La loi de Coulomb : la jumelle électrique de la gravitation

Frotte une règle en plastique sur un pull et approche-la de petits bouts de papier : ils sautent vers elle. Frotte deux ballons de baudruche et approche-les l'un de l'autre : ils s'écartent. Une même cause — l'électrisation — produit tantôt une attraction, tantôt une répulsion. Aucune interaction vue jusqu'ici ne sait faire les deux : la gravitation, elle, ne fait qu'attirer. La différence tient à la grandeur qui commande l'interaction.

La charge électrique $q$ est une grandeur physique qui peut être positive ou négative. Elle s'exprime en coulombs (symbole C). Deux charges de même signe se repoussent ; deux charges de signes opposés s'attirent.

D'où vient la charge ? De la structure de la matière, que la chimie de seconde décrit en parallèle : les protons portent une charge positive, les électrons une charge négative de même valeur, et un corps s'électrise en gagnant ou perdant des électrons — jamais en en créant. La plus petite charge isolable est celle du proton, appelée charge élémentaire :

Toute charge observée est un multiple entier de $e$ : un ion qui a perdu deux électrons porte $q = +2e = 3{,}20 \times 10^{-19}$ C ; un électron porte $q = -e$. Attention à ne pas confondre le nombre de charges élémentaires (un entier, sans unité, lu sur la formule de l'ion) et la charge elle-même (en coulombs).

Reste à chiffrer la force. La loi a été établie par Charles-Augustin Coulomb en 1785, avec une balance de torsion — et sa forme va te sembler étrangement familière :

Loi de Coulomb. Deux corps ponctuels A et B, portant les charges $q_A$ et $q_B$, séparés d'une distance $d$, exercent l'un sur l'autre des forces de même valeur $F = k \times \dfrac{|q_A \times q_B|}{d^{2}}$, avec $F$ en newtons (N), les charges en coulombs (C), $d$ en mètres (m), et $k = 9{,}0 \times 10^{9}$ N·m²·C⁻² la constante de Coulomb, toujours donnée.

Une constante, un produit de deux grandeurs propres aux corps, une distance au carré au dénominateur : c'est, terme à terme, la structure de la loi de gravitation de la leçon précédente. Les barres de valeur absolue signalent la seule subtilité d'écriture : la valeur d'une force est toujours positive, quel que soit le signe des charges. Le signe des charges ne règle pas la valeur — il règle le sens : attraction ou répulsion.

La comparaison terme à terme. Mettons les deux lois face à face — c'est le cœur du programme, et les deux leçons sont faites pour être lues ensemble.

Les ressemblances d'abord, parce qu'elles font gagner du temps : tout ce que tu sais manier sur la gravitation se transpose tel quel. Multiplier la distance par $3$ divise la force par $9$ ; la force est réciproque (la petite charge « rend » exactement ce qu'elle reçoit) ; isoler une charge ou la distance suit les mêmes gestes algébriques ; et la distance est celle des centres.

Les différences ensuite, parce qu'elles sont la matière des questions de cours.

Première différence : le signe. Une masse est positive, une charge ne l'est pas forcément. La gravitation ne sait qu'attirer ; l'électrostatique attire ($q_A q_B < 0$) ou repousse ($q_A q_B > 0$). C'est la répulsion qui rend l'électricité si visible au quotidien : cheveux qui se dressent, ballons qui s'écartent.

Seconde différence : l'ordre de grandeur. Comparons les deux forces entre deux protons (charge $+e$, masse $m_p = 1{,}67 \times 10^{-27}$ kg). Comme les deux lois sont en $1/d^{2}$, la distance se simplifie dans leur rapport, qui ne dépend de rien d'autre que des constantes :

Un $1$ suivi de trente-six zéros. Entre particules, la gravitation est si ridiculement faible qu'on l'ignore purement et simplement : c'est l'interaction électrostatique qui fait la cohésion de la matière — elle retient les électrons autour des noyaux, elle lie les ions dans un cristal de sel.

Alors pourquoi la gravitation gouverne-t-elle le ciel ? Si l'électricité est $10^{36}$ fois plus forte, pourquoi les planètes obéissent-elles à Newton et pas à Coulomb ? Parce que la matière, à grande échelle, est électriquement neutre : autant de protons que d'électrons, des charges qui se compensent, une force électrique résultante quasi nulle. Les masses, elles, ne se compensent jamais — elles s'ajoutent toujours. La gravitation gagne le cosmos par forfait : minuscule mais jamais annulée, elle est la seule qui reste quand tout est neutre.

Les unités en pratique. Un coulomb est une charge énorme : les corps électrisés du laboratoire portent des nanocoulombs ($1$ nC $= 10^{-9}$ C) ou des microcoulombs ($1$ µC $= 10^{-6}$ C). Toute donnée en nC ou µC se convertit en coulombs avant d'entrer dans la loi, et toute distance en centimètres se convertit en mètres — la loi ne travaille qu'en unités SI, comme toujours.

Énoncé. Deux sphères conductrices isolées portent les charges $q_A = +5{,}2$ µC et $q_B = +3{,}8$ µC. Leurs centres sont distants de $d = 20$ cm. Par ailleurs, dans un atome d'hydrogène, un électron (charge $-e$) se trouve à la distance $d' = 5{,}3 \times 10^{-11}$ m d'un proton (charge $+e$). On donne $k = 9{,}0 \times 10^{9}$ N·m²·C⁻² et $e = 1{,}60 \times 10^{-19}$ C.

Question 1. Les deux sphères s'attirent-elles ou se repoussent-elles ? Calculer la valeur $F$ de la force, avec 3 chiffres significatifs.

Question 2. Calculer la valeur $F'$ de la force électrostatique entre l'électron et le proton, avec 3 chiffres significatifs, et préciser son sens.

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Question 1 — les deux sphères.

1. Lire les signes. Les deux charges sont positives : même signe, les sphères se repoussent. Le sens est réglé avant tout calcul — la loi ne donnera que la valeur.

2. Convertir en unités SI. $q_A = 5{,}2$ µC $= 5{,}2 \times 10^{-6}$ C ; $q_B = 3{,}8 \times 10^{-6}$ C ; $d = 20$ cm $= 0{,}20$ m.

3. Appliquer la loi, d'un seul trait.

Les deux sphères se repoussent, chacune subissant une force d'environ $4{,}45$ N.

4. Contrôler. Quelques newtons — le poids d'une petite bouteille d'eau — pour des charges de quelques microcoulombs à vingt centimètres : c'est l'ordre de grandeur d'une belle expérience d'électrostatique. Et par réciprocité, la sphère la moins chargée subit exactement la même valeur de force que l'autre.

Question 2 — l'électron et le proton.

1. Lire les signes. $-e$ et $+e$ : signes opposés, la force est attractive — c'est elle qui retient l'électron autour du noyau.

2. Écrire le produit des charges. Les deux charges ont la même valeur absolue $e$, donc $|q_A \times q_B| = e^{2} = (1{,}60 \times 10^{-19})^{2} = 2{,}56 \times 10^{-38}$ C².

3. Appliquer la loi.

La force qui lie l'électron au proton vaut environ $8{,}20 \times 10^{-8}$ N, attractive.

4. Interpréter l'ordre de grandeur. Huit centièmes de micronewton : cela semble infime, mais rapporté à la masse dérisoire de l'électron, c'est une emprise colossale — et c'est cette force, pas la gravitation, qui fait tenir l'atome. Le même calcul mené avec la loi de gravitation (masses de l'électron et du proton au lieu des charges) donnerait un résultat environ $10^{39}$ fois plus faible : à l'échelle atomique, la gravitation ne compte pas.

Figure (fig.physics.coulomb-law, SVG programmatique à produire) : trois panneaux empilés.

• Panneau du haut — les trois cas de signes. Trois lignes. Ligne 1 : deux sphères marquées $+$ et $+$, flèches de force divergentes (chacune fuit l'autre), légende « même signe : répulsion ». Ligne 2 : deux sphères $-$ et $-$, flèches divergentes également. Ligne 3 : sphères $+$ et $-$, flèches convergentes (chacune pointe vers l'autre), légende « signes opposés : attraction ». Sur chaque ligne, les deux flèches ont exactement la même longueur, et une note commune à droite : « valeur identique des deux côtés, quel que soit le déséquilibre des charges ».
• Panneau du milieu — la décroissance en $1/d^{2}$. Même construction que dans la leçon sur la gravitation, volontairement : trois paires de charges aux distances $d$, $2d$, $3d$, flèches de force en « $F$ », « $F/4$ », « $F/9$ », et la courbe décroissante au-dessus. Une étiquette souligne le parallèle : « même géométrie que la gravitation — seule la grandeur qui interagit change ».
• Panneau du bas — le duel des deux interactions. Deux protons face à face. Entre eux, deux flèches superposées à des échelles incomparables : une grande flèche pleine « force électrostatique (répulsive) » et, dessinée en insert grossi à la loupe car invisible à l'échelle, une flèche minuscule « force gravitationnelle (attractive) ». La légende porte le rapport calculé en cours : « rapport ≈ $10^{36}$, indépendant de la distance ». En vis-à-vis, une vignette d'astres neutres avec la mention : « matière neutre à grande échelle : l'électricité s'annule, la gravitation reste ».

Ce qu'il faut lire. Le panneau du haut sépare ce que règlent les signes (le sens : attraction ou répulsion) de ce que règle la loi (la valeur, toujours positive) — et rappelle la réciprocité par l'égalité des flèches. Le panneau du milieu montre que la signature en $1/d^{2}$ est commune aux deux grandes lois de la seconde. Le panneau du bas résout le paradoxe apparent : l'électricité écrase la gravitation entre particules, mais s'annule dans la matière neutre — chaque interaction règne sur son échelle.

Les unités. Charges en coulombs, distance en mètres, force en newtons — conversions avant la substitution (nC et µC vers C, cm vers m). La valeur absolue dans la loi n'est pas décorative : elle garantit une valeur de force positive même quand le produit des charges est négatif.

Le miroir gravitationnel, en une phrase. Même forme, même $1/d^{2}$, même réciprocité que la loi de gravitation ; deux différences seulement — la charge a un signe (l'électrostatique sait repousser) et les intensités sont sans commune mesure à l'échelle des particules. Réviser l'une des deux leçons, c'est réviser la moitié de l'autre.

1. Oublier que deux charges de même signe se repoussent. Le réflexe « interaction = attraction », hérité de la gravitation, est faux ici : le sens dépend des signes, et lui seul. Avant tout calcul, lire les signes et écrire « attraction » ou « répulsion » — la loi, avec sa valeur absolue, ne le dira pas à ta place.
2. Oublier d'élever la distance au carré. Même piège, même remède que pour la gravitation : la parenthèse $(0{,}20)^{2}$ se tape en entier à la calculatrice, puissance comprise, avant de diviser.
3. Confondre la charge et le nombre de charges élémentaires. Un ion $\mathrm{Ca}^{2+}$ porte $z = 2$ charges élémentaires (un entier sans unité) et une charge $q = +2e = 3{,}20 \times 10^{-19}$ C (des coulombs). Répondre « $2$ » quand on demande la charge, c'est confondre le compteur et la grandeur comptée.
4. Oublier les conversions de préfixes. Des microcoulombs pris pour des coulombs faussent le résultat d'un facteur $10^{12}$ dans le produit des charges. Toute donnée passe en unités SI avant la substitution — nC, µC, cm compris.
5. Donner un signe à la valeur de la force. La valeur $F$ est une norme : positive par définition, d'où la valeur absolue dans la loi. Le signe des charges s'exprime dans le sens des flèches, pas dans le nombre de newtons.
6. Croire que la petite charge subit moins que la grosse. Les deux charges figurent dans le même produit : les deux forces ont la même valeur, exactement comme la Terre et la pomme en gravitation. Ce qui diffère, c'est l'effet, jamais la force.
7. Faire dépendre le rapport gravitation/électricité de la distance. Les deux lois sont en $1/d^{2}$ : dans leur rapport, la distance disparaît. Le $10^{36}$ entre deux protons vaut à un nanomètre comme à un kilomètre — c'est un rapport de constantes, pas une affaire d'éloignement.
8. En conclure que la gravitation ne sert à rien. Entre particules, oui, on la néglige. Mais à grande échelle, la matière est neutre : les charges se compensent, les masses jamais. Chaque interaction domine son monde — l'atome pour Coulomb, le ciel pour Newton — et confondre les échelles fait rater les questions de cours des deux leçons.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon fait manier la loi de Coulomb dans les deux sens (calculer la force, retrouver la distance), calcule la charge d'un ion à partir de sa formule ($q = z \times e$, signe compris), et chiffre la force qui lie l'électron au proton dans l'atome d'hydrogène. Les charges sont données en nanocoulombs ou microcoulombs et les distances en centimètres : les conversions font partie de l'exercice. Un modèle voisin, à choix multiples, interroge le qualitatif — signes et sens, effet d'un changement de distance, comparaison avec la gravitation.

Énoncé type. Deux petites billes métalliques ont été électrisées puis suspendues face à face. La première porte la charge $q_A = +6{,}4$ µC, la seconde $q_B = -2{,}5$ µC. Leurs centres sont distants de $d = 25$ cm. On donne $k = 9{,}0 \times 10^{9}$ N·m²·C⁻². Les billes s'attirent-elles ou se repoussent-elles ? Calculer la valeur $F$ de la force électrostatique, en newtons, avec 3 chiffres significatifs.

Corrigé complet.

1. Lire les signes. $q_A > 0$ et $q_B < 0$ : signes opposés, les billes s'attirent. Le sens est acquis ; reste la valeur.

2. Convertir en unités SI. $q_A = 6{,}4 \times 10^{-6}$ C ; $q_B = -2{,}5 \times 10^{-6}$ C ; $d = 0{,}25$ m.

3. Appliquer la loi, valeur absolue comprise, d'un seul trait :

Les billes s'attirent, chacune subissant une force d'environ $2{,}30$ N.

4. Contrôler. Ordre de grandeur : quelques newtons pour des microcoulombs à quelques dizaines de centimètres — cohérent avec l'expérience décrite. Le signe négatif de $q_B$ n'apparaît pas dans la valeur : il a déjà servi, à l'étape 1, à décider de l'attraction. Et par réciprocité, la bille la moins chargée subit la même valeur de force que l'autre.

Auto-contrôle. Trois questions avant de rendre. Ai-je décidé du sens avant de calculer, en lisant les signes ? Mes charges sont-elles en coulombs et ma distance en mètres ? Et le carré de la distance est-il bien passé au dénominateur ?