Équivalence masse-énergie : fission, fusion et défaut de masse

Depuis Lavoisier, un principe traverse toute la chimie : « rien ne se perd, rien ne se crée ». Dans une réaction chimique, les atomes se réarrangent, et la masse totale des produits est égale à la masse totale des réactifs. Tu l'as utilisé des dizaines de fois pour équilibrer des équations.

Le problème. Pèse très précisément les noyaux qui entrent dans une réaction nucléaire, puis ceux qui en sortent, et le compte ne tombe plus juste. Il manque de la masse. Pas beaucoup — quelques centièmes d'unité de masse atomique sur plusieurs centaines — mais le déficit est parfaitement mesurable et parfaitement reproductible. Et cette masse manquante ne s'est pas égarée quelque part : elle est exactement proportionnelle à l'énergie que la réaction libère.

Équivalence masse-énergie. À toute variation de masse $\Delta m$ d'un système correspond une énergie

$$E = \Delta m\,c^{2},$$

où $c = 3{,}00 \times 10^{8}$ m·s⁻¹ est la vitesse de la lumière dans le vide, $\Delta m$ s'exprime en kilogrammes et $E$ en joules.

Cette relation, établie par Einstein en 1905, énonce quelque chose de plus fort qu'une conversion : la masse est une forme d'énergie. Un système qui perd de l'énergie perd de la masse, toujours, y compris une bûche qui brûle ou un ressort qu'on détend. Simplement, dans ces cas-là, la perte est si minuscule qu'aucune balance ne peut la voir. Dans une réaction nucléaire, les énergies en jeu sont un million de fois plus grandes, et la perte de masse devient mesurable.

Ce que $c^{2}$ change à tout. Élève la vitesse de la lumière au carré : $c^{2} = 9{,}00 \times 10^{16}$ m²·s⁻². Ce facteur immense est la clé de lecture de toute la leçon. Il signifie qu'une masse infime correspond à une énergie énorme. Un microgramme de matière intégralement converti libérerait de quoi couvrir plusieurs jours de consommation électrique d'un foyer. À l'inverse, il faut convertir extraordinairement peu de masse pour produire beaucoup d'énergie — et c'est pourquoi les combustibles nucléaires occupent si peu de volume.

Deux lois restent, une tombe. Dans une réaction nucléaire :

• le nombre de nucléons $A$ est conservé — autant en haut à gauche des symboles avant qu'après ;
• le nombre de charge $Z$ est conservé — autant en bas à gauche avant qu'après ;
• la masse totale n'est pas conservée.

Ce n'est pas une contradiction. Le nombre de nucléons compte des objets ; la masse mesure une énergie. Les mêmes nucléons, différemment assemblés, ne pèsent pas la même chose.

Pourquoi les nucléons assemblés pèsent moins que séparés. Voici l'idée centrale, et elle est simple. Pour arracher les nucléons d'un noyau et les éloigner les uns des autres, il faut fournir de l'énergie, car l'interaction forte les retient. Un noyau constitué est donc dans un état de moindre énergie que ses nucléons dispersés. Moins d'énergie, donc moins de masse : la masse d'un noyau est inférieure à la somme des masses de ses nucléons pris séparément. Cet écart s'appelle le défaut de masse du noyau.

Défaut de masse et énergie de liaison. Pour un noyau $^{A}_{Z}\mathrm{X}$ de masse $m_{\text{noyau}}$, contenant $Z$ protons et $A - Z$ neutrons,

$$\Delta m = \left[Z\,m_p + (A - Z)\,m_n\right] - m_{\text{noyau}} > 0,$$

et l'énergie de liaison du noyau est $E_{\ell} = \Delta m\,c^{2}$ : c'est l'énergie qu'il faudrait fournir pour le dissocier complètement en nucléons libres.

Retiens le sens : un noyau est d'autant plus solidement lié que son défaut de masse est grand. Et pour comparer des noyaux de tailles très différentes, on rapporte cette énergie au nombre de nucléons : l'énergie de liaison par nucléon, $E_{\ell}/A$, dit combien chaque nucléon est retenu en moyenne. C'est la grandeur qui explique, à elle seule, d'où vient l'énergie nucléaire.

La courbe qui gouverne tout. Calcule l'énergie de liaison par nucléon de chaque noyau, du plus léger au plus lourd, et porte le résultat en fonction du nombre de nucléons. Il apparaît une courbe très caractéristique : elle monte rapidement pour les noyaux légers, atteint un maximum d'environ $8{,}8$ MeV par nucléon autour du fer et du nickel, puis redescend lentement jusqu'aux plus lourds, où elle vaut environ $7{,}6$ MeV par nucléon pour l'uranium 235.

Cette courbe se lit comme un relief. Les noyaux du sommet sont les plus solidement liés ; ceux des deux versants le sont moins. Or une réaction libère de l'énergie exactement quand elle fait monter le système vers le sommet, c'est-à-dire quand les noyaux produits sont plus fortement liés que les noyaux de départ. Il y a donc deux façons de gagner, et deux seulement.

• Partir des noyaux légers, sur le versant de gauche, et les assembler en un noyau plus lourd : c'est la fusion.
• Partir des noyaux lourds, sur le versant de droite, et les casser en deux fragments de taille moyenne : c'est la fission.

Casser un noyau léger, ou fusionner deux noyaux déjà lourds, ferait descendre le système : ces réactions-là consomment de l'énergie au lieu d'en libérer. Le fer, au sommet, ne donne rien dans aucun sens — c'est le point mort de l'énergie nucléaire, et c'est aussi la raison pour laquelle une étoile massive cesse de produire de l'énergie quand son cœur atteint le fer.

La fission. Un noyau lourd, l'uranium 235 par exemple, capture un neutron lent, devient instable et se scinde en deux fragments de masses inégales, en libérant deux ou trois neutrons. Une écriture possible de cette réaction est

Vérifie les deux conservations : en haut, $235 + 1 = 236$ et $141 + 92 + 3 \times 1 = 236$ ; en bas, $92 + 0 = 92$ et $56 + 36 + 3 \times 0 = 92$. On dit « une écriture possible » parce que la fission ne donne pas toujours les mêmes fragments : elle en produit toute une famille, et l'équation ci-dessus n'en décrit qu'un cas.

Les neutrons libérés peuvent provoquer de nouvelles fissions : c'est la réaction en chaîne. Dans une centrale, on la maintient à un rythme constant en absorbant l'excédent de neutrons avec des barres de commande ; c'est ce contrôle, et lui seul, qui sépare un réacteur d'une bombe. Notons au passage une différence avec la leçon précédente : une désintégration radioactive est spontanée et ne libère aucun neutron, tandis qu'une fission est provoquée par la capture d'un neutron et en libère plusieurs.

La fusion. Deux noyaux légers s'unissent en un noyau plus lourd. La réaction visée par le réacteur expérimental ITER assemble deux isotopes de l'hydrogène, le deutérium et le tritium :

Là encore, $2 + 3 = 4 + 1$ en haut et $1 + 1 = 2 + 0$ en bas. C'est aussi la fusion qui fait briller le Soleil : au cœur de l'étoile, quatre noyaux d'hydrogène finissent, au terme d'une suite d'étapes, par former un noyau d'hélium 4, avec émission de positons et de neutrinos, ce qu'on résume par le bilan

La fusion libère davantage d'énergie par nucléon que la fission, et son combustible est abondant. Mais elle exige que deux noyaux, tous deux chargés positivement donc se repoussant, s'approchent assez près pour que l'interaction forte prenne le relais : il faut pour cela des températures de plusieurs millions de degrés. Le Soleil y parvient par sa masse ; sur Terre, la maîtriser durablement reste un objectif de recherche, pas une technologie disponible. C'est un fait, à énoncer sans enthousiasme ni scepticisme : ITER est une expérience.

Les ordres de grandeur, pour situer. Le tableau suivant rassemble ce que les calculs de la leçon donnent.

Ces énergies sont ridicules à l'échelle humaine : quelques picojoules. Mais un gramme de matière contient des milliers de milliards de milliards de noyaux. Un gramme d'uranium 235 entièrement fissionné libère ainsi environ $7 \times 10^{10}$ J, soit à peu près vingt mille kilowattheures — quand un gramme de charbon, en brûlant, en libère quelques dizaines de kilojoules. Le rapport est de l'ordre du million. C'est toute la différence entre réarranger des électrons, ce que fait la chimie, et réarranger des nucléons.

Une remarque sur la fission de l'uranium. L'énergie calculée depuis les masses des noyaux, environ $174$ MeV, ne comptabilise que la scission elle-même. Les fragments produits sont eux-mêmes radioactifs et se désintègrent ensuite : en tenant compte de ces désintégrations, une fission d'uranium 235 libère au total près de $200$ MeV. C'est ce chiffre-là que citent les ouvrages d'ingénierie ; les deux ne se contredisent pas, ils ne comptent pas la même chose.

Et le Soleil ? Il rayonne une puissance $P = 3{,}85 \times 10^{26}$ W. Cette énergie est prise sur sa masse : chaque seconde, il en perd $P/c^{2}$, soit environ $4{,}28 \times 10^{9}$ kg — plus de quatre millions de tonnes par seconde. Le chiffre impressionne ; rapporté à la masse du Soleil, environ $2 \times 10^{30}$ kg, il reste infime. En quatre milliards et demi d'années, l'étoile a perdu moins d'un dix-millième d'elle-même. La conclusion à retenir n'est pas « le Soleil s'épuise vite », c'est « une énergie colossale correspond à une perte de masse négligeable » — encore le facteur $c^{2}$.

Trois calculs. Données communes : $E = \Delta m\,c^{2}$ ; $c = 3{,}00 \times 10^{8}$ m·s⁻¹ ; $1$ u $= 1{,}660\,54 \times 10^{-27}$ kg ; $1$ eV $= 1{,}60 \times 10^{-19}$ J ; $N_A = 6{,}02 \times 10^{23}$ mol⁻¹. Masses atomiques : $m(^{235}_{92}\mathrm{U}) = 235{,}043\,93$ u ; $m(^{141}_{56}\mathrm{Ba}) = 140{,}914\,40$ u ; $m(^{92}_{36}\mathrm{Kr}) = 91{,}926\,17$ u ; $m(^{1}_{0}\mathrm{n}) = 1{,}008\,66$ u ; $m(^{1}_{1}\mathrm{H}) = 1{,}007\,83$ u ; $m(^{4}_{2}\mathrm{He}) = 4{,}002\,60$ u.

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Situation 1 — l'énergie libérée par une fission.

On considère la fission de l'uranium 235 écrite plus haut. Calculer l'énergie libérée par une réaction, en joules puis en mégaélectronvolts.

1. Masse des réactifs.

2. Masse des produits. Attention au coefficient $3$ devant le neutron :

3. Défaut de masse. La masse a diminué :

4. Conversion en kilogrammes, avant tout calcul d'énergie.

5. Énergie.

6. Conversion en mégaélectronvolts.

puisque $1$ MeV vaut $10^{6}$ eV.

Lecture. Le nombre de nucléons est bien conservé — $236$ de chaque côté — alors que la masse ne l'est pas. Ce sont les mêmes $236$ nucléons, autrement assemblés, et l'assemblage d'arrivée est plus lié, donc plus léger.

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Situation 2 — l'énergie de liaison par nucléon.

On utilise ici l'équivalence tabulée $1$ u $\leftrightarrow 931{,}5$ MeV, qui évite de repasser par les joules. Calculer l'énergie de liaison par nucléon de l'hélium 4, puis celle de l'uranium 235. Les masses données sont des masses atomiques : en comparant un atome d'hélium à deux atomes d'hydrogène 1 et deux neutrons, les électrons se compensent de part et d'autre, et le calcul donne bien l'énergie de liaison du noyau.

Hélium 4 — $2$ protons et $2$ neutrons :

Uranium 235 — $92$ protons et $235 - 92 = 143$ neutrons :

Lecture. L'uranium 235 a une énergie de liaison totale soixante fois plus grande que l'hélium 4 — c'est normal, il a soixante fois plus de nucléons. Mais par nucléon, il est moins lié : $7{,}59$ contre $7{,}07$ pour l'hélium et environ $8{,}8$ MeV au sommet de la courbe, autour du fer. C'est cette comparaison par nucléon, et non la comparaison des totaux, qui dit dans quel sens l'énergie sera libérée.

Une précision d'arrondi. Reprends la situation 1 avec l'équivalence $931{,}5$ MeV par u : $0{,}186\,04 \times 931{,}5 \approx 173$ MeV, contre $174$ MeV par la voie des joules. L'écart, inférieur à un pour cent, vient des arrondis des données — en particulier $c = 3{,}00 \times 10^{8}$ m·s⁻¹ et $1$ eV $= 1{,}60 \times 10^{-19}$ J. Suis la voie que demande l'énoncé, et ne t'inquiète pas d'un dernier chiffre qui bouge.

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Situation 3 — la masse que perd le Soleil.

Le Soleil rayonne une puissance $P = 3{,}85 \times 10^{26}$ W. Calculer la masse qu'il perd chaque seconde.

1. Énergie rayonnée en une seconde. La puissance est une énergie par seconde :

2. Masse correspondante. On utilise la relation à l'envers, $\Delta m = \dfrac{E}{c^{2}}$ :

Lecture. Plus de quatre millions de tonnes par seconde, et pourtant une goutte d'eau à l'échelle de l'étoile. Le calcul illustre le sens de $c^{2}$ mieux que n'importe quelle phrase : diviser par $9 \times 10^{16}$ écrase tout.

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Contrôler ses résultats. Quatre réflexes. Le défaut de masse est-il positif, c'est-à-dire la masse des réactifs supérieure à celle des produits ? Ai-je converti les unités de masse atomique en kilogrammes avant de multiplier par $c^{2}$ ? Ai-je bien élevé $c$ au carré, et non oublié le carré ? Et l'ordre de grandeur est-il crédible : quelques picojoules et quelques centaines de mégaélectronvolts pour une fission, une dizaine de mégaélectronvolts pour une fusion de noyaux légers ?

Figure (fig.physics.mass-energy-equivalence, SVG programmatique à produire) : une grande courbe centrale, deux vignettes de réaction de part et d'autre, une balance schématique en bas.

La figure en détail : la partie centrale de la figure est un graphique dont l'axe horizontal porte le nombre de nucléons du noyau, de zéro à deux cent cinquante, et dont l'axe vertical porte l'énergie de liaison par nucléon, en mégaélectronvolts, de zéro à dix. Une courbe part près de l'origine, monte rapidement pour les noyaux les plus légers, atteint un sommet aplati autour de cinquante à soixante nucléons à une hauteur d'environ huit virgule huit mégaélectronvolts, puis redescend lentement jusqu'au bord droit du graphique. Quatre points sont repérés sur la courbe et étiquetés : l'hélium 4 à environ sept virgule zéro sept mégaélectronvolts par nucléon, la région du fer au sommet, et l'uranium 235 à environ sept virgule cinq neuf mégaélectronvolts par nucléon. Deux grandes flèches horizontales sont dessinées le long de la courbe et pointent toutes deux vers le sommet : celle de gauche part des noyaux légers et porte la mention fusion, celle de droite part des noyaux lourds et porte la mention fission. Un cartouche indique que toute réaction qui rapproche du sommet libère de l'énergie, et qu'une réaction qui s'en éloigne en consomme.

À gauche du graphique, une vignette illustre la fusion : deux petits noyaux, le deutérium et le tritium, se rapprochent malgré une double flèche de répulsion électrique, puis forment un noyau d'hélium 4 tandis qu'un neutron est éjecté, avec l'équation écrite et la mention que la réaction exige des températures de plusieurs millions de degrés. À droite, une vignette illustre la fission : un neutron arrive sur un gros noyau d'uranium 235, le noyau se déforme puis se scinde en deux fragments inégaux, le baryum 141 et le krypton 92, tandis que trois neutrons partent dans trois directions ; sous cette vignette, trois de ces neutrons atteignent trois autres noyaux d'uranium pour figurer la réaction en chaîne, et une légende précise que cette chaîne est maintenue à rythme constant dans un réacteur par des barres de commande qui absorbent les neutrons en excès.

Le bandeau du bas montre une balance à deux plateaux. Sur le plateau de gauche sont posés les réactifs, sur celui de droite les produits, et la balance penche très légèrement du côté gauche. Une accolade sous la différence de niveau désigne le défaut de masse, et une flèche relie cette accolade à un encadré portant la relation entre l'énergie libérée, le défaut de masse et le carré de la vitesse de la lumière. À côté, un second encadré rappelle qu'au-dessus des deux plateaux le nombre de nucléons, lui, est rigoureusement le même : deux cent trente-six d'un côté comme de l'autre pour la fission représentée. Toutes les particules de la figure se distinguent par leur remplissage et par une lettre autant que par leur teinte, et chaque grandeur porte son nom écrit en toutes lettres.

Ce qu'il faut lire. La courbe centrale est le raisonnement de la leçon en une image : il n'y a qu'un sommet, donc deux façons d'y monter, donc exactement deux familles de réactions productrices d'énergie. Les deux vignettes montrent ce que ces montées coûtent en pratique — vaincre la répulsion électrique d'un côté, contrôler une chaîne de l'autre. Et la balance du bas dit ce qui, dans une réaction nucléaire, se conserve et ce qui ne se conserve pas : les nucléons sont comptés à l'identique, la masse ne l'est pas.

Fission ou fusion : le tableau de reconnaissance.

Un moyen mnémotechnique honnête : fission vient de « fendre », fusion de « fondre ensemble ».

Les conversions à ne jamais sauter. Des unités de masse atomique aux kilogrammes : multiplier par $1{,}660\,54 \times 10^{-27}$. Des joules aux électronvolts : diviser par $1{,}60 \times 10^{-19}$. Des électronvolts aux mégaélectronvolts : diviser par $10^{6}$. Des kilowattheures aux joules : multiplier par $3{,}6 \times 10^{6}$. Enfin, l'équivalence tabulée $1$ u $\leftrightarrow 931{,}5$ MeV permet de passer directement d'un défaut de masse en u à une énergie en mégaélectronvolts ; elle donne le même résultat que la voie longue, à quelques dixièmes de pour cent près dus aux arrondis des constantes.

Ce qui n'est pas au programme. La relativité restreinte, qui fonde la relation $E = \Delta m\,c^{2}$, n'est pas étudiée ici : la relation est admise et utilisée. Les détails de la neutronique d'un réacteur, du cycle du combustible, du traitement des déchets et de la radioprotection quantitative relèvent d'autres enseignements. Cette leçon fournit des ordres de grandeur, pas un avis sur les choix énergétiques.

1. Utiliser une masse en unités de masse atomique dans $E = \Delta m\,c^{2}$. La relation exige des kilogrammes. Oublier la conversion par $1{,}660\,54 \times 10^{-27}$ donne un résultat faux de vingt-sept ordres de grandeur — un nombre absurde, mais qui ne saute pas aux yeux dans une notation scientifique. Fais toujours de cette conversion une étape séparée, écrite sur ta copie.
2. Croire que la masse est conservée dans une réaction nucléaire. Elle ne l'est pas, et c'est précisément l'origine de l'énergie libérée. Ce qui est conservé, c'est le nombre de nucléons et le nombre de charge. Confondre les deux, c'est conclure que le défaut de masse est nul, donc que l'énergie libérée est nulle.
3. Confondre fission et fusion. La fission concerne les noyaux lourds qui se brisent ; la fusion, les noyaux légers qui s'assemblent. Vérifie toujours sur l'équation : si le plus gros noyau est à gauche, c'est une fission ; s'il est à droite, une fusion.
4. Oublier d'élever $c$ au carré. Multiplier par $3{,}00 \times 10^{8}$ au lieu de $9{,}00 \times 10^{16}$ divise le résultat par trois cents millions. Contrôle : l'énergie d'une réaction nucléaire se compte en picojoules, jamais en yoctojoules.
5. Oublier les coefficients dans les sommes de masses. Dans la fission écrite plus haut, trois neutrons sortent : la masse des produits contient $3 \times 1{,}008\,66$ u, pas $1{,}008\,66$ u. La même vigilance vaut pour les quatre noyaux d'hydrogène du bilan solaire.
6. Comparer des énergies de liaison totales au lieu des énergies par nucléon. L'uranium 235 a une énergie de liaison totale bien supérieure à celle de l'hélium 4, et il est pourtant moins lié : ce qui compte est le rapport $E_{\ell}/A$. Sans cette division, la courbe qui explique tout n'apparaît jamais.
7. Confondre désintégration radioactive et fission. Une désintégration est spontanée, ne libère pas de neutron, et transforme un noyau en un noyau voisin en émettant une particule alpha ou bêta. Une fission est provoquée par la capture d'un neutron, en libère plusieurs, et coupe le noyau en deux fragments de tailles comparables. N'ajoute jamais un neutron à droite d'une équation de désintégration.
8. Croire que la matière « disparaît » et devient de l'énergie. L'image est trompeuse. Les nucléons sont tous là, aussi nombreux qu'avant ; c'est leur assemblage qui a changé, et un assemblage plus lié pèse moins. La masse n'est pas une substance que l'on convertirait, c'est une mesure du contenu énergétique.
9. Prendre la fusion pour une solution disponible. Elle libère beaucoup d'énergie par nucléon et son combustible est abondant : ce sont des faits. Qu'aucun réacteur ne produise aujourd'hui d'électricité par fusion, et qu'ITER soit une expérience, en est un autre. Une leçon de physique donne les deux.
10. Croire que le Soleil « brûle ». Une combustion est une réaction chimique entre électrons ; elle ne pourrait alimenter le Soleil que quelques dizaines de millions d'années. Le Soleil rayonne depuis quatre milliards et demi d'années parce qu'il fusionne de l'hydrogène : un million de fois plus d'énergie pour la même masse.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon tire l'une de cinq variantes. Il peut te donner une réaction — fusion deutérium-tritium, fission de l'uranium 235, bilan de la fusion solaire — avec les masses de tous ses noyaux, et demander l'énergie libérée par une réaction, en joules ou en mégaélectronvolts ; ou demander l'énergie libérée par un gramme de combustible, à partir de la masse molaire et du nombre d'Avogadro ; ou demander la masse que le Soleil perd en une seconde, en une minute ou en un jour ; ou demander quelle masse il faudrait convertir pour couvrir la consommation électrique annuelle d'un foyer. Un modèle voisin, de type vrai ou faux, porte sur la conservation du nombre de nucléons face à la non-conservation de la masse, sur la distinction entre fission et fusion, sur la perte de masse du Soleil, et sur l'équilibre d'une équation nucléaire proposée.

Énoncé type. On considère la réaction de fusion deutérium-tritium, celle que vise le réacteur expérimental ITER :

Masses : $m(^{2}_{1}\mathrm{H}) = 2{,}014\,10$ u ; $m(^{3}_{1}\mathrm{H}) = 3{,}016\,05$ u ; $m(^{4}_{2}\mathrm{He}) = 4{,}002\,60$ u ; $m(^{1}_{0}\mathrm{n}) = 1{,}008\,66$ u. Données : $E = \Delta m\,c^{2}$ ; $c = 3{,}00 \times 10^{8}$ m·s⁻¹ ; $1$ u $= 1{,}660\,54 \times 10^{-27}$ kg ; $1$ eV $= 1{,}60 \times 10^{-19}$ J.

Calculer l'énergie $E$ libérée par une réaction. Répondre en mégaélectronvolts, avec trois chiffres significatifs.

Corrigé complet.

1. Masse des réactifs.

2. Masse des produits.

3. Défaut de masse. La masse a diminué ; c'est cette masse manquante qui est libérée sous forme d'énergie :

4. Conversion en kilogrammes. Étape obligatoire avant d'utiliser la relation :

5. Énergie en joules.

6. Énergie en mégaélectronvolts.

7. Interpréter. Les cinq nucléons de départ se retrouvent tous à l'arrivée — quatre dans l'hélium, un dans le neutron — et pourtant l'ensemble pèse moins qu'au départ : l'hélium 4 est un noyau remarquablement lié, et c'est ce gain de liaison qui apparaît sous forme d'énergie. Contrôle de vraisemblance : quelques picojoules et une dizaine de mégaélectronvolts sont bien l'ordre de grandeur d'une fusion de noyaux légers, une dizaine de fois moins qu'une fission d'uranium.

Réponse : $E \approx 17{,}6$ MeV, soit environ $2{,}82 \times 10^{-12}$ J.

Auto-contrôle. Quatre questions avant de rendre. Mon défaut de masse est-il positif, c'est-à-dire ai-je bien retranché la masse des produits à celle des réactifs, et non l'inverse ? Ai-je converti les unités de masse atomique en kilogrammes avant de multiplier ? Ai-je élevé la vitesse de la lumière au carré ? Et ma réponse est-elle dans l'unité demandée par l'énoncé — des mégaélectronvolts, pas des électronvolts ni des joules ?