Mouvement circulaire uniforme et satellites : tomber sans jamais tomber

La question est celle de Newton lui-même, et elle mérite d'être prise au sérieux, parce que sa réponse n'est pas celle qu'on attend. La Lune tombe. La Station spatiale internationale aussi. Ce qui les empêche d'arriver au sol, ce n'est pas l'absence de gravité — à $400$ km d'altitude, l'attraction terrestre vaut encore près de $90\ \%$ de ce qu'elle vaut au niveau de la mer. C'est leur vitesse : elles tombent en avançant si vite que la Terre se dérobe sous elles à mesure. Cette leçon met cette phrase en équations.

Rappel : le mouvement circulaire uniforme n'est pas un mouvement sans accélération. C'était le premier résultat de la leçon sur le vecteur accélération. Sur un cercle parcouru à valeur de vitesse constante, la direction de la vitesse tourne sans arrêt, donc le vecteur vitesse varie, donc l'accélération n'est pas nulle. Elle est entièrement normale : dirigée vers le centre du cercle — on la dit centripète, ce qui signifie « qui tend vers le centre » — et sa valeur est

La deuxième loi de Newton fait le reste. Si l'accélération pointe vers le centre, alors, d'après $\sum \vec{F} = m\,\vec{a}$, la somme des forces pointe vers le centre elle aussi. Un mouvement circulaire uniforme exige une force dirigée vers le centre, en permanence. Sans elle, le mobile continuerait tout droit — c'est le principe d'inertie. Une bille au bout d'un fil que l'on fait tourner s'échappe en ligne droite dès que le fil casse : elle ne part pas vers l'extérieur, elle part tangentiellement.

Pour un satellite, cette force existe déjà : c'est la gravitation. Tu as vu en seconde que deux corps s'attirent avec une force dirigée selon la droite qui les joint, de valeur

où $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ N·m²·kg⁻² est la constante de gravitation universelle, $M_T$ la masse de la Terre, $m$ celle du satellite, et $r$ la distance entre les centres des deux corps. Cette force est dirigée vers le centre de la Terre : exactement ce qu'il faut pour maintenir un mouvement circulaire.

Écrivons-le. Système : le satellite. Référentiel géocentrique, supposé galiléen. Seule force : l'attraction gravitationnelle de la Terre. La deuxième loi de Newton donne

Regarde ce qui vient de se passer : la masse $m$ du satellite s'est simplifiée. La vitesse d'un satellite sur une orbite donnée ne dépend pas de sa masse — une station de quatre cents tonnes et un boulon perdu par un astronaute, à la même altitude, vont exactement à la même vitesse. C'est la même simplification que dans la chute libre, et pour la même raison : la masse apparaît des deux côtés de l'égalité, comme masse pesante à gauche et comme masse inerte à droite.

Une seule grandeur commande tout : le rayon de l'orbite. Et ce rayon se compte depuis le centre de la Terre, pas depuis sa surface :

où $R_T = 6{,}37 \times 10^{6}$ m est le rayon terrestre et $h$ l'altitude. Confondre $r$ et $h$ est l'erreur la plus coûteuse du chapitre : pour la Station spatiale internationale, $h = 400$ km alors que $r = 6\,770$ km, presque dix-sept fois plus. Un calcul mené avec $h$ donne une vitesse absurde, et rien dans l'écriture ne le signale.

Une conséquence contre-intuitive. Puisque $v = \sqrt{G M_T / r}$, plus un satellite est haut, plus il est lent. La station spatiale, à $400$ km, file à environ $7{,}7$ km/s ; un satellite géostationnaire, à près de $36\,000$ km, ne va qu'à $3{,}1$ km/s. Pour « monter », un lanceur doit d'abord fournir de l'énergie, mais le satellite arrivé là-haut tourne plus lentement. Rien de paradoxal : plus loin, l'attraction est plus faible, et il faut moins de vitesse pour que la trajectoire s'incurve juste assez.

La période de révolution. C'est la durée d'un tour complet. Le satellite parcourt la circonférence $2\pi r$ à la vitesse constante $v$, donc

En y reportant l'expression de la vitesse, on obtient une relation qui ne contient plus que le rayon :

Le membre de droite ne dépend que de l'astre attracteur : ni de la masse du satellite, ni de son orbite. Tous les satellites de la Terre partagent donc la même valeur du quotient $T^{2}/r^{3}$ ; toutes les planètes du Soleil en partagent une autre, la leur. C'est la troisième loi de Kepler, que tu viens de retrouver dans le cas des orbites circulaires.

Les trois lois de Kepler, et ce qu'on en fait au lycée. Johannes Kepler les a énoncées au début du dix-septième siècle à partir des observations de Tycho Brahe, avant Newton et sans la moindre notion de force.

1. Loi des orbites. Chaque planète décrit une ellipse dont le Soleil occupe l'un des foyers. Un cercle est le cas particulier où les deux foyers se confondent.
2. Loi des aires. Le segment qui joint le Soleil à la planète balaie des aires égales en des durées égales : la planète va donc plus vite quand elle est près du Soleil.
3. Loi des périodes. Le quotient du carré de la période par le cube du demi-grand axe est le même pour toutes les planètes d'un même astre.

Au lycée, seule la troisième donne lieu à des calculs, et seulement pour des orbites assimilées à des cercles — l'énoncé l'écrit toujours. Les deux premières restent qualitatives. Et la démonstration du caractère elliptique des orbites à partir de la loi de Newton, magnifique mais longue, n'est pas au programme : elle appartient à l'enseignement supérieur. On admet le résultat, on l'utilise, on s'arrête là.

Le satellite géostationnaire. C'est un satellite qui reste en permanence au-dessus du même point de la surface terrestre — indispensable pour la télévision, où une antenne fixe doit viser toujours le même endroit du ciel. Trois conditions, et elles se déduisent toutes de ce qui précède.

• Sa période doit être égale à celle de la rotation de la Terre sur elle-même, soit environ $23$ h $56$ min — le jour sidéral, un peu plus court que les $24$ h du jour solaire.
• Il doit tourner dans le même sens que la Terre.
• Son orbite doit être dans le plan de l'équateur : une orbite inclinée ferait osciller le satellite en latitude, et il ne resterait pas au-dessus du même point.

En reportant cette période dans la relation $r^{3} = \dfrac{G M_T T^{2}}{4\pi^{2}}$, on trouve un rayon d'environ $42\,100$ km, soit une altitude d'environ $35\,800$ km. Cette altitude n'est pas un choix : elle est imposée par la période exigée. Tous les satellites géostationnaires du monde se partagent donc un unique anneau au-dessus de l'équateur, ce qui en fait une ressource limitée et gérée internationalement.

Il n'existe pas de force centrifuge. C'est le point de vigilance du chapitre. Dans un bilan des forces mené en référentiel galiléen, une seule force s'exerce sur le satellite : l'attraction gravitationnelle. Rien ne la « compense », rien ne « tire vers l'extérieur ». Si une force la compensait, la somme des forces serait nulle, l'accélération aussi, et le satellite irait en ligne droite — il ne serait pas en orbite. Ce qu'on appelle couramment force centrifuge est une sensation, ressentie par un passager qui, lui, n'est pas dans un référentiel galiléen. L'étude dans un référentiel en rotation relève du supérieur ; au lycée, cette force n'existe pas et n'apparaît dans aucun bilan.

Et l'impesanteur ? Les astronautes de la station flottent non pas parce qu'il n'y a plus de gravité, mais parce que la station et tout ce qu'elle contient sont en chute libre ensemble, avec la même accélération. Ils tombent de concert autour de la Terre. C'est le même phénomène que dans un ascenseur dont le câble céderait, et cela referme la boucle des quatre leçons : chute libre à une dimension, chute libre à deux dimensions, chute libre qui tourne en rond. Une seule loi, $\sum \vec{F} = m\,\vec{a}$, et trois visages.

On donne $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ N·m²·kg⁻², $M_T = 5{,}97 \times 10^{24}$ kg et $R_T = 6{,}37 \times 10^{6}$ m.

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Situation 1 — vitesse et période de la Station spatiale internationale.

La Station spatiale internationale décrit une orbite circulaire à l'altitude $h = 400$ km au-dessus de la surface terrestre. Calculer sa vitesse, puis sa période de révolution.

Système, référentiel, force. Système : la station. Référentiel géocentrique, supposé galiléen. Seule force : l'attraction gravitationnelle de la Terre, dirigée vers le centre de la Terre, de valeur $\dfrac{G M_T m}{r^{2}}$.

Deuxième loi de Newton. Le mouvement étant circulaire uniforme, l'accélération est centripète et vaut $\dfrac{v^{2}}{r}$ :

Le rayon de l'orbite — l'étape qu'on oublie.

La vitesse.

soit environ $7{,}67$ km/s, ou encore $27\,600$ km/h.

La période. Le périmètre de l'orbite vaut $2\pi r \approx 4{,}254 \times 10^{7}$ m, donc

Contrôle. Un tour du monde en une heure et demie environ : les équipages de la station voient effectivement seize levers de Soleil par jour. L'ordre de grandeur est le bon.

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Situation 2 — la période de Mars par la troisième loi de Kepler.

On assimile les orbites des planètes autour du Soleil à des cercles. La Terre décrit son orbite, de rayon $a_1 = 1{,}50 \times 10^{11}$ m, en $T_1 = 365$ jours. Le rayon de l'orbite de Mars vaut $a_2 = 2{,}28 \times 10^{11}$ m. Calculer la période de révolution de Mars.

La loi. Le quotient $\dfrac{T^{2}}{a^{3}}$ a la même valeur pour toutes les planètes du Soleil :

Le rapport des rayons.

Le cube, puis la racine.

La période.

Contrôle, et honnêteté sur l'écart. Mars est plus loin du Soleil que la Terre, donc sa période doit être plus longue : elle l'est, presque deux fois. La valeur tabulée de la période de révolution de Mars est de $687$ jours ; notre résultat en diffère d'environ un demi pour cent. Deux raisons, qu'il faut savoir nommer : les rayons ont été arrondis à trois chiffres significatifs, et l'orbite de Mars est en réalité une ellipse un peu allongée que l'on a assimilée à un cercle. Un écart de cet ordre, expliqué, vaut mieux qu'un accord parfait obtenu en trichant sur les données.

Figure (fig.physics.circular-motion-satellites, SVG programmatique à produire) : une orbite en grand, un encart de comparaison d'altitudes, un graphique de Kepler.

La figure en détail : au centre, la Terre dessinée à l'échelle avec son rayon coté, et autour d'elle une orbite circulaire portant un satellite représenté à quatre positions régulièrement réparties. En chaque position, deux vecteurs : le vecteur vitesse, tangent au cercle et de même longueur aux quatre endroits, et le vecteur force gravitationnelle, dirigé vers le centre de la Terre, les deux étant distingués par leur épaisseur et par la forme de leur pointe autant que par leur teinte. Le rayon de l'orbite est coté depuis le centre de la Terre et décomposé en deux segments légendés, le rayon terrestre et l'altitude, avec la mention que le rayon de l'orbite est la somme des deux. Une case barrée d'une croix montre un troisième vecteur dessiné vers l'extérieur de l'orbite, légendé comme la prétendue force centrifuge, avec la mention qu'aucune force de ce genre n'entre dans le bilan. Une seconde case montre ce qui arriverait si l'attraction disparaissait : le satellite poursuivrait en ligne droite selon la tangente, et non vers l'extérieur du cercle. En haut à droite, un encart compare trois orbites concentriques à l'échelle, celle de la station spatiale, celle des satellites de positionnement par satellite, celle des satellites géostationnaires, chacune accompagnée de son altitude, de sa vitesse et de sa période, de façon à faire voir que plus l'orbite est haute, plus la vitesse est faible et plus la période est longue. En bas à droite, un graphique où le carré de la période est porté en fonction du cube du rayon de l'orbite pour les cinq premières planètes du Système solaire : les points sont alignés sur une droite passant par l'origine, dont la pente est légendée comme dépendant du seul astre attracteur.

Ce qu'il faut lire. La scène centrale montre les deux vecteurs qui gouvernent tout : la vitesse est tangente, la force est centripète, et elles sont perpendiculaires — c'est pourquoi la force ne change pas la valeur de la vitesse, seulement sa direction. La décomposition du rayon rappelle qu'on part du centre de la Terre. Les deux cases barrées écartent les deux images fausses les plus tenaces. L'encart des trois orbites rend visible la dépendance en rayon, et le graphique du bas montre la troisième loi de Kepler sous sa forme la plus parlante : une droite.

Les unités. Toutes les relations exigent des unités du Système international : rayons et altitudes en mètres — une altitude donnée en kilomètres se convertit —, masses en kilogrammes, périodes en secondes, vitesses en mètres par seconde. Les résultats sont ensuite volontiers reconvertis, en kilomètres par seconde pour une vitesse orbitale, en minutes ou en heures pour une période. La constante $G$ s'exprime en newton mètre carré par kilogramme carré, ce qui se note N·m²·kg⁻².

Les mots. Centripète : dirigé vers le centre. Période de révolution : durée d'un tour autour de l'astre, à ne pas confondre avec la période de rotation d'un astre sur lui-même. Géostationnaire : fixe par rapport au sol ; un satellite en orbite polaire, lui, survole successivement toute la surface.

Ce qui n'est pas au programme. La démonstration du caractère elliptique des orbites à partir de la loi de Newton relève de l'enseignement supérieur : les lois de Kepler sont ici admises, et seule la troisième donne lieu à des calculs, sur des orbites assimilées à des cercles. L'étude dans un référentiel en rotation, où apparaîtraient des forces d'inertie, n'est pas non plus au programme du lycée : dans un bilan des forces, il n'y a jamais de force centrifuge.

1. Ajouter une force centrifuge au bilan. En référentiel galiléen, une seule force agit sur le satellite : l'attraction gravitationnelle. Si une seconde force la compensait, la somme serait nulle et le satellite irait tout droit. La sensation d'être « plaqué vers l'extérieur » dans un virage n'est pas une force du bilan ; elle appartient à un point de vue non galiléen, hors programme.
2. Prendre l'altitude au lieu du rayon de l'orbite. Il faut $r = R_T + h$. Pour la station spatiale, $h = 400$ km mais $r = 6\,770$ km : un calcul mené avec $h$ donne une vitesse près de quatre fois trop grande, sans que rien ne le signale. Écris cette addition comme une étape à part entière.
3. Croire que la vitesse d'un satellite dépend de sa masse. Elle se simplifie dans l'équation : $v = \sqrt{G M_T / r}$ ne contient que la masse de l'astre attracteur. Un satellite lourd et un satellite léger à la même altitude ont la même vitesse et la même période. Si la masse du satellite figure dans ton résultat, reprends la simplification.
4. Croire qu'un satellite plus haut va plus vite. C'est l'inverse : la vitesse décroît quand le rayon augmente, puisqu'elle varie comme l'inverse de la racine carrée de $r$. Plus haut, plus lent, et période plus longue.
5. Confondre période de révolution et période de rotation. La première est la durée d'un tour d'orbite, la seconde celle d'un tour de l'astre sur lui-même. Un satellite géostationnaire a une période de révolution égale à la période de rotation de la Terre : c'est justement cette égalité qui le rend fixe au-dessus d'un point.
6. Oublier de convertir les kilomètres en mètres. Les altitudes des satellites sont données en kilomètres et les rayons doivent entrer en mètres dans les relations. Une erreur de facteur mille sur $r$ donne un facteur d'environ trente-deux sur la vitesse.
7. Croire qu'il n'y a plus de gravité en orbite. À $400$ km d'altitude, l'attraction terrestre vaut encore près de $90\ \%$ de sa valeur au sol. Si elle disparaissait, la station partirait en ligne droite. L'impesanteur ressentie vient de ce que la station et ses occupants sont en chute libre ensemble.
8. Utiliser la troisième loi de Kepler entre deux astres différents. Le quotient $T^{2}/a^{3}$ est le même pour tous les objets qui tournent autour du même astre. Comparer une planète du Soleil à un satellite de la Terre par cette égalité n'a aucun sens : les deux quotients sont différents, puisqu'ils dépendent de la masse de l'astre attracteur.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon tire l'une de cinq variantes portant sur des satellites réels — station spatiale, télescope spatial, satellites de positionnement, satellite géostationnaire — ou sur deux planètes du Système solaire : vitesse orbitale en mètres par seconde ou en kilomètres par heure, période de révolution, altitude déduite d'une période donnée, ou période d'une planète obtenue par la troisième loi de Kepler à partir de celle d'une autre. Les valeurs de $G$, de la masse de la Terre et du rayon terrestre sont toujours données dans l'énoncé. Un modèle voisin, à affirmations vraies ou fausses, travaille les idées : indépendance vis-à-vis de la masse du satellite, absence de force centrifuge, effet de l'altitude sur la vitesse et sur la période, conditions de l'orbite géostationnaire, constance du quotient de Kepler.

Énoncé type. La Station spatiale internationale décrit une orbite circulaire à l'altitude $h = 400$ km au-dessus de la surface terrestre. On donne $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ N·m²·kg⁻², $M_T = 5{,}97 \times 10^{24}$ kg et $R_T = 6{,}37 \times 10^{6}$ m. Calculer la valeur $v$ de sa vitesse dans le référentiel géocentrique. Répondre en m/s, avec 3 chiffres significatifs.

Corrigé complet.

1. Poser l'étude. Système : la station. Référentiel géocentrique, supposé galiléen. Seule force : l'attraction gravitationnelle de la Terre, $F = \dfrac{G M_T m}{r^{2}}$, dirigée vers le centre de la Terre.

2. Appliquer la deuxième loi de Newton. Le mouvement est circulaire uniforme, donc l'accélération est centripète et vaut $\dfrac{v^{2}}{r}$ :

La masse $m$ de la station disparaît : le résultat ne dépendra pas d'elle.

3. Calculer le rayon de l'orbite.

L'altitude seule ne suffit pas : le rayon se compte depuis le centre de la Terre.

4. Appliquer numériquement.

Réponse : $v \approx 7{,}67 \times 10^{3}$ m/s, soit environ $7{,}67$ km/s.

5. Interpréter. Cette vitesse ne dépend que du rayon de l'orbite : un satellite plus haut serait plus lent. À $35\,786$ km d'altitude, un satellite géostationnaire ne va qu'à environ $3{,}07$ km/s.

Auto-contrôle. Quatre questions avant de rendre. Ai-je ajouté le rayon terrestre à l'altitude ? Ai-je converti les kilomètres en mètres ? La masse du satellite a-t-elle bien disparu de mon expression ? Et l'ordre de grandeur est-il crédible — quelques kilomètres par seconde, jamais quelques mètres par seconde ni des centaines de kilomètres par seconde ?