Le volume molaire d'un gaz : compter par le volume

Tu sais déjà compter la matière de deux façons : par le nombre d'entités ($n = N / N_A$) et par la masse ($n = m / M$). Pour un gaz, il en existe une troisième, souvent la plus commode au laboratoire : par le volume.

L'idée repose sur une propriété remarquable des gaz. Dans un gaz, les molécules sont très éloignées les unes des autres — l'essentiel du volume est du vide — et elles se déplacent librement. Le volume occupé ne dépend donc presque pas de la nature des molécules (grosses ou petites, lourdes ou légères), mais seulement de leur nombre, de la température et de la pression. C'est la loi d'Avogadro-Ampère :

Dans les mêmes conditions de température et de pression, des volumes égaux de gaz différents contiennent la même quantité de matière.

On appelle volume molaire $V_m$ le volume occupé par une mole de gaz, quel qu'il soit, dans des conditions données. À $20\ °\mathrm{C}$ et sous $1\,013$ hPa — les conditions habituelles d'une salle de classe —, $V_m = 24{,}0$ L/mol. Une mole de dihydrogène ($2{,}0$ g), une mole de dioxygène ($32{,}0$ g), une mole de dioxyde de carbone ($44{,}0$ g) occupent chacune $24{,}0$ L : même volume, masses très différentes.

La relation qui en découle est immédiate. Si une mole occupe $V_m$, alors $n$ moles occupent $n \times V_m$, et inversement :

Le volume $V$ et le volume molaire $V_m$ doivent être exprimés dans la même unité de volume : des litres divisés par des litres par mole donnent des moles.

Deux précautions, qui seront les deux pièges du chapitre. Le volume molaire dépend des conditions : un gaz se dilate quand on le chauffe et se comprime quand on augmente la pression. À $0\ °\mathrm{C}$ et $1\,013$ hPa, $V_m = 22{,}4$ L/mol — la valeur « historique » des anciennes conditions normales. Citer $22{,}4$ ou $24{,}0$ sans dire la température, c'est ne rien dire. Et la relation ne vaut que pour les gaz : dans un liquide ou un solide, les entités sont au contact, le volume dépend de leur nature, et $V_m$ ne le relie à rien. Une mole d'eau liquide occupe $18$ mL, pas $24$ L.

Pourquoi la nature du gaz ne compte pas. Compare une mole d'eau liquide et une mole de vapeur d'eau. Liquide : $18{,}0$ g pour $18{,}0$ mL, soit $0{,}0180$ L. Gaz à $20\ °\mathrm{C}$ (si on l'y maintenait) : $24{,}0$ L. Rapport : $24{,}0 / 0{,}0180 = 1\,333$ — plus de mille fois plus de place pour le même nombre de molécules. Dans le gaz, la molécule elle-même occupe moins d'un millième du volume qui lui est attribué : que cette molécule soit $\mathrm{H_2}$ ou $\mathrm{CO_2}$ change sa taille de quelques dixièmes de nanomètre, ce qui est négligeable devant l'espace vide qui l'entoure. Voilà pourquoi tous les gaz partagent, à quelques pour cent près, le même volume molaire — la loi d'Avogadro-Ampère est une conséquence de la dilution extrême de la matière gazeuse.

Pourquoi $V_m$ dépend de la température et de la pression. Chauffer un gaz, c'est agiter davantage ses molécules : à pression fixée, elles repoussent les parois et le volume augmente — $V_m$ passe de $22{,}4$ L/mol à $0\ °\mathrm{C}$ à $24{,}0$ L/mol à $20\ °\mathrm{C}$, soit $7\ \%$ de plus pour $20$ degrés. Comprimer un gaz, c'est rapprocher ses molécules : à température fixée, doubler la pression divise le volume par deux. La relation quantitative entre $p$, $V$, $n$ et $T$ — l'équation d'état du gaz parfait — est au programme de terminale ; en 1re, on retient que $V_m$ est une donnée d'énoncé, attachée à ses conditions, jamais une constante universelle.

Les trois voies vers $n$, et la chaîne. Un exercice de 1re combine souvent deux voies. On pèse un gaz (ou on connaît sa masse), on veut son volume : la masse molaire donne $n = m/M$, puis le volume molaire donne $V = n \times V_m$. La chaîne $m \to n \to V$ passe toujours par la quantité de matière ; le volume molaire ne s'applique jamais directement à une masse. Dans l'autre sens, un volume mesuré à l'éprouvette ou à l'eudiomètre donne $n = V/V_m$, puis $m = n \times M$ si l'on veut la masse.

Une conséquence utile : la masse volumique d'un gaz. Une mole de gaz pèse $M$ et occupe $V_m$ : sa masse volumique vaut $\rho = M / V_m$. Pour le dioxyde de carbone à $20\ °\mathrm{C}$ : $\rho = 44{,}0 / 24{,}0 = 1{,}83$ g/L. Pour l'air, de masse molaire moyenne d'environ $29$ g/mol : $\rho \approx 29 / 24{,}0 \approx 1{,}2$ g/L. Le dioxyde de carbone est plus dense que l'air — c'est pourquoi il s'accumule au fond d'une cave ou d'un puits, et pourquoi un extincteur au $\mathrm{CO_2}$ « recouvre » un feu. Un gaz de masse molaire inférieure à $29$ g/mol (dihydrogène, hélium, méthane) est plus léger que l'air.

Ce qu'un volume de gaz ne dit pas. Deux ballons de $1$ L, l'un de dihydrogène, l'autre de dioxygène, dans les mêmes conditions, contiennent la même quantité de matière — mais pas la même masse : $m = n \times M$, et les masses molaires diffèrent d'un facteur $16$. Quantité de matière et masse sont deux grandeurs ; le volume molaire ne renseigne que sur la première.

Énoncé. On dispose d'une masse $m = 8{,}00$ g de dioxygène $\mathrm{O_2}$, à $20\ °\mathrm{C}$ et sous $1\,013$ hPa. Données : $M(\mathrm{O}) = 16{,}0$ g/mol ; volume molaire des gaz dans ces conditions $V_m = 24{,}0$ L/mol.

Calculer le volume occupé par ce gaz. Comparer avec le volume qu'occupent $8{,}00$ g d'eau liquide dans les mêmes conditions (masse volumique de l'eau liquide : $1{,}00$ g/mL). Puis déterminer la masse de dioxyde de carbone contenue dans un ballon de $1{,}50$ L, toujours à $20\ °\mathrm{C}$ et $1\,013$ hPa ($M(\mathrm{C}) = 12{,}0$ g/mol).

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1. De la masse à la quantité de matière. Le volume molaire se rapporte à des moles : on commence par compter.

2. De la quantité de matière au volume.

Huit grammes de dioxygène occupent $6{,}00$ L à $20\ °\mathrm{C}$ et $1\,013$ hPa — le volume d'un gros ballon de baudruche.

3. Contrôler. Unités : $\mathrm{mol} \times \mathrm{L/mol} = \mathrm{L}$ ✔. Sens : un quart de mole, un quart de $24$ L ✔. Et si l'énoncé avait dit « à $0\ °\mathrm{C}$ », le volume molaire aurait été $22{,}4$ L/mol et le volume $0{,}250 \times 22{,}4 = 5{,}60$ L : les conditions changent la réponse.

4. Le contre-exemple de l'eau liquide. Même masse, $8{,}00$ g, même quantité de matière presque ($M(\mathrm{H_2O}) = 18{,}0$ g/mol, $n = 8{,}00/18{,}0 \approx 0{,}444$ mol), et pourtant : l'eau est liquide à $20\ °\mathrm{C}$, ses molécules sont au contact, le volume molaire des gaz ne s'applique pas. Son volume se calcule avec la masse volumique :

Appliquer $V_m$ aurait donné $0{,}444 \times 24{,}0 \approx 10{,}7$ L — plus de mille fois trop. L'état physique de l'espèce est la première chose à lire dans un énoncé.

5. Dans l'autre sens : le ballon de dioxyde de carbone. Le volume donne la quantité de matière, puis la masse molaire donne la masse.

6. Contrôler encore. Le même ballon de $1{,}50$ L rempli de dioxygène contiendrait la même quantité de matière, $0{,}0625$ mol (loi d'Avogadro-Ampère), mais une masse de $0{,}0625 \times 32{,}0 = 2{,}00$ g. Même nombre de molécules, molécules plus légères : le volume molaire compte les entités, pas les grammes.

Figure (fig.chemistry.molar-volume-gas, SVG programmatique à produire) : trois récipients identiques, un petit bécher, et un bandeau de conditions.

• Les trois récipients sont trois cubes transparents de même taille, étiquetés « $24{,}0$ L », alignés, remplis d'un semis clairsemé de molécules : à gauche des petites paires de disques ($\mathrm{H_2}$), au centre des paires plus grosses ($\mathrm{O_2}$), à droite des triplets alignés ($\mathrm{CO_2}$). Le même nombre de molécules est dessiné dans chaque cube (par exemple $24$), avec la légende commune « $1$ mol, soit $6{,}02 \times 10^{23}$ molécules ». Sous chaque cube, la masse : « $2{,}0$ g », « $32{,}0$ g », « $44{,}0$ g », et une balance stylisée qui penche de plus en plus vers la droite.
• Le petit bécher, à droite, contient $18$ mL d'eau liquide, dessiné à l'échelle des cubes : un objet minuscule (le rapport des volumes est de plus de mille). Sa légende : « $1$ mol d'eau liquide : $18$ mL — molécules au contact, $V_m$ ne s'applique pas ». Un zoom en médaillon montre les molécules d'eau serrées, en contraste avec le semis clairsemé des cubes.
• Le bandeau du haut fixe les conditions : un thermomètre marqué « $20\ °\mathrm{C}$ » et un manomètre marqué « $1\,013$ hPa », avec la phrase « mêmes conditions pour les trois cubes ». Un second thermomètre, plus petit et marqué « $0\ °\mathrm{C}$ », est associé à un cube légèrement plus petit en pointillés, étiqueté « $22{,}4$ L » : le volume molaire a diminué avec la température.
• Le bandeau du bas écrit les deux relations, $n = V / V_m$ et $V = n \times V_m$, avec un contrôle d'unités en marge : « L divisés par L/mol : des mol ».

Ce qu'il faut lire. Trois cubes identiques, trois masses différentes, un seul nombre de molécules : c'est la loi d'Avogadro-Ampère rendue visible, et la raison pour laquelle le volume compte les moles, pas les grammes. Le bécher d'eau, ridicule à côté des cubes, rappelle que la relation est réservée aux gaz. Le cube en pointillés dit que $V_m$ n'est pas une constante : il rétrécit quand on refroidit.

La figure en détail : trois cubes transparents de même taille, contenant chacun le même nombre de petites molécules dispersées, dihydrogène à gauche, dioxygène au centre, dioxyde de carbone à droite, chacun étiqueté vingt-quatre litres et une mole, avec sa masse écrite dessous, de deux grammes à quarante-quatre grammes. À côté, un tout petit bécher de dix-huit millilitres d'eau liquide, avec un médaillon montrant des molécules serrées les unes contre les autres et la mention que le volume molaire des gaz ne s'y applique pas. En haut, un thermomètre à vingt degrés et un manomètre à mille treize hectopascals, plus un cube en pointillés un peu plus petit, associé à zéro degré et étiqueté vingt-deux virgule quatre litres. En bas, les deux relations entre quantité de matière, volume et volume molaire, avec le contrôle d'unités.

Les unités. $V_m$ en litres par mole ($\mathrm{L/mol}$, ou $\mathrm{L \cdot mol^{-1}}$) ; $V$ en litres — un volume donné en millilitres se convertit d'abord ($1$ mL $= 10^{-3}$ L). Contrôle d'homogénéité : $\mathrm{L} / (\mathrm{L/mol}) = \mathrm{mol}$ ; l'écriture $n = V \times V_m$ donnerait des $\mathrm{L^2/mol}$ et se rejette d'elle-même.

Trois voies vers $n$. $n = N / N_A$ (compter les entités), $n = m / M$ (peser), $n = V / V_m$ (mesurer un volume de gaz). Un énoncé de 1re choisit la voie que ses données permettent, et en enchaîne souvent deux.

Vers la suite. La relation $pV = nRT$, qui donne $V_m$ dans n'importe quelles conditions, est au programme de terminale ; jusque-là, $V_m$ est une donnée et ses conditions font partie de la donnée.

1. Appliquer le volume molaire à un liquide ou à un solide. $V_m$ ne vaut que pour les gaz, dont les molécules sont éloignées. Une mole d'eau liquide occupe $18$ mL, pas $24$ L : pour un liquide, on passe par la masse volumique, $V = m/\rho$. Lire l'état physique de l'espèce est le premier geste.
2. Citer $22{,}4$ L/mol sans ses conditions. Cette valeur correspond à $0\ °\mathrm{C}$ et $1\,013$ hPa ; à $20\ °\mathrm{C}$, c'est $24{,}0$ L/mol. Le volume molaire dépend de la température et de la pression : il se lit dans l'énoncé, avec ses conditions, et ne se récite pas.
3. Écrire $n = V \times V_m$. Le volume molaire est un volume par mole : plus il y a de moles, plus le volume est grand, donc $V = n \times V_m$ et $n = V / V_m$. Le contrôle des unités suffit : des litres multipliés par des litres par mole ne donnent pas des moles.
4. Mélanger les millilitres et les litres. $V_m$ est en L/mol ; un volume de $250$ mL doit devenir $0{,}250$ L avant la division, sinon le résultat est mille fois trop grand.
5. Croire que même volume signifie même masse. Deux ballons égaux de gaz différents contiennent la même quantité de matière, mais des masses différentes ($m = n \times M$). Le volume molaire compte les entités, la masse molaire les pèse.
6. Appliquer $V_m$ directement à une masse. La chaîne est $m \to n \to V$ : la masse molaire d'abord, le volume molaire ensuite. « $8$ g de gaz occupent $8 \times 24$ L » n'a aucun sens.
7. Oublier que $V_m$ ne dépend pas du gaz. À conditions égales, le méthane et le dioxygène ont le même volume molaire : chercher « le volume molaire du méthane » dans une table est une fausse piste — c'est la même valeur pour tous.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon donne un gaz réel, un volume ou une quantité de matière, et le volume molaire avec ses conditions, puis demande $n$ ou $V$ ; une variante part d'une masse et fait enchaîner $m \to n \to V$ avec la masse molaire donnée. Un vrai-faux voisin teste les délimitations : la relation vaut-elle pour l'eau liquide ? deux volumes égaux de gaz différents contiennent-ils la même quantité de matière ? la même masse ? $n = V \times V_m$ ? $22{,}4$ L/mol à $20\ °\mathrm{C}$ ?

Énoncé type. Un ballon contient un volume $V = 3{,}60$ L de méthane $\mathrm{CH_4}$, mesuré à $20\ °\mathrm{C}$ et $1\,013$ hPa. On donne le volume molaire des gaz dans ces conditions : $V_m = 24{,}0$ L/mol. Calculer la quantité de matière de méthane contenue dans le ballon.

Corrigé complet.

1. Vérifier que la relation s'applique. Le méthane est un gaz à $20\ °\mathrm{C}$ : le volume molaire le concerne. Le volume et le volume molaire sont tous deux en litres : pas de conversion.

2. Écrire et calculer.

Le ballon contient $0{,}150$ mol de méthane.

3. Contrôler. Unités : $\mathrm{L} / (\mathrm{L/mol}) = \mathrm{mol}$ ✔. Sens : $3{,}60$ L, c'est un peu moins d'un sixième de $24$ L, donc un peu moins d'un sixième de mole ✔. Et la nature du gaz n'a pas servi : un ballon de $3{,}60$ L de dioxygène, dans les mêmes conditions, contiendrait lui aussi $0{,}150$ mol — mais $0{,}150 \times 32{,}0 = 4{,}80$ g au lieu de $0{,}150 \times 16{,}0 = 2{,}40$ g de méthane.

Auto-contrôle. L'espèce est-elle bien un gaz dans les conditions de l'énoncé ? Ai-je utilisé la valeur de $V_m$ qui correspond à ces conditions ? Et mes volumes sont-ils dans la même unité avant de diviser ?