L'énergie mécanique : ce qui se conserve, et quand

Lâche une bille du haut d'un toboggan lisse. En haut, elle est immobile mais haute ; en bas, elle est rapide mais au niveau du sol. Quelque chose est passé d'une forme à l'autre : la hauteur s'est transformée en vitesse. Cette leçon donne un nom à ce « quelque chose », en fait une grandeur calculable, et dit précisément quand elle se conserve.

Le premier réservoir : l'énergie cinétique. Tu la connais depuis la troisième, et la leçon précédente l'a reliée aux travaux : $E_c = \dfrac{1}{2} m v^2$, en joules, avec $v$ en mètres par seconde.

Le second réservoir : l'énergie potentielle de pesanteur. La leçon précédente a établi que le travail du poids ne dépend que de la dénivelée : $W_{AB}(\vec{P}) = m g (z_A - z_B)$. Une force dont le travail ne dépend pas du chemin est conservative, et pour une telle force on peut définir une énergie « en réserve », qui ne dépend que de la position. Pour le poids :

où $z$ est l'altitude du système au-dessus d'une origine choisie — le sol, le point le plus bas du trajet, une table. Le choix est libre, mais il doit être écrit, et il ne change jamais les différences d'énergie potentielle, seules physiquement significatives. Le travail du poids est alors l'opposé de la variation d'énergie potentielle : $W_{AB}(\vec{P}) = E_{pp}(A) - E_{pp}(B) = -\Delta E_{pp}$. Descendre libère de l'énergie potentielle ; monter en stocke.

Énergie mécanique. L'énergie mécanique d'un système est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle de pesanteur : $E_m = E_c + E_{pp}$, en joules.

Conservation. Si le système n'est soumis qu'à son poids, ou à des forces qui ne travaillent pas (réaction normale d'un support sans frottement, tension d'un fil de pendule), son énergie mécanique se conserve : $E_m(A) = E_m(B)$ pour tout couple de points du trajet. En pratique : sans frottements, ce que perd un réservoir, l'autre le gagne exactement.

C'est une loi conditionnelle. La condition — aucune force non conservative ne travaille — n'est pas un détail à recopier, c'est ce qui autorise l'égalité. Dès que des frottements s'exercent, l'énergie mécanique ne se conserve plus, et sa diminution mesure leur travail. Les deux cas sont au programme, et chaque énoncé dit dans lequel il se place.

La démonstration tient en trois lignes. Le théorème de l'énergie cinétique, entre deux points $A$ et $B$, s'écrit $E_c(B) - E_c(A) = W_{AB}(\vec{P}) + W_{AB}(\text{autres forces})$. Or le travail du poids vaut $E_{pp}(A) - E_{pp}(B)$. En passant ce terme à gauche :

c'est-à-dire

Tout est là. Si les autres forces ne travaillent pas (réaction perpendiculaire au déplacement, absence de frottements), le membre de droite est nul et $E_m$ se conserve. Si des frottements travaillent, leur travail est négatif, et $E_m$ diminue d'exactement cette quantité. La conservation n'est pas un postulat de plus : c'est le théorème de l'énergie cinétique, dans lequel on a rangé le poids du côté des énergies.

Le cas sans frottements : la masse s'efface. Un système lâché sans vitesse d'une hauteur $h$ (origine des altitudes au point bas) arrive en bas avec $\dfrac{1}{2} m v^2 = m g h$, soit

La masse a disparu : un plongeur de $50$ kg et un plongeur de $90$ kg lâchés de $10$ m arrivent à la même vitesse, $\sqrt{2 \times 9{,}81 \times 10} \approx 14$ m/s. Inversement, une balle lancée vers le haut à $v_0$ monte jusqu'à $h = \dfrac{v_0^2}{2 g}$, quelle que soit sa masse. Retiens la forme, mais retiens surtout sa condition — la même formule, avec des frottements, surestime la vitesse.

Le cas avec frottements : l'énergie ne disparaît pas. Si la vitesse mesurée en bas est plus faible que $\sqrt{2gh}$, l'écart entre $E_m(A)$ et $E_m(B)$ est le travail des frottements — un nombre négatif. L'énergie mécanique perdue n'est pas anéantie : elle est transférée à l'environnement (le toboggan, l'air, le mobile lui-même) sous forme thermique — tout s'échauffe un peu. L'énergie totale se conserve toujours ; c'est l'énergie mécanique qui ne se conserve pas. Confondre les deux, c'est confondre un réservoir avec l'ensemble des réservoirs.

Ce que l'énergie mécanique ne dit pas. Elle relie deux états (un point de départ, un point d'arrivée) sans rien dire du trajet ni de sa durée : elle donne la vitesse au bas du toboggan, pas le temps de la descente, ni la forme de la trajectoire. Pour cela, il faut les lois du mouvement. Elle ne dit rien non plus des forces qui ne travaillent pas : la réaction du toboggan peut être énorme dans un creux, l'énergie mécanique n'en sait rien. C'est sa limite et sa force — un outil d'état, aveugle au détail du chemin.

Le pendule, cas d'école. Une bille au bout d'un fil : la tension du fil est à chaque instant perpendiculaire au mouvement (tangent au cercle), son travail est nul. Seul le poids travaille, et sans frottements l'énergie mécanique se conserve : la bille remonte exactement à la hauteur d'où on l'a lâchée, de l'autre côté — jamais plus haut. Qu'elle finisse par s'arrêter dans la réalité signe la présence des frottements de l'air et du pivot, dont le travail, négatif, use peu à peu la réserve.

Énoncé. Un enfant de masse $m = 35$ kg se laisse glisser, sans vitesse initiale, depuis le sommet $A$ d'un toboggan jusqu'à son pied $B$, situé $h = 4{,}5$ m plus bas. On prend l'origine des altitudes au point $B$. On donne $g = 9{,}81$ N/kg.

Questions. 1. Dans un premier temps, on néglige tout frottement. Calculer la vitesse de l'enfant en $B$. 2. En réalité, la vitesse mesurée en $B$ vaut $v_B = 7{,}0$ m/s. Calculer le travail des forces de frottement entre $A$ et $B$, et l'énergie dissipée.

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1. Sans frottements : conservation. Système : l'enfant. Forces : le poids (conservatif) et la réaction du toboggan, perpendiculaire au déplacement en l'absence de frottements, donc de travail nul. L'énergie mécanique se conserve : $E_m(A) = E_m(B)$.

En $A$ : $v_A = 0$ et $z_A = h$, donc $E_m(A) = 0 + m g h$. En $B$ : $z_B = 0$ (origine des altitudes), donc $E_m(B) = \dfrac{1}{2} m v_B^2 + 0$.

La masse s'est simplifiée : $35$ kg n'a servi à rien, et servirait à rien pour un adulte. Environ $34$ km/h au bas d'un toboggan de $4{,}5$ m — c'est la vitesse « idéale », celle que les frottements vont rogner.

2. Avec frottements : bilan. Le trajet est le même, mais des frottements travaillent : l'énergie mécanique ne se conserve pas, et

Calcul de chaque état, en gardant les valeurs exactes :

Le travail des frottements vaut environ $-688$ J : négatif, comme tout travail de frottement. L'énergie dissipée — sa valeur absolue — est d'environ $688$ J, transférée sous forme thermique au toboggan, à l'air et aux vêtements de l'enfant.

3. Lire le résultat. Sur les $1545$ J de réserve potentielle, $857$ J sont devenus de la vitesse et $688$ J ont chauffé le toboggan : les frottements ont prélevé $44$ % de l'énergie mécanique. La vitesse « idéale » de $9{,}40$ m/s est devenue $7{,}0$ m/s — et non $9{,}40 \times 0{,}56$, car l'énergie va comme le carré de la vitesse.

4. Contrôler. Signe négatif du travail des frottements ✔. $E_m(B) < E_m(A)$ ✔. Origine des altitudes citée et utilisée ($z_B = 0$) ✔. Arrondi fait en dernier, à trois chiffres significatifs comme les données ✔.

Figure (fig.physics.mechanical-energy-conservation, SVG programmatique à produire) : deux panneaux côte à côte sur le même toboggan, et un bandeau.

La figure en détail : chaque panneau montre le profil du toboggan de l'exemple, de $A$ (en haut, coté $z_A = 4{,}5$ m) à $B$ (en bas, marqué « $z_B = 0$, origine des altitudes »), avec l'enfant représenté en trois positions, en haut, à mi-hauteur et en bas. Sous chaque position, deux barres verticales accolées, à la même échelle dans toute la figure : la barre $E_{pp}$ en aplat, la barre $E_c$ hachurée, leur somme $E_m$ écrite au-dessus et encadrée. Panneau de gauche, « sans frottements » : en haut $E_{pp} = 1545$ J et $E_c = 0$ ; à mi-hauteur $772{,}5$ J et $772{,}5$ J ; en bas $0$ et $1545$ J — la somme, écrite trois fois, vaut $1545$ J, et une ligne horizontale en pointillés relie les trois sommets des piles, à hauteur constante. Panneau de droite, « avec frottements » : mêmes barres $E_{pp}$, mais des barres $E_c$ plus courtes, et une pile totale qui descend de $1545$ J en haut à $857{,}5$ J en bas ; l'écart, $687{,}575$ J, est figuré par une zone en trame pointillée au-dessus de la pile de $B$, étiquetée « $|W(\vec{f})|$, transféré par chaleur au toboggan et à l'air ». Une flèche ondulée part de cette zone vers le toboggan, dont la glissière porte de petits traits de chaleur. Le bandeau du bas oppose deux cases : « sans frottements : $E_m(B) = E_m(A)$ » et « avec frottements : $E_m(B) - E_m(A) = W(\vec{f}) < 0$ », avec, entre les deux, la mention « l'énergie totale, elle, se conserve toujours ».

Ce qu'il faut lire. À gauche, les deux barres échangent leur contenu sans que la somme change : c'est la conservation, visible comme une ligne horizontale. À droite, la somme baisse d'un panneau à l'autre, et la baisse a une destination — la chaleur — figurée par la zone pointillée : l'énergie mécanique n'est pas conservée, l'énergie totale l'est. La même échelle partout permet de comparer d'un coup d'œil les $857{,}5$ J de vitesse réelle aux $1545$ J de vitesse idéale.

Les unités. Joules partout : masse en kilogrammes, vitesse en mètres par seconde, altitude en mètres, $g$ en newtons par kilogramme. Une hauteur en centimètres ou une vitesse en km/h se convertit avant tout calcul.

La méthode. Nommer le système ; lire dans l'énoncé si des frottements s'exercent — c'est écrit, toujours ; fixer l'origine des altitudes — elle est donnée ; écrire $E_m$ en chaque point avec ce qui est nul (vitesse nulle au sommet, altitude nulle à l'origine) ; conserver, ou bien égaler la variation au travail des frottements ; conclure, puis vérifier le signe et l'ordre de grandeur.

Vers la suite. Le programme s'arrête à la pesanteur. D'autres forces conservatives — le ressort, la force électrique — ont elles aussi leur énergie potentielle, et le même bilan s'y applique : c'est l'affaire de la Terminale et du supérieur.

1. Appliquer la conservation malgré des frottements. L'énoncé écrit « des frottements s'exercent » ou « on néglige les frottements » : c'est cette phrase qui décide. Avec frottements, $E_m$ diminue, et $\sqrt{2gh}$ surestime la vitesse. La formule sans sa condition est fausse.
2. Ne pas fixer l'origine des altitudes. $E_{pp} = m g z$ n'a de valeur qu'une fois l'origine choisie ; l'énoncé la donne, il faut la lire et l'utiliser ($z = 0$ en ce point). Changer d'origine décale toutes les $E_{pp}$ de la même constante — les différences, donc les vitesses, ne changent pas.
3. Confondre conservation de l'énergie mécanique et conservation de l'énergie totale. L'énergie totale se conserve toujours ; l'énergie mécanique seulement sans frottements. Quand elle diminue, rien n'a « disparu » : le manque est transféré par chaleur à l'environnement.
4. Faire intervenir la masse dans $v = \sqrt{2gh}$. Elle se simplifie : lourd ou léger, même vitesse d'arrivée sans frottements. Si ta vitesse dépend de la masse dans un cas sans frottements, cherche l'erreur.
5. Oublier une énergie cinétique initiale. Un wagonnet qui passe le sommet à $v_A \ne 0$ a $E_m(A) = \dfrac{1}{2} m v_A^2 + m g h$ : la vitesse en bas est $\sqrt{v_A^2 + 2gh}$, pas $\sqrt{2gh}$.
6. Donner un travail de frottement positif, ou une énergie dissipée négative. $W(\vec{f}) = E_m(B) - E_m(A) < 0$ ; l'énergie dissipée est sa valeur absolue, positive. L'énoncé dit laquelle des deux il demande : lis-le.
7. Raisonner en vitesse là où il faut raisonner en énergie. Les frottements ont prélevé $44$ % de l'énergie, pas $44$ % de la vitesse : l'énergie cinétique va comme le carré de la vitesse. Compare des joules à des joules.
8. Croire que le pendule remonte plus haut d'un côté. Sans frottements, il remonte exactement à la hauteur de départ ; jamais au-dessus. Plus haut violerait la conservation ; moins haut signale des frottements.
9. Demander à l'énergie mécanique ce qu'elle ne sait pas. Elle donne des vitesses en des points, pas la durée du trajet ni la force exercée par le support dans un creux. Pour ces questions, ce sont les lois du mouvement.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon tire une scène — chute, toboggan, wagonnet, balle lancée vers le haut — et, selon la variante, demande la vitesse en bas sans frottements, la hauteur atteinte par un lancer, la vitesse en bas avec une vitesse initiale, ou bien, avec des frottements écrits dans la scène, le travail des frottements ou l'énergie dissipée. L'origine des altitudes est toujours donnée. Un modèle voisin, à affirmations vraies ou fausses, revient sur la condition de conservation, la destination de l'énergie perdue et le rôle de l'origine des altitudes.

Énoncé type. Un plongeur de masse $m = 72$ kg se laisse tomber, sans vitesse initiale, depuis une plateforme $A$ située $h = 10{,}0$ m au-dessus de la surface de l'eau $B$. On néglige les frottements de l'air. On prend l'origine des altitudes au point $B$. On donne $g = 9{,}81$ N/kg. Calculer la vitesse $v_B$ du plongeur à l'arrivée dans l'eau, avec trois chiffres significatifs.

Corrigé complet.

1. Le cadre. Système : le plongeur. Seule force : son poids (frottements négligés, aucun support). Le poids est conservatif : l'énergie mécanique se conserve entre $A$ et $B$.

2. Les deux états. En $A$ : $v_A = 0$, $z_A = h$, donc $E_m(A) = m g h$. En $B$ : $z_B = 0$ (origine des altitudes), donc $E_m(B) = \dfrac{1}{2} m v_B^2$.

3. L'égalité, puis la simplification. $\dfrac{1}{2} m v_B^2 = m g h$ ; la masse se simplifie : $v_B^2 = 2 g h = 2 \times 9{,}81 \times 10{,}0 = 196{,}2$.

4. La racine, arrondie en dernier. $v_B = \sqrt{196{,}2} \approx 14{,}0$ m/s.

Le plongeur entre dans l'eau à environ $14{,}0$ m/s, soit $50$ km/h. Les $72$ kg n'ont pas servi : un enfant lâché de la même hauteur arriverait à la même vitesse.

5. Écarter les erreurs voisines. $v_B = 2 g h = 196$ m/s (oubli de la racine) est absurde : sept cents kilomètres par heure. $v_B = \sqrt{g h} \approx 9{,}9$ m/s (oubli du facteur $2$) vient d'une énergie cinétique écrite sans son $\dfrac{1}{2}$. Et si l'énoncé avait mentionné des frottements, aucune de ces formules ne s'appliquerait : il aurait fallu une vitesse mesurée, et l'on aurait calculé un travail.

Auto-contrôle. Trois questions avant de rendre. L'énoncé dit-il « sans frottements » — ai-je le droit de conserver ? Ai-je utilisé l'origine des altitudes donnée, avec $z = 0$ au bon point ? Et ma vitesse est-elle plausible — moins de $55$ m/s pour toute chute d'un exercice de première ?