Le photon et les spectres : la lumière par paquets d'énergie

Depuis la seconde, la lumière est pour toi une onde : une radiation monochromatique se caractérise par sa longueur d'onde dans le vide $\lambda$ — de $380$ nm (violet) à $780$ nm (rouge) pour le visible —, ou, ce qui revient au même, par sa fréquence $\nu$ (« nu »), les deux étant liées par la célérité de la lumière dans le vide :

Ce modèle explique la réfraction, la dispersion par un prisme, les couleurs. Il échoue devant une question simple : comment la lumière échange-t-elle de l'énergie avec la matière ? Au début du XXe siècle, Planck puis Einstein ont dû admettre que cet échange ne se fait pas continûment, mais par quantités indivisibles, proportionnelles à la fréquence. Ces grains de lumière sont les photons.

Le photon. Une radiation de fréquence $\nu$ (de longueur d'onde dans le vide $\lambda$) est constituée de photons, particules sans masse se déplaçant à la célérité $c$, portant chacun l'énergie $E = h\,\nu = \dfrac{h\,c}{\lambda}$, où $h = 6{,}63 \times 10^{-34}$ J·s est la constante de Planck.

Deux lectures de cette relation. L'énergie d'un photon ne dépend que de sa fréquence — donc de sa couleur : un photon violet porte deux fois plus d'énergie qu'un photon rouge, un photon ultraviolet davantage encore, un photon infrarouge moins. L'intensité d'une lumière ne change pas l'énergie de ses photons : une lampe plus puissante émet plus de photons par seconde, chacun avec la même énergie. C'est pour cela qu'un ultraviolet faible brûle la peau quand un rouge intense la chauffe seulement : ce qui compte pour la matière, c'est l'énergie de chaque grain.

L'électronvolt. Un photon visible porte quelques $10^{-19}$ J — un nombre impraticable. On utilise l'électronvolt : $1\ \text{eV} = 1{,}60 \times 10^{-19}$ J, l'énergie qu'acquiert un électron accéléré par une tension de un volt. Le visible s'étend alors de $1{,}6$ eV (rouge) à $3{,}3$ eV (violet). Pour convertir des joules en électronvolts, on divise par $1{,}60 \times 10^{-19}$ ; le nombre obtenu est bien plus grand, parce que l'unité est bien plus petite.

Où va l'énergie du photon ? Dans l'atome — mais pas n'importe comment. Un atome ne peut pas posséder n'importe quelle énergie : ses niveaux d'énergie sont quantifiés, comme les barreaux d'une échelle, et entre deux barreaux il n'y a rien. Le niveau le plus bas est l'état fondamental ; les autres sont des états excités. Passer d'un niveau à un autre exige d'échanger exactement la différence d'énergie — et c'est un photon qui la porte.

Émission et absorption. Quand un atome passe d'un niveau d'énergie $E_{\text{haut}}$ à un niveau plus bas $E_{\text{bas}}$, il émet un photon d'énergie $h\nu = E_{\text{haut}} - E_{\text{bas}}$. Il ne peut absorber un photon que si l'énergie de celui-ci correspond exactement à une différence entre deux de ses niveaux ; il monte alors au niveau supérieur.

Un atome ne discute pas : ou l'énergie du photon correspond à un écart entre deux barreaux, ou le photon passe sans être absorbé.

Le spectre de raies d'émission — la signature d'un élément. Un gaz à basse pression, excité par une décharge électrique ou par la chaleur, contient des atomes portés à des états excités ; en redescendant, ils émettent des photons dont les énergies sont les différences entre niveaux. Or ces niveaux sont propres à chaque élément : le spectre est fait de raies fines et colorées sur fond noir, à des longueurs d'onde caractéristiques — le doublet jaune du sodium à $589$ nm, la raie rouge de l'hydrogène à $656$ nm, la raie verte du mercure à $546$ nm. Deux éléments n'ont jamais le même jeu de raies ; on identifie ainsi un élément dans une lampe, une flamme, une étoile à des années-lumière.

Le spectre continu — une source chaude et dense. Le filament d'une lampe à incandescence, une braise, la surface du Soleil émettent toutes les longueurs d'onde d'une bande continue : les atomes y sont si serrés et si agités que leurs niveaux se brouillent en un continuum, et le spectre ne dépend plus de l'élément mais de la température — plus la source est chaude, plus son spectre s'enrichit en courtes longueurs d'onde, du rouge sombre au blanc puis au bleu. C'est ce que tu as vu en seconde : le spectre d'une source chaude.

Le spectre de raies d'absorption — le négatif de l'émission. Faisons passer la lumière blanche d'une source chaude à travers un gaz froid. Les atomes du gaz absorbent exactement les photons dont l'énergie correspond à leurs transitions — les mêmes qu'ils sauraient émettre — et les réémettent dans toutes les directions : dans le faisceau transmis, ces longueurs d'onde manquent. Le spectre est continu, strié de raies noires aux positions des raies d'émission du même élément. C'est ainsi que l'on connaît la composition de l'atmosphère du Soleil : les raies sombres de son spectre, observées par Fraunhofer, sont celles des éléments qui, dans ses couches externes, absorbent la lumière venue de sa surface. C'est dans le spectre du Soleil que l'hélium a été repéré, avant d'être trouvé sur Terre.

Les niveaux de l'atome d'hydrogène. Les énoncés les donnent en tableau : $E_1 = -13{,}6$ eV, $E_2 = -3{,}40$ eV, $E_3 = -1{,}51$ eV, $E_4 = -0{,}85$ eV, $E_5 = -0{,}54$ eV — des valeurs mesurées, qui suivent $E_n = -13{,}6/n^2$ eV. Elles sont négatives : l'origine est prise à l'énergie de l'électron arraché à l'atome (ionisation), et un atome lié a moins d'énergie qu'un atome ionisé. L'écart entre deux niveaux, seule quantité physique, est positif : $E_3 - E_2 = -1{,}51 - (-3{,}40) = 1{,}89$ eV. Les niveaux se resserrent en montant — de $E_1$ à $E_2$, $10{,}2$ eV ; de $E_4$ à $E_5$, $0{,}31$ eV —, et au-dessus de $0$ eV l'électron est libre : l'énergie n'est plus quantifiée.

Le sens du photon se lit sur le sens de la transition. De $n = 3$ vers $n = 2$ : l'atome descend, il émet. De $n = 2$ vers $n = 3$ : il monte, il doit absorber un photon de la même énergie, $1{,}89$ eV — ni plus, ni moins. Un photon de $2$ eV ne fait rien à un atome d'hydrogène dans l'état $n = 2$ : aucun barreau à $2$ eV au-dessus.

Ce qui n'est pas ici. Pourquoi les niveaux sont quantifiés (mécanique quantique, supérieur) ; l'effet photoélectrique en détail, la dualité onde-particule formalisée (Terminale). En première, deux idées et une relation : la lumière arrive par grains d'énergie $h\nu$, la matière n'en accepte que certains.

Énoncé. Les niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène sont donnés : $E_1 = -13{,}6$ eV, $E_2 = -3{,}40$ eV, $E_3 = -1{,}51$ eV, $E_4 = -0{,}85$ eV. On donne $h = 6{,}63 \times 10^{-34}$ J·s, $c = 3{,}00 \times 10^{8}$ m/s, $1$ eV $= 1{,}60 \times 10^{-19}$ J, et les bornes du visible : $380$ nm à $780$ nm.

Questions. 1. Un atome d'hydrogène passe du niveau $n = 3$ au niveau $n = 2$. Émet-il ou absorbe-t-il un photon ? Calculer l'énergie de ce photon en électronvolts, puis en joules. 2. Calculer la longueur d'onde de la radiation correspondante ; appartient-elle au visible ? 3. Un photon de $2{,}55$ eV arrive sur un atome d'hydrogène dans l'état $n = 2$ : que se passe-t-il ?

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1. Le sens et l'énergie. L'atome passe de $E_3$ à $E_2 < E_3$ : il perd de l'énergie, qu'il émet sous forme d'un photon. L'énergie du photon est la différence des niveaux :

Positive, comme toute énergie de photon : les deux niveaux sont négatifs, leur différence ne l'est pas. En joules — on multiplie par la valeur d'un électronvolt :

2. La longueur d'onde. De $E = \dfrac{hc}{\lambda}$ on tire $\lambda = \dfrac{hc}{E}$, avec $E$ en joules :

Entre $380$ et $780$ nm : la radiation est visible, dans le rouge. C'est la raie rouge de l'hydrogène — mesurée à $656$ nm ; l'écart de $2$ nm vient des niveaux arrondis au centième d'électronvolt, et un énoncé qui donne ces arrondis attend $658$ nm.

3. Le photon de $2{,}55$ eV. Depuis $E_2 = -3{,}40$ eV, absorber $2{,}55$ eV mènerait à $-0{,}85$ eV : c'est exactement $E_4$. L'atome absorbe le photon et passe à l'état $n = 4$. Un photon de $2{,}50$ eV, lui, ne correspondrait à aucun niveau ($-0{,}90$ eV n'existe pas) : il traverserait sans être absorbé. Le tableau des niveaux est une liste de rendez-vous, et un photon ne peut être absorbé qu'à l'heure exacte.

4. Contrôler. Signe : transition descendante, émission, énergie positive ✔. Conversion : $1{,}89$ eV donne un nombre en $10^{-19}$ J, l'ordre attendu ✔. Longueur d'onde : quelques centaines de nanomètres pour quelques eV — cohérent avec la règle « visible : $1{,}6$ à $3{,}3$ eV » ✔. Un résultat en $10^{-38}$ trahirait une conversion faite dans le mauvais sens.

Figure (fig.physics.photon-energy-spectra, SVG programmatique à produire) : un diagramme de niveaux à gauche, trois bandes spectrales à droite, un bandeau.

La figure en détail : à gauche, un axe vertical d'énergie gradué en électronvolts de $-14$ à $0$, portant cinq traits horizontaux aux hauteurs $-13{,}6$, $-3{,}40$, $-1{,}51$, $-0{,}85$ et $-0{,}54$ eV, étiquetés $n = 1$ à $n = 5$, de plus en plus resserrés vers le haut ; au-dessus de $0$ eV, une zone hachurée marquée « atome ionisé : énergie non quantifiée ». Une flèche descendante de $n = 3$ vers $n = 2$, en trait plein, accompagnée d'une petite ondulation qui s'éloigne, légendée « émission, $h\nu = 1{,}89$ eV, $\lambda \approx 658$ nm » ; une flèche montante de $n = 2$ vers $n = 4$, en trait tireté, avec une ondulation qui arrive, légendée « absorption d'un photon de $2{,}55$ eV » ; et une ondulation barrée d'une croix, arrivant sur $n = 2$ avec la mention « $2{,}50$ eV : aucun niveau, pas d'absorption ». À droite, trois bandes horizontales graduées en nanomètres de $380$ à $780$, l'une au-dessus de l'autre. Bande du haut, « spectre continu — filament chaud » : dégradé complet du violet au rouge, sans interruption. Bande du milieu, « spectre de raies d'émission — lampe à hydrogène » : fond noir, quatre traits colorés fins à $410$, $434$, $486$ et $656$ nm, la raie rouge marquée « $n = 3 \to 2$ ». Bande du bas, « spectre de raies d'absorption — lumière blanche à travers de l'hydrogène froid » : le même dégradé que la bande du haut, strié de quatre traits noirs aux mêmes positions. Une accolade verticale relie les raies de la bande du milieu à celles de la bande du bas, avec la mention « mêmes longueurs d'onde : mêmes transitions ». Le bandeau du bas : « $E = h\nu = hc/\lambda$ », « $1$ eV $= 1{,}60 \times 10^{-19}$ J », « visible : $380$–$780$ nm, soit $3{,}3$–$1{,}6$ eV », et la phrase « l'intensité compte les photons, la fréquence fixe l'énergie de chacun ».

Ce qu'il faut lire. Le diagramme montre que les niveaux sont des barreaux et que seuls les sauts entre barreaux existent : la flèche barrée est aussi importante que les deux autres. Les trois bandes se lisent comme un système : le continu vient d'une source chaude et dense, les raies brillantes des transitions d'un gaz excité, les raies sombres des mêmes transitions dans un gaz froid traversé — d'où l'accolade. Le bandeau rappelle les deux conversions que tout l'exercice mobilise.

Les unités et les conversions. $\lambda$ : nanomètres dans l'énoncé, mètres dans le calcul ($1$ nm $= 10^{-9}$ m). Énergie : joules dans $E = h\nu$, électronvolts pour les niveaux ; J $\to$ eV : diviser par $1{,}60 \times 10^{-19}$ ; eV $\to$ J : multiplier. Un photon visible : quelques $10^{-19}$ J, soit $1{,}6$ à $3{,}3$ eV.

Les repères. Violet $380$ nm ($3{,}3$ eV) — rouge $780$ nm ($1{,}6$ eV) ; ultraviolet au-dessous de $380$ nm (plus énergétique), infrarouge au-dessus de $780$ nm (moins). Hydrogène : $E_n = -13{,}6/n^2$ eV ; raie rouge $656$ nm ($n = 3 \to 2$). Sodium : doublet jaune $589$ nm ($2{,}11$ eV).

La méthode. Repérer le sens de la transition (descente : émission ; montée : absorption) ; soustraire les niveaux, résultat positif ; convertir en joules ; appliquer $\lambda = hc/E$ ; convertir en nanomètres ; situer par rapport aux bornes du visible données.

1. Croire que l'énergie d'un photon dépend de l'intensité lumineuse. Elle ne dépend que de la fréquence. Une lampe plus puissante émet plus de photons par seconde, chacun de même énergie. Doubler l'intensité double le nombre de photons, pas l'énergie de chacun.
2. Convertir eV et J dans le mauvais sens. $1$ eV vaut $1{,}60 \times 10^{-19}$ J, une unité minuscule : le nombre en eV est plus grand que le nombre en J. De J vers eV, on divise ; de eV vers J, on multiplie. Un résultat en $10^{-38}$ J ou en $10^{19}$ eV signale une conversion à l'envers.
3. Confondre spectre continu et spectre de raies. Source chaude et dense (filament, braise, surface d'étoile) : continu, dépendant de la température. Gaz à basse pression excité : raies, propres à l'élément. Le spectre d'un tube au néon n'est pas continu ; celui d'une lampe à incandescence n'a pas de raies.
4. Garder les nanomètres dans $E = hc/\lambda$. $\lambda$ doit être en mètres : $656$ nm $= 6{,}56 \times 10^{-7}$ m. Avec $656$, l'énergie sort un milliard de fois trop petite.
5. Se tromper de signe entre les niveaux. Les niveaux sont négatifs ; l'énergie du photon est la différence, positive : $E_3 - E_2 = -1{,}51 - (-3{,}40) = +1{,}89$ eV. Un photon d'énergie négative n'existe pas.
6. Croire qu'un atome absorbe n'importe quel photon. Il n'absorbe que ceux dont l'énergie correspond exactement à un écart entre deux de ses niveaux. Les autres passent. C'est la raison même des raies d'absorption — et du fait que la matière est transparente à la plupart des radiations.
7. Penser que le photon émis par une transition a une énergie « en trop » ou « en moins ». Il porte exactement $E_{\text{haut}} - E_{\text{bas}}$ ; rien ne se perd ni ne s'invente dans une transition entre deux niveaux.
8. Oublier que $c = \lambda\nu$ vaut dans le vide. La fréquence d'une radiation est fixée par la source et ne change pas d'un milieu à l'autre ; sa longueur d'onde, si. L'énergie du photon, liée à la fréquence, est la même partout ; on calcule avec la longueur d'onde dans le vide, celle des tables.
9. Chercher des niveaux au-dessus de l'ionisation. Au-dessus de $0$ eV, l'électron est libre et toutes les énergies sont possibles : un photon assez énergétique peut ioniser l'atome quelle que soit son énergie au-delà du seuil ($13{,}6$ eV pour l'hydrogène depuis l'état fondamental).

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon tire une radiation réelle — raies du mercure, de l'hydrogène ou du sodium, lasers usuels, diode infrarouge — et demande l'énergie d'un photon à partir de la fréquence ou de la longueur d'onde, en joules ou en électronvolts ; ou bien il donne les niveaux de l'atome d'hydrogène en tableau et demande l'énergie du photon émis lors d'une transition, puis la longueur d'onde correspondante. Toutes les constantes sont données. Un modèle voisin, à affirmations vraies ou fausses, revient sur l'intensité, le sens émission-absorption, la nature des spectres et l'appartenance au visible.

Énoncé type. Le doublet jaune d'une lampe à vapeur de sodium a une longueur d'onde dans le vide $\lambda = 589$ nm. On donne $h = 6{,}63 \times 10^{-34}$ J·s, $c = 3{,}00 \times 10^{8}$ m/s et $1$ eV $= 1{,}60 \times 10^{-19}$ J. Calculer l'énergie d'un photon de cette radiation, en joules puis en électronvolts, avec trois chiffres significatifs.

Corrigé complet.

1. La relation. $E = h\nu$ et $\nu = c/\lambda$, donc $E = \dfrac{hc}{\lambda}$, avec $\lambda$ en mètres.

2. La conversion. $\lambda = 589$ nm $= 589 \times 10^{-9}$ m $= 5{,}89 \times 10^{-7}$ m.

3. Le calcul en joules. $E = \dfrac{6{,}63 \times 10^{-34} \times 3{,}00 \times 10^{8}}{5{,}89 \times 10^{-7}} = \dfrac{1{,}989 \times 10^{-25}}{5{,}89 \times 10^{-7}} \approx 3{,}38 \times 10^{-19}$ J.

4. En électronvolts — on divise. $E = \dfrac{3{,}38 \times 10^{-19}}{1{,}60 \times 10^{-19}} \approx 2{,}11$ eV.

Chaque photon du doublet jaune du sodium porte environ $3{,}38 \times 10^{-19}$ J, soit $2{,}11$ eV : entre $1{,}6$ et $3{,}3$ eV, comme tout photon visible. Une lampe à sodium plus puissante en émet davantage par seconde ; elle n'en change pas l'énergie.

5. Écarter les réponses voisines. $3{,}38 \times 10^{-28}$ J garde les nanomètres. $5{,}41 \times 10^{-38}$ eV a multiplié par $1{,}60 \times 10^{-19}$ au lieu de diviser — l'ordre de grandeur suffit à le rejeter. $2{,}11 \times 10^{-19}$ J mélange les deux unités.

Auto-contrôle. Trois questions avant de rendre. Ma longueur d'onde est-elle en mètres avant d'entrer dans $hc/\lambda$ ? Mon énergie en joules est-elle de l'ordre de $10^{-19}$, et en eV de l'ordre de l'unité ? Et le sens de ma conversion — division vers les eV, multiplication vers les joules — est-il le bon ?