Dispersion : étendue, quartiles, écart-type

En 4e, tu as appris à résumer une série statistique par des indicateurs de position : la moyenne et la médiane disent où la série se situe. Mais deux séries peuvent se situer au même endroit et raconter deux histoires très différentes. Compare les notes de deux groupes au même devoir : le groupe A a obtenu $9$ ; $10$ ; $11$ ; $12$ ; $13$, le groupe B a obtenu $3$ ; $7$ ; $11$ ; $15$ ; $19$. Les deux moyennes valent $11$, les deux médianes aussi — et pourtant le groupe A est homogène quand le groupe B écartèle ses élèves entre $3$ et $19$. Ce que la moyenne ne voit pas, c'est l'étalement de la série. Les indicateurs de dispersion servent exactement à cela.

L'étendue : le plus simple, le plus fragile. L'étendue d'une série est l'écart entre sa plus grande et sa plus petite valeur :

Pour le groupe B : $19 - 3 = 16$ ; pour le groupe A : $13 - 9 = 4$. L'étendue se calcule en deux secondes, mais elle ne dépend que de deux valeurs — les deux extrêmes. Une seule valeur aberrante (un élève absent noté $0$) peut la faire exploser sans que la série ait réellement changé de physionomie.

Les quartiles : découper l'effectif en quarts. L'idée est la même que pour la médiane, qui partage l'effectif en deux moitiés — mais en partageant en quarts. La série doit d'abord être rangée dans l'ordre croissant ; aucun indicateur de ce chapitre ne se lit sur une série brute.

Le premier quartile $Q_1$ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins $25\ \%$ des valeurs lui soient inférieures ou égales. Le troisième quartile $Q_3$ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins $75\ \%$ des valeurs lui soient inférieures ou égales.

En pratique, pour une série ordonnée de $n$ valeurs : $Q_1$ est la valeur dont le rang est le plus petit entier supérieur ou égal à $\dfrac{n}{4}$, et $Q_3$ celle dont le rang est le plus petit entier supérieur ou égal à $\dfrac{3n}{4}$. Par exemple pour $n = 11$ : $\dfrac{11}{4} = 2{,}75$, donc $Q_1$ est la $3^{\text{e}}$ valeur ; $\dfrac{33}{4} = 8{,}25$, donc $Q_3$ est la $9^{\text{e}}$. Les quartiles sont toujours des valeurs de la série : ce sont des positions dans l'effectif, pas des pourcentages d'une valeur.

L'écart interquartile. C'est la différence $Q_3 - Q_1$. Il mesure l'amplitude de la moitié centrale de la série : entre $Q_1$ et $Q_3$ se trouvent au moins la moitié des valeurs, débarrassée du quart le plus bas et du quart le plus haut. Contrairement à l'étendue, il ignore les valeurs extrêmes : une valeur aberrante ne le déplace pas. On dit qu'il est robuste.

La médiane, complétée. En 4e, tu n'as calculé la médiane que pour un effectif impair. Au lycée, le cas pair a sa convention : la médiane d'une série ordonnée d'effectif pair $n$ est la demi-somme des deux valeurs centrales, celles de rangs $\dfrac{n}{2}$ et $\dfrac{n}{2} + 1$. Pour la série ordonnée $8$ ; $10$ ; $13$ ; $15$ (effectif $4$), la médiane vaut $\dfrac{10 + 13}{2} = 11{,}5$ — un nombre qui n'est pas dans la série, et c'est normal : la médiane est une frontière, pas forcément une valeur observée.

L'écart-type : mesurer la dispersion autour de la moyenne. Les quartiles mesurent la dispersion autour de la médiane. L'écart-type, noté $\sigma$ (sigma), joue le même rôle autour de la moyenne : plus il est grand, plus les valeurs s'éloignent en moyenne de leur centre.

D'où vient-il ? L'idée naïve serait de calculer la moyenne des écarts à la moyenne — pour chaque valeur, sa différence avec la moyenne. Essaie sur le groupe B (moyenne $11$) : les écarts valent $-8$ ; $-4$ ; $0$ ; $4$ ; $8$, et leur somme fait... $0$. Ce n'est pas un accident de cet exemple : la somme des écarts à la moyenne est toujours nulle, les écarts positifs compensant exactement les écarts négatifs — c'est même ce qui définit la moyenne. Cette quantité ne mesure donc rien.

La parade : élever chaque écart au carré avant de moyenner, ce qui rend tout positif et empêche la compensation. La moyenne des carrés des écarts s'appelle la variance. Comme elle s'exprime dans le carré de l'unité des données (des points², des minutes²...), on revient à l'unité d'origine en prenant sa racine carrée : c'est l'écart-type.

Ce que le programme attend de toi. En seconde, la formule de l'écart-type n'est pas exigible : dans les exercices courants, c'est la calculatrice ou le tableur qui le donnent, et ton travail est de le lire et de l'interpréter. Le mécanisme ci-dessus n'est là que pour que le nombre affiché ne soit pas magique : tu dois savoir ce qu'il mesure (l'étalement autour de la moyenne), dans quelle unité il s'exprime (celle des données), et ce que signifie sa comparaison entre deux séries.

Sur nos deux groupes, la calculatrice donne $\sigma_A = \sqrt{2} \approx 1{,}41$ et $\sigma_B = \sqrt{32} \approx 5{,}66$ : même moyenne, mais le groupe B est quatre fois plus dispersé. C'est exactement l'information que la moyenne seule cachait.

Quel couple d'indicateurs choisir ? Les indicateurs vont par paires cohérentes : chaque indicateur de dispersion accompagne l'indicateur de position autour duquel il mesure.

• Le couple médiane / écart interquartile est robuste : les valeurs extrêmes et aberrantes ne le déplacent pas. On le préfère quand la série contient des valeurs très éloignées des autres (salaires, temps de trajet avec un jour de grève...).
• Le couple moyenne / écart-type utilise toutes les valeurs de la série : il est plus fin, mais une seule valeur aberrante le déforme. On le préfère quand la série est régulière, et c'est lui qui se prête aux calculs ultérieurs.

Comparer deux séries se fait à couples constants : mêmes indicateurs pour les deux, et une comparaison de dispersions n'a de sens simple qu'entre séries de même nature et d'ordre de grandeur comparable.

Le diagramme en boîte. C'est la représentation graphique du résumé $\{\text{minimum},\ Q_1,\ \text{médiane},\ Q_3,\ \text{maximum}\}$, dit « résumé à cinq nombres » : une boîte s'étend de $Q_1$ à $Q_3$ (elle contient donc la moitié centrale de l'effectif), un trait la coupe à la médiane, et deux « moustaches » la prolongent jusqu'au minimum et au maximum. D'un coup d'œil, la largeur de la boîte montre l'écart interquartile, et la longueur totale l'étendue. Deux diagrammes superposés comparent deux séries plus honnêtement qu'un long discours. Cette représentation, que tu rencontreras dans des documents et des articles, n'est plus un attendu du programme de seconde : tu dois savoir la lire, pas la construire.

Énoncé. Voici les durées, en minutes, des trajets domicile-lycée de onze élèves d'un groupe, dans l'ordre du relevé :

1. Calculer l'étendue de la série. 2) Déterminer la médiane, les quartiles $Q_1$ et $Q_3$, et l'écart interquartile. 3) Les notes de deux groupes au même devoir sont : groupe A : $9$ ; $10$ ; $11$ ; $12$ ; $13$ — groupe B : $3$ ; $7$ ; $11$ ; $15$ ; $19$. Comparer les deux groupes à l'aide de leur moyenne et de leur écart-type (donné par la calculatrice : $\sigma_A \approx 1{,}41$ et $\sigma_B \approx 5{,}66$).

1) L'étendue.

Étape 1 — ranger la série. Aucun indicateur ne se lit sur la série brute :

Compte les valeurs après le tri : il doit toujours y en avoir onze.

Étape 2 — soustraire. L'étendue vaut $44 - 8 = 36$ minutes. Elle ne dit rien de la répartition entre ces deux extrêmes — le $44$ (un élève qui habite loin) pèse à lui seul sur ce résultat.

2) Médiane, quartiles, écart interquartile.

La médiane. L'effectif $n = 11$ est impair : la médiane est la valeur de rang $\dfrac{11 + 1}{2} = 6$ de la série ordonnée, soit $17$ minutes. Cinq valeurs avant, cinq après.

Le premier quartile. $\dfrac{n}{4} = \dfrac{11}{4} = 2{,}75$ : le plus petit entier supérieur ou égal à $2{,}75$ est $3$. $Q_1$ est donc la $3^{\text{e}}$ valeur de la série ordonnée : $Q_1 = 12$ minutes.

Le troisième quartile. $\dfrac{3n}{4} = \dfrac{33}{4} = 8{,}25$ : le rang est $9$. $Q_3$ est la $9^{\text{e}}$ valeur : $Q_3 = 26$ minutes.

L'écart interquartile. $Q_3 - Q_1 = 26 - 12 = 14$ minutes : la moitié centrale des élèves tient dans une fourchette de $14$ minutes, alors que l'étendue en annonçait $36$. C'est le signe de valeurs extrêmes isolées.

Contrôle : $Q_1 = 12$ et $Q_3 = 26$ sont bien des valeurs de la série, et l'on a bien $8 \leq Q_1 \leq 17 \leq Q_3 \leq 44$ — le résumé à cinq nombres est toujours ordonné.

3) Comparer deux séries.

Étape 1 — les moyennes. Groupe A : $\dfrac{9 + 10 + 11 + 12 + 13}{5} = \dfrac{55}{5} = 11$. Groupe B : $\dfrac{3 + 7 + 11 + 15 + 19}{5} = \dfrac{55}{5} = 11$. Les deux moyennes sont égales : impossible de départager les groupes sur ce seul critère.

Étape 2 — les écarts-types. La calculatrice donne $\sigma_A \approx 1{,}41$ et $\sigma_B \approx 5{,}66$. L'écart-type du groupe B est environ quatre fois celui du groupe A.

Étape 3 — conclure en français. Les deux groupes ont le même niveau moyen, mais le groupe A est homogène (toutes les notes se serrent autour de $11$) tandis que le groupe B est hétérogène (les notes s'étalent de $3$ à $19$). Deux séries de même moyenne ne sont pas des séries identiques : il faut toujours un indicateur de dispersion pour finir le portrait.

Figure (SVG programmatique à produire) : trois panneaux empilés qui font le chemin de la leçon — même moyenne mais pas même série, les quartiles comme rangs, puis le diagramme en boîte.

• Panneau supérieur — même centre, deux étalements. Deux axes gradués de $0$ à $20$, l'un au-dessus de l'autre. Sur l'axe du groupe A, cinq points aux abscisses $9$, $10$, $11$, $12$, $13$, serrés ; sur l'axe du groupe B, cinq points aux abscisses $3$, $7$, $11$, $15$, $19$, étalés. Sur chaque axe, un triangle pointe l'abscisse $11$ avec l'étiquette « moyenne $= 11$ » — le même triangle, à la même place. Deux accolades horizontales cotent l'emprise des points : « $4$ » pour A, « $16$ » pour B. À droite, les deux valeurs $\sigma_A \approx 1{,}41$ et $\sigma_B \approx 5{,}66$ en cartouche, avec la mention « même moyenne, dispersions très différentes ».
• Panneau central — les quartiles sont des rangs. Un ruban de onze cases contenant la série des trajets ordonnée ($8$, $9$, $12$, $12$, $15$, $17$, $21$, $25$, $26$, $31$, $44$), les cases numérotées de $1$ à $11$ en dessous. La case $3$ (valeur $12$) est encadrée en trait épais et étiquetée « $Q_1$ : rang $\lceil 11/4 \rceil = 3$ » ; la case $6$ (valeur $17$) est encadrée et étiquetée « médiane » ; la case $9$ (valeur $26$) est encadrée et étiquetée « $Q_3$ : rang $\lceil 33/4 \rceil = 9$ ». Une accolade couvre les cases $3$ à $9$ avec la mention « moitié centrale — amplitude $Q_3 - Q_1 = 14$ ». En dessous, en plus petit et barré, le calcul erroné « $25\ \%$ de $44 = 11$ » avec la mention « un quartile est un rang dans l'effectif, pas une fraction du maximum ».
• Panneau inférieur — le diagramme en boîte. Au-dessus d'un axe gradué de $0$ à $50$ minutes, le diagramme en boîte de la série des trajets : une boîte rectangulaire de $12$ à $26$, un trait vertical intérieur à $17$, une moustache gauche jusqu'à $8$, une moustache droite jusqu'à $44$. Cinq lignes de rappel en pointillés relient chaque élément à son étiquette : minimum, $Q_1$, médiane, $Q_3$, maximum. Deux cotes horizontales superposées : la largeur de la boîte (« écart interquartile $= 14$ ») et la longueur totale moustaches comprises (« étendue $= 36$ »).

Ce qu'il faut lire. Le panneau du haut est l'image fondatrice du chapitre : deux nuages de points au même centre, l'un ramassé, l'autre étalé — tout ce que la moyenne seule ne peut pas distinguer. Le panneau central montre le geste exact du calcul des quartiles : on numérote la série ordonnée et on va chercher un rang, jamais un pourcentage d'une valeur — le calcul barré est là pour vacciner. Le panneau du bas assemble le tout : la boîte est la moitié centrale, les moustaches vont aux extrêmes, et la comparaison des deux cotes (14 contre 36) montre d'un regard que l'étendue exagère ce que la série a de dispersé.

Domaine de validité. Les rangs $\lceil n/4 \rceil$ et $\lceil 3n/4 \rceil$ (le symbole $\lceil\ \rceil$ désigne l'arrondi à l'entier supérieur) supposent la série ordonnée — c'est la première étape de tout calcul, jamais une option. La demi-somme pour la médiane ne concerne que le cas d'un effectif pair. La formule de la variance et de l'écart-type est donnée pour comprendre ce que la calculatrice fait : elle n'est pas exigible en seconde, et un énoncé qui demande $\sigma$ fournit l'outil de calcul.

Unités. L'étendue, les quartiles, l'écart interquartile, la médiane et l'écart-type s'expriment tous dans l'unité de la série : des minutes pour des durées, des centimètres pour des tailles. La variance, elle, s'exprime dans le carré de cette unité — c'est précisément pour cela qu'on lui préfère sa racine carrée. Les valeurs exactes se gardent tant que possible ; un écart-type issu d'une racine non entière s'écrit avec $\approx$ et l'arrondi demandé (souvent au centième).

Contrôles gratuits. Le résumé à cinq nombres est toujours ordonné : $\text{min} \leq Q_1 \leq \text{médiane} \leq Q_3 \leq \text{max}$. Les quartiles sont des valeurs de la série. L'écart interquartile ne dépasse jamais l'étendue. Un écart-type est positif, et il est nul seulement si toutes les valeurs sont égales. Quatre vérifications, quelques secondes.

1. Croire que deux séries de même moyenne sont « identiques ». Les groupes A ($9$ ; $10$ ; $11$ ; $12$ ; $13$) et B ($3$ ; $7$ ; $11$ ; $15$ ; $19$) ont tous deux une moyenne de $11$, et des physionomies radicalement différentes. La moyenne situe la série ; elle ne dit rien de son étalement. Toute comparaison sérieuse exige un indicateur de dispersion en plus de l'indicateur de position.
2. « Calculer l'écart-type » en moyennant les écarts sans les élever au carré. La somme des écarts à la moyenne vaut toujours zéro — les écarts positifs compensent exactement les négatifs. Cette quantité ne mesure rien. Le carré est ce qui empêche la compensation : c'est le cœur du mécanisme de la variance, et la raison d'être de la racine finale qui ramène à l'unité des données.
3. Lire les quartiles comme « 25 % et 75 % de la valeur maximale ». Sur la série des trajets, $0{,}25 \times 44 = 11$ n'est ni $Q_1$ (qui vaut $12$) ni quoi que ce soit d'interprétable : ce calcul mélange une position dans l'effectif avec une fraction d'une valeur. Un quartile se trouve en calculant un rang, puis en allant chercher la valeur de ce rang dans la série ordonnée.
4. Oublier de trier la série. Tous les indicateurs de ce chapitre — médiane, quartiles, et même le minimum et le maximum de l'étendue — se lisent sur la série ordonnée. La valeur centrale d'une liste non triée n'a aucune signification. Trier d'abord, compter les valeurs pour vérifier qu'aucune ne s'est perdue, calculer ensuite.
5. Confondre étendue et écart interquartile. Les deux sont des différences, mais pas entre les mêmes bornes : l'étendue va du minimum au maximum ($36$ minutes sur l'exemple), l'écart interquartile de $Q_1$ à $Q_3$ ($14$ minutes). Le premier dépend entièrement des extrêmes ; le second les ignore. Les confondre revient à confondre la longueur totale du diagramme en boîte avec la largeur de sa boîte.
6. Donner une variance comme si c'était un écart-type. La variance du groupe B vaut $32$, son écart-type $\sqrt{32} \approx 5{,}66$ : les deux nombres n'ont ni la même valeur ni la même unité (des points² contre des points). Si le nombre obtenu paraît énorme par rapport aux données, la racine carrée a probablement été oubliée.
7. Comparer des écarts-types de séries qui ne sont pas comparables. Un écart-type de $5$ n'a pas le même sens pour des notes sur $20$ et pour des tailles en centimètres : l'écart-type s'exprime dans l'unité de la série, et une comparaison brute entre séries de natures ou d'ordres de grandeur différents ne veut rien dire. On compare des dispersions entre séries de même nature — deux groupes au même devoir, deux clubs sur les mêmes matchs.
8. Croire que la médiane d'un effectif pair doit être une valeur de la série. La convention du lycée est la demi-somme des deux valeurs centrales : pour $8$ ; $10$ ; $13$ ; $15$, la médiane vaut $11{,}5$, qui n'apparaît nulle part dans la série. C'est une frontière entre les deux moitiés, pas nécessairement une observation.

Le modèle. L'exercice associé à cette leçon affiche une série brute, jamais triée — des notes, des tailles, des durées de trajet ou des masses de colis — et demande, selon le tirage : l'étendue, le premier ou le troisième quartile, l'écart interquartile, ou la médiane (effectif pair ou impair). L'effectif est choisi pour que la convention des quartiles soit sans ambiguïté. Un second modèle, voisin, compare deux séries de même moyenne et de dispersions très différentes : moyenne, variance (définie dans l'énoncé), écart-type, ou série la plus dispersée.

Énoncé type. Voici les notes, sur 20, obtenues par les élèves d'un groupe à un devoir :

Calculer l'écart interquartile $Q_3 - Q_1$ de la série.

Corrigé complet.

1. Ranger la série dans l'ordre croissant. C'est le geste obligatoire, et le plus fécond en erreurs quand on le bâcle :

Treize valeurs avant le tri, treize après : rien ne s'est perdu. L'effectif est $n = 13$.

2. Calculer le rang de $Q_1$. $\dfrac{n}{4} = \dfrac{13}{4} = 3{,}25$ : le plus petit entier supérieur ou égal à $3{,}25$ est $4$. $Q_1$ est la $4^{\text{e}}$ valeur de la série ordonnée :

3. Calculer le rang de $Q_3$. $\dfrac{3n}{4} = \dfrac{39}{4} = 9{,}75$ : le rang est $10$. $Q_3$ est la $10^{\text{e}}$ valeur :

4. Soustraire.

L'écart interquartile vaut $4$ points : la moitié centrale du groupe tient dans une fourchette de $4$ points.

5. Contrôler. $Q_1 = 10$ et $Q_3 = 14$ sont des valeurs de la série, et le résumé est ordonné : $6 \leq 10 \leq 12 \leq 14 \leq 18$ (la médiane, $7^{\text{e}}$ valeur, vaut $12$). L'écart interquartile ($4$) est bien inférieur à l'étendue ($18 - 6 = 12$).

Auto-contrôle : si l'un de tes quartiles n'est pas une valeur de la série, ou si ton $Q_1$ dépasse ta médiane, le tri ou un rang est en cause. Et si tu as obtenu tes quartiles en prenant $25\ \%$ ou $75\ \%$ de la note maximale, reprends la méthode : un quartile est un rang dans l'effectif ordonné, jamais une fraction d'une valeur.