Concentration en quantité de matière et dilution

En seconde, tu as appris à caractériser une solution par sa concentration en masse $C_m = m / V$, en grammes par litre : combien de grammes de soluté dans chaque litre de solution. C'est commode pour peser, mais inutilisable pour raisonner sur une réaction : une équation compte des moles, pas des grammes. La 1re introduit donc la grandeur qui parle le langage des équations.

La concentration en quantité de matière $C$ d'un soluté est la quantité de matière de ce soluté par litre de solution : $C = n / V$, avec $n$ en moles, $V$ le volume de la solution en litres, et $C$ en moles par litre ($\mathrm{mol/L}$, noté aussi $\mathrm{mol \cdot L^{-1}}$).

Une solution à $0{,}10$ mol/L contient $0{,}10$ mol de soluté dans chaque litre — donc $0{,}010$ mol dans $100$ mL, $0{,}0010$ mol dans $10$ mL. La relation se lit dans les trois sens : $n = C \times V$ donne la quantité de matière d'un prélèvement, $V = n / C$ le volume qui contient une quantité donnée.

Le lien avec la seconde est immédiat, puisque $m = n \times M$ :

Une solution de glucose ($M = 180{,}0$ g/mol) à $0{,}500$ mol/L a une concentration en masse de $0{,}500 \times 180{,}0 = 90{,}0$ g/L. Les deux grandeurs décrivent la même solution ; l'une compte, l'autre pèse.

Deux points de vocabulaire qui évitent la moitié des erreurs. Le volume $V$ est celui de la solution — le liquide final, soluté compris —, pas celui du solvant versé : quand on dissout du sucre dans de l'eau, on ajuste le volume de la solution au trait de jauge d'une fiole, on ne mesure pas l'eau. Et la concentration est une grandeur intensive : prélever la moitié d'une solution ne change pas sa concentration, seulement la quantité de soluté emportée.

Préparer une solution par dissolution. Pour obtenir un volume $V$ d'une solution de concentration $C$, on calcule la quantité de soluté nécessaire, $n = C \times V$, puis la masse à peser, $m = n \times M$. On dissout cette masse dans un peu d'eau distillée dans une fiole jaugée de volume $V$, on complète au trait de jauge, on homogénéise. Pour $250{,}0$ mL de glucose à $0{,}500$ mol/L : $n = 0{,}500 \times 0{,}2500 = 0{,}125$ mol, $m = 0{,}125 \times 180{,}0 = 22{,}5$ g.

Le geste. Diluer une solution, c'est y ajouter du solvant pour la rendre moins concentrée. Au laboratoire : on prélève un volume $V_0$ de la solution mère, de concentration $C_0$, à la pipette jaugée ; on le verse dans une fiole jaugée de volume $V$ ; on complète avec de l'eau distillée jusqu'au trait de jauge ; on homogénéise. On obtient un volume $V$ de solution fille, de concentration $C$.

L'invariant. Pendant toute l'opération, on ajoute de l'eau — jamais de soluté. La quantité de matière de soluté dans la fiole est donc exactement celle qui a été prélevée à la pipette :

C'est la seule relation de la dilution, et elle n'est pas une formule à retenir : elle découle de l'invariant. Si tu l'oublies, tu la retrouves en une ligne en écrivant que le soluté est le même avant et après. Elle vaut pour n'importe quelle unité de volume, à condition d'utiliser la même pour $V_0$ et $V$.

Le facteur de dilution. On appelle facteur de dilution le rapport

Il dit combien de fois la solution a été diluée ; il est sans unité et toujours supérieur à $1$ — une solution fille est moins concentrée que sa mère. Prélever $20{,}0$ mL et compléter à $100{,}0$ mL, c'est diluer $5$ fois : $F = 100{,}0 / 20{,}0 = 5$, et $C = C_0 / 5$. Si un calcul donne un facteur inférieur à $1$, le rapport est inversé.

Le piège du volume d'eau. Dans l'exemple, on a ajouté environ $80$ mL d'eau. Ce nombre est une fausse donnée : le volume qui entre dans $C = n / V$ est le volume final de la solution, $100{,}0$ mL, celui de la fiole. Diviser par $80$ mL donnerait une concentration fausse, plus grande d'un quart. Les énoncés mentionnent parfois le volume d'eau ajouté précisément pour tester ce point ; le volume utile est toujours celui de la verrerie jaugée.

Pourquoi la verrerie jaugée. Une pipette jaugée délivre un volume précis (à quelques centièmes de millilitre près) ; une fiole jaugée contient un volume précis jusqu'à son trait. Une éprouvette graduée ou un bécher sont dix à cent fois moins précis. Préparer une solution de concentration connue, c'est choisir la verrerie qui garantit $V_0$ et $V$ : c'est de là que vient la fiabilité de $C$. Les volumes des exercices sont ceux du laboratoire réel — pipettes de $5$, $10$, $20$, $25$ mL ; fioles de $50$, $100$, $200$, $250$, $500$ mL.

Diluer en cascade. Pour diviser une concentration par $100$ à partir d'une pipette de $10$ mL, on ne cherche pas une fiole de $1$ L : on dilue $10$ fois, puis encore $10$ fois. Les facteurs se multiplient ($10 \times 10 = 100$), parce que chaque étape conserve le soluté prélevé à l'étape précédente.

Ce que cette leçon ne traite pas. Mélanger deux solutions de concentrations différentes et calculer la concentration du mélange : c'est une conservation de la quantité de matière, à la portée des mêmes outils, mais ici on ne mélange qu'une solution et de l'eau.

Énoncé. On prépare $V_1 = 250{,}0$ mL d'une solution mère de glucose $\mathrm{C_6H_{12}O_6}$ de concentration $C_0 = 0{,}500$ mol/L. On en prélève ensuite $V_0 = 20{,}0$ mL à la pipette jaugée, que l'on verse dans une fiole jaugée de $V = 100{,}0$ mL, complétée avec environ $80$ mL d'eau distillée jusqu'au trait de jauge. Données : $M(\mathrm{C}) = 12{,}0$ g/mol, $M(\mathrm{H}) = 1{,}0$ g/mol, $M(\mathrm{O}) = 16{,}0$ g/mol.

Calculer la masse de glucose à peser pour la solution mère et sa concentration en masse ; puis la concentration de la solution fille et le facteur de dilution.

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1. La masse molaire du glucose.

2. La quantité de soluté de la solution mère. Le volume se convertit d'abord : $V_1 = 250{,}0$ mL, soit $V_1 = 0{,}2500$ L.

3. La masse à peser.

On pèse $22{,}5$ g de glucose, on les dissout dans un peu d'eau distillée dans la fiole de $250{,}0$ mL, on complète au trait, on homogénéise.

4. La concentration en masse, pour le lien avec la seconde.

Contrôle : $22{,}5$ g dans $0{,}2500$ L font bien $22{,}5 / 0{,}2500 = 90{,}0$ g/L ✔.

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5. La dilution : écrire l'invariant. Le soluté prélevé est le soluté de la fiole. Volumes en litres : $V_0 = 0{,}0200$ L, $V = 0{,}1000$ L.

6. La concentration de la solution fille.

La solution fille est à $C = 0{,}100$ mol/L : cinq fois moins concentrée que la mère.

7. Le facteur de dilution, dans les deux écritures.

Les deux calculs coïncident, et $F > 1$ ✔.

8. Le piège, nommé. Avec le volume d'eau ajouté au lieu du volume final : $0{,}0100 / 0{,}0800 = 0{,}125$ mol/L — une valeur fausse d'un quart. La fiole contient $100{,}0$ mL de solution, pas $80$ : les $20{,}0$ mL prélevés en font partie. Le volume qui compte est celui de la solution, lu sur la verrerie jaugée, jamais celui de l'eau versée.

Figure (fig.chemistry.molar-concentration-dilution, SVG programmatique à produire) : deux bandes horizontales, une par protocole, chacune en trois étapes de gauche à droite, avec les grandeurs écrites sous chaque étape.

• Bande du haut — la dissolution. Étape 1 : une balance affichant « $22{,}5$ g » avec une coupelle de poudre, légende « $m = n \times M$ ». Étape 2 : la poudre versée dans une fiole jaugée de $250{,}0$ mL à moitié remplie d'eau, un entonnoir, légende « dissoudre dans un peu d'eau ». Étape 3 : la fiole remplie jusqu'au trait de jauge, bouchée, retournée (flèche circulaire « homogénéiser »), légende « $V = 250{,}0$ mL de solution, $C_0 = 0{,}500$ mol/L, $n = 0{,}125$ mol ». Un cartouche : « le trait de jauge fixe le volume de solution, pas d'eau ».
• Bande du bas — la dilution. Étape 1 : une pipette jaugée de $20{,}0$ mL plongée dans la solution mère, légende « $n_0 = C_0 V_0 = 0{,}0100$ mol ». Étape 2 : la pipette vidée dans une fiole jaugée de $100{,}0$ mL, une pissette d'eau distillée qui complète, légende « on ajoute de l'eau, jamais de soluté ». Étape 3 : la fiole au trait, bouchée, retournée, légende « $V = 100{,}0$ mL, $C = 0{,}100$ mol/L, $n = 0{,}0100$ mol : le même ». Une accolade relie les étapes 1 et 3 avec l'égalité « $C_0 V_0 = C V$ », et un compteur « $F = 5$ ».
• En marge droite, un petit schéma « quantité de soluté » : deux rectangles de même aire, l'un étroit et haut (mère : petit volume, forte concentration), l'autre large et bas (fille : grand volume, faible concentration), avec la mention « même aire = même $n$ ».
• Un cartouche barré, sous la bande du bas : « $80$ mL d'eau ajoutée » avec une croix, et la mention « le volume utile est celui de la fiole : $100{,}0$ mL ».

Ce qu'il faut lire. Les deux bandes ont la même dernière étape — une fiole au trait —, parce que dans les deux cas le volume qui définit la concentration est celui de la solution dans la verrerie jaugée. La bande du bas montre l'invariant sous forme d'une quantité de soluté qui voyage de la pipette à la fiole sans changer ; le schéma des rectangles en donne l'image : diluer, c'est étaler la même quantité sur un plus grand volume.

La figure en détail : deux rangées de trois dessins. En haut, une balance qui affiche vingt-deux grammes et demi de poudre, puis la poudre versée dans une fiole jaugée de deux cent cinquante millilitres avec un peu d'eau, puis la fiole remplie jusqu'à son trait, bouchée et retournée pour mélanger, avec la concentration obtenue écrite dessous. En bas, une pipette jaugée de vingt millilitres qui prélève dans cette solution, puis la pipette vidée dans une fiole jaugée de cent millilitres que l'on complète à l'eau distillée, puis la fiole au trait, retournée, avec la nouvelle concentration, cinq fois plus petite, et la mention que la quantité de soluté n'a pas changé. Une accolade entre le premier et le dernier dessin porte l'égalité des produits concentration fois volume. À droite, deux rectangles de même aire, l'un étroit et haut, l'autre large et bas, illustrent qu'on étale la même quantité sur un plus grand volume. Sous la rangée du bas, la mention « quatre-vingts millilitres d'eau ajoutée » est barrée, avec le rappel que le volume utile est celui de la fiole.

Les unités. $C$ en $\mathrm{mol/L}$ ; un volume donné en millilitres se convertit en litres avant tout calcul de $n$ ou de $C$ ($1$ mL $= 10^{-3}$ L). Dans $C_0 V_0 = C V$ et dans $F = V / V_0$, seule compte l'égalité des unités des deux volumes.

Le protocole de dilution, en cinq gestes. Calculer $V_0 = C V / C_0$ ; prélever $V_0$ à la pipette jaugée ; verser dans la fiole jaugée de volume $V$ ; compléter à l'eau distillée jusqu'au trait de jauge ; boucher et homogénéiser. La précision de $C$ vient de la verrerie jaugée, pas du calcul.

Vers la suite. La leçon suivante distingue la concentration en soluté apporté (celle-ci) des concentrations effectives des ions libérés par un solide ionique ; le titrage colorimétrique utilisera $C = n / V$ pour remonter à la concentration d'une solution inconnue.

1. Croire que la quantité de soluté change lors d'une dilution. On ajoute de l'eau, pas de soluté : $n$ est le même dans la pipette et dans la fiole. C'est l'invariant qui fonde $C_0 V_0 = C V$ — ce qui change, c'est la concentration, parce que le volume a grandi.
2. Prendre pour $V$ le volume d'eau ajouté. Le volume qui définit la concentration est celui de la solution finale, lu sur la fiole jaugée. Avec $80$ mL d'eau au lieu des $100{,}0$ mL de la fiole, la concentration calculée est fausse d'un quart.
3. Inverser le facteur de dilution. $F = C_0 / C = V / V_0$, mère sur fille, final sur prélevé : toujours supérieur à $1$. Un « facteur $0{,}2$ » est un rapport écrit à l'envers.
4. Oublier de convertir les millilitres. $C = n / V$ exige $V$ en litres : $20{,}0$ mL, c'est $0{,}0200$ L. Dans $C_0 V_0 = C V$, en revanche, on peut garder les millilitres des deux côtés — mais pas d'un seul.
5. Confondre volume de solvant et volume de solution. On ne mesure pas l'eau versée : on ajuste le volume total au trait de jauge. Dissoudre $22{,}5$ g de glucose dans $250$ mL d'eau ne donne pas $250$ mL de solution.
6. Confondre $C$ et $C_m$. Les deux décrivent la même solution, mais l'une compte des moles, l'autre des grammes ; $C_m = C \times M$ les relie. Une concentration « de $90$ » sans unité ne veut rien dire.
7. Prendre la concentration pour une quantité. Prélever $10$ mL d'une solution à $0{,}500$ mol/L n'emporte pas $0{,}500$ mol mais $0{,}500 \times 0{,}010 = 0{,}0050$ mol. La concentration ne change pas avec le prélèvement ; la quantité, si.

Le modèle d'entraînement. L'exercice associé à cette leçon décrit une dilution avec la verrerie réelle du laboratoire (pipettes de $5$ à $25$ mL, fioles de $50$ à $500$ mL) et demande le volume de solution mère à prélever, la concentration de la solution fille ou le facteur de dilution ; dans la moitié des énoncés, le volume d'eau ajouté est mentionné, et le corrigé nomme la valeur fausse qu'il donnerait. Un modèle voisin travaille $C = n / V$ dans les trois sens et la masse à peser pour une dissolution.

Énoncé type. On prélève $V_0 = 10{,}0$ mL d'une solution mère de chlorure de sodium de concentration $C_0 = 0{,}200$ mol/L à la pipette jaugée, on les verse dans une fiole jaugée de $250$ mL et on complète avec de l'eau distillée jusqu'au trait de jauge. Calculer la concentration $C$ de la solution fille, puis le facteur de dilution.

Corrigé complet.

1. L'invariant. La quantité de soluté prélevée ne change pas pendant la dilution : on ajoute de l'eau, pas de soluté. Donc $C_0 V_0 = C V$.

2. La quantité prélevée. $V_0 = 10{,}0$ mL, soit $V_0 = 0{,}0100$ L.

3. La concentration fille. Le volume final est celui de la fiole : $V = 250$ mL, soit $V = 0{,}250$ L.

4. Le facteur de dilution.

La solution mère a été diluée $25$ fois : $C = 8{,}00 \times 10^{-3}$ mol/L.

5. Contrôler. $F > 1$ ✔ ; $C < C_0$ ✔ ; et $C \times V = 0{,}00800 \times 0{,}250 = 0{,}00200$ mol, la quantité prélevée ✔.

Auto-contrôle. Ai-je utilisé le volume de la fiole, et non celui de l'eau ajoutée ? Mes deux volumes sont-ils dans la même unité ? Et le facteur trouvé est-il supérieur à $1$ ?