^2}\right)$, dont le temps caractéristique augmente quand $\alpha$ augmente : plus on freine, plus la fin du retour traîne. Au régime critique, cette exponentielle lente n'existe pas encore, et le retour est en $\mathrm{e}^{-\omega_0 t}$, le plus rapide possible. La condition $Q = \dfrac{1}{2}$ s'écrit $\alpha = 2\sqrt{km}$, soit, à $k$ et $\alpha$ fixés, une masse critique

Et le circuit RLC ? Un circuit RLC série obéit à la même équation, avec $\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ et $Q = \dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}$ : trois régimes, pseudo-période, décrément, tout se transpose. C'est l'objet d'une autre fiche du même cycle ; ici, il suffit de savoir que l'analogie existe et qu'elle est exacte, pas seulement suggestive.

Énoncé. Une masse $m = 0{,}200$ kg glisse sur un banc horizontal, reliée à un ressort de raideur $k = 80{,}0$ N·m⁻¹ ; une palette plongée dans un liquide exerce sur elle une force de frottement fluide $\vec{f} = -\alpha\vec{v}$ avec $\alpha = 0{,}800$ N·s·m⁻¹. On l'écarte de $A_0 = 5{,}00$ cm et on la lâche sans vitesse initiale.

1. Déterminer la pulsation propre et le facteur de qualité, et en déduire le régime.
2. Calculer la pseudo-période, et la comparer à la période propre.
3. Calculer le temps de relaxation et le décrément logarithmique.
4. Quelle amplitude reste-t-il après trois pseudo-périodes ?
5. Quelle masse faudrait-il pour que ce même dispositif soit en régime critique ?

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1. Les deux paramètres, et le régime.

Comme $Q = 5{,}00 > \dfrac{1}{2}$, le régime est pseudo-périodique : la masse va osciller en s'amortissant. (On aurait obtenu le même nombre par $Q = \dfrac{\sqrt{km}}{\alpha} = \dfrac{\sqrt{80{,}0 \times 0{,}200}}{0{,}800} = \dfrac{4{,}00}{0{,}800}$.)

2. La pseudo-période. La période propre vaut

et la pseudo-pulsation

d'où

La pseudo-période dépasse la période propre d'environ $0{,}50\ \%$ : l'écart est réel mais faible, comme il se doit pour $Q = 5$. Il est positif, toujours.

3. Relaxation et décrément.

Contrôle par la formule directe, qui n'utilise que $Q$ : $\delta = \dfrac{2\pi}{\sqrt{4Q^2 - 1}} = \dfrac{2\pi}{\sqrt{99}} \approx 0{,}631$. Les deux chemins donnent le même nombre, ce qui valide $T$ au passage. Le rapport de deux maxima successifs vaut $\mathrm{e}^{0{,}631} \approx 1{,}88$ : chaque oscillation conserve $1/1{,}88 \approx 53\ \%$ de l'amplitude précédente, donc en perd $47\ \%$. Retiens la hiérarchie des trois nombres : le rapport $1{,}88$, son logarithme $0{,}631$ — c'est le décrément — et le pourcentage conservé $53\ \%$. Les confondre est la faute la plus fréquente du chapitre.

4. Après trois pseudo-périodes.

Il reste donc environ $7{,}5$ mm : l'amplitude a été divisée par près de sept en trois oscillations, soit un peu moins d'une seconde. L'énergie, elle, a été divisée par environ $(1/0{,}150)^2 \approx 44$ : il n'en reste que $2\ \%$.

5. La masse critique. Le régime critique exige $Q = \dfrac{1}{2}$, soit $\sqrt{km} = \dfrac{\alpha}{2}$, donc

Autrement dit, avec ce ressort et ce fluide, il faudrait une masse cent fois plus légère pour supprimer les oscillations. À l'inverse, l'amortisseur qu'il faudrait pour rendre critique la masse de $200$ g serait $\alpha_c = 2\sqrt{km} = 2 \times 4{,}00 = 8{,}00$ N·s·m⁻¹, soit dix fois celui du montage.

Contrôle d'ensemble. $T > T_0$ ? Oui, de peu, cohérent avec $Q$ grand. $\delta$ de l'ordre de quelques dixièmes ? Oui. $\tau$ de l'ordre de quelques pseudo-périodes ? $\tau/T \approx 1{,}6$, et $Q$ grand annonce quelques oscillations visibles : cohérent. Trois vérifications qui ne coûtent rien et attrapent presque toutes les erreurs de formule.

Figure (fig.physics.damped-oscillator, SVG programmatique à produire) : deux panneaux, la comparaison des régimes à gauche, la mesure du décrément à droite.

• Panneau gauche — trois régimes, mêmes conditions initiales. Un repère unique : axe horizontal $t$ en secondes, gradué de $0$ à $1{,}5$, à partir de zéro ; axe vertical $x$ en centimètres, gradué de $-4$ à $+5$, avec l'axe $x = 0$ tracé en trait continu et étiqueté « position d'équilibre ». Trois courbes issues du même point $(0\ ;\ 5)$ avec une tangente horizontale (lâcher sans vitesse), toutes calculées pour $\omega_0 = 20{,}0$ rad·s⁻¹ : (1) $Q = 5$, trait plein, oscillante et amortie ; (2) $Q = 0{,}5$, trait tireté, retour direct sans franchir l'axe ; (3) $Q = 0{,}15$, trait pointillé, retour direct mais nettement plus lent que le précédent. Trois étiquettes posées le long des courbes elles-mêmes — pas seulement dans une légende de couleurs — « pseudo-périodique, $Q = 5$ », « critique, $Q = 0{,}5$ : le plus rapide », « apériodique, $Q = 0{,}15$ : plus amorti, donc plus lent ». Une bande verticale grisée marque l'instant où la courbe critique passe sous $1\ \%$ de $A_0$, et une flèche montre que la courbe apériodique y est encore au-dessus : c'est la démonstration visuelle du contre-sens le plus fréquent.
• Panneau droit — lire le décrément. La seule courbe $Q = 5$, agrandie, avec son enveloppe $\pm A_0\,\mathrm{e}^{-t/\tau}$ tracée en trait fin des deux côtés et étiquetée « $\tau = 0{,}500$ s ». Les trois premiers maxima sont marqués par des disques, à $t \approx 0$, $t \approx 0{,}316$ s et $t \approx 0{,}632$ s, avec leurs ordonnées $5{,}00$ ; $2{,}66$ et $1{,}42$ cm. Un segment horizontal double flèche entre les deux premiers maxima porte « $T \approx 0{,}316$ s (pseudo-période) », et une accolade verticale reliant leurs deux hauteurs porte « rapport $\approx 1{,}88$, donc $\delta = \ln 1{,}88 \approx 0{,}631$ ». En pointillé, la période propre $T_0 \approx 0{,}314$ s est reportée sur le même axe, juste en dessous, pour montrer qu'elle est plus courte — l'écart est petit, il est donc dessiné avec un agrandissement local encadré.

Ce qu'il faut lire. À gauche : le régime ne se devine pas à l'œil, il se calcule par $Q$ comparé à $\dfrac{1}{2}$ ; et « plus amorti » n'est pas « plus rapide ». À droite : le décrément n'est pas une propriété d'un instant mais d'un rapport entre deux instants séparés d'une pseudo-période, et ce rapport est le même quel que soit le couple de maxima choisi — c'est ce qui en fait une mesure fiable.

La figure en détail : la figure comprend deux graphiques. Dans le premier, trois courbes partent du même écart initial avec une vitesse nulle et reviennent vers la position d'équilibre, tracée en trait continu. La première oscille de part et d'autre de l'équilibre en s'amortissant ; la deuxième revient à l'équilibre sans le dépasser, et c'est elle qui y parvient le plus vite ; la troisième, plus fortement freinée, revient sans dépassement elle aussi, mais plus lentement. Chaque courbe porte son étiquette le long de son tracé, et une bande verticale montre que la courbe la plus amortie est encore loin de l'équilibre quand la deuxième y est déjà. Le second graphique agrandit la courbe oscillante : deux courbes exponentielles décroissantes symétriques encadrent ses oscillations, les trois premiers maxima sont marqués, l'écart de temps entre les deux premiers est indiqué comme pseudo-période, et le rapport de leurs hauteurs est indiqué comme la quantité dont le logarithme est le décrément logarithmique. La période propre, plus courte, est reportée en dessous pour comparaison.

Ordres de grandeur utiles. Un ressort de travaux pratiques a une raideur de quelques dizaines de N·m⁻¹ ; un facteur de qualité de $10$ correspond à une dizaine d'oscillations visibles et à un écart $T/T_0$ de $0{,}13\ \%$ seulement ; un amortisseur de véhicule est réglé un peu en deçà du régime critique ($Q$ légèrement supérieur à $1/2$), pour absorber vite sans rebondir.

Ce qui n'est pas dans cette leçon. Le régime sinusoïdal forcé et la résonance, la fonction de transfert et le diagramme de Bode, le portrait de phase, le frottement solide (force d'intensité constante, qui donne une décroissance linéaire de l'amplitude et non exponentielle). Le circuit RLC série obéit à la même équation, mais son étude appartient à la fiche d'électrocinétique du même cycle.

1. Confondre pseudo-période et période propre. $T = \dfrac{T_0}{\sqrt{1 - 1/(4Q^2)}}$ : le dénominateur est strictement plus petit que $1$, donc $T > T_0$, toujours. Si ton calcul donne une pseudo-période plus courte que la période propre, c'est une racine mal placée, pas un cas particulier.
2. Annoncer un régime pseudo-périodique dès qu'il y a des frottements. Le frottement ne suffit pas : il faut $Q > \dfrac{1}{2}$. Un amortissement fort supprime complètement les oscillations. Le seul test valable est le calcul de $Q$, jamais l'allure supposée du dispositif.
3. Prendre le décrément pour le rapport de deux élongations. $\delta$ est le logarithme de ce rapport. Un rapport de $1{,}9$ donne $\delta \approx 0{,}63$ ; annoncer $\delta = 1{,}9$ trahit l'oubli du logarithme, et le nombre est presque toujours trop grand d'un facteur $3$ environ.
4. Croire que « plus amorti » veut dire « revient plus vite ». C'est faux au-delà du régime critique : au-delà, une exponentielle lente apparaît, et le retour traîne. Le retour le plus rapide est obtenu exactement en $Q = \dfrac{1}{2}$.
5. Faire dépendre $\tau$ de la raideur. $\tau = \dfrac{2m}{\alpha}$ : le ressort n'y figure pas. Changer $k$ change la pseudo-période et le décrément, jamais le temps de relaxation de l'amplitude.
6. Confondre le temps de décroissance de l'amplitude et celui de l'énergie. L'énergie est quadratique en amplitude : elle décroît en $\mathrm{e}^{-2t/\tau}$, donc deux fois plus vite. Une amplitude divisée par $2$ est une énergie divisée par $4$.
7. Oublier que $Q$ est sans dimension. Si ton expression de $Q$ porte une unité, elle est fausse. C'est le contrôle le plus rapide du chapitre : $\sqrt{km}$ et $\alpha$ s'expriment tous deux en kg·s⁻¹.
8. Écrire l'équation caractéristique avec un signe faux. Elle se lit directement sur la forme canonique : $r^2 + \dfrac{\omega_0}{Q}r + \omega_0^{\,2} = 0$. Les deux coefficients sont positifs, donc les racines réelles éventuelles sont négatives — ce qui est heureux, sans quoi le mouvement divergerait.
9. Utiliser $\omega$ dans l'enveloppe, ou $\omega_0$ dans le cosinus. La solution est $A\,\mathrm{e}^{-\omega_0 t/(2Q)}\cos(\omega t + \varphi)$ : le taux d'extinction fait intervenir $\omega_0$ et $Q$, l'oscillation fait intervenir $\omega$. Les échanger donne un décrément faux d'un facteur voisin de $1$, donc difficile à repérer sur un ordre de grandeur : seule la relecture de la formule protège.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon décrit un montage masse-ressort-amortisseur dont l'énoncé donne toujours $m$, $k$ et $\alpha$, et rien d'autre : le facteur de qualité, la pseudo-période, le décrément, le temps de relaxation, l'amplitude après $n$ pseudo-périodes ou la masse qui rendrait le régime critique sont demandés tour à tour, selon le tirage. Les définitions ne sont jamais rappelées dans l'énoncé — c'est le contenu de la fiche. Un modèle voisin, à choix multiples, propose quatre valeurs de même unité, chacun des trois distracteurs étant l'une des erreurs listées ci-dessus.

Énoncé type. Une masse $m = 0{,}500$ kg est reliée à un ressort de raideur $k = 50{,}0$ N·m⁻¹ et soumise à une force de frottement fluide $\vec{f} = -\alpha\vec{v}$ avec $\alpha = 2{,}50$ N·s·m⁻¹. Déterminer le décrément logarithmique du mouvement.

Corrigé complet.

1. Pulsation propre.

2. Facteur de qualité, et régime.

$Q = 2{,}00 > \dfrac{1}{2}$ : le régime est pseudo-périodique, le décrément a donc un sens. (Sans cette vérification, la formule suivante donnerait une racine d'un nombre négatif.)

3. Décrément, par la formule directe.

4. Contrôle par l'autre chemin. On peut aussi passer par le temps et vérifier que les deux routes concordent :

5. Lire le résultat. Un décrément de $1{,}62$ signifie que deux maxima successifs sont dans le rapport $\mathrm{e}^{1{,}62} \approx 5{,}1$ : l'amplitude est divisée par cinq à chaque oscillation. Avec $Q = 2$, on ne verra donc que deux ou trois oscillations — cohérent avec le sens du facteur de qualité. On vérifie aussi que $T \approx 0{,}649$ s dépasse bien $T_0 = \dfrac{2\pi}{10{,}0} \approx 0{,}628$ s.

Réponse : $\delta \approx 1{,}62$ (grandeur sans unité).

Auto-contrôle. Ai-je vérifié $Q > \dfrac{1}{2}$ avant d'employer une formule du régime pseudo-périodique ? Mon $Q$ est-il bien sans unité ? Ai-je pris le logarithme du rapport des maxima, et non le rapport lui-même ? Et ma pseudo-période dépasse-t-elle la période propre ?