L'effet Doppler : quand le mouvement change la fréquence reçue

Une ambulance arrive, sirène hurlante. Tant qu'elle approche, le son est aigu ; à l'instant précis où elle passe devant vous, la note descend d'un coup ; puis, tandis qu'elle s'éloigne, elle reste grave. Tout le monde a entendu ça. Presque tout le monde en tire la mauvaise conclusion : que la sirène a changé de note. Elle n'a rien changé du tout. Le conducteur, lui, a entendu exactement la même note pendant tout le trajet.

Ce que l'on sait déjà. Une source qui vibre à la fréquence $f_e$ émet une onde de période $T_e = \dfrac{1}{f_e}$. Dans un milieu donné, cette onde se propage à une célérité $v$ fixée par le milieu, et sa longueur d'onde vaut $\lambda = v\,T_e$ : c'est la distance entre deux fronts d'onde successifs, c'est-à-dire entre deux crêtes. Ces trois idées viennent de la leçon sur les ondes périodiques, et elles suffisent à tout expliquer.

Le mécanisme, en une image. Imaginez la source immobile : elle émet des fronts d'onde sphériques, régulièrement espacés de $\lambda$ dans toutes les directions, comme des ronds dans l'eau. Maintenant, faites-la avancer à la vitesse $v_s$. Elle émet un front, puis attend une période $T_e$ avant d'émettre le suivant — mais pendant cette période, elle a avancé de $v_s\,T_e$. Le front suivant part donc d'un point plus proche de l'avant. Résultat : devant la source, les fronts se resserrent ; derrière elle, ils s'écartent.

Mettons-y des nombres. Pendant une période $T_e$, le premier front a parcouru $v\,T_e$ et la source a parcouru $v_s\,T_e$. Devant la source, la distance entre deux fronts vaut donc

et derrière elle, $\lambda' = (v + v_s)\,T_e$. La longueur d'onde dans le milieu a changé.

Du resserrement à la fréquence perçue. Un observateur immobile ne voit pas les fronts, il les reçoit. Ils arrivent sur lui à la célérité $v$ du milieu, séparés par la distance $\lambda'$ : il en reçoit donc un tous les $T_r = \dfrac{\lambda'}{v}$, et il perçoit la fréquence $f_r = \dfrac{v}{\lambda'}$. En remplaçant :

Source mobile, récepteur immobile.

$$f_r = f_e\,\frac{v}{v - v_s} \quad \text{si la source se rapproche}, \qquad f_r = f_e\,\frac{v}{v + v_s} \quad \text{si elle s'éloigne}.$$

Le contrôle de bon sens, à faire à chaque fois. Quand la source se rapproche, le dénominateur $v - v_s$ est plus petit que $v$, donc le quotient dépasse $1$ et $f_r > f_e$ : le son perçu est plus aigu. Quand elle s'éloigne, le dénominateur est plus grand, le quotient est inférieur à $1$ et $f_r < f_e$ : le son perçu est plus grave. Ce contrôle rattrape à lui seul la moitié des erreurs de signe.

Ce qui change, et ce qui ne change pas. La source vibre toujours à $f_e$ : c'est son mécanisme qui la fixe, pas la façon dont on l'écoute. La célérité $v$ ne change pas non plus : c'est le milieu qui la fixe, et l'onde ne « prend pas de vitesse » parce que la source court. Ce qui change, c'est l'espacement des fronts dans le milieu, donc la longueur d'onde reçue, donc la fréquence reçue. L'effet Doppler est un effet de réception, pas d'émission.

Une conséquence en découle : au moment où l'ambulance passe exactement à votre hauteur, son mouvement est perpendiculaire à la direction qui vous relie à elle — elle ne se rapproche ni ne s'éloigne à cet instant — et vous entendez la vraie note $f_e$. C'est l'instant du basculement de l'aigu vers le grave.

L'approximation des faibles vitesses. Tout le programme de terminale se place dans le cas où la vitesse de la source est petite devant la célérité de l'onde, ce qu'on écrit $v_s \ll v$. Dans ce cas, le décalage relatif de fréquence prend une forme très simple. Pour une source qui se rapproche :

Autrement dit, le décalage relatif de fréquence vaut à peu près le rapport de la vitesse de la source à la célérité de l'onde. Une ambulance à $20$ m/s dans un air où le son va à $340$ m/s décale la fréquence d'environ $6$ %, ce qui s'entend très bien. Un piéton qui marche à $1$ m/s la décale de $0{,}3$ % : inaudible.

Cette approximation a une frontière nette. Si la vitesse de la source s'approche de la célérité de l'onde, le dénominateur $v - v_s$ tend vers zéro et la relation cesse d'avoir un sens physique simple : c'est le domaine du franchissement du mur du son, qui n'est pas au programme. Retenez la borne : la source reste toujours plus lente que l'onde, et bien plus lente.

Le cas de la lumière. La lumière est une onde qui se propage dans le vide à la célérité $c = 3{,}00 \times 10^{8}$ m/s. Le même raisonnement conduit, pour une vitesse $v$ petite devant $c$, à un décalage relatif de longueur d'onde :

Décalage spectral d'une source lumineuse. $\dfrac{\Delta\lambda}{\lambda} = \dfrac{v}{c}$, où $\lambda$ est la longueur d'onde émise au repos, $\Delta\lambda$ l'écart entre la longueur d'onde observée et celle-ci, et $v$ la vitesse radiale de la source, c'est-à-dire la composante de sa vitesse le long de la ligne de visée.

Le sens du décalage se lit comme celui du son. Une source qui s'éloigne donne une fréquence reçue plus basse, donc une longueur d'onde reçue plus grande : le spectre est décalé vers les grandes longueurs d'onde, c'est-à-dire vers le rouge — on parle de décalage vers le rouge. Une source qui se rapproche donne un décalage vers les courtes longueurs d'onde, vers le bleu. La correspondance est directe : plus grave pour le son, plus rouge pour la lumière.

Deux précautions. D'abord, cette relation n'est valable que pour des vitesses petites devant celle de la lumière ; au-delà, il faut la relativité restreinte, qui n'est pas au programme. Ensuite, seule la composante radiale de la vitesse produit un décalage : une étoile qui se déplacerait exactement perpendiculairement à la ligne de visée ne montrerait, à ce niveau d'approximation, aucun décalage. Une vitesse radiale mesurée n'est donc jamais la vitesse totale de l'astre.

Trois applications qui font la valeur du chapitre.

L'astronomie. Les atomes d'une étoile absorbent ou émettent à des longueurs d'onde parfaitement connues — la raie de l'hydrogène nommée H alpha, à $656{,}3$ nm, en est l'exemple le plus utilisé. En comparant la position observée d'une raie à sa position au repos, on obtient la vitesse radiale de l'astre, souvent quelques dizaines à quelques centaines de kilomètres par seconde. C'est ainsi que l'on mesure la rotation des galaxies, que l'on détecte le balancement d'une étoile trahissant une planète en orbite, et que l'on classe les astres en approche ou en éloignement.

Le radar routier. Le radar émet une onde à une fréquence connue, généralement $24$ GHz. L'onde atteint le véhicule, qui la renvoie. Il y a donc deux décalages successifs : le véhicule reçoit une fréquence déjà décalée, puis la réémet en se déplaçant. C'est pourquoi le décalage mesuré au retour vaut

avec un facteur $2$ qui traduit l'aller-retour. Le radar ne mesure pas la fréquence reçue — trop élevée pour cela — mais le battement entre l'onde émise et l'onde qui revient, c'est-à-dire directement $\Delta f$, qui ne vaut que quelques kilohertz.

La médecine. L'échographie Doppler envoie des ultrasons vers les vaisseaux sanguins ; les globules rouges en mouvement renvoient une onde décalée, et l'appareil en déduit la vitesse du sang. C'est le même principe que le radar, avec des ultrasons à la place des ondes électromagnétiques.

Une dissymétrie à connaître. Pour une onde qui a besoin d'un milieu, comme le son, la situation « la source bouge » et la situation « le récepteur bouge » ne sont pas équivalentes. Quand la source bouge, ce sont les fronts d'onde qui sont réellement resserrés dans l'air, et la vitesse apparaît au dénominateur. Quand le récepteur bouge, les fronts sont régulièrement espacés et c'est lui qui les rencontre plus ou moins vite : la vitesse apparaît alors au numérateur, sous la forme $f_r = f_e\,\dfrac{v \pm v_r}{v}$. Les deux résultats sont voisins tant que les vitesses sont faibles, mais ils ne sont pas identiques, et l'écart grandit avec la vitesse. Le programme de terminale se limite au premier cas : source mobile, récepteur immobile. Vérifiez toujours, dans l'énoncé, qui bouge.

Première partie — la sirène. La sirène d'une ambulance émet un son de fréquence $f_e = 640$ Hz. Le véhicule roule en ligne droite à la vitesse constante $v_s = 20$ m/s. Un piéton immobile se tient sur le trottoir. Le son se propage dans l'air à la célérité $v = 340$ m/s.

Questions. 1. Quelle fréquence le piéton perçoit-il quand l'ambulance se rapproche ? 2. Quelle fréquence perçoit-il quand elle s'éloigne ? 3. De combien la note a-t-elle baissé au passage ? 4. L'approximation des faibles vitesses est-elle légitime ici ?

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1. En approche. La source bouge, le récepteur est immobile : la relation à utiliser est celle de la source mobile, avec le signe moins puisqu'elle se rapproche.

Contrôle de sens : $680$ Hz est supérieur à $640$ Hz, le son est perçu plus aigu. C'est bien ce qu'on entend quand l'ambulance arrive.

2. En éloignement. Même relation, avec le signe plus :

Contrôle de sens : $604$ Hz est inférieur à $640$ Hz, le son est perçu plus grave. C'est bien ce qu'on entend une fois l'ambulance passée.

3. Le saut de note. L'écart entre les deux fréquences perçues vaut

soit un écart d'environ $12$ % par rapport à la fréquence émise. C'est considérable pour l'oreille : le rapport des deux fréquences perçues, $680 / 604 \approx 1{,}13$, correspond à un intervalle musical d'environ deux demi-tons, c'est-à-dire un ton entier. Voilà pourquoi le basculement s'entend si nettement à l'instant du passage. Notez que la fréquence émise, $640$ Hz, est exactement au milieu, et que c'est celle que le piéton entend à l'instant précis où l'ambulance est à sa hauteur : à cet instant, elle ne se rapproche ni ne s'éloigne de lui.

4. La légitimité de l'approximation. Le rapport de la vitesse de la source à la célérité du son vaut

soit environ $5{,}9$ %. La source est bien beaucoup plus lente que l'onde : nous sommes dans le domaine de validité. Vérifions au passage la formule approchée du décalage relatif : en approche, $\dfrac{680 - 640}{640} = 0{,}0625$, soit $6{,}25$ %, très proche des $5{,}9$ % annoncés par le rapport des vitesses. L'approximation tient.

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Seconde partie — l'étoile. Dans le spectre d'une étoile, la raie H alpha de l'hydrogène, dont la longueur d'onde au repos vaut $\lambda = 656{,}3$ nm, est observée à $656{,}5$ nm. On donne $c = 3{,}00 \times 10^{8}$ m/s.

5. Sens du mouvement. La longueur d'onde observée est plus grande que la longueur d'onde au repos : le décalage se fait vers les grandes longueurs d'onde, c'est un décalage vers le rouge. Comme une longueur d'onde plus grande correspond à une fréquence reçue plus basse — le « plus grave » du son —, l'étoile s'éloigne de nous.

6. Vitesse radiale. L'écart vaut $\Delta\lambda = 656{,}5 - 656{,}3 = 0{,}2$ nm. On isole la vitesse dans la relation du décalage relatif :

Les deux longueurs d'onde étant exprimées dans la même unité, leur quotient est un nombre sans unité : la vitesse sort donc directement en mètres par seconde, comme la célérité de la lumière. Le décalage relatif vaut ici environ $3 \times 10^{-4}$, soit trois dix-millièmes : très inférieur à un pour cent, donc largement dans le domaine où la relation approchée s'applique.

Le réflexe de la leçon. Trois gestes, toujours dans cet ordre. Repérer qui bouge et dans quel sens, pour choisir la bonne relation. Calculer. Puis vérifier le sens du résultat : plus aigu ou plus bleu si l'on se rapproche, plus grave ou plus rouge si l'on s'éloigne.

Figure (fig.physics.doppler-effect, image vectorielle programmatique à produire) : deux panneaux de fronts d'onde, un graphique de fréquence perçue et un bandeau d'applications.

La figure en détail : en haut à gauche, une source immobile, représentée par un point, entourée de cinq cercles concentriques régulièrement espacés — les fronts d'onde. Une accolade entre deux cercles voisins porte la mention « longueur d'onde identique dans toutes les directions ». Deux petits personnages, l'un à gauche, l'autre à droite, portent chacun l'étiquette « même fréquence reçue ».

En haut à droite, la même source, mais en mouvement vers la droite. Les cinq cercles ont maintenant des centres décalés les uns par rapport aux autres, échelonnés le long de la trajectoire : ils se resserrent du côté droit et s'écartent du côté gauche. Une flèche indique le sens du déplacement, avec la mention de la vitesse de la source. À droite, une accolade sur l'espacement réduit porte « fronts resserrés : longueur d'onde plus courte, fréquence perçue plus élevée, son plus aigu » ; à gauche, une accolade sur l'espacement agrandi porte « fronts étirés : longueur d'onde plus longue, fréquence perçue plus basse, son plus grave ». Au centre du panneau, un cartouche rappelle en gros caractères : « la source, elle, vibre toujours à la même fréquence ».

Au centre de la figure, un graphique : en abscisse le temps, en ordonnée la fréquence perçue par un piéton devant lequel passe le véhicule. La courbe part d'une valeur élevée, reste presque constante pendant l'approche, bascule rapidement au moment du passage, puis se stabilise à une valeur basse. Une ligne horizontale en pointillés marque la fréquence émise, et la courbe la coupe exactement à l'instant du passage, avec l'étiquette « à cet instant, le véhicule ne se rapproche ni ne s'éloigne : on entend la vraie fréquence ».

En bas, un bandeau de trois vignettes. La première montre deux spectres d'étoile superposés : au-dessus, une raie sombre à sa position de repos ; au-dessous, la même raie déplacée vers l'extrémité rouge du spectre, avec la mention « décalage vers le rouge : l'astre s'éloigne », et une flèche opposée nommée « vers le bleu : l'astre se rapproche ». La deuxième vignette montre un radar routier envoyant une onde vers une voiture et recevant l'onde réfléchie, avec la mention « deux décalages successifs, d'où le facteur deux ». La troisième montre une sonde d'échographie dirigée vers un vaisseau sanguin et des globules en mouvement, avec la mention « même principe, avec des ultrasons ».

Ce qu'il faut lire. Les deux panneaux du haut contiennent toute l'explication : les cercles sont émis identiques, c'est le déplacement de leurs centres qui les resserre d'un côté et les étire de l'autre. Le graphique du centre montre que le décalage n'est pas un glissement progressif mais un basculement au passage. Et le bandeau du bas montre que le même raisonnement sert pour le son, pour la lumière et pour les ultrasons.

Le vocabulaire. Fréquence émise : celle de la source, fixée par son mécanisme, inchangée par le mouvement. Fréquence perçue ou reçue : celle que mesure le récepteur, la seule que le mouvement modifie. Célérité : vitesse de propagation de l'onde, fixée par le milieu. Vitesse radiale : composante de la vitesse le long de la ligne de visée, la seule qui produise un décalage. Décalage vers le rouge : longueur d'onde observée plus grande qu'au repos, donc source qui s'éloigne. Décalage vers le bleu : l'inverse.

Les unités. Fréquences en hertz, célérités et vitesses en mètres par seconde — attention aux kilomètres par heure des véhicules et aux kilomètres par seconde des astres, à convertir. Longueurs d'onde en nanomètres pour la lumière visible ; un quotient de deux longueurs d'onde exprimées dans la même unité est sans unité.

Les ordres de grandeur. Son dans l'air : $v = 340$ m/s, véhicules de $5$ à $40$ m/s, donc décalages de $1$ à $12$ %. Lumière : $c = 3{,}00 \times 10^{8}$ m/s, étoiles de quelques dizaines à quelques milliers de kilomètres par seconde, donc décalages de l'ordre du dix-millième — quelques dixièmes de nanomètre sur une raie visible. Radar routier à $24$ GHz : quelques kilohertz de décalage.

Ce qui n'est pas au programme de terminale. L'effet Doppler relativiste, le franchissement du mur du son et le décalage cosmologique dû à l'expansion de l'Univers relèvent de l'enseignement supérieur. Ici, on reste au cas d'un récepteur immobile, d'une source mobile, et de vitesses faibles devant la célérité de l'onde.

1. Croire que la fréquence émise par la source change. C'est l'erreur fondatrice du chapitre. La sirène vibre à sa fréquence propre, que le véhicule roule ou non ; le conducteur, immobile par rapport à elle, entend toujours la même note. Seule la fréquence reçue par un observateur en mouvement relatif est modifiée. L'effet Doppler est un effet de réception.
2. Inverser le sens du décalage. Rapprochement : les fronts se resserrent, la longueur d'onde reçue diminue, la fréquence perçue augmente, le son est plus aigu. Éloignement : l'inverse. Prenez le réflexe de vérifier le signe sur le résultat — un calcul d'approche qui donne une fréquence plus basse que la fréquence émise est faux, quel qu'en soit le détail.
3. Appliquer la relation du récepteur mobile au cas de la source mobile. Ce sont deux situations différentes. Source mobile : la vitesse est au dénominateur. Récepteur mobile : elle est au numérateur. Les deux donnent des valeurs proches à faible vitesse, ce qui rend l'erreur difficile à repérer sans relire l'énoncé. Première question à se poser devant tout exercice : qui bouge ?
4. Se tromper de signe dans le dénominateur. Retenez-le par le sens, pas par cœur : quand la source se rapproche, la fréquence doit monter, donc le dénominateur doit être plus petit que la célérité, donc c'est $v - v_s$. Le signe se retrouve à chaque fois par ce raisonnement de dix secondes.
5. Confondre décalage vers le rouge et rougeoiement. Un décalage vers le rouge ne signifie pas que l'astre paraît rouge : il signifie que chaque raie de son spectre est observée à une longueur d'onde un peu plus grande qu'au repos. C'est un déplacement mesuré des raies, pas une couleur d'ensemble.
6. Oublier le facteur deux du radar. L'onde fait l'aller et le retour : le véhicule reçoit une fréquence déjà décalée, puis la renvoie en se déplaçant. Le décalage mesuré est donc le double de celui d'un simple trajet. Sans ce facteur, la vitesse annoncée est deux fois trop grande.
7. Prendre une vitesse radiale pour une vitesse totale. Seule la composante de la vitesse le long de la ligne de visée produit un décalage. Une étoile dont on mesure une vitesse radiale de $90$ km/s peut avoir une vitesse réelle bien plus grande, si elle se déplace aussi perpendiculairement à la ligne de visée.
8. Oublier les conversions. Une vitesse de véhicule donnée en kilomètres par heure doit être ramenée en mètres par seconde avant d'entrer dans la relation, une vitesse d'étoile donnée en kilomètres par seconde également, et une fréquence en gigahertz doit devenir des hertz. Le rapport de deux longueurs d'onde, lui, ne demande aucune conversion tant que les deux sont dans la même unité.
9. Sortir du domaine de validité sans le dire. Les relations utilisées supposent que la source est bien plus lente que l'onde. Un décalage relatif de quelques pour cent est normal ; un décalage qui approcherait de $100$ % signalerait qu'on est sorti du cadre du programme.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon tire une scène parmi plusieurs : une source sonore mobile — sirène d'ambulance ou de camion de pompiers, avertisseur de train, moteur de moto, sonnette de cycliste — dont on demande soit la fréquence perçue, soit la vitesse déduite de la comparaison des deux fréquences ; une raie spectrale d'étoile, dont on demande le décalage de longueur d'onde ou la vitesse radiale ; ou encore un radar routier, dont on déduit la vitesse d'un véhicule à partir du décalage mesuré. Les relations sont rappelées dans chaque énoncé, ainsi que la célérité du son dans l'air et celle de la lumière. Un modèle voisin, à affirmations vraies ou fausses, revient sur le fait que la fréquence émise ne change pas, sur le sens du décalage, sur le choix de la relation selon qui bouge, et sur la lecture d'un décalage vers le rouge.

Énoncé type. La sirène d'une ambulance émet un son de fréquence $f_e = 640$ Hz. Le véhicule se rapproche d'un piéton immobile, à la vitesse constante $v_s = 20$ m/s, en ligne droite. On rappelle que, pour un récepteur immobile et une source sonore qui se déplace à la vitesse $v_s$ dans l'air où le son se propage à $v = 340$ m/s, la fréquence perçue vaut $f_r = f_e\,\dfrac{v}{v - v_s}$ si la source se rapproche et $f_r = f_e\,\dfrac{v}{v + v_s}$ si elle s'éloigne. Calculer la fréquence perçue par le piéton, en hertz.

Corrigé complet.

1. Identifier qui bouge, et dans quel sens. C'est la source qui se déplace, le récepteur est immobile : la vitesse intervient au dénominateur. La source se rapproche : c'est le signe moins.

2. Remplacer par les valeurs, toutes en unités du système international.

3. Vérifier le sens du résultat. $680$ Hz est supérieur à $640$ Hz : la source se rapproche, le son perçu est plus aigu. C'est cohérent.

Réponse : le piéton perçoit une fréquence de $680$ Hz, alors que la sirène continue d'émettre à $640$ Hz.

4. Écarter les réponses voisines. Répondre $604$ Hz, c'est avoir mis le signe plus au dénominateur, donc traité un éloignement au lieu d'un rapprochement : le résultat est plus bas que la fréquence émise, ce qui contredit l'énoncé. Répondre environ $602$ Hz, c'est avoir renversé le quotient et écrit la célérité au dénominateur. Répondre environ $678$ Hz, c'est avoir employé la relation du récepteur mobile alors que c'est la source qui bouge : la valeur est proche, et c'est bien ce qui rend l'erreur dangereuse. Et $640$ Hz serait la réponse d'un observateur assis dans l'ambulance.

Auto-contrôle. Quatre questions avant de rendre. Ai-je repéré qui bouge, la source ou le récepteur, avant de choisir la relation ? Le signe du dénominateur correspond-il au sens du mouvement décrit dans l'énoncé ? Ma fréquence perçue est-elle plus élevée que la fréquence émise en cas de rapprochement, plus basse en cas d'éloignement ? Et le rapport de la vitesse de la source à la célérité de l'onde reste-t-il petit, ce qui garantit que la relation employée s'applique ?