Le champ magnétique : sources et cartes de champ

Approche un aimant d'une boussole : l'aiguille tourne. Fais passer un courant dans un fil tendu au-dessus de la même boussole : l'aiguille tourne aussi. L'expérience est celle d'Ørsted, en 1820, et sa conclusion est le point de départ de tout l'électromagnétisme : un aimant et un courant produisent le même genre d'effet, donc la même grandeur physique.

Le champ magnétique est une grandeur vectorielle, notée $\vec{B}$, définie en tout point de l'espace. Son unité dans le système international est le tesla (symbole T).

Vectorielle : cela veut dire qu'en un point donné, le champ a une direction, un sens et une norme, et qu'on ne peut pas le résumer à un nombre. C'est la différence essentielle avec une température ou une pression. Deux sources présentes en même temps ne s'additionnent pas en nombres mais en vecteurs : c'est le principe de superposition, et c'est ce qui explique la déviation d'une boussole, plus loin dans cette leçon.

Les deux sources, et le fait qu'elles n'en font qu'une. Un aimant permanent produit un champ ; un courant électrique aussi. La physique moderne les unifie : le magnétisme d'un aimant vient lui-même de mouvements de charges à l'échelle atomique. À notre niveau, retiens le fait expérimental : il n'existe pas de charge magnétique isolée. On ne peut pas séparer un pôle nord d'un pôle sud ; coupé en deux, un aimant donne deux aimants complets, chacun avec ses deux pôles. C'est une différence radicale avec le champ électrique, où les charges positives et négatives existent séparément — et elle a une conséquence géométrique immédiate.

Les lignes de champ, et leur propriété la plus mal retenue. Une ligne de champ est une courbe tangente en chacun de ses points au vecteur $\vec{B}$, orientée dans le sens du champ. Elle rend visible la direction du champ ; le resserrement des lignes rend visible son intensité — champ fort là où les lignes sont serrées, faible là où elles s'écartent.

Les lignes de champ magnétique sont fermées : elles ne commencent nulle part et ne s'arrêtent nulle part.

À l'extérieur d'un aimant droit, elles semblent sortir du pôle nord et entrer par le pôle sud ; mais elles traversent l'aimant du sud vers le nord et se referment. Dire qu'elles « partent d'un pôle et s'arrêtent à l'autre » est faux, et c'est la conséquence directe de l'inexistence des charges magnétiques isolées. Retiens aussi que deux lignes de champ ne se croisent jamais : en un point de croisement, le champ aurait deux directions à la fois.

Ordres de grandeur, à connaître. Le tesla est une grande unité — les champs de la vie courante s'expriment en fractions de tesla.

Retiens surtout le premier : c'est l'étalon auquel on compare tout le reste. Un solénoïde de travaux pratiques produit un champ de l'ordre de vingt-cinq fois le champ terrestre — assez pour dominer une boussole, très loin d'un aimant de laboratoire.

Le pôle nord géographique n'est pas un pôle nord magnétique. L'aiguille aimantée d'une boussole s'oriente parce que son pôle nord est attiré vers le nord géographique. Or les pôles de noms opposés s'attirent : ce qui se trouve près du nord géographique est donc, magnétiquement, un pôle sud. Ce n'est pas une subtilité de vocabulaire, c'est une conséquence de la règle « les pôles opposés s'attirent », et il faut la refaire en une phrase plutôt que de la mémoriser à l'envers.

Trois cartes de champ à reconnaître au premier coup d'œil.

L'aimant droit. À l'extérieur, les lignes s'évasent d'un pôle à l'autre en formant des boucles ; elles sont très serrées près des pôles — c'est là que le champ est le plus intense — et très écartées sur les côtés. À l'intérieur du barreau, elles reviennent du sud vers le nord. L'ensemble ne présente aucun début ni aucune fin.

La spire circulaire parcourue par un courant. Les lignes s'enroulent autour du fil et traversent la spire. Sur l'axe, le champ est perpendiculaire au plan de la spire ; son sens est donné par la règle de la main droite : les doigts enroulés dans le sens du courant, le pouce indique le sens de $\vec{B}$ sur l'axe. Vue de loin, la carte de champ d'une spire ressemble à celle d'un petit aimant droit — et ce n'est pas une coïncidence.

Le solénoïde. Un solénoïde est un enroulement de $N$ spires jointives régulièrement réparties sur une longueur $\ell$. Chaque spire contribue, et les contributions s'ajoutent à l'intérieur tandis qu'elles se compensent largement à l'extérieur. Résultat : à l'intérieur d'un solénoïde long, loin des extrémités, les lignes de champ sont des droites parallèles et régulièrement espacées — le champ y est uniforme, c'est-à-dire de même direction, même sens et même norme en tout point de cette région. À l'extérieur, le champ est faible et les lignes se referment en s'évasant, exactement comme pour un aimant droit.

Uniforme ne veut pas dire constant. Un champ uniforme est le même en tout point d'une région, à un instant donné ; un champ constant ne change pas au cours du temps. Le champ à l'intérieur d'un solénoïde alimenté par un courant continu est les deux à la fois, mais ce sont bien deux propriétés distinctes, et un énoncé qui demande « où le champ est-il uniforme ? » ne demande pas la même chose que « le champ est-il permanent ? ».

Le champ du solénoïde long, admis.

Pour un solénoïde long — longueur très grande devant le rayon, en pratique au moins vingt fois — le champ à l'intérieur, loin des extrémités, vaut

$$B = \mu_0\,n\,I,$$

où $n = \dfrac{N}{\ell}$ est le nombre de spires par mètre et $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}$ $\mathrm{T\cdot m\cdot A^{-1}}$ la perméabilité magnétique du vide.

Ce résultat est admis ici : sa démonstration relève du théorème d'Ampère, qui n'est pas l'objet de cette leçon. Trois lectures s'imposent. D'abord, $B$ ne dépend pas du rayon du solénoïde : un bobinage large et un bobinage étroit, de même densité de spires et parcourus par le même courant, produisent le même champ intérieur. Ensuite, ce qui compte n'est pas le nombre de spires mais leur densité : mille spires sur un mètre et cinq cents spires sur cinquante centimètres donnent le même champ. Enfin, $B$ est proportionnel à $I$ : doubler le courant double le champ, ce qui fait du solénoïde une source de champ réglable — sa qualité principale au laboratoire.

La boussole, détecteur de la superposition. Une aiguille aimantée libre de tourner dans un plan horizontal s'aligne sur le champ résultant dans ce plan. Au repos, ce champ est la composante horizontale du champ terrestre, $B_h \approx 2\times10^{-5}$ T, et l'aiguille indique le nord. Plaçons maintenant la boussole au centre d'un solénoïde dont l'axe est perpendiculaire au méridien magnétique : elle subit deux champs orthogonaux, $B_h$ selon le nord et $B$ selon l'axe du solénoïde. Le champ résultant fait avec le nord un angle $\alpha$ tel que

La boussole cesse d'être une simple aiguille : elle devient un appareil de mesure, puisque lire $\alpha$ donne $B$ à condition de connaître $B_h$. C'est le principe de la boussole des tangentes, et c'est le meilleur argument pour comprendre que le champ est vectoriel — un scalaire ne se composerait pas ainsi.

La force magnétique, et sa condition d'existence. Un champ magnétique n'agit pas sur n'importe quoi. Sur une charge $q$ animée d'une vitesse $\vec{v}$, la force a pour norme

où $\theta$ est l'angle entre $\vec{v}$ et $\vec{B}$. Trois conséquences se lisent directement dans cette expression et suffisent à répondre à la plupart des questions de cours. (1) Une charge immobile ne subit aucune force magnétique, puisque $v = 0$ : c'est la différence la plus nette avec le champ électrique. (2) Une charge qui se déplace parallèlement au champ n'en subit pas non plus, puisque $\sin 0 = 0$. (3) La force est maximale quand la vitesse est perpendiculaire au champ. Un objet neutre, lui, ne subit rien du tout, quelle que soit sa vitesse.

Énoncé. Un solénoïde de travaux pratiques comporte $N = 1\,000$ spires régulièrement réparties sur une longueur $\ell = 0{,}50$ m ; son rayon est $R = 1{,}5$ cm. Il est parcouru par un courant d'intensité $I = 0{,}50$ A. On donne $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}$ $\mathrm{T\cdot m\cdot A^{-1}}$, le champ magnétique terrestre $B_{\text{Terre}} = 5\times10^{-5}$ T et sa composante horizontale $B_h = 2\times10^{-5}$ T.

1. Vérifier que le solénoïde peut être assimilé à un solénoïde long, puis calculer le champ à l'intérieur, loin des extrémités.
2. Comparer ce champ au champ magnétique terrestre.
3. Quelle intensité faudrait-il pour obtenir un champ de $5{,}0$ mT ?
4. On place une petite boussole au centre du solénoïde, dont l'axe est horizontal et perpendiculaire au méridien magnétique. Le courant est réduit à $I' = 20$ mA. De quel angle l'aiguille est-elle déviée par rapport au nord ?

---

1. Le champ à l'intérieur.

Condition de validité, d'abord. Un solénoïde est dit long lorsque sa longueur vaut au moins une vingtaine de fois son rayon. Ici $20R = 20 \times 1{,}5\times10^{-2} = 0{,}30$ m, et $\ell = 0{,}50$ m $> 0{,}30$ m. La condition est remplie : l'approximation du solénoïde long est légitime, et on la mentionne AVANT d'appliquer la formule.

Densité de spires.

Attention à l'unité : $n$ est un nombre de spires par mètre, pas un nombre de spires.

Champ.

Soit environ $1{,}3$ mT. Contrôle d'homogénéité : $\mu_0$ est en $\mathrm{T\cdot m\cdot A^{-1}}$, $n$ en $\mathrm{m^{-1}}$, $I$ en A — le produit est bien en tesla. $\checkmark$ Et l'ordre de grandeur, $10^{-3}$ T, est celui d'un solénoïde de travaux pratiques. $\checkmark$

2. Comparaison au champ terrestre.

Le champ du solénoïde vaut environ vingt-cinq fois le champ terrestre. Ce rapport est sans unité — c'est un contrôle : si tu trouvais des teslas, tu aurais oublié de diviser. Il explique aussi pourquoi une boussole placée dans le solénoïde s'aligne presque entièrement sur son axe : le champ terrestre y est marginal.

3. L'intensité pour un champ visé. La relation $B = \mu_0 n I$ est linéaire en $I$, donc

Contrôle par proportionnalité, sans calculatrice. On veut $5{,}0$ mT au lieu de $1{,}26$ mT, soit environ quatre fois plus ; il faut donc environ quatre fois plus de courant que $0{,}50$ A, c'est-à-dire $2{,}0$ A. $\checkmark$ Deux ampères dans un fil de bobinage fin, c'est déjà beaucoup : un tel réglage demande de surveiller l'échauffement.

4. La déviation de la boussole.

Champ créé par le solénoïde avec le nouveau courant.

Composition des deux champs. L'aiguille est soumise à deux champs horizontaux et perpendiculaires : $B_h = 2\times10^{-5}$ T vers le nord, et $B' = 5{,}03\times10^{-5}$ T selon l'axe du solénoïde. Elle s'aligne sur leur somme vectorielle, qui fait avec le nord un angle $\alpha$ tel que

d'où

Contrôle. La déviation devait être supérieure à $45°$, puisque le champ du solénoïde l'emporte sur la composante horizontale terrestre ; et inférieure à $90°$, qui ne serait atteint que si le champ terrestre était nul. La valeur $68°$ est bien encadrée. $\checkmark$ Remarque enfin qu'on a utilisé $B_h$, la composante horizontale, et non le champ terrestre total : l'aiguille tourne dans un plan horizontal, seule la projection dans ce plan la fait tourner.

Contrôle général. Quatre réflexes. (a) Vérifier la condition « solénoïde long » avant d'appliquer la formule, et le dire. (b) Calculer $n$ en spires par mètre, jamais confondre avec $N$. (c) Écrire l'unité de chaque résultat : tesla pour un champ, sans unité pour un rapport, degré pour un angle. (d) Comparer systématiquement au champ terrestre : c'est l'étalon qui rend une valeur en tesla parlante.

Figure (fig.physics.magnetic-field, SVG programmatique à produire) : quatre panneaux, trois cartes de champ en haut, la composition vectorielle en bas.

• Panneau 1 — l'aimant droit. Un barreau rectangulaire, moitié étiquetée N, moitié étiquetée S, en toutes lettres et non par la seule couleur. Une dizaine de lignes de champ fermées, orientées par des pointes de flèche : à l'extérieur elles vont du pôle N vers le pôle S en s'évasant, à l'intérieur du barreau elles reviennent du S vers le N, tracées en trait légèrement plus fin mais continues, de sorte qu'aucune ligne ne s'interrompe à la surface. Deux zones annotées : « lignes serrées : champ intense » près des pôles, « lignes écartées : champ faible » sur les flancs.
• Panneau 2 — la spire. Une spire circulaire vue de trois quarts, le sens du courant marqué par une flèche sur le conducteur. Les lignes de champ s'enroulent autour du fil et traversent la spire. Sur l'axe, un vecteur $\vec{B}$ et une main droite schématisée, doigts enroulés dans le sens du courant, pouce dans le sens du champ, avec la légende « règle de la main droite ».
• Panneau 3 — le solénoïde. Un enroulement de spires jointives, longueur $\ell$ et rayon $R$ cotés, avec la mention « long : $\ell \ge 20R$ ». À l'intérieur, des lignes droites, parallèles et régulièrement espacées, dans une zone grisée légendée « champ uniforme, loin des extrémités ». Aux deux bouts, les lignes s'évasent et se referment à l'extérieur, où elles sont clairsemées. Un cartouche porte la relation $B = \mu_0 n I$ avec $n = N/\ell$, et la mention « ne dépend pas du rayon ».
• Panneau 4 — la boussole des tangentes. Vue de dessus. Une flèche verticale étiquetée « nord magnétique, $B_h = 2\times10^{-5}$ T », une flèche horizontale étiquetée « solénoïde, $B'$ », leur somme vectorielle construite en pointillé selon la règle du parallélogramme, et l'aiguille de la boussole alignée sur cette somme. L'angle $\alpha$ est coté entre le nord et l'aiguille, avec la relation $\tan\alpha = B'/B_h$ écrite à côté.

Ce qu'il faut lire. Les trois premiers panneaux montrent que les lignes de champ sont toujours fermées, quelle que soit la source, et que le resserrement des lignes est la seule lecture visuelle de l'intensité. Le passage du panneau 2 au panneau 3 montre comment l'empilement de spires transforme un champ qui s'évase en un champ uniforme : c'est toute l'utilité du solénoïde. Le panneau 4, enfin, rend visible ce qu'aucune formule ne rend évident : deux champs se composent comme des vecteurs, et la déviation de l'aiguille mesure leur rapport.

La figure en détail : la figure réunit quatre schémas. Le premier montre un aimant droit dont les pôles sont notés N et S en toutes lettres, entouré de lignes de champ fermées : à l'extérieur elles vont du pôle nord au pôle sud en s'évasant, puis elles traversent le barreau du sud vers le nord, sans jamais s'interrompre ; elles sont serrées près des pôles, où le champ est intense, et écartées sur les flancs, où il est faible. Le deuxième montre une spire circulaire parcourue par un courant, les lignes de champ enroulées autour du conducteur et traversant la spire, ainsi qu'une main droite dont les doigts suivent le courant et dont le pouce donne le sens du champ sur l'axe. Le troisième montre un solénoïde dont la longueur est au moins vingt fois le rayon : à l'intérieur, loin des extrémités, les lignes sont droites, parallèles et régulièrement espacées, ce qui signale un champ uniforme dont la valeur est le produit de la perméabilité du vide, de la densité de spires et de l'intensité, indépendamment du rayon ; à l'extérieur, elles se referment en s'évasant et sont clairsemées. Le quatrième est une vue de dessus d'une boussole soumise à deux champs horizontaux perpendiculaires, celui de la Terre vers le nord et celui du solénoïde selon son axe : l'aiguille s'aligne sur la somme vectorielle des deux, et l'angle qu'elle fait avec le nord a pour tangente le rapport de ces deux champs.

Les unités. Le champ est en tesla (T) ; la densité de spires $n$ en $\mathrm{m^{-1}}$ ; l'intensité en ampères (A) ; $\mu_0$ en $\mathrm{T\cdot m\cdot A^{-1}}$. Un rapport de deux champs est sans unité. Un angle de déviation se donne en degrés, mais toute fonction trigonométrique calculée à la machine exige de vérifier le mode de l'appareil. Le tesla étant une très grande unité, les résultats s'écrivent en notation scientifique ou en millitesla.

Ce qui est donné, ce qui est su. Sont toujours donnés dans un énoncé : la valeur de $\mu_0$, la relation $B = \mu_0 n I$ (résultat admis à ce niveau), l'expression $F = \lvert q\rvert vB\sin\theta$, les valeurs du champ terrestre et de sa composante horizontale, et la relation du champ d'un fil rectiligne si l'exercice en a besoin. Sont sus : $n = N/\ell$, le fait que la boussole s'aligne sur le champ résultant, la règle des pôles opposés, et les ordres de grandeur du tableau du premier bloc.

Ce qui n'est pas dans cette leçon. Le calcul du champ dans le cas général — loi de Biot-Savart, théorème d'Ampère ; la force de Laplace sur un conducteur et le moment magnétique d'une spire ; l'induction et la loi de Faraday ; le mouvement complet d'une charge dans un champ magnétique ; et le magnétisme de la matière. Cette leçon décrit et compare des champs ; les suivantes les calculent et les mettent en mouvement.

1. Croire que les lignes de champ partent d'un pôle et s'arrêtent à l'autre. Elles sont fermées : elles traversent l'aimant du sud vers le nord et se referment à l'extérieur. C'est la traduction géométrique du fait qu'il n'existe pas de charge magnétique isolée — un aimant coupé en deux donne deux aimants complets, jamais un pôle seul.
2. Confondre pôle nord géographique et pôle nord magnétique. L'aiguille d'une boussole pointe vers le nord géographique par son pôle nord, et les pôles opposés s'attirent : ce qui se trouve là-bas est donc un pôle sud magnétique. Refais le raisonnement en une phrase plutôt que d'apprendre la conclusion par cœur.
3. Penser qu'un champ magnétique exerce une force sur une charge immobile. $F = \lvert q\rvert vB\sin\theta$ s'annule dès que $v = 0$. Une charge au repos ne subit rien, et un objet neutre non plus, quelle que soit sa vitesse. C'est la différence la plus nette avec le champ électrique.
4. Oublier que la force est nulle aussi quand la vitesse est parallèle au champ. $\sin 0 = 0$. Une charge qui suit une ligne de champ n'est pas déviée. La force est maximale, au contraire, quand la vitesse est perpendiculaire au champ.
5. Confondre $N$ et $n$ dans la formule du solénoïde. $n = N/\ell$ est un nombre de spires par mètre. Utiliser $N$ à la place multiplie le résultat par la longueur du solénoïde — deux à trois ordres de grandeur d'erreur, invisibles si l'on n'écrit pas les unités.
6. Croire que le champ d'un solénoïde dépend de son rayon. Il n'en dépend pas : seules la densité de spires et l'intensité comptent. Un bobinage large et un bobinage étroit, de mêmes $n$ et $I$, produisent le même champ intérieur.
7. Appliquer $B = \mu_0 n I$ sans vérifier la condition « solénoïde long ». La relation vaut pour un solénoïde dont la longueur dépasse largement le rayon, et à l'intérieur, loin des extrémités. Au voisinage d'un bout, le champ chute — d'un facteur voisin de deux au centre de la spire terminale.
8. Confondre uniforme et constant. Uniforme : même valeur en tout point d'une région. Constant : même valeur au cours du temps. Ce sont deux propriétés indépendantes.
9. Utiliser le champ terrestre total au lieu de sa composante horizontale. Une aiguille de boussole tourne dans un plan horizontal : seule la projection du champ dans ce plan la fait tourner. Prendre $5\times10^{-5}$ T au lieu de $2\times10^{-5}$ T change la déviation de plusieurs dizaines de degrés.
10. Additionner des champs comme des nombres. Ce sont des vecteurs. Deux champs perpendiculaires de $2\times10^{-5}$ T et $5\times10^{-5}$ T ne donnent pas $7\times10^{-5}$ T mais $\sqrt{2^{2} + 5^{2}}\times10^{-5} \approx 5{,}4\times10^{-5}$ T — et surtout une direction nouvelle, qui est justement ce que mesure la boussole.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon tire une géométrie de bobinage de laboratoire — toujours conforme à la condition de solénoïde long, ce que l'énoncé mentionne — et l'une de ces questions : le champ au centre, en tesla ; l'intensité nécessaire pour atteindre un champ visé ; le rapport de ce champ au champ terrestre, sans unité ; la déviation en degrés d'une boussole placée au centre d'un solénoïde d'axe perpendiculaire au méridien magnétique ; ou le champ d'un fil rectiligne, dont la relation est alors donnée, comparé au champ terrestre. Un modèle voisin, à choix multiples, interroge les faits : les lignes de champ sont-elles ouvertes ou fermées, quel pôle magnétique se trouve près du nord géographique, laquelle de quatre particules subit une force, et quels ordres de grandeur associer à quelles situations.

Énoncé type. Un solénoïde comporte $N = 800$ spires réparties sur une longueur $\ell = 0{,}40$ m ; son rayon vaut $R = 1{,}0$ cm, si bien qu'il peut être assimilé à un solénoïde long. Il est parcouru par un courant d'intensité $I = 0{,}75$ A. Calculer le champ magnétique à l'intérieur, loin des extrémités. On donne $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}$ $\mathrm{T\cdot m\cdot A^{-1}}$ et la relation $B = \mu_0\,n\,I$.

Corrigé complet.

1. Vérifier l'hypothèse. $20R = 20 \times 1{,}0\times10^{-2} = 0{,}20$ m, et $\ell = 0{,}40$ m est bien supérieur : l'assimilation à un solénoïde long est légitime, comme l'annonce l'énoncé.

2. Calculer la densité de spires.

C'est bien un nombre de spires par mètre : deux mille spires par mètre, alors que le solénoïde n'en porte que huit cents en tout.

3. Appliquer la relation.

On calcule pas à pas : $4\pi\times10^{-7} = 1{,}2566\times10^{-6}$ ; multiplié par $2{,}0\times10^{3}$, cela fait $2{,}513\times10^{-3}$ ; multiplié par $0{,}75$, on obtient

Réponse : $B \approx 1{,}9\times10^{-3}$ T, soit environ $1{,}9$ mT.

4. Contrôles. Homogénéité : $\mathrm{T\cdot m\cdot A^{-1}} \times \mathrm{m^{-1}} \times \mathrm{A} = \mathrm{T}$. $\checkmark$ Ordre de grandeur : $10^{-3}$ T est bien la valeur attendue pour un solénoïde de travaux pratiques, et cela représente environ $38$ fois le champ magnétique terrestre — un rapport plausible. $\checkmark$ Sensibilité : si l'on avait pris $N$ au lieu de $n$, on aurait trouvé $7{,}5\times10^{-4}$ T… mais avec des unités incohérentes, et un solénoïde plus court aurait donné un champ plus faible, ce qui est l'inverse du bon comportement.

Auto-contrôle. Ai-je vérifié la condition « solénoïde long » avant d'appliquer la formule ? Ai-je divisé le nombre de spires par la longueur ? Mon résultat est-il en tesla, écrit en notation scientifique ? Et son ordre de grandeur se compare-t-il raisonnablement au champ terrestre ?