Le travail d'une force : de l'énergie transférée le long d'un déplacement

Pousse une caisse sur dix mètres : tu te fatigues, la caisse a gagné de la vitesse ou vaincu des frottements — de l'énergie est passée de toi à elle. Pousse maintenant un mur pendant dix minutes : tu te fatigues tout autant, et pourtant rien n'a bougé, aucune énergie n'a été transférée au mur. La différence entre les deux situations n'est pas la force : c'est le déplacement. Le travail est la grandeur qui mesure ce transfert d'énergie par une force le long d'un déplacement.

Travail d'une force constante. Soit une force $\vec{F}$ constante (même valeur, même direction, même sens tout au long du trajet) s'exerçant sur un système dont le point d'application se déplace de $A$ à $B$. Le travail de $\vec{F}$ de $A$ à $B$ est le produit scalaire $W_{AB}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \overrightarrow{AB} = F \times AB \times \cos\alpha$, où $\alpha$ est l'angle entre $\vec{F}$ et $\overrightarrow{AB}$. Il s'exprime en joules (J).

Chaque facteur porte une idée.

$F \times AB$ : plus la force est grande et plus le déplacement est long, plus le transfert est important. Un newton sur un mètre, c'est un joule.

$\cos\alpha$ : seule compte la composante de la force le long du déplacement. Une force parallèle au déplacement ($\alpha = 0°$) travaille pleinement ; une force perpendiculaire ($\alpha = 90°$) ne travaille pas du tout, si intense soit-elle — le poids d'une valise qu'on tire sur un sol horizontal n'y transfère aucune énergie. Une force opposée au déplacement ($\alpha = 180°$) travaille négativement.

Le signe du travail est donc une information physique, pas un accident de calcul.

Travail moteur, travail résistant. Si $W_{AB}(\vec{F}) > 0$ ($\alpha < 90°$), la force est motrice : elle fournit de l'énergie au système. Si $W_{AB}(\vec{F}) < 0$ ($\alpha > 90°$), elle est résistante : elle en prélève. Si $\alpha = 90°$, le travail est nul.

Tu reconnais le produit scalaire du cours de mathématiques : c'est lui, et c'est précisément pour cela qu'il est au programme de la même année. Le travail est le premier usage physique du produit scalaire, et le meilleur moyen de comprendre pourquoi il vaut $\lVert\vec{u}\rVert \times \lVert\vec{v}\rVert \times \cos\theta$.

Le travail du poids ne dépend que de la dénivelée. Le poids $\vec{P}$ est une force constante (à l'échelle d'un exercice) : vertical, vers le bas, de valeur $m g$. Sur un déplacement $\overrightarrow{AB}$ quelconque, $W_{AB}(\vec{P}) = P \times AB \times \cos\alpha$, et le produit $AB \times \cos\alpha$ est la projection du déplacement sur la verticale descendante : c'est la différence d'altitude $z_A - z_B$ (axe $z$ vertical ascendant). D'où

Le chemin suivi n'y figure pas. Qu'un skieur descende $30$ m de dénivelée par la piste rouge ou par la verte, le travail de son poids est le même : $+m g \times 30$. Positif en descente (moteur), négatif en montée (résistant), nul sur un trajet horizontal. Une force dont le travail ne dépend pas du chemin est dite conservative ; le poids en est l'exemple du programme, et cette propriété fondera l'énergie potentielle de la leçon suivante.

Le travail des frottements est toujours résistant. Une force de frottement de glissement s'oppose au mouvement : à chaque instant, elle est de sens contraire au déplacement, $\alpha = 180°$, $\cos\alpha = -1$, et

Ce travail est négatif quel que soit le trajet, et il dépend de la longueur du chemin — deux fois plus de route, deux fois plus d'énergie prélevée. Les frottements sont l'exemple de force non conservative. Un énoncé qui affirmerait un travail de frottement positif décrit une situation impossible.

Qui tire, qui retient. Une corde, une perche, une poignée ne peuvent que tirer : la force qu'elles exercent est dirigée le long d'elles, vers celui qui tient. Elle est motrice quand elle pointe vers l'avant du déplacement (un skieur tiré par un téléski, $\alpha < 90°$), résistante quand une personne retient un mobile qui descend (un moniteur qui retient un débutant par une corde depuis l'amont, $\alpha > 90°$). Ce qui distingue les deux cas est la géométrie de la scène, pas le vocabulaire : une corde ne « freine » pas un skieur qu'elle tire.

Le théorème de l'énergie cinétique : le bilan. L'énergie cinétique d'un système en translation, $E_c = \dfrac{1}{2} m v^2$, ne change que si des forces travaillent. Le programme énonce :

la somme portant sur toutes les forces exercées sur le système entre $A$ et $B$ — y compris celles dont le travail est nul, que l'on cite pour dire qu'on ne les a pas oubliées. Le théorème relie une variation d'état (l'énergie cinétique) à des transferts (les travaux) : les travaux moteurs augmentent la vitesse, les travaux résistants la diminuent, et leur somme dit lequel l'emporte.

Pourquoi c'est vrai. Ce théorème se démontre en terminale à partir de la loi du mouvement (la deuxième loi de Newton) ; en première, on l'admet et on l'utilise. Tu peux déjà en sentir la cohérence sur un cas simple : une force constante qui pousse dans le sens du mouvement fait gagner de la vitesse, et le gain d'énergie cinétique est proportionnel à la distance sur laquelle elle a poussé — c'est exactement $F \times AB$. Le théorème n'est pas un décret : c'est la loi du mouvement réécrite en énergie.

Énoncé. Un enfant tire une luge de masse $m = 30$ kg sur un chemin enneigé horizontal et rectiligne, entre deux points $A$ et $B$ distants de $AB = 40$ m. La corde exerce une force $\vec{F}$ constante, de valeur $F = 60$ N, faisant un angle $\alpha = 60°$ avec le déplacement. La neige exerce sur la luge une force de frottement $\vec{f}$ constante, de valeur $f = 25$ N, opposée au mouvement, et une réaction normale $\vec{R}$ perpendiculaire au sol. On donne $g = 9{,}81$ N/kg. La luge part de $A$ sans vitesse.

Questions. 1. Calculer le travail de chacune des quatre forces entre $A$ et $B$. 2. En déduire la vitesse de la luge en $B$.

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1. Les quatre travaux.

La traction de la corde : $\cos 60° = 0{,}5$, valeur exacte.

Positif : la corde est motrice.

Les frottements : opposés au déplacement, $\alpha = 180°$, $\cos 180° = -1$.

Négatif : les frottements sont résistants.

Le poids : vertical, le déplacement est horizontal, $\alpha = 90°$.

Le poids vaut pourtant $P = 30 \times 9{,}81 = 294{,}3$ N : une force non nulle, un travail nul.

La réaction normale : perpendiculaire au sol, donc au déplacement.

2. Le théorème de l'énergie cinétique. La luge part sans vitesse, $E_c(A) = 0$. Entre $A$ et $B$ :

Donc $\dfrac{1}{2} m v_B^2 = 200$, soit

En $B$, la luge roule à environ $3{,}65$ m/s (un peu plus de $13$ km/h).

3. Lire le bilan. La corde a fourni $1200$ J ; les frottements en ont prélevé $1000$ ; il en reste $200$ sous forme d'énergie cinétique. Les cinq sixièmes de l'énergie apportée par l'enfant ont servi à vaincre la neige — c'est la physique ordinaire d'un trajet à vitesse modérée. Deux forces n'ont rien transféré, le poids et la réaction, mais on les a écrites : un bilan qui omet une force est un bilan que l'on ne peut pas vérifier.

4. Contrôler. Signe de chaque travail cohérent avec le rôle de la force ✔. Somme positive, donc vitesse finale supérieure à la vitesse initiale ✔. Ordre de grandeur d'une luge tirée par un enfant ✔. Racine calculée sur une fraction exacte, arrondi en dernier ✔.

Figure (fig.physics.work-of-force, SVG programmatique à produire) : une bande de cinq vignettes, un panneau de bilan et un bandeau.

La figure en détail : en haut, cinq vignettes d'une même luge glissant vers la droite sur un sol horizontal, le vecteur déplacement $\overrightarrow{AB}$ tracé sous chacune en trait épais. Sur chaque vignette, une seule force est dessinée, avec l'angle $\alpha$ marqué par un arc entre la force et le déplacement : $0°$ (force horizontale vers l'avant, cartouche « $\cos\alpha = 1$, travail moteur maximal »), $60°$ (corde oblique vers l'avant et le haut, « $\cos\alpha = 0{,}5$, moteur »), $90°$ (poids vertical, « $\cos\alpha = 0$, travail nul »), $120°$ (corde oblique vers l'arrière et le haut, tenue par une personne située derrière et plus haut, « $\cos\alpha = -0{,}5$, résistant »), $180°$ (frottement horizontal vers l'arrière, « $\cos\alpha = -1$, résistant maximal »). Sous la bande, un axe gradué de $-1$ à $1$ porte les cinq valeurs de cosinus, colorées par trame : zone hachurée à gauche de zéro étiquetée « résistant », zone pleine à droite étiquetée « moteur », le zéro marqué « nul ». Au milieu, le panneau de bilan de l'exemple : quatre barres horizontales étiquetées $W(\vec{F}) = +1200$ J, $W(\vec{f}) = -1000$ J, $W(\vec{P}) = 0$, $W(\vec{R}) = 0$, la barre positive vers la droite, la barre négative vers la gauche, et une barre résultante $+200$ J encadrée, reliée par une accolade à « $E_c(B) - E_c(A)$ ». Le bandeau du bas montre deux chemins, une piste raide et une piste en lacets, reliant le même point haut $A$ au même point bas $B$, avec la dénivelée $z_A - z_B$ cotée une seule fois et la mention « même travail du poids : $m g (z_A - z_B)$ ».

Ce qu'il faut lire. La bande du haut montre que le travail d'une force ne se décide pas à sa valeur mais à son angle avec le déplacement : la même luge, la même corde, et un travail moteur ou résistant selon que l'on tire vers l'avant ou que l'on retient depuis l'arrière. Le panneau de bilan montre le théorème de l'énergie cinétique comme une addition algébrique : les travaux se cumulent avec leurs signes, et le reste devient de la vitesse. Le bandeau rappelle que le poids ne regarde que la dénivelée — la propriété qui, dans la leçon suivante, deviendra l'énergie potentielle.

Les unités. Force en newtons, déplacement en mètres, travail en joules ($1\ \text{J} = 1\ \text{N} \cdot \text{m}$) ; kilojoules pour les grandes valeurs. Angle en degrés, cosinus sans unité. Énergie cinétique en joules : masse en kilogrammes, vitesse en mètres par seconde — une vitesse en km/h se convertit avant d'élever au carré.

Les cosinus à connaître. $\cos 0° = 1$, $\cos 60° = 0{,}5$, $\cos 90° = 0$, $\cos 120° = -0{,}5$, $\cos 180° = -1$ — les valeurs exactes des exercices. Entre deux, la calculatrice, en mode degrés.

La méthode du bilan. Nommer le système ; recenser toutes les forces (poids, réaction, frottements, traction) ; calculer chaque travail avec son signe, y compris les travaux nuls ; additionner ; conclure sur $E_c$, puis sur la vitesse. Cinq pas, jamais quatre.

1. Oublier le $\cos\alpha$, ou croire qu'une force perpendiculaire travaille. Le poids d'une luge sur un sol horizontal vaut $294$ N et son travail vaut $0$ J : ce n'est pas la valeur de la force qui décide, c'est sa composante le long du déplacement. Une force perpendiculaire ne transfère rien.
2. Donner un travail positif aux frottements. Un frottement de glissement est toujours opposé au mouvement : $\alpha = 180°$, travail négatif, énergie prélevée. Un « frottement moteur » est une contradiction — si une force pousse dans le sens du mouvement, ce n'est pas un frottement.
3. Croire que le travail du poids dépend du chemin. Piste raide ou lacets, $W(\vec{P}) = m g (z_A - z_B)$ ne voit que la dénivelée. C'est ce qui rend le poids conservatif, et c'est ce qui rendra possible l'énergie potentielle.
4. Confondre force et travail. Pousser un mur avec $500$ N pendant une heure : force considérable, travail nul, aucun déplacement. La fatigue musculaire est une affaire de biologie, pas de mécanique.
5. Prendre le mauvais angle. $\alpha$ est l'angle entre la force et le déplacement, pas entre la force et la verticale, ni entre la corde et le sol si le sol n'est pas le déplacement. Une corde à $60°$ du déplacement qui retient un mobile qui descend fait, avec le déplacement, un angle de $120°$ : le signe change.
6. Faire dire à une corde qu'elle freine en tirant. Une corde, une perche, une poignée ne peuvent que tirer vers celui qui les tient. Résistante seulement si l'on retient un mobile qui avance, depuis l'arrière ; motrice si l'on tire vers l'avant. Lis la scène avant de choisir le signe.
7. Oublier des forces dans le théorème de l'énergie cinétique. La somme porte sur toutes les forces. Omettre les frottements donne une vitesse trop grande ; omettre la réaction ou le poids ne change rien au nombre, mais rend le bilan invérifiable — écris-les, avec leur travail nul.
8. Élever au carré une vitesse en km/h. $E_c = \dfrac{1}{2} m v^2$ exige des mètres par seconde. $50$ km/h, c'est $13{,}9$ m/s ; le carré de $50$ donnerait une énergie treize fois trop grande.
9. Arrondir avant la racine. Dans le théorème de l'énergie cinétique, garde la fraction exacte ($v^2 = 40/3$) jusqu'à la racine, puis arrondis à trois chiffres significatifs. Arrondir $v^2$ d'abord fausse la dernière décimale.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon tire une scène — skieur au téléski, valise à roulettes, luge, chariot d'entrepôt — et un angle parmi $0°$, $60°$, $120°$ et $180°$, dont le cosinus est exact ; il demande le travail avec son signe. Ses autres variantes font calculer le travail du poids en montée ou en descente, puis appliquent le théorème de l'énergie cinétique pour trouver une vitesse finale ou un travail manquant. Un modèle voisin, à affirmations vraies ou fausses, revient sur les trois idées de la leçon : force perpendiculaire et travail nul, frottements jamais moteurs, poids indifférent au chemin.

Énoncé type. Un voyageur retient sa valise à roulettes, qui descend une rampe rectiligne d'une gare. Entre deux points $A$ et $B$ distants de $AB = 12$ m, la poignée exerce une force $\vec{F}$ constante, de valeur $F = 40$ N, faisant un angle $\alpha = 120°$ avec le vecteur déplacement $\overrightarrow{AB}$. Calculer le travail $W_{AB}(\vec{F})$ de cette force entre $A$ et $B$, en joules, valeur algébrique.

Corrigé complet.

1. La relation. La force est constante et le déplacement rectiligne : $W_{AB}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \overrightarrow{AB} = F \times AB \times \cos\alpha$.

2. Le cosinus. $\cos 120° = -0{,}5$, valeur exacte : l'angle est obtus, la force a une composante opposée au déplacement.

3. Le calcul. $W_{AB}(\vec{F}) = 40 \times 12 \times (-0{,}5) = -240$ J.

Le travail de la force exercée par la poignée vaut $-240$ J : négatif, la force est résistante. Le voyageur ne pousse pas sa valise dans la descente, il la retient — la poignée prélève de l'énergie au système, et c'est exactement ce que dit le signe.

4. Écarter la réponse tentante. Écrire $+240$ J en « oubliant » le signe du cosinus décrirait une force qui accélère la valise dans la pente : ce n'est pas la scène. Et $480$ J (en omettant le cosinus) supposerait la force alignée avec le déplacement : elle fait $120°$ avec lui.

Auto-contrôle. Trois questions avant de rendre. L'angle que j'ai pris est-il bien celui entre la force et le déplacement ? Le signe de mon travail correspond-il au rôle de la force dans la scène (tirer vers l'avant, retenir, frotter) ? Et mes unités — newtons, mètres, joules — sont-elles cohérentes, sans kilomètres ni centimètres oubliés ?