Référentiel, trajectoire, vecteur position : décrire un mouvement sans ambiguïté

Tu es assis dans un train lancé à pleine vitesse. Es-tu immobile ? Pour le voyageur d'en face, oui : la distance entre vous ne change pas. Pour une personne restée sur le quai, certainement pas : tu files à $300$ km/h. Qui a raison ? Les deux. Le mouvement n'est pas une propriété de l'objet seul : il dépend de l'observateur choisi. C'est la relativité du mouvement, et elle impose une discipline nouvelle par rapport au collège.

Décrire un mouvement exige de préciser par rapport à quoi on le décrit. Ce « par rapport à quoi » s'appelle le référentiel : un objet de référence supposé fixe, auquel on attache un repère d'espace (pour dire où) et une horloge (pour dire quand).

Trois référentiels reviennent sans cesse au lycée : le référentiel terrestre (lié au sol — celui de la vie courante), le référentiel géocentrique (lié au centre de la Terre, sans tourner avec elle — celui des satellites et de la Lune) et le référentiel héliocentrique (lié au centre du Soleil — celui des planètes).

Une fois le référentiel choisi, trois mots organisent toute la description.

Le système : l'objet dont on étudie le mouvement, réduit à un point quand sa taille ne joue pas de rôle. « Le train », « la balle », « le centre de la Lune ».

La trajectoire : l'ensemble des positions successivement occupées par le système dans le référentiel choisi. Sa forme donne le premier qualificatif du mouvement : trajectoire en ligne droite → mouvement rectiligne ; trajectoire en cercle → mouvement circulaire ; n'importe quelle autre courbe → mouvement curviligne (quelconque).

La vitesse : son évolution donne le second qualificatif. Si la valeur de la vitesse ne change pas, le mouvement est uniforme ; si elle augmente ou diminue, il est varié (accéléré ou ralenti). Un mouvement se qualifie toujours par ces deux informations : « rectiligne uniforme », « circulaire varié »…

Et tout, absolument tout, dépend du référentiel. Reprends le voyageur du train : dans le référentiel du wagon, sa trajectoire est un point (il ne bouge pas) ; dans le référentiel terrestre, c'est une longue ligne droite parcourue à grande vitesse. Même personne, même instant, deux descriptions différentes — et toutes deux correctes, chacune dans son référentiel. Voilà pourquoi un énoncé de mécanique commence toujours par la phrase rituelle : « dans le référentiel… ».

Le collège décrivait le mouvement avec un seul nombre, la vitesse moyenne $v = d/t$. Un nombre dit combien, mais pas dans quelle direction ni dans quel sens. La seconde introduit l'outil qui dit les trois à la fois : le vecteur, que tu connais du cours de mathématiques — un objet défini par une direction, un sens et une norme (une longueur).

Le vecteur position. Dans le repère $(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})$ attaché au référentiel, la position du système à l'instant $t$ est le point $M$, et le vecteur position est $\vec{OM}$. Ses coordonnées $(x\,;\,y)$ sont celles du point $M$ : dire « le vecteur position a pour coordonnées $(3\,;\,4)$ » ou « le système est au point $(3\,;\,4)$ », c'est dire la même chose. L'intérêt du vecteur apparaît dès qu'on compare deux instants.

Le vecteur déplacement. Entre une position $M_1(x_1\,;\,y_1)$ à la date $t_1$ et une position $M_2(x_2\,;\,y_2)$ à la date $t_2$, le vecteur déplacement est $\vec{M_1M_2}$. Ses coordonnées s'obtiennent par soustraction, arrivée moins départ :

Attention à une distinction que le vocabulaire courant écrase : le vecteur déplacement relie les deux positions en ligne droite. Sa norme n'est la distance parcourue que si le trajet est rectiligne et sans demi-tour ; sur un trajet en courbe, la distance parcourue (le long du chemin) est plus grande que la norme du déplacement (à vol d'oiseau).

Le vecteur vitesse moyenne. C'est le vecteur déplacement divisé par la durée du parcours $\Delta t = t_2 - t_1$ :

Diviser un vecteur par un nombre positif ne change ni sa direction ni son sens : le vecteur vitesse moyenne pointe du départ vers l'arrivée, et chacune de ses coordonnées vaut la coordonnée correspondante du déplacement divisée par $\Delta t$. Sa norme, en mètres par seconde, est la valeur de la vitesse moyenne — le nombre du collège, retrouvé comme cas particulier.

Calculer une norme. Le repère étant orthonormé, la norme d'un vecteur de coordonnées $(a\,;\,b)$ se calcule par le théorème de Pythagore : $\sqrt{a^2 + b^2}$. C'est le seul outil mathématique nouveau que demande cette leçon, et il vient tout droit du cours de mathématiques sur les vecteurs.

Lire une chronophotographie. Au laboratoire, on enregistre souvent le mouvement par une chronophotographie : une image qui superpose les positions du système à intervalles de temps égaux. Deux lectures s'y font d'un coup d'œil. La forme du nuage de points donne la trajectoire — mais attention, la chronophotographie n'EST pas la trajectoire : elle n'en montre que quelques positions, prises à intervalles réguliers ; la trajectoire est la ligne continue qui passe par toutes. L'espacement des points donne l'évolution de la vitesse : points régulièrement espacés → mouvement uniforme ; espacement qui augmente → mouvement accéléré ; qui diminue → ralenti.

Où pointe le vecteur vitesse ? En chaque point de la trajectoire, le vecteur vitesse indique la direction que suit le système à cet instant : il est tangent à la trajectoire, orienté dans le sens du parcours. Le cas qui piège tout le monde est le mouvement circulaire uniforme : la valeur de la vitesse y est constante, mais sa direction change à chaque instant — le vecteur vitesse n'est donc pas constant, alors que le compteur, lui, ne bouge pas. Cette distinction entre la valeur et le vecteur prépare directement le principe d'inertie, la leçon suivante.

Énoncé. Dans le référentiel terrestre, on repère la position d'un cycliste dans un plan horizontal muni d'un repère orthonormé gradué en mètres (vue de dessus). À la date $t_1$, il se trouve au point $M_1(15\,;\,-20)$. À la date $t_2 = t_1 + 10$ s, il se trouve au point $M_2(75\,;\,25)$.

Question 1. Calculer les coordonnées du vecteur déplacement $\vec{M_1M_2}$.

Question 2. Calculer les coordonnées du vecteur vitesse moyenne entre $t_1$ et $t_2$.

Question 3. Calculer la valeur de la vitesse moyenne. Le résultat est-il vraisemblable ?

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Question 1 — le vecteur déplacement.

1. Nommer le cadre. Le référentiel est terrestre, le système est le cycliste : toutes les coordonnées sont celles du repère lié au sol.

2. Soustraire, arrivée moins départ.

Le vecteur déplacement a pour coordonnées $\vec{M_1M_2}\,(60\,;\,45)$, en mètres.

Le piège classique se cache dans l'ordonnée : soustraire $-20$, c'est ajouter $20$. Écrire la parenthèse avant de calculer évite l'erreur de signe.

Question 2 — le vecteur vitesse moyenne.

1. Identifier la durée. $\Delta t = t_2 - t_1 = 10$ s.

2. Diviser chaque coordonnée du déplacement par la durée.

Le vecteur vitesse moyenne a pour coordonnées $\vec{v}\,(6\,;\,4{,}5)$, en mètres par seconde.

Ce vecteur a exactement la direction et le sens du déplacement : diviser par une durée positive ne fait que raccourcir la flèche.

Question 3 — la valeur de la vitesse moyenne.

1. Calculer la norme du déplacement (repère orthonormé, donc Pythagore) :

Le déplacement mesure $75$ m.

2. Diviser par la durée.

La valeur de la vitesse moyenne est $v = 7{,}5$ m/s.

3. Contrôler la vraisemblance. $7{,}5$ m/s font $7{,}5 \times 3{,}6 = 27$ km/h : une allure soutenue mais banale pour un cycliste. Un résultat de $270$ km/h aurait signalé une erreur — le plus souvent une durée oubliée ou une norme calculée comme une somme de coordonnées ($60 + 45 = 105$, qui est faux : une norme n'est jamais la somme des coordonnées).

Figure (fig.physics.position-vector-trajectory, SVG programmatique à produire) : deux panneaux côte à côte, même situation, deux référentiels.

• Panneau de gauche — le référentiel terrestre. Un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})$ gradué en mètres, vu de dessus. Deux points marqués $M_1(15\,;\,-20)$ et $M_2(75\,;\,25)$, reliés par une flèche épaisse : le vecteur déplacement $\vec{M_1M_2}\,(60\,;\,45)$. Les projections en pointillés sur les deux axes matérialisent les composantes $60$ et $45$ ; le triangle rectangle qu'elles forment porte l'hypoténuse étiquetée « $75$ m ». Le long de la flèche, une flèche plus courte et colorée, de même direction et même sens, étiquetée $\vec{v}\,(6\,;\,4{,}5)$, avec la légende « même direction, même sens : seule la longueur change quand on divise par $\Delta t = 10$ s ».
• Panneau de droite — la même scène dans un autre référentiel. Une vignette montre un voyageur assis dans un wagon, avec deux étiquettes superposées : « référentiel du wagon : trajectoire = un point » (un point unique, cerclé) et « référentiel terrestre : trajectoire = un segment » (une ligne droite fléchée sous le wagon). Entre les deux étiquettes, la question rituelle en gras : « par rapport à quoi ? ».
• Bandeau du bas — trois chronophotographies. Trois lignes de points : points équidistants (légende « uniforme »), points de plus en plus espacés (« accéléré »), points de plus en plus serrés (« ralenti »). Sur la première ligne, un vecteur vitesse est dessiné en un point, tangent à la ligne, avec la mention « toujours tangent à la trajectoire, dans le sens du parcours ».

Ce qu'il faut lire. Le panneau de gauche montre le calcul complet de l'exemple en une image : soustraire les coordonnées, lire les composantes sur les projections, obtenir la norme par le triangle rectangle, et voir que le vecteur vitesse moyenne n'est que le déplacement raccourci. Le panneau de droite rappelle que rien de tout cela n'a de sens sans référentiel : le même voyageur est immobile ici et en mouvement là. Le bandeau du bas apprend à lire l'espacement des points d'une chronophotographie comme on lit un compteur de vitesse.

Les unités. Coordonnées de position et de déplacement en mètres (m) ; coordonnées et norme de la vitesse en mètres par seconde (m/s) ; conversion vers les km/h en multipliant par $3{,}6$. Une coordonnée de vitesse peut être négative — son signe indique le sens du déplacement le long de l'axe — mais une valeur de vitesse (une norme) est toujours positive.

Ce qui attend en première. La vitesse calculée ici est une moyenne entre deux dates. En rapprochant les deux dates jusqu'à les confondre, on définira le vecteur vitesse instantanée — celui qu'affiche le compteur — et son outil mathématique, la dérivée. La tangence à la trajectoire, déjà visible ici, y deviendra exacte à chaque instant.

1. Décrire un mouvement sans préciser le référentiel. « Le voyageur est immobile » n'est ni vrai ni faux : c'est incomplet. Le même voyageur est immobile dans le référentiel du wagon et en mouvement rectiligne dans le référentiel terrestre. Toute copie de mécanique commence par nommer le système et le référentiel — c'est une phrase, et elle rapporte des points toute l'année.
2. Confondre la trajectoire et la chronophotographie. La chronophotographie montre quelques positions, prises à intervalles réguliers ; la trajectoire est la ligne continue de toutes les positions. L'espacement des points renseigne sur la vitesse, pas sur la forme de la trajectoire entre deux points.
3. Dessiner le vecteur vitesse perpendiculaire à la trajectoire. Le vecteur vitesse dit où va le système : il est tangent à la trajectoire, dans le sens du parcours. Un vecteur perpendiculaire signifierait que le système quitte sa propre trajectoire de côté — contradiction. Sur un cercle, en particulier, la vitesse n'est jamais dirigée vers le centre.
4. Croire qu'« allure constante » signifie « vecteur vitesse constant ». Dans un virage pris à compteur fixe, la valeur de la vitesse est constante mais sa direction change : le vecteur vitesse varie. Un vecteur est constant quand sa valeur et sa direction le sont. Cette nuance est exactement ce que le principe d'inertie exploitera.
5. Soustraire les coordonnées dans le mauvais ordre, ou rater un signe. Le déplacement se calcule arrivée moins départ ; avec des coordonnées négatives, poser la parenthèse ($25 - (-20) = 45$) avant de calculer évite l'erreur la plus courante de ce chapitre.
6. Calculer une norme en additionnant les coordonnées. La norme de $(60\,;\,45)$ vaut $\sqrt{60^2 + 45^2} = 75$, pas $105$. Une norme se calcule par Pythagore, jamais par addition — les coordonnées ne sont pas des longueurs mises bout à bout.
7. Confondre norme du déplacement et distance parcourue. Sur un trajet en courbe ou avec demi-tour, le chemin parcouru est plus long que le segment $M_1M_2$. La vitesse moyenne vectorielle utilise le déplacement ; la vitesse moyenne du collège ($d/t$) utilise la distance le long du chemin. Les deux coïncident seulement en ligne droite sans retour.
8. Mélanger les unités dans la division. Un déplacement en mètres divisé par une durée en minutes ne donne pas des m/s. Tout en unités SI avant de diviser — et pour convertir des m/s en km/h, on multiplie par $3{,}6$, on ne divise pas.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon donne deux positions datées d'un mobile (piéton, coureur, cycliste, voiture, TGV — chacun avec des vitesses réalistes) dans un repère orthonormé, et demande l'une des trois grandeurs de la chaîne : une coordonnée du vecteur déplacement, une coordonnée du vecteur vitesse moyenne, ou la valeur de la vitesse moyenne (norme puis division). Un modèle voisin, à choix multiples, interroge la relativité du mouvement : référentiel dans lequel un système est immobile, forme de la trajectoire, nature du mouvement, orientation du vecteur vitesse.

Énoncé type. Dans le référentiel terrestre, on repère la position d'une voiture dans un plan horizontal muni d'un repère orthonormé gradué en mètres. À la date $t_1$, elle se trouve au point $M_1(-40\,;\,10)$. À la date $t_2 = t_1 + 8$ s, elle se trouve au point $M_2(120\,;\,130)$. Calculer la valeur de la vitesse moyenne entre $t_1$ et $t_2$, en mètres par seconde.

Corrigé complet.

1. Nommer le cadre. Système : la voiture. Référentiel : terrestre, repère lié au sol. Durée : $\Delta t = 8$ s.

2. Calculer le vecteur déplacement, arrivée moins départ :

3. Calculer la norme du déplacement (Pythagore, repère orthonormé) :

Le déplacement mesure $200$ m.

4. Diviser par la durée.

La valeur de la vitesse moyenne est $v = 25$ m/s.

5. Contrôler la vraisemblance. $25 \times 3{,}6 = 90$ km/h : une voiture sur route, rien d'anormal. Un ordre de grandeur absurde aurait signalé une norme additionnée ($160 + 120 = 280$) ou un signe raté dans la soustraction.

Auto-contrôle. Trois questions avant de rendre. Ai-je soustrait dans l'ordre arrivée moins départ, parenthèses posées ? Ma norme vient-elle d'un carré plus un carré sous une racine ? Et l'ordre de grandeur en km/h est-il crédible pour ce mobile ?