Diffraction et interférences : la lumière ne va pas toujours tout droit

Depuis le collège, on dessine la lumière avec des rayons : des traits droits qui traversent les lentilles, se réfléchissent sur les miroirs, s'arrêtent sur les obstacles. Ce modèle marche remarquablement bien — et il tombe en panne dans deux expériences simples, que cette leçon explique. Toutes deux disent la même chose : la lumière est une onde, et une onde ne se comporte pas comme un projectile.

Première expérience : rétrécir une fente élargit la tache.

Prenez un faisceau laser et faites-le passer par une fente rectangulaire dont vous pouvez régler la largeur, notée $a$. Observez la tache sur un écran placé à quelques mètres. Tant que la fente reste large — un millimètre, par exemple — la tache est un simple rectangle de la largeur de la fente : le modèle des rayons suffit. Réduisez alors la fente. À partir de quelques dizaines de micromètres (µm, millionièmes de mètre), il se passe le contraire de ce que tout le monde attend : plus la fente est étroite, plus la tache s'élargit, et elle s'entoure de taches secondaires séparées par des zones sombres.

Ce phénomène s'appelle la diffraction. Il se produit chaque fois qu'une onde rencontre une ouverture ou un obstacle dont la dimension est comparable à sa longueur d'onde, et il n'est pas propre à la lumière : c'est parce que le son diffracte que vous entendez quelqu'un parler derrière l'angle d'un couloir, alors que vous ne le voyez pas. La lumière visible a une longueur d'onde de quelques centaines de nanomètres (nm, milliardièmes de mètre) : il faut donc des fentes très fines pour rendre l'effet visible, alors qu'une onde sonore, dont la longueur d'onde vaut des dizaines de centimètres, diffracte sur une porte ordinaire.

L'ouverture angulaire du faisceau diffracté se mesure par le demi-angle $\theta$, l'angle entre l'axe du faisceau et le bord de la tache centrale.

Diffraction par une fente de largeur $a$. $\theta = \dfrac{\lambda}{a}$, avec $\theta$ exprimé en radians et supposé petit. Sur un écran situé à la distance $D$ de la fente, la tache centrale a pour largeur

$$L = \frac{2\lambda D}{a}.$$

Lisez la première relation avant de la calculer : la largeur de la fente est au dénominateur. Diviser $a$ par deux double $\theta$ et double la tache. C'est exactement l'inverse de ce que dicterait l'intuition des rayons, et c'est le point que le programme veut vous faire retenir. L'idée physique est la suivante : plus on contraint latéralement une onde, plus elle s'étale au-delà. La largeur de la tache est le prix payé pour avoir voulu confiner le faisceau.

La seconde relation n'est que la première appliquée à l'écran : de chaque côté de l'axe, le bord de la tache est décalé de $D\tan\theta$, et comme l'angle est petit, $\tan\theta$ vaut pratiquement $\theta$. La largeur totale vaut donc $2D\theta$, soit $\dfrac{2\lambda D}{a}$.

Seconde expérience : deux fentes ne donnent pas deux taches.

Remplacez maintenant la fente unique par deux fentes fines parallèles et très proches, distantes de $b$, éclairées par le même laser. Le modèle des rayons prévoit deux traits lumineux sur l'écran. On observe tout autre chose : une série de franges brillantes et sombres alternées, régulièrement espacées, sur toute la zone éclairée. Ce sont des interférences.

L'explication tient en une phrase : les deux fentes, éclairées par la même source, se comportent comme deux sources qui émettent en phase. En un point $M$ de l'écran arrivent donc deux ondes issues de la même vibration, mais qui n'ont pas parcouru la même distance. On appelle différence de marche l'écart entre les deux longueurs de chemin, noté $\delta$ (delta) et exprimé en mètres.

• Si les deux ondes arrivent en phase, leurs vibrations s'ajoutent et le point est brillant. C'est le cas quand la différence de marche vaut un nombre entier de longueurs d'onde : le retard de l'une sur l'autre correspond à un nombre entier de vibrations complètes.
• Si elles arrivent en opposition de phase, une crête rencontre un creux, les vibrations s'annulent et le point est sombre. C'est le cas quand la différence de marche vaut un nombre entier de longueurs d'onde plus une demi-longueur d'onde.

Conditions d'interférence. Avec $k$ un nombre entier,

$$\delta = k\,\lambda \ \Rightarrow \ \text{interférences constructives (frange brillante)},$$

$$\delta = \left(k + \frac{1}{2}\right)\lambda \ \Rightarrow \ \text{interférences destructives (frange sombre)}.$$

Le nombre $k$ s'appelle l'ordre de l'interférence. Au centre de l'écran, les deux chemins sont égaux, la différence de marche est nulle : la frange centrale est brillante, d'ordre zéro.

Enfin, la géométrie du montage — que nous n'établirons pas ici — conduit à un espacement régulier des franges brillantes.

Interfrange. La distance entre deux franges brillantes voisines vaut

$$i = \frac{\lambda D}{b},$$

où $b$ est la distance entre les deux fentes et $D$ la distance des fentes à l'écran.

Deux lettres à ne jamais confondre. $a$ est la largeur d'une fente et gouverne la diffraction ; $b$ est la distance entre deux fentes et gouverne les interférences. Les deux se mesurent en mètres, les deux sont au dénominateur, et les deux se ressemblent dans un énoncé lu trop vite — mais elles décrivent des expériences différentes.

L'approximation des petits angles, et pourquoi elle est légitime. Les trois relations de la leçon supposent que les angles mis en jeu sont petits, et qu'on peut donc confondre l'angle, son sinus et sa tangente — à condition de l'exprimer en radians. Vérifions sur un cas typique de travaux pratiques : une fente de $80$ µm éclairée à $633$ nm donne

soit un peu moins d'un demi-degré. La tangente de cet angle vaut $7{,}9127 \times 10^{-3}$ : l'écart relatif avec l'angle lui-même est inférieur à un dix-millième, très en dessous de toute incertitude de mesure au réglet. L'approximation est donc excellente — mais elle a deux conditions à surveiller. Il faut que la fente reste grande devant la longueur d'onde, sans quoi l'angle cesse d'être petit ; et il faut travailler en radians, car l'égalité entre un angle et sa tangente est fausse en degrés.

Ce que dit chaque relation quand on change un paramètre. Il ne suffit pas de savoir calculer : il faut savoir prédire.

Les deux dernières lignes méritent qu'on s'y arrête. L'interfrange ne dépend pas de la largeur des fentes, et la tache de diffraction ne dépend pas de leur écartement : ce sont deux phénomènes distincts, réglés par deux longueurs différentes. Retenez aussi la comparaison des couleurs : à montage identique, un laser rouge donne une tache plus large et des franges plus espacées qu'un laser bleu, simplement parce que sa longueur d'onde est plus grande.

Différence de marche et déphasage : deux grandeurs, deux unités. La différence de marche $\delta$ est une longueur, en mètres — l'écart entre deux distances parcourues. Le déphasage est un angle, sans dimension, qui mesure le décalage entre deux vibrations. Les deux sont liés, mais ce ne sont pas les mêmes objets, et les confondre conduit à écrire des égalités entre une longueur et un angle. Ce qu'il faut retenir pour le lycée est plus simple : c'est le rapport $\dfrac{\delta}{\lambda}$ qui décide. Ce rapport est un nombre sans unité, et il suffit de regarder ce qu'il vaut.

• Un entier — $0$, $1$, $2$, $3$… — signifie que le retard de l'une des ondes sur l'autre correspond à un nombre entier de vibrations complètes : les deux ondes se retrouvent en phase, les interférences sont constructives, le point est brillant, et l'entier trouvé est l'ordre de la frange.
• Un demi-entier — $0{,}5$, $1{,}5$, $2{,}5$… — signifie une demi-vibration de décalage : les ondes sont en opposition de phase, les interférences sont destructives, le point est sombre.
• Une valeur intermédiaire correspond à un point d'éclairement intermédiaire, ni maximal ni nul. Le programme ne demande pas de le calculer.

Ce rapport se calcule sans aucune conversion dès lors que $\delta$ et $\lambda$ sont dans la même unité — le plus souvent le nanomètre.

Mesurer proprement en travaux pratiques. L'interfrange se mesure mal sur une seule frange, car l'incertitude du réglet, de l'ordre du demi-millimètre, est du même ordre que ce qu'on veut mesurer. On mesure donc la distance entre la première et la onzième frange brillante — soit dix interfranges, et non onze — puis on divise par dix : l'incertitude est divisée d'autant. La même méthode inversée sert à mesurer une grandeur inaccessible : en mesurant la largeur de la tache de diffraction produite par un cheveu ou une fente très fine, on remonte à sa largeur par $a = \dfrac{2\lambda D}{L}$, avec une précision qu'aucune règle graduée ne donnerait.

Diffraction et interférences ensemble. Dans une vraie expérience à deux fentes, les deux phénomènes coexistent : chaque fente diffracte, ce qui détermine la zone éclairée de l'écran, et les deux ondes interfèrent à l'intérieur de cette zone, ce qui y dessine les franges. On observe donc des franges régulièrement espacées, mais dont la brillance décroît quand on s'éloigne du centre. Le programme demande de savoir décrire cette superposition, pas de la calculer.

Ce que cette leçon ne fait pas. Elle n'établit pas les trois relations : elles sont énoncées, interprétées et exploitées, et les énoncés d'exercices les rappellent. Elle ne calcule aucune intensité lumineuse en fonction de la position, ne traite ni les réseaux de diffraction, ni les ouvertures circulaires, ni la cohérence des sources : tout cela relève de l'enseignement supérieur.

Énoncé. On dispose d'un laser hélium-néon de longueur d'onde $\lambda = 633$ nm et d'un écran placé à $D = 2{,}0$ m.

Première partie — interférences. On éclaire deux fentes fines parallèles distantes de $b = 0{,}30$ mm. 1. Calculer l'interfrange. 2. Quelle distance sépare la première de la onzième frange brillante ? 3. On remplace le laser par un pointeur vert de longueur d'onde $532$ nm : que devient l'interfrange ?

Seconde partie — diffraction. On remplace les deux fentes par une fente unique de largeur $a = 80$ µm. 4. Calculer le demi-angle de diffraction et la largeur de la tache centrale. 5. On réduit la largeur de la fente à $40$ µm : que devient la tache ? 6. En un point $M$ de la figure d'interférences de la première partie, la différence de marche vaut $\delta = 1899$ nm. Ce point est-il brillant ou sombre ?

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1. L'interfrange. On convertit tout en unités du système international :

Contrôle : des mètres multipliés par des mètres et divisés par des mètres donnent bien des mètres, et quelques millimètres est exactement l'ordre de grandeur d'un interfrange mesurable au réglet.

2. Dix interfranges. Entre la première et la onzième frange brillante, il y a dix intervalles, pas onze :

C'est cette longueur que l'on mesure en travaux pratiques, avant de diviser par dix.

3. Avec le laser vert. Seule la longueur d'onde change :

L'interfrange a diminué, dans le rapport des longueurs d'onde : $\dfrac{532}{633} \approx 0{,}84$, et $\dfrac{3{,}55}{4{,}22} \approx 0{,}84$ également. Le vert, de plus courte longueur d'onde que le rouge, donne des franges plus serrées.

4. La diffraction. Avec $a = 80$ µm $= 80 \times 10^{-6} = 8{,}0 \times 10^{-5}$ m :

L'angle est bien petit, l'approximation est légitime. La tache centrale mesure alors

Prenons la mesure de ce résultat : une fente de huit centièmes de millimètre produit, à deux mètres, une tache de plus de trois centimètres — quatre cents fois plus large que la fente. Le modèle des rayons prévoyait une tache de $80$ µm.

5. Fente deux fois plus étroite. La largeur de la fente est au dénominateur : la diviser par deux double la tache.

C'est le résultat contre-intuitif du chapitre, et il se lit directement dans la relation : plus on serre la fente, plus la lumière s'étale.

6. Le point $M$. On compare la différence de marche à la longueur d'onde, toutes deux en nanomètres, donc sans aucune conversion :

Le rapport est un entier : la différence de marche vaut exactement trois longueurs d'onde, les deux ondes arrivent en phase au point $M$, les interférences y sont constructives. Le point est brillant, et c'est la frange d'ordre trois. Si le rapport avait valu $3{,}5$, le point aurait été sombre.

Le réflexe de la leçon. Convertir tout en mètres avant de calculer une longueur, sauf pour le rapport de deux longueurs d'onde qui se calcule tel quel ; vérifier que l'angle obtenu est petit ; et confronter le résultat à l'ordre de grandeur attendu — quelques millimètres pour un interfrange, quelques centimètres au plus pour une tache de diffraction sur un écran de travaux pratiques.

Figure (fig.physics.interference-diffraction, image vectorielle programmatique à produire) : deux montages vus de dessus, les figures obtenues sur l'écran, et un bandeau comparatif.

La figure en détail : le panneau supérieur montre le montage de diffraction, vu de dessus. À gauche, un faisceau laser parallèle, représenté par des traits horizontaux, arrive sur un écran opaque percé d'une fente unique dont la largeur est cotée et nommée $a$. À droite de la fente, l'onde repart en s'évasant : des arcs de cercle centrés sur la fente matérialisent les fronts d'onde qui s'étalent. Le demi-angle entre l'axe et le bord de la zone éclairée est marqué et nommé, avec la mention qu'il s'exprime en radians et vaut la longueur d'onde divisée par la largeur de la fente. Tout à droite, un écran vertical à la distance $D$ porte la figure obtenue : une tache centrale large et brillante, dont la largeur est cotée, entourée de taches secondaires plus faibles séparées par des zones sombres. Sous ce panneau, deux miniatures de la même figure, l'une pour une fente large, l'autre pour une fente deux fois plus étroite, avec la légende « fente deux fois plus étroite : tache deux fois plus large ».

Le panneau central montre le montage d'interférences. Le même faisceau arrive sur un écran percé de deux fentes fines parallèles, dont l'écartement est coté et nommé $b$. Chaque fente devient une source d'ondes circulaires ; les deux familles d'arcs se croisent dans l'espace entre les fentes et l'écran. Aux endroits où une crête de l'une rencontre une crête de l'autre, un point est marqué en clair et relié à l'écran par un trait continu ; aux endroits où une crête rencontre un creux, un point est marqué en sombre et relié par un trait en pointillés. Sur l'écran, ces traits aboutissent respectivement aux franges brillantes et aux franges sombres, régulièrement alternées. La distance entre deux franges brillantes voisines est cotée et nommée interfrange. Un agrandissement en médaillon montre, pour un point choisi, les deux chemins issus des deux fentes, avec la portion supplémentaire parcourue par l'un des deux mise en évidence et légendée « différence de marche ».

En bas, un bandeau en trois cases. Première case : une règle de lecture du rapport de la différence de marche à la longueur d'onde, sous forme d'une droite graduée en $0$, $0{,}5$, $1$, $1{,}5$, $2$, $2{,}5$, $3$, où les valeurs entières sont marquées « brillant » et les valeurs demi-entières « sombre ». Deuxième case : deux figures d'interférences superposées, obtenues avec un laser rouge et avec un laser bleu dans le même montage, montrant des franges plus espacées pour le rouge. Troisième case : la figure réellement observée derrière deux fentes, où les franges régulièrement espacées voient leur brillance décroître à mesure qu'on s'éloigne du centre, avec la légende « les deux phénomènes coexistent : la diffraction fixe la zone éclairée, les interférences y dessinent les franges ».

Ce qu'il faut lire. Le panneau du haut rend visible la relation inverse entre la largeur de la fente et celle de la tache. Le panneau du centre montre d'où viennent les franges : de la rencontre de deux ondes qui n'ont pas parcouru le même chemin. Et le bandeau du bas donne l'outil de décision — regarder si le rapport de la différence de marche à la longueur d'onde tombe sur un entier ou sur un demi-entier.

Les symboles, un par un. $\lambda$ (lambda) : longueur d'onde, en mètres, souvent donnée en nanomètres. $a$ : largeur d'une fente, en mètres, souvent donnée en micromètres. $b$ : distance entre deux fentes, en mètres, souvent donnée en millimètres. $D$ : distance des fentes à l'écran, en mètres. $\theta$ (thêta) : demi-angle de diffraction, en radians. $L$ : largeur de la tache centrale, en mètres. $i$ : interfrange, en mètres, mesuré en millimètres. $\delta$ (delta) : différence de marche, en mètres ou en nanomètres. $k$ : ordre d'interférence, nombre entier sans unité.

Les ordres de grandeur des travaux pratiques. Lasers de $405$ à $650$ nm ; écartement de deux fentes de $0{,}1$ à $1$ mm ; largeur d'une fente unique de $20$ à $200$ µm ; écran à $1$ à $3$ m. On obtient alors des interfranges de quelques millimètres et des taches de diffraction de quelques centimètres. Un interfrange de plusieurs centimètres ou une tache d'un mètre signalent une conversion manquée.

Ce qui n'est pas au programme de terminale. L'établissement géométrique des trois relations, le calcul de l'intensité lumineuse en fonction de la position, les réseaux de diffraction, les ouvertures circulaires et la cohérence des sources relèvent de l'enseignement supérieur. Ici, on énonce, on interprète et on exploite.

1. Croire qu'une fente plus étroite donne une tache plus étroite. C'est le contraire, et c'est toute la leçon. La largeur de la fente est au dénominateur : la diviser par deux double le demi-angle et double la tache. Une fente de $40$ µm donne, dans le même montage, une tache deux fois plus large qu'une fente de $80$ µm. Regardez la relation avant de suivre votre intuition.
2. Confondre différence de marche et déphasage. La différence de marche est une longueur, en mètres ou en nanomètres ; le déphasage est un angle. On ne peut pas les égaler. Au lycée, le critère à utiliser est le rapport de la différence de marche à la longueur d'onde : entier pour une frange brillante, demi-entier pour une frange sombre.
3. Oublier que l'angle doit être en radians. L'égalité entre l'angle et sa tangente n'est vraie qu'en radians. Une calculatrice restée en degrés donne un résultat faux d'un facteur voisin de cinquante-sept, sans aucun message d'erreur. Vérifiez le mode de la calculatrice, et vérifiez que l'angle obtenu est bien petit devant $1$.
4. Confondre la largeur d'une fente et l'écartement de deux fentes. La lettre $a$ désigne la largeur d'une fente et gouverne la diffraction ; la lettre $b$ désigne la distance entre deux fentes et gouverne les interférences. Un exercice qui parle de franges attend $b$ ; un exercice qui parle d'une tache centrale attend $a$. Relisez le montage décrit avant de choisir la relation.
5. Oublier le facteur deux de la tache centrale. Le demi-angle donne la moitié de la tache. La largeur totale vaut $\dfrac{2\lambda D}{a}$, avec un facteur deux, alors que l'interfrange, lui, n'en a pas. Appliquer la formule de l'interfrange à une tache de diffraction donne un résultat deux fois trop petit.
6. Compter les franges au lieu de compter les intervalles. De la première à la onzième frange brillante, il y a dix interfranges, pas onze. Diviser par onze au lieu de dix fait perdre environ neuf pour cent sur l'interfrange, donc autant sur la longueur d'onde qu'on en déduit — bien plus que l'incertitude de la mesure elle-même.
7. Oublier les conversions. Les nanomètres, les micromètres et les millimètres cohabitent dans le même énoncé. Tout doit passer en mètres avant le calcul, puis revenir dans l'unité demandée. Un interfrange calculé sans convertir l'écartement des fentes sort mille fois trop grand ou mille fois trop petit.
8. Croire que le bleu diffracte plus que le rouge. La longueur d'onde est au numérateur : plus elle est grande, plus l'étalement est important. Le rouge, de plus grande longueur d'onde, diffracte donc plus que le bleu, et donne aussi des franges plus espacées dans un même montage.
9. Croire que le milieu de l'écran peut être sombre. Au centre, les deux chemins sont de même longueur, la différence de marche est nulle, donc le rapport à la longueur d'onde vaut zéro, qui est un entier : la frange centrale est toujours brillante, et c'est l'ordre zéro.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon tire un montage de travaux pratiques — un laser de $405$ à $650$ nm, deux fentes distantes de $0{,}1$ à $1$ mm ou une fente unique de $20$ à $200$ µm, un écran à $1$ à $3$ m — puis demande, selon la variante : l'interfrange, la longueur d'onde déduite d'une mesure de dix interfranges au réglet, la largeur de la tache centrale de diffraction, la largeur d'une fente déduite d'une mesure de cette tache, le rapport de la différence de marche à la longueur d'onde en un point donné, ou encore le nombre de franges brillantes visibles sur un écran de largeur donnée. Les relations sont rappelées dans chaque énoncé. Un modèle voisin, à affirmations vraies ou fausses, revient sur l'effet d'une fente plus étroite, sur le caractère constructif ou destructif d'une différence de marche donnée, sur l'effet d'un éloignement de l'écran, sur la comparaison du rouge et du bleu et sur l'hypothèse des petits angles.

Énoncé type. On éclaire deux fentes fines parallèles, distantes de $b = 0{,}20$ mm, avec un laser hélium-néon de longueur d'onde $\lambda = 633$ nm. On observe les franges d'interférences sur un écran situé à $D = 2{,}0$ m des fentes. On rappelle que l'interfrange, distance entre deux franges brillantes voisines, vaut $i = \dfrac{\lambda D}{b}$. Calculer l'interfrange, en millimètres, avec trois chiffres significatifs.

Corrigé complet.

1. Convertir toutes les grandeurs en unités du système international.

2. Appliquer la relation rappelée.

3. Revenir dans l'unité demandée. $6{,}33 \times 10^{-3}$ m vaut $6{,}33$ mm.

Réponse : l'interfrange vaut $6{,}33$ mm — quelques millimètres, exactement ce qui se mesure au réglet en travaux pratiques.

4. Écarter les réponses voisines. Répondre $12{,}7$ mm, c'est avoir utilisé la relation de la tache de diffraction, avec son facteur deux, alors que l'énoncé décrit deux fentes et des franges. Répondre $6{,}33 \times 10^{-6}$ m, soit six millièmes de millimètre, c'est avoir laissé l'écartement des fentes en millimètres au lieu de le convertir en mètres : une figure de franges invisible à l'œil doit alerter. Répondre $6{,}33 \times 10^{-11}$ m, c'est avoir échangé la distance à l'écran et l'écartement des fentes : le résultat, plus petit qu'un atome, est impossible.

Auto-contrôle. Quatre questions avant de rendre. Ai-je bien affaire à deux fentes, donc à des franges, et non à une fente unique et à une tache ? Ai-je converti la longueur d'onde et l'écartement en mètres avant de calculer ? Mon résultat vaut-il quelques millimètres, l'ordre de grandeur attendu ? Et ai-je répondu dans l'unité demandée, avec le nombre de chiffres significatifs demandé ?