L'interaction gravitationnelle : la loi qui tient la Lune et la pomme

Pourquoi la pomme tombe-t-elle, et pas la Lune ? La réponse de Newton tient en une idée : c'est la même interaction qui agit sur les deux — la Lune « tombe » aussi, en permanence, mais sa vitesse la fait manquer la Terre indéfiniment. Cette interaction unique, qui s'exerce entre tous les corps ayant une masse, est l'interaction gravitationnelle.

Loi de gravitation universelle. Deux corps A et B, de masses $m_A$ et $m_B$, dont les centres sont séparés d'une distance $d$, s'attirent mutuellement. Chacun exerce sur l'autre une force dirigée vers lui, de valeur commune $F = G \times \dfrac{m_A \times m_B}{d^{2}}$, avec $F$ en newtons (N), les masses en kilogrammes (kg), $d$ en mètres (m), et $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ N·m²·kg⁻² la constante de gravitation universelle, toujours donnée dans l'énoncé.

Quatre propriétés se lisent directement sur cette écriture.

Elle est toujours attractive. Les masses sont des grandeurs positives ; rien, dans la loi, ne peut changer le sens de la force. Deux corps massifs se rapprochent, jamais ne se repoussent. (C'est la grande différence avec l'interaction électrostatique, sa jumelle de forme, où les charges ont un signe : la leçon sur la loi de Coulomb reprend cette comparaison point par point.)

Elle est réciproque. Les deux masses jouent le même rôle dans le produit $m_A \times m_B$ : la Terre attire la pomme avec exactement la même valeur de force que la pomme attire la Terre. Ce qui diffère spectaculairement, c'est l'effet : la même force déplace visiblement la pomme, imperceptiblement la Terre.

Elle s'affaiblit avec le carré de la distance. Le $d^{2}$ au dénominateur est la signature de la loi : doubler la distance divise la force par $4$, la tripler la divise par $9$. La force diminue vite, mais ne s'annule jamais — deux galaxies s'attirent encore.

La distance se mesure entre les centres. Pour deux corps à répartition de masse régulière (sphères, astres), $d$ est la distance de centre à centre — pas l'écart entre les surfaces, ni l'altitude au-dessus du sol. C'est le piège numéro un des exercices : un satellite à $400$ km d'altitude est à $d = 6370 + 400 = 6770$ km du centre de la Terre.

Un ordre de grandeur pour sentir la loi. Entre deux personnes de $60$ et $70$ kg distantes de $2$ m : $F = 6{,}67 \times 10^{-11} \times \dfrac{60 \times 70}{2^{2}} \approx 7{,}0 \times 10^{-8}$ N — dix millions de fois plus faible que le poids d'une pomme (environ $1$ N pour $100$ g). La gravitation existe entre tous les corps, mais elle ne devient perceptible que si l'un des deux est un astre : $G$ est minuscule, seules des masses astronomiques la compensent.

Manier la loi dans tous les sens. L'écriture $F = \dfrac{G\,m_A\,m_B}{d^{2}}$ contient quatre grandeurs : selon l'énoncé, l'inconnue peut être n'importe laquelle. Isoler une masse donne $m_A = \dfrac{F \times d^{2}}{G \times m_B}$ ; isoler la distance demande deux gestes, d'abord $d^{2} = \dfrac{G\,m_A\,m_B}{F}$, puis la racine carrée. Deux réflexes évitent la quasi-totalité des erreurs : convertir toutes les données en unités SI avant de remplacer (kilomètres en mètres, tonnes en kilogrammes), et élever la distance au carré avant de diviser.

Le raisonnement en proportions. Beaucoup de questions ne demandent aucun calcul complet : « que devient $F$ si la distance triple ? ». On remplace $d$ par $3d$ dans la loi : le dénominateur devient $9\,d^{2}$, la force est divisée par $9$. Même jeu sur les masses : doubler une masse double la force (elle est au numérateur, à la puissance $1$) ; doubler les deux masses la quadruple. Savoir répondre sans calculatrice à ces questions de proportion, c'est prouver qu'on a compris la structure de la loi.

Retrouver le poids — la démonstration nouvelle de la seconde. En 3e, on t'a donné $P = m \times g$ avec $g \approx 9{,}81$ N/kg, sans dire d'où sortait ce nombre. La loi de gravitation le fabrique. Considère un objet de masse $m$ posé à la surface de la Terre (masse $M_T = 5{,}97 \times 10^{24}$ kg, rayon $R_T = 6{,}37 \times 10^{6}$ m). La distance entre les centres est le rayon terrestre, et la force gravitationnelle sur l'objet vaut :

Cette force est proportionnelle à $m$ : le facteur entre parenthèses ne dépend que de la Terre. En l'identifiant au poids $P = m \times g$, on obtient :

Le nombre du collège n'était donc pas une donnée arbitraire : c'est la gravitation de la planète entière, condensée en un facteur. Trois conséquences immédiates. $g$ ne dépend pas de l'objet posé — la masse $m$ s'est simplifiée, tous les corps subissent la même intensité de pesanteur. $g$ change d'astre en astre : le même calcul avec la masse ($7{,}35 \times 10^{22}$ kg) et le rayon ($1{,}74 \times 10^{6}$ m) de la Lune donne $g_L \approx 1{,}62$ N/kg, six fois moins — d'où les bonds des astronautes. Et $g$ diminue avec l'altitude, puisque $d$ grandit ; l'effet reste faible tant qu'on reste près de la surface, ce qui justifie le $g$ « constant » du collège.

Masse et poids, une fois pour toutes. La masse (en kg) mesure la quantité de matière : elle est la même partout. Le poids (en N) est la force gravitationnelle exercée par l'astre local : il vaut $m \times g$ et change avec l'astre et l'altitude. Un astronaute de $80$ kg pèse $785$ N sur Terre et $130$ N sur la Lune — même masse, poids différents.

Et la Lune, alors ? La force que la Terre exerce sur elle (calculée dans l'exemple guidé : environ $2 \times 10^{20}$ N) ne la fait pas s'écraser sur nous, parce que la Lune possède une vitesse : l'attraction ne cesse d'incurver sa trajectoire, la maintenant sur une orbite quasi circulaire. Comprendre précisément ce mécanisme — pourquoi tomber en permanence peut signifier tourner — demande la deuxième loi de Newton, en terminale. En seconde, on retient l'idée : l'attraction gravitationnelle est le moteur des orbites, du satellite artificiel aux planètes autour du Soleil.

Énoncé. La Terre a une masse $m_A = 5{,}97 \times 10^{24}$ kg et la Lune une masse $m_B = 7{,}35 \times 10^{22}$ kg. La distance entre leurs centres vaut $d = 3{,}84 \times 10^{8}$ m. Mars a une masse $M = 6{,}42 \times 10^{23}$ kg et un rayon $R = 3{,}39 \times 10^{6}$ m. On donne $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ N·m²·kg⁻².

Question 1. Calculer la valeur $F$ de la force gravitationnelle entre la Terre et la Lune, avec 3 chiffres significatifs.

Question 2. Comparer la force exercée par la Terre sur la Lune et celle exercée par la Lune sur la Terre.

Question 3. Calculer l'intensité de la pesanteur $g_M$ à la surface de Mars, avec 3 chiffres significatifs.

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Question 1 — la force Terre-Lune.

1. Vérifier les unités. Masses en kg, distance en m : tout est déjà en unités SI, on peut remplacer.

2. Écrire la loi, puis substituer.

3. Calculer d'un seul trait, sans arrondir d'étape intermédiaire (arrondir le numérateur puis le dénominateur déplacerait le dernier chiffre) :

La force gravitationnelle entre la Terre et la Lune vaut environ $1{,}98 \times 10^{20}$ N.

4. Contrôler. L'ordre de grandeur se vérifie de tête, mantisses et puissances de dix séparément. Numérateur : $6{,}67 \times 5{,}97 \times 7{,}35 \approx 293$ et $10^{-11} \times 10^{24} \times 10^{22} = 10^{35}$, soit environ $2{,}9 \times 10^{37}$. Dénominateur : $3{,}84^{2} \approx 15$ et $(10^{8})^{2} = 10^{16}$, soit environ $1{,}5 \times 10^{17}$. Quotient : $\dfrac{2{,}9 \times 10^{37}}{1{,}5 \times 10^{17}} \approx 2 \times 10^{20}$. L'ordre de grandeur tient.

Question 2 — la réciprocité.

Dans la loi, les deux masses interviennent par leur produit : échanger $m_A$ et $m_B$ ne change rien au résultat. La force exercée par la Lune sur la Terre a donc exactement la même valeur, $1{,}98 \times 10^{20}$ N, et un sens opposé — chacune attire l'autre vers elle.

Il n'y a pas « la grosse qui attire la petite » : il y a une seule interaction, et deux forces de même valeur. Seuls les effets diffèrent, parce que les masses à mettre en mouvement diffèrent.

Question 3 — l'intensité de la pesanteur sur Mars.

1. Écrire la relation démontrée en cours. À la surface d'un astre de masse $M$ et de rayon $R$ :

2. Substituer, en un seul trait.

L'intensité de la pesanteur à la surface de Mars vaut environ $3{,}73$ N/kg — un peu plus du tiers de la valeur terrestre.

3. Interpréter. Un rover de $900$ kg y pèse $P = 900 \times 3{,}73 \approx 3{,}4 \times 10^{3}$ N, contre $8{,}8 \times 10^{3}$ N sur Terre. Sa masse, elle, n'a pas changé d'un gramme pendant le voyage : c'est le poids qui dépend de l'astre, jamais la masse.

Figure (fig.physics.gravitation, SVG programmatique à produire) : deux panneaux superposés.

• Panneau du haut — l'interaction réciproque. La Terre à gauche (grand disque) et la Lune à droite (petit disque), leurs centres marqués d'une croix et reliés par une ligne pointillée cotée « $d = 3{,}84 \times 10^{8}$ m — de centre à centre ». Deux flèches de même longueur portées par cette ligne : l'une part du centre de la Lune vers la Terre (étiquette « force de la Terre sur la Lune »), l'autre du centre de la Terre vers la Lune (étiquette « force de la Lune sur la Terre »), toutes deux cotées « $1{,}98 \times 10^{20}$ N ». Une légende en dessous : « même valeur, sens opposés : une seule interaction ». Un encart barré d'une croix montre l'erreur à ne pas faire : la même scène avec la distance mesurée entre les surfaces des deux astres.
• Panneau du bas — la décroissance en $1/d^{2}$. Trois paires de sphères identiques alignées : distance $d$, puis $2d$, puis $3d$. Sous chaque paire, la flèche de force, dont la longueur est divisée par $4$ puis par $9$ par rapport à la première, avec les étiquettes « $F$ », « $F/4$ », « $F/9$ ». Au-dessus, la courbe continue de $F$ en fonction de $d$, décroissante et de plus en plus plate, qui s'approche de l'axe sans jamais le toucher, annotée « la force s'affaiblit vite, mais ne s'annule jamais ».

Ce qu'il faut lire. Le panneau du haut corrige les deux intuitions fausses les plus répandues : non, le gros n'attire pas « plus fort » que le petit — les deux flèches ont la même longueur — et non, la distance de la loi n'est pas l'écart entre les surfaces. Le panneau du bas grave la signature de la loi : passer de $d$ à $2d$ ne divise pas la force par $2$ mais par $4$, parce que la distance agit au carré. Ces deux images valent pour la loi de Coulomb aussi, qui a exactement la même géométrie — seule la grandeur qui attire change.

Les unités. La loi ne travaille qu'en SI : masses en kilogrammes, distance en mètres, force en newtons. Une altitude donnée en kilomètres se convertit et s'ajoute au rayon de l'astre avant toute chose : $d = R + h$.

Les ordres de grandeur à connaître. Entre deux objets du quotidien : $10^{-10}$ à $10^{-7}$ N — imperceptible. Poids d'un être humain : quelques centaines de newtons. Force Terre-Lune : $\approx 2 \times 10^{20}$ N. $g$ vaut $9{,}81$ N/kg sur Terre, $1{,}62$ sur la Lune, $3{,}7$ sur Mars.

Le miroir électrostatique. La loi de Coulomb, $F = k\,|q_A q_B|/d^{2}$, a exactement la même forme : une constante, un produit de deux grandeurs propres aux corps, un carré de distance au dénominateur. Deux différences, et deux seulement : les charges ont un signe (l'électrostatique peut repousser, la gravitation jamais), et les intensités sont sans commune mesure à l'échelle des particules. La leçon sur la loi de Coulomb déroule cette comparaison.

1. Oublier d'élever la distance au carré. Le dénominateur est $d^{2}$, pas $d$. L'oubli fausse le résultat d'un facteur égal à $d$ — souvent des millions. Réflexe de calculatrice : taper la parenthèse $(3{,}84 \times 10^{8})^{2}$ en entier, puissance comprise, avant de diviser.
2. Prendre la mauvaise distance. $d$ se mesure de centre à centre. Pour un satellite, on ajoute l'altitude au rayon de l'astre ($d = R + h$) ; prendre la seule altitude est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle gonfle énormément la force. Pour deux boules qui se touchent, $d$ n'est pas nulle : c'est la somme des rayons.
3. Croire que le gros attire plus fort que le petit. La Terre et la pomme s'attirent avec la même valeur de force : les deux masses sont dans le même produit. Ce qui n'est pas symétrique, c'est l'effet — la pomme bouge, la Terre non — parce que mettre en mouvement une grande masse demande bien plus. Confondre la force et son effet, c'est tout le piège.
4. Chercher un signe à la force. Une masse est toujours positive : la gravitation est toujours attractive, et la « valeur » $F$ est un nombre positif. Ne transpose pas ici les habitudes de la loi de Coulomb, où le signe des charges décide du sens — c'est précisément ce qui distingue les deux lois.
5. Mélanger les unités. Une distance en kilomètres ou une masse en tonnes dans la loi donne un résultat faux de plusieurs ordres de grandeur. Tout en SI avant de substituer : c'est la leçon des unités de base appliquée mot pour mot.
6. Arrondir les étapes intermédiaires. Avec des puissances de dix, arrondir le numérateur puis le dénominateur déplace le dernier chiffre significatif du quotient. Le calcul se mène d'un seul trait à la calculatrice, et on arrondit à la fin.
7. Croire que $g$ dépend de l'objet. Dans $g = G M / R^{2}$, la masse de l'objet posé s'est simplifiée : une plume et une enclume subissent la même intensité de pesanteur. (Elles ne tombent différemment dans l'air qu'à cause des frottements.) $g$ est une propriété de l'astre, pas du corps pesé.
8. Confondre poids et masse au moment de conclure. Un résultat en newtons est une force ; un résultat en kilogrammes est une masse. « L'astronaute pèse $80$ kg » est une phrase de la vie courante, pas de la physique : il a une masse de $80$ kg, et son poids, en newtons, dépend de l'astre où il se trouve.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon fait travailler la loi de gravitation dans toutes ses directions : force entre deux astres, force minuscule entre deux objets du quotidien, force sur un satellite dont on donne l'altitude (le piège $d = R + h$ y est central), masse ou distance à retrouver en isolant l'inconnue, et calcul de $g = G M / R^{2}$ à la surface d'un astre. Toutes les constantes et données astronomiques sont fournies dans l'énoncé. Un modèle voisin, à choix multiples, interroge les propriétés qualitatives : caractère attractif, effet d'un changement de distance, distance entre les centres, réciprocité.

Énoncé type. Un satellite de masse $m = 4{,}20 \times 10^{3}$ kg tourne autour de la Terre à l'altitude $h = 8{,}00 \times 10^{5}$ m au-dessus de sa surface. La Terre a une masse $M = 5{,}97 \times 10^{24}$ kg et un rayon $R = 6{,}37 \times 10^{6}$ m. On donne $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ N·m²·kg⁻². Calculer la valeur $F$ de la force gravitationnelle exercée sur le satellite, en newtons, avec 3 chiffres significatifs.

Corrigé complet.

1. Identifier la distance de la loi. La loi demande la distance entre les centres : le rayon de la Terre plus l'altitude.

2. Écrire la loi et substituer.

3. Calculer d'un seul trait.

La force gravitationnelle sur le satellite vaut environ $3{,}25 \times 10^{4}$ N.

4. Contrôler. Ce satellite pèserait $m \times 9{,}81 \approx 4{,}12 \times 10^{4}$ N au sol : en altitude, la force doit être un peu plus faible — c'est le cas, cohérent. Un élève qui aurait pris $d = h$ aurait trouvé une force plus de quatre-vingts fois trop grande : l'ordre de grandeur l'aurait trahi immédiatement.

Auto-contrôle. Trois questions avant de rendre. Ma distance est-elle bien $R + h$, en mètres ? Ai-je élevé $d$ au carré avant de diviser ? Et mon résultat est-il un peu inférieur au poids au sol, comme la physique l'exige ?