Les ondes mécaniques périodiques : une période dans le temps, une dans l'espace

Jette un caillou dans un bassin. Des rides circulaires s'éloignent du point d'impact ; un bouchon posé plus loin se met à monter et descendre quand elles l'atteignent — mais il ne part pas avec elles. Il oscille sur place, puis retrouve le repos. Ce qui a voyagé du caillou au bouchon, ce n'est pas de l'eau : c'est une perturbation, et avec elle de l'énergie. Voilà une onde.

Onde mécanique progressive. Une onde mécanique progressive est la propagation d'une perturbation dans un milieu matériel, sans transport de matière mais avec transport d'énergie. Chaque point du milieu reproduit le mouvement de la source, avec un retard d'autant plus grand qu'il en est éloigné.

La célérité. La perturbation avance à une vitesse que l'on appelle célérité $v$, en mètres par seconde, pour la distinguer de la vitesse des points du milieu (le bouchon monte et descend ; la ride avance). La célérité dépend du milieu — $340$ m/s pour le son dans l'air, quelques dizaines de centimètres par seconde pour une ride sur l'eau, plusieurs dizaines de mètres par seconde le long d'une corde tendue — et non de la façon dont on a créé l'onde. Un point $M$ situé à la distance $d$ de la source reçoit la perturbation avec le retard

Onde périodique. Si la source ne donne pas une secousse unique mais oscille régulièrement, l'onde devient périodique : la perturbation se répète identique à elle-même à intervalles réguliers. Et là se produit la nouveauté de cette leçon — l'onde est périodique deux fois.

Dans le temps : en un point fixe du milieu, le mouvement se répète toutes les $T$ secondes. $T$ est la période temporelle, la même que celle de la source ; $f = 1/T$ est la fréquence, en hertz.

Dans l'espace : à un instant donné, si l'on photographie le milieu, le motif se répète tous les $\lambda$ mètres — d'une crête à la suivante. $\lambda$ (lambda) est la période spatiale, ou longueur d'onde, en mètres.

Les deux sont liées par la célérité, et la relation se déduit en une phrase : pendant une période $T$, la source a fait exactement une oscillation, et la perturbation émise au début de cette période a parcouru la distance $v \times T$. Cette distance sépare donc deux crêtes successives.

Relation fondamentale. $\lambda = v \times T = \dfrac{v}{f}$ : la longueur d'onde est la distance parcourue par l'onde pendant une période.

Quand la source oscille sinusoïdalement, l'onde est dite sinusoïdale : c'est le cas modèle du programme, celui du diapason, du vibreur d'une cuve à ondes, du haut-parleur alimenté par un signal sinusoïdal.

Deux graphiques pour deux périodicités. Une onde périodique se représente de deux façons, et savoir laquelle on regarde est la moitié du travail. Le premier graphique donne l'élongation d'un point fixe en fonction du temps : son axe horizontal est en secondes, le motif se répète tous les $T$ — on y lit la période temporelle. Le second donne l'élongation de tous les points à un instant fixe en fonction de la position : son axe horizontal est en mètres, le motif se répète tous les $\lambda$ — on y lit la longueur d'onde. Les deux courbes se ressemblent à s'y méprendre ; l'unité de l'axe horizontal tranche.

Le retard, autrement dit. Un point situé à $d$ de la source reproduit son mouvement décalé de $\tau = d/v$. Si $d$ est un multiple entier de $\lambda$, alors $\tau = k\lambda/v = kT$ : le retard vaut un nombre entier de périodes, et le point vibre en phase avec la source — même mouvement au même instant. Si $d$ vaut un nombre entier de $\lambda$ plus une demi-longueur d'onde, le point vibre en opposition de phase : il est en creux quand la source est en crête. Deux points du milieu séparés d'un multiple de $\lambda$ vibrent en phase — c'est même une autre définition de la longueur d'onde : la plus petite distance entre deux points qui vibrent en phase.

Ce que fixe la source, ce que fixe le milieu. La fréquence est imposée par la source : un vibreur à $2{,}5$ Hz crée une onde à $2{,}5$ Hz, sur l'eau comme sur une corde. La célérité est imposée par le milieu. La longueur d'onde, quotient de l'un par l'autre, dépend donc des deux : la même note de $440$ Hz a $\lambda = 340/440 \approx 0{,}77$ m dans l'air et $\lambda \approx 3{,}4$ m dans l'eau, où le son va à $1500$ m/s. Changer la fréquence à milieu fixé change $\lambda$, pas $v$ ; changer de milieu à fréquence fixée change $v$ et $\lambda$ ensemble.

Mesurer sur plusieurs périodes. Sur un enregistrement, la période se mesure plus précisément en chronométrant $10$ motifs et en divisant par $10$ qu'en chronométrant un seul : l'incertitude de lecture se répartit. Même chose pour $\lambda$ sur une photographie : la distance entre la première et la sixième crête, divisée par $5$. C'est la méthode de tous les travaux pratiques, et elle est attendue dans les corrigés.

Ondes longitudinales, ondes transversales. Sur une corde ou à la surface de l'eau, les points bougent perpendiculairement à la direction de propagation : l'onde est transversale. Dans l'air, le son est fait de compressions et de dilatations : les molécules oscillent le long de la direction de propagation, l'onde est longitudinale. Dans les deux cas, la même relation $\lambda = vT$ et le même retard $d/v$ — la géométrie du mouvement change, pas la cinématique de l'onde.

Ce qui n'est pas dans cette leçon. Ce que font deux ondes qui se croisent (interférences), ce qu'une onde fait en traversant une ouverture (diffraction) : la Terminale. L'écriture mathématique de l'élongation en fonction de $x$ et de $t$ : le supérieur. Ici, l'outil est la double périodicité et une seule relation.

Énoncé. Dans une cuve à ondes, un vibreur frappe la surface de l'eau à la fréquence $f = 2{,}5$ Hz, créant une onde sinusoïdale rectiligne. Sur une photographie de la surface prise à un instant donné, la distance entre la première et la sixième crête vaut $40{,}0$ cm.

Questions. 1. Calculer la période $T$ de l'onde. 2. Déterminer sa longueur d'onde $\lambda$. 3. En déduire la célérité $v$ des ondes à la surface de l'eau de cette cuve. 4. Un bouchon flotte à $d = 60$ cm du vibreur ; avec quel retard reçoit-il l'onde, et comment vibre-t-il par rapport au vibreur ?

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1. La période temporelle. Elle est imposée par la source :

Tous les $0{,}40$ s, chaque point de la surface repasse par la même position.

2. La longueur d'onde — lue sur plusieurs motifs. Entre la première et la sixième crête, il y a $5$ longueurs d'onde :

Une lecture sur une seule crête aurait donné le même nombre avec une incertitude cinq fois plus grande.

3. La célérité. Pendant une période, l'onde avance d'une longueur d'onde :

Vingt centimètres par seconde : l'ordre de grandeur des rides sur l'eau, mille fois moins que le son dans l'air. Contrôle d'homogénéité : des mètres divisés par des secondes donnent bien des mètres par seconde.

4. Le retard et la phase. Le bouchon est à $d = 0{,}60$ m :

Trois secondes après la mise en route du vibreur, le bouchon commence à osciller — à la même fréquence $2{,}5$ Hz, sans avancer. Et comme $\dfrac{d}{\lambda} = \dfrac{0{,}60}{0{,}080} = 7{,}5$, le bouchon est à sept longueurs d'onde et demie du vibreur : il vibre en opposition de phase avec lui — au creux quand le vibreur est au sommet. On le vérifie par le retard : $\tau = 3{,}0$ s $= 7{,}5\,T$, sept périodes et demie.

5. Contrôler. $\lambda = v \times T$ : $0{,}20 \times 0{,}40 = 0{,}080$ m ✔. Ordre de grandeur de la célérité sur l'eau ✔. Retard positif et cohérent avec $d/\lambda = \tau/T$ ✔.

Figure (fig.physics.periodic-waves, SVG programmatique à produire) : deux graphiques superposés, une vignette de propagation et un bandeau.

La figure en détail : en haut, le graphique de l'élongation d'un point fixe de la cuve en fonction du temps, axe horizontal gradué en secondes de $0$ à $1{,}6$ s, sinusoïde régulière ; une accolade horizontale sur un motif complet est étiquetée « $T = 0{,}40$ s », et une seconde accolade plus longue, sur quatre motifs, est étiquetée « $4\,T = 1{,}6$ s : mesurer sur plusieurs périodes ». Au milieu, le graphique de l'élongation de tous les points à un instant fixe en fonction de la position, axe horizontal gradué en centimètres de $0$ à $40$ cm, sinusoïde d'aspect identique ; accolade sur un motif étiquetée « $\lambda = 8{,}0$ cm », accolade sur cinq motifs étiquetée « $5\,\lambda = 40{,}0$ cm ». Les deux axes horizontaux portent leur unité en gros caractères, encadrée, avec une flèche double entre les deux graphiques et la mention « même forme, axes différents : secondes ici, centimètres là ». En dessous, une vignette de la cuve vue de dessus : le vibreur à gauche, des crêtes rectilignes régulièrement espacées, un bouchon posé à $60$ cm marqué d'une flèche verticale double « monte et descend, n'avance pas », et un cartouche « $\tau = d/v = 3{,}0$ s ; $d = 7{,}5\,\lambda$ : opposition de phase ». Le bandeau du bas : « $\lambda = v \times T$ — la distance parcourue pendant une période », avec, à droite, trois cases « la source fixe $f$ », « le milieu fixe $v$ », « $\lambda$ dépend des deux ».

Ce qu'il faut lire. Les deux graphiques du haut sont le piège de la leçon rendu visible : même sinusoïde, et pourtant l'un se lit en secondes et donne $T$, l'autre en centimètres et donne $\lambda$. L'unité de l'axe est ce qu'il faut regarder en premier. La vignette rappelle que le bouchon ne suit pas l'onde, et que son retard se lit aussi bien en secondes qu'en longueurs d'onde. Le bandeau répartit les responsabilités : la source, le milieu, et la longueur d'onde qui découle des deux.

Les unités. $T$ en secondes (souvent lues en millisecondes : convertir), $f$ en hertz, $\lambda$ en mètres (souvent mesurée en centimètres : convertir), $v$ en mètres par seconde, $\tau$ en secondes. Contrôle systématique : m/s × s = m.

Les ordres de grandeur. Son dans l'air : $v = 340$ m/s, $f$ de $20$ Hz à $20$ kHz, donc $\lambda$ de $17$ m à $1{,}7$ cm. Rides sur l'eau : $0{,}2$ à $2$ m/s, quelques hertz, $\lambda$ de quelques centimètres à un mètre. Corde tendue : $10$ à $100$ m/s.

Les mots. Célérité : vitesse de la perturbation, pas des points du milieu. Période temporelle $T$ : en un point, dans le temps. Longueur d'onde $\lambda$ : à un instant, dans l'espace. Retard : durée de parcours jusqu'à un point. En phase / en opposition de phase : même mouvement au même instant / mouvements opposés.

1. Confondre période temporelle et longueur d'onde. $T$ est une durée, $\lambda$ une longueur ; on ne peut pas les additionner ni les confondre. Sur un graphique, l'unité de l'axe horizontal dit laquelle des deux tu lis. Sur un énoncé, « la période vaut $0{,}40$ s » ne dit rien de $\lambda$ tant que $v$ n'est pas connue.
2. Croire que l'onde transporte de la matière. Le bouchon monte et descend sur place ; les molécules d'air oscillent autour d'une position fixe. Ce qui avance, c'est la perturbation et son énergie. Un bouchon qui « suit la vague » vers le rivage décrit un courant ou le déferlement, pas une onde progressive.
3. Écrire $\lambda = v/T$. L'homogénéité le refuse : des m/s divisés par des s font des m/s², pas des mètres. $\lambda = v \times T$ : une vitesse multipliée par une durée est une distance — celle parcourue pendant une période. En cas de doute, vérifie les unités avant de calculer.
4. Confondre célérité de l'onde et vitesse des points du milieu. Le bouchon peut osciller vite et l'onde avancer lentement, ou l'inverse. La célérité est la vitesse à laquelle la crête se déplace, et c'est elle qui entre dans $\lambda = vT$ et $\tau = d/v$.
5. Croire que la célérité du son dépend de la fréquence. Dans l'air, une note grave et une note aiguë vont à la même vitesse ($340$ m/s) — sinon la musique d'un orchestre arriverait désordonnée aux spectateurs du fond. Changer $f$ change $\lambda$, pas $v$. Cette indépendance est une propriété du milieu, pas une loi générale : à la surface de l'eau, la célérité des rides dépend bel et bien de la fréquence, et l'énoncé la donne alors.
6. Mesurer $T$ ou $\lambda$ sur un seul motif quand on en a dix. Chronométrer dix périodes et diviser par dix réduit l'incertitude de lecture d'un facteur dix. Compte les motifs — et compte-les bien : de la première à la sixième crête, il y a cinq longueurs d'onde, pas six.
7. Oublier les conversions. $\lambda$ en centimètres avec $v$ en mètres par seconde donne une période cent fois trop petite. Mètres et secondes avant tout calcul, puis retour à l'unité demandée.
8. Confondre retard et période. Le retard $\tau = d/v$ dépend de la distance au point considéré ; la période $T$ est la même partout. Deux points différents ont deux retards différents et une seule période.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon tire un milieu — son dans l'air, rides sur l'eau, corde tendue — et une inconnue parmi $\lambda$, $v$ et $f$ (ou $T$), la célérité étant toujours donnée avec son milieu quand elle n'est pas demandée ; d'autres variantes font calculer le retard d'un point, ou lire la période dans un tableau d'instants de passage de crêtes successives. Un modèle voisin, à affirmations vraies ou fausses, revient sur la différence entre $T$ et $\lambda$, le bouchon qui n'avance pas, et la forme correcte de la relation.

Énoncé type. Une onde sonore de fréquence $f = 500$ Hz se propage dans l'air. On donne la célérité du son dans l'air à $20$ °C : $v = 340$ m/s. Calculer la longueur d'onde $\lambda$ de cette onde, en mètres, puis le retard avec lequel un auditeur situé à $85$ m de la source l'entend.

Corrigé complet.

1. De la fréquence à la période. $T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{500} = 0{,}002$ s $= 2{,}0$ ms : durée d'une oscillation de la membrane du haut-parleur, et de chaque molécule d'air sur le trajet.

2. La longueur d'onde. Distance parcourue pendant une période : $\lambda = v \times T = 340 \times 0{,}002 = 0{,}68$ m — ou directement $\lambda = \dfrac{v}{f} = \dfrac{340}{500} = 0{,}68$ m.

3. Le retard. $\tau = \dfrac{d}{v} = \dfrac{85}{340} = 0{,}25$ s.

La longueur d'onde vaut $0{,}68$ m (deux compressions successives de l'air sont distantes de $68$ cm), et le son atteint l'auditeur un quart de seconde après avoir été émis.

4. Écarter les réponses voisines. $\lambda = 340 \times 500 = 170\,000$ m confond $f$ et $T$ : une longueur d'onde de $170$ km pour un son, l'ordre de grandeur suffit à rejeter. $\lambda = 500/340 \approx 1{,}47$ m inverse le quotient : une fréquence divisée par une célérité n'est pas une longueur — l'homogénéité le refuse. Retiens : $\lambda$ en mètres, entre $1{,}7$ cm et $17$ m pour un son audible dans l'air.

Auto-contrôle. Trois questions avant de rendre. Ai-je écrit $\lambda = v \times T$ (et non $v/T$), et vérifié l'homogénéité ? Mes secondes et mes mètres sont-ils convertis — millisecondes, centimètres — avant le calcul ? Et mon résultat tombe-t-il dans l'ordre de grandeur du milieu — centimètres à mètres pour un son, centimètres pour des rides sur l'eau ?